相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练-2026届中考数学二轮复习

相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 考点目录 相似的性质与圆的性质综合计算 利用相似证明圆中的比例或乘积式 考点 相似的性质与圆的性质综合计算 例1.(2026安微阜阳二模)如图，等腰ABC中，AB=AC,以AC为直径作O0,分别交AB,BC于点M, N,CD是OO的切线，BD⊥CD于点D. B (I)求证：BD=BM; (2)若BM=3,CN=√3，求⊙0的半径， 【答案】(1)见解析 a号 【分析】(1)连接MC,根据切线的性质得到AC⊥CD,进而得到AC∥BD,根据平行线和等腰三角形的性质得到 ∠DBC=∠ABC,根据圆周角定理得到LAMC=90°，证明△DBC≌△MBC(AAS),从而得出结论； (2)连接AN,根据圆周角定理得到∠ANC=90°，根据等腰三角形的性质得到BN=CN,证明aMBC∽△NBA,进 而得到BC、BM B=B心，从而求出AB长，利用OA=,AC求解即可 【详解】(1)证明：如图，连接MC, B M :CD是OO的切线， A .AC⊥CD, :BD⊥CD, 相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 AC∥BD、∠BDC=90°， .∠DBC=∠ACB, AB AC, :ZABC ZACB, :∠DBC=LABC, :AC是⊙0的直径， ∠AMC=90°， .∠BMC=180°-∠AMC=90°， ∠BMC=LBDC=90°， 在△DBC和△MBC中， ∠BDC=∠BMC ∠DBC=∠MBC, BC=BC ∴△DBC≌△MBC(AAS), :BD =BM (2)解：如图，连接AN, M :AC为⊙0的直径， ∠ANC=∠AMC=90°， ∠BMC=90°， AB=AC, BN=CN=√3， BC=23, :∠CBM=∠ABN,∠CMB=∠ANB, .△MBC∽△NBA, AB N,即2、3 BC BM AB 13 2 相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 解得AB=26】 3 4C=26 :OA=14C=x3 12613 233 即00的半径为 13 例2.(2026辽宁沈阳一模)如图，过点P作⊙0的两条切线，切点分别为A,B,连接OA,OB,OP,取OP的中点 C,连接AC并延长，交⊙O于点D,连接BD. B (I)求证：∠ADB=∠AOP; ②若AP=5,an∠A0P=,求4D的长。 【答案】（①）见解析 (2)85 【分折】1)利用切线长定理得0P平分∠408，利用圆周角定理得∠4D840B,等量代换即可证羽： (2)延长AO交⊙O于点F,连接DF,先解RtA APO,然后证明△OAP∽△ADF,即可求解. 【详解】(1)证明：：AP,BP分别切OO于点A,点B, :OP平分∠AOB, :∠AOP=∠AOB, 21 又：AB=AB, :∠ADB=∠AOB, :∠ADB=∠AOP. (2)解：延长A0交⊙0于点F,连接DF,由AF是直径得LADF=90°， 相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 B D AP,BP分别切OO于点A,点B, :PA⊥OA, :C为OP的中点， :PC=0C, .AC=OC=-OP, 2 又：AP=5,tanZAOP= 2, AO= AP =10, tan∠AOp ∴0P=VA02+AP2=V102+52=5V5, AC=0C=0P=55,AF=2A0=20, 2 AC=0C, ∠CA0=∠A0C, 又：∠PA0=∠ADF=90°， △OAP∽△ADF PO A0 FA DA' DA= 20×10 =8√5 5V5 例3.(2026辽宁模拟预测)如图，在ABC中，∠ACB=90°，O为AC边上一点，以点O为圆心，0C长为半径 作OO,与AB相切于点D,与AC交于点E,连接CD, B D (I)求证：∠ABC=2∠ACD; (2)若AC=16,⊙0的半径为6，求BC的长. 【答案】（①）见解析 (2)12 相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 【分析】(1)连接0D,根据切线的性质得到OD1AB,则∠A+∠A0D=90°，由∠ACB=90°得到 ∠A+∠ABC=90°，得出∠ABC=∠AOD,再根据圆周角定理得到∠AOD=2∠ACD,即可证明； (2)利用勾股定理求出AD的长，再证明△AOD∽△ABC,利用相似三角形的性质即可求解. 【详解】(1)证明：如图，连接OD, D OO与AB相切于点D, OD⊥AB, ∠AD0=90°， .∠A+∠A0D=90°， ∠ACB=90°， ∠A+∠ABC=90° ∠ABC=∠AOD, DE=DE, ∴.∠AOD=2∠ACD, .∠ABC=2∠ACD: (2)解：00的半径为6， ∴0C=0D=6, ∴.A0=AC-0C=16-6=10, ∠AD0=90°， AD=√A02-0D2=V102-62=8, ∠AD0=∠ACB=90°，∠A=∠A, △AOD∽△ABC, BCC,即68 OD AD BC16' BC=12. 例4.(25-26九年级上·湖南株洲期末)如图，已知⊙0的直径为AB,AC平分∠BAD,交⊙0于点C,过点C作 CD⊥AD,垂足为D. 相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 (1)判断CD与⊙0的位置关系，并给出证明. (2)若AD=4,AC=6,求00的半径. 【答案】(1)见解析 (2)4.5 【分析】(1)连接OC,证明∠OCA=∠DAC=∠CA0,则可证AD∥OC,进而证明∠OCD=90°，最后根据切线的 判定即可得证； (2)证明△DAC∽△CAB,根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】(1)证明：连接0C D AC平分∠BAD .∠DAC=∠CAO 又0A=0C .∠CA0=∠0CA ∴.∠OCA=∠DAC ∴AD∥0C 又CD⊥AD ∠CDA+∠0CD=90° ∴.∠0CD=90° ~0C为半径 ∴直线CD是⊙O的切线 (2)解：AB为⊙0的直径 ·∠ACD=90° 6 相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 ∠ACD=∠CDA=90° 又LDAC=∠CAO .△DAC∽△CAB DA CA CA AB AD=4,AC=6 AB=9, 即00的半径为4.5. 变式1.(2026辽宁沈阳一模)如图，⊙0的直径AB=13cm,C为00上的一点，已知CD⊥AB,垂足为D,并 且CD=6cm,AD<DB,BC平分∠ABE,CE⊥BE,垂足为E. B E DE A (1)求证：CE是O0的切线： (2)求AD的长 【答案】（①）证明见解析 (2)4 【分析】(1)连接OC,由BC平分∠ABE,OB=OC,可得∠EBC=∠OCB,再由CE⊥BE,可得 ∠EBC+∠ECB=90°，可得LOCE=90°，即可证明结论： 2》证明△4CD△C0,可得0品设0=，则8D:8-40=13-,即可求机 【详解】(1)证明：如图，连接0C, A BC平分∠ABE, ∠EBC=∠OBC, 0B=0C, ∴∠0BC=∠0CB, 相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 ∠EBC=∠OCB, CE⊥BE, ∠BEC=90°， ∠EBC+∠ECB=90°，即∠OCB+∠ECB=90°， ∠0CE=90°， 0C是⊙0的半径， CE是o0的切线. (2)解：如图，连接AC, B AB是OO的直径， ∠ACB=90°， .LACD+∠BCD=90°， CD⊥AB, ∠ADC=∠BDC=90°， ∠ACD+∠A=90°， ∴∠BCD=∠A, △ACD∽△CBD, .AD CD CD BD' 设AD=x,则BD=AB-AD=13-X, 6 613-x,整理得，x2-13x+36=0, 解得x1=4,x2=9, .AD=4或AD=9, 当AD=4时，BD=AB-AD=13-4=9, 当AD=9时，BD=AB-AD=13-9=4, AD<DB, AD=4. P 相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 变式2.(2026北京西城模拟预测)如图，AB为00的弦，C为AB的中点，D为0C延长线上一点，DA与OO相 切，切点为A,连接BO并延长，交OO于点E,交直线DA于点F. D (1)求证：∠B=∠D; ②若F=42,mD},求00的半径. 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】(1)由切线的性质可得∠0AD=90°，由余角的性质可求解： 2)设⊙0的半径为，朱明△AFEO6DF0,可得=，再解三角形求出FD,AE,OD,然后列方程求解即 可 【详解】(1)证明：连接OA,AE, B :0A=0B, D LB=∠OAB, :DA与O0相切， .∠0AD=90°， ∠0AB+∠DAC=90°， 0A=0B, △AOB是等腰三角形， C为AB的中点， OC⊥AB, ∠ACD=90°， ∠D+∠CAD=90°， ∠OAB+∠DAC=90°=∠D+∠CAD, :ZD Z0AB ZB 0 相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 (2)解：设00的半径为r. O为BE的中点，C为AB的中点， AE∥0C,0C)AE, ∴∠FEA=∠FOD,∠EAF=∠D, ∴.△AFE∽△DFO, FA AE 1 FD OD ∠B=∠D,sinB= sin D=sin ZOAC sin B=3: 在RA0AD中.0D=01=3,AD=OD-0A=2V2. sin D 在Rt60AC中，OC=O4sin∠0AC=. 3 ·AE=2OC= 2 3 AF=42, 2 4√2 3, 4V2+2√2r3r 化简，得，4=2 4+2r9’ 解得r=7, 经检验，r=7是原方程的解。 ∴00的半径为7. 变式3.(2026河南周口一模)如图，AB是O0的直径，点C在O0上，AD⊥CD于点D,AC平分∠DAB. E B (1)求证：CD是O0的切线； (2)若AD=4,AC=5,求⊙0的直径AB的长. 【答案】（①）见解析 25 10 相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 【分析】(1)先连接OC,再通过导角得出∠OCA=∠DAC,进一步得0C∥AD,进而得出OC⊥CD,即可得证； (2)先连接BC,根据圆周角定理得出∠ACB=90,进一步得出△4DC△4CB,进而得出42=4C, ACAB,最后将 AD=4,AC=5代入求值即可. 【详解】(1)证明：如图，连接0C, D E B 0A=0C, Z0AC=Z0CA. ~AC平分∠DAB, ∠DAC=∠OAC, ∠OCA=∠DAC, 0C∥AD. ,AD⊥CD, 0C⊥CD. ~0C是00的半径， CD是⊙O的切线. (2)解：如图，连接BC, D E AB是OO的直径， ∠ACB=90°. AD⊥CD, ∠ADC=90°， ∠ADC=∠ACB. 由(1)可知，LDAC=∠BAC, △ADCn△ACB, 11 相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 AD AC AC AB :AD=4,AC=5, 45 六5AB' 解得，AB= 4 答：Q0的直径份的长为宁 变式4.(2022江西赣州模拟预测)如图，AB为O0的直径，BF切O0于点B,AF交⊙0于点D,点C在DF上， BC交OO于点E,且LBAF=2LCBF,CG⊥BF于点G,连接AE. B (I)直接写出AE与BC的位置关系； (2)求证：△BCGn△ACE; (3)若∠F=60°，GF=1,求00的半径长， 【答案】(I)AE⊥BC (2)见解析 (3)2V5+3 【分析】(1)利用圆周角定理，垂直定义即可求解； (2)易证∠CBF=∠BAE,再结合条件∠BAF=2LCBF就可证得∠CBF=∠CAE,易证∠CGB=∠AEC,从而证 得△BCG∽△ACE; (3)连接BD,通过圆周角定理可得∠DAE=∠DBE,所以∠DBE=∠CBF,由角平分线性质可得CD=CG,因为 ∠F=60°，GF=1,∠CGF=90°，所以∠FCG=30°，通过勾股定理得CG=√5，设⊙0的半径为r,则 AC=AB=2r,BD=r,AD=V3r,由DC=AC-AD=√5即可求解. 【详解】(1)解：AE⊥BC,理由如下， ~AB为OO的直径， ∠AEB=90°， AE⊥BC; 2 相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 (2)证明：~BF与O0相切， ∠ABF=90°， ∴∠CBF=90°-∠ABE=LBAE, ∠BAF=2LCBF, ∠BAF=2∠BAE, .LBAE=∠CAE, ∠CBF=∠CAE, ~CG⊥BF,AE⊥BC, LCGB=∠AEC=90°. ZCBF ZCAE,ZCGB=ZAEC △BCG∽△ACE; (3)解：连接BD,如图所示， B GF ∠DAE=∠DBE,∠DAE=∠CBF, .LDBE=∠CBF, ~AB为OO的直径， ∠ADB=90°， BD⊥AF, ∠DBC=∠CBF,BD⊥AF,CG⊥BF, .CD=CG, ∠F=60°，GF=1,LCGF=90°，∠ABF=90°， ∠FCG=∠BAD=30°， GF=1, CF=2, CG=CF2-GF2=22-1=3, ∴CD=5, 15 相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 设⊙0的半径为r,则AC=AB=2r, ∠ADB=90°，∠BAD=30°， ∴BD=r,AD=V5r, .DC=AC-AD=2r-3r=(2-3)r=3, ∴r=2V5+3, 00的半径长为2√3+3 14 相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 考点二 利用相似证明圆中的比例或乘积式 例1.(2026江西萍乡一模)如图，AB为O0的直径，C为⊙0上的一点，连接AC、BC,，点E在AB的延长线上， 且满足LBCE=∠BAC,过点A作AD⊥CE交EC的延长线于点D,交OO于点F, D B E (1)求证：CE为O0的切线； (2)求证：BC2=AB·DF; 3)若B=10,cos∠DAC=手，求AF的长， 【答案】（①）证明见解析 (2)证明见解析 (3)2.8 【分析】(1)连接0C,根据切线的判定证明即可； (2)连接OC,CF,证明△DAC∽△CAB,△DFCACAB,证明即可； (3)由2)可红∠D4C-∠E4C,得到cos∠BAC=co∠B1C-号利用购股定理和(2)的结论求解即可： 【详解】(1)证明：连接0C,则OA=0C, D .∠BAC=∠AC0, B :AB为OO的直径， :LACB=90°即∠AC0+∠0CB=90°， :LBAC+L0CB=90° 又：∠BCE=∠BAC .LBCE+LOCB=90° :0C⊥CE .CE为O0的切线； 15 相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 (2)证明：连接CF,则0C=OA, D .∠BAC=∠OCA, E :CD与o0相切于点C, CD⊥0C, :AD⊥CD, ∴AD‖OC,∠D=90° :∠DAC=∠OCA,∠ACB=∠D=90° ∠DAC=LEAC, :DAC CAB, DC AC DA CB AB AC' DC CB ‘AC=AB :四边形ABCF是OO的内接四边形， .∠ABC+∠AFC=180 :∠CFD+∠AFC=180°， LCFD=∠ABC, ,∠ACB=∠D ∴.△DFC∽△CAB, DC DF AC CB CB DF AB CB' BC2=AB·DF; (3)解：(3)由(2)可知∠DAC=∠EAC, cos∠BAC=cos∠BAC=4J :AB为O0的直径∠ACB=90° :AC=AB.cos∠BAC=8 .BC=√AB2-AC2=6 16 相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 BC2=AB·DF DF=3.6 AC_DA AB AC' .DA=6.4 AF=AD-DF=6.4-3.6=2.8; 例2.(2026广西南宁·二模)如图，BD是ABC的外接圆O0的直径，线段BE与O0相切于点B,连接CE,交 BD,AB于点F,G,∠EBG=∠BFE. D E B B 图1 图2 (1I)求证：CG⊥AB; (2)求证：AC.BC=BD.CG; (3)如图2，若AC=V6,AG=V3BG,∠ABC=60°，求阴影部分的面积. 【答案】（①）证明见解析 (2)证明见解析 31 【分析】(1)先根据切线的性质得∠DBE=90°，进而得出∠E+∠BFE=90°，再结合己知条件可得 ∠E+∠EBG=90°，则此题可解； (2)先根据直径所对的圆周角得∠BCD=90°，再根据“同弧所对的圆周角相等”得∠BDC=LBAC,接下来说明 △BCD∽△CGA，进而得出CGG=C,然后化成乘积式可得答案；☐ (3)先根据直角三角形的性质得BC=2BG,再根据勾股定理求出BG=1,然后说明∠CAG=∠ACG=45°，接下来 根据同弧所对的圆周角相等∠BDC=45°，再根据圆周角定理得∠BOC=90°，即可根据勾股定理求出B0=√2，最 后根据S阴影=S扇形Boc-SBoc得出答案。 【详解】(1)证明：~BE是00的切线， ∴BD⊥BE,即∠DBE=90°， .∠E+∠BFE=90°， ∠EBG=∠BFE, 17 相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 ∠E+∠EBG=90°， ∠EGB=90°， 即CG⊥AB; (2)证明：连接CD, ~BD是OO的直径， ∠BCD=90°. ∠BDC=∠BAC,LBCD=LAGC=90°， ABCD△CGA, BC CD BD CG AGAC' AC·BC=BD·CG; (3)解：连接C0, E B 在RtABCG中，∠ABC=60°， LBCG=30°， ∴.BC=2BG, 根据勾股定理，得CG=√BC2-BG2=√5BG· 在RtAACG中，AG+CG=AC2, (BG)+(3BG)=( 解得BG=1(负值舍去)， AG=CG=3,BC=2, ∴.∠CAG=∠ACG=45°， R 相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 LBDC=∠BAC=45°， LB0C=2LBDC=90°. 在RtaB0C中，BO2+CO2=BC2, 即2B02=4, 解得B0=√2（负值舍去）， 六S阴影=S扇形BOc-S.BOc= 0x-x2x5-1. 3602 例3.(25-26九年级下·内蒙古通辽·月考)如图，AB是⊙0的直径，C是BD的中点，过点C作AD的垂线，垂足 为点E. E D◇ B (I)求证：AC2=AB·AE; (2)求证：CE是O0的切线； (3)若AD=2CE,AB=3,求BC的长度. 【答案】（①）证明见解析 (2)证明见解析 餐 【分析】(1)证明△ACE∽△ABC,然后根据相似三角形的性质即可得证； (2)连接0C,根据等边对等角并结合(1)中结论可得出∠0CA=∠EAC=∠BAC,然后根据平行线的判定与性质 可得出OC⊥CE,最后根据切线的判定即可得证： (3)过点O作OF⊥AD于点F,根据垂径定理得出AF=FD=AD,证明四边形EFOC为矩形得出OF=CE,结 合已知可求出LB0C=∠FA0=45°，最后根据弧长公式求解即可. 【详解】(1)证明：C是BD的中点， .:CD=BC, :ZEAC ZBAC AB是OO的直径， .∠ACB=90°. :CE⊥AE, 19 相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 LAEC=90°. ∠AEC=LACB, △ACE∽△ABC; AE AC AC AB' .AC2=ABAE (2)证明：连接0C,如图， D◇ :0A=0C, L0AC=∠0CA, 由(1)知：∠EAC=∠BAC, .∠EAC=∠OCA, .OC∥AE, :CE⊥AE, 0C⊥CE. 0C为⊙0的半径， CE是⊙O的切线； (3)解：过点O作OF⊥AD于点F,如图， DK B 则AF=FD=方D, AD=2CE, :AF CE. :OF⊥AD,CE⊥AE,OC⊥CE, 四边形EFOC为矩形， :.OF=CE 20 相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 :.OF=AF, :aAFO为等腰直角三角形， ∠FA0=45°， :OC∥AE, LB0C=∠FA0=45°， 45°.3π_3π 360=8 变式1.(2026山东潍坊一模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，连接AC、BD,过点B向圆外方向作 ∠CBE=∠BDC,点E在AC的延长线上. B ○ (I)求证：EB2=EC·EA; (2)求证：EB为O0的切线. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)先由圆周角定理得∠BAC=∠BDC,结合已知等量代换得∠CBE=∠BAC,即可证明△BCE∽△ABE, 则昌告用可餐华金 (2)连接OB,延长BO交OO于点F,连接CF,由圆周角定理得LBDC=LBFC,结合已知∠CBE=∠BDC得 ∠BFC=∠CBE,由BF是OO的直径，得∠BCF=90°，进而推出∠CBF+∠CBE=90°，即∠FBE=90°，即可得出 结论 【详解】(I)证明：~∠CBE=∠BDC,∠BAC=∠BDC, ∠CBE=∠BAC, 在△BCE和△ABE中，∠CBE=∠BAE,∠E=∠E, aBCE∽△ABE, EB EC 六EAEB' EB2=EC·EA: (2)证明：连接OB,延长BO交O0于点F,连接CF, 21 相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 O· D ∠BDC和∠BFC都是弧BC所对的圆周角， ∠BDC=LBFC, 又∠CBE=∠BDC, LBFC=∠CBE, ·BF是OO的直径， ∠BCF=90°， ∠CBF+∠BFC=90°， .LCBF+LCBE=90°，即∠FBE=90°， ·BF⊥BE, ∴EB为OO的切线， 变式2.(2025·四川乐山模拟预测)如图，以ABC的一边AB为直径作⊙0，⊙0与BC边的交点恰好为BC边的 中点D. B D (I)求证：AB=AC; (2)过点D作⊙0的切线交AC于点E, ①求证：BC2=4CE·AB; ②若00的面积为25，an∠4ABC=手，求DE的长. 【答案】(1)见解析 20见解析，②24 5 【分析】(1)连接AD,证得AD是线段BC的垂直平分线，即可得到AB=AC; (2)①连接OD,证明△ADC∽△DEC,推出CD=CE·AC,再等量代换即可得证； 2 相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 ②求得AB=10,AD=8,BD=6,结合①的结论计算即可求解. 【详解】(1)证明：连接AD, A B D ~AB为O0的直径， ∠ADB=90°，即AD⊥BC. D是BC的中点， AD是线段BC的垂直平分线， .AB=AC (2)①证明：连接0D, ~DE是⊙0的切线，∴∠0DE=90°. O、D两点分别是BA、BC的中点， ∴0D∥AC. ∠DE0=90°，即DE⊥AC. 在RtAADC和Rt△DEC中， ∠C=∠C,LADC=∠DEC=90°， AADC△DEC, C5.即c0=c64C, CD CE ∴ D是BC的中点，AB=AC, .BC=2DC. BC2=4CD2=4CE·AC=4CE·AB; 4 ②-tan∠ABC=3∠ADB=90°， AD 4 BD3,设4D=4x,BD=3x, 由勾股定理得AB=VAD2+BD2=5x, 00的面积为25π， 23 相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 5x 2 =25π， 2 解得x=2(舍去负值)， AB=10,AD=8,BD=6, “CE= BC2 BD23618 4AB AB105 DE=VCD2-CE2=,62- (182_24 5 5 变式3.(2025·四川雅安中考真题)如图，ABC中，∠B=90°，AM是角平分线，O是AC上一点，经过点A、点 M的OO分别交AB,AC于点E,点F. B M (1)判断BC与⊙0的位置关系，并说明理由； (2)求证：CM2=CF.CA; 3 3)若cF=2,sinC=号求4E的长. 【答案】（①）相切，见解析 (2)见解析 【分析】(1)连接OM,由角平分线的性质及等腰三角形的性质得OM∥AB,再由LB=90°即可得OM⊥BC,从 而得BC与O0的位置关系是相切： (2)连接FM,证明aCFM∽△CMA即可； MC中，由simC=,设0M=0P=3,则oc=a, 则可得AF,再由正弦函数关系即可求得AE的值. 【详解】(1)解：BC与O0的位置关系是相切； 理由如下： 如图，连接OM, ~AM是∠BAC的平分线， ∴∠BAM=∠OAM, 相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 0A=0M, ∠OMA=∠OAM, ∠OMA=∠BAM, OM∥AB, ∠B=90°， .L0MC=∠B=90°， 即OM⊥BC, OM为圆的半径， BC与O0的位置关系是相切. O B M C (2)证明：如图，连接FM, AF是圆的直径， ∠AMF=90°=LB, AM是∠BAC的平分线， ∠BAM=∠OAM, ∴.∠AMB=90°-∠BAM=90°-∠OAM=∠AFM, ∠AMC=180°-∠AMB=180°-∠AFM=∠MFC, ∴.△CFMn△CMA, CF CM CM CA' 即CM2=CF.CA; B (3)解：如图，连接OM,EF, 由(1)知∠0MC=90°， 25 相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 在RtsOMC中，sinC=OM_3 OC5 设0M=0F=3a,则0C=5a, ∴CF=0C-0F=2a=2, 解得a=1, 0F=3,AF=20F=6, AF为圆的直径， ∴∠AEF=90°， ∠B=∠AEF=90°， EF∥BC, ∴∠AFE=∠C, “sin∠AFE=E-3 AF 5' ÷AB=2AF=18 5 51 0 B 26相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 考点目录 相似的性质与圆的性质综合计算 利用相似证明圆中的比例或乘积式 考点一 相似的性质与圆的性质综合计算 例1.(2026安徽阜阳二模)如图，等腰△ABC中，AB=AC,以AC为直径作⊙O,分别交AB,BC于点M, N,CD是⊙O的切线，BD⊥CD于点D. R A (I)求证：BD=BM; 2若BM=3,CN=i5,求O0 的半径. 例2.(2026辽宁沈阳一模)如图，过点P作O0的两条切线，切点分别为4，B,连接 A,OB,OP OP ，取的中 点C,连接AC并延长，交⊙O于点D,连接BD. B (I)求证：∠ADB=∠AOP: (2)若AP=5,an∠A0P=)。 =2,求AD的长。 相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 例3.(2026辽宁模拟预测)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O为AC边上一点，以点O为圆心，OC长为半 径作⊙O,与AB相切于点D,与AC交于点E,连接CD. E (I)求证：∠ABC=2∠ACD: (2)若AC=16,⊙0的半径为6，求BC的长. 例4.(25-26九年级上湖南株洲期末)如图，已知⊙0的直径为AB,AC平分∠BAD,交⊙0于点C,过点C 作CD⊥AD,垂足为D. D (1)判断CD与⊙O的位置关系，并给出证明. (2)若AD=4,AC=6,求⊙0的半径. 相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 变式1.(2026辽宁沈阳一模)如图，⊙0的直径AB=13cm,C为⊙0上的一点，已知CD⊥AB,垂足为D, 并且CD=6Cm,AD<DB,BC平分∠ABE,CE⊥BE,垂足为E. B A (I)求证：CE是⊙O的切线： (2)求AD的长. 变式2.(2026北京西城模拟预测)如图，AB为⊙O的弦，C为AB的中点，D为OC延长线上一点，DA与 ⊙O相切，切点为A,连接BO并延长，交⊙O于点E,交直线DA于点F, ○ D (I)求证：∠B=∠D: 2)若AF=4V2,sinD= 3,求⊙0的半径. 相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 变式3.(2026河南周口一模)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D,AC平分∠DAB, D E B (I)求证：CD是⊙O的切线： (2)若AD=4,AC=5,求⊙O的直径AB的长. 变式4.(2022江西赣州棋拟预测)如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B,AF交⊙O于点D,点C在DF 上，BC交OO于点E,且∠BAF=2∠CBF,CG⊥BF于点G,连接AE. B G (I)直接写出AE与BC的位置关系； (2)求证：△BCGn△ACE; (3)若∠F=60°，GF=1,求⊙0的半径长. 相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 考点二 利用相似证明圆中的比例或乘积式 例1.(2026江西萍乡一模)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙0上的一点，连接AC、BC,点E在AB的延长线 上，且满足∠BCE=∠BAC,过点A作AD⊥CE交EC的延长线于点D,交⊙O于点F. D B E (1)求证：CE为⊙O的切线： BC2=AB·DF (2)求证： (3)若AB=10,cos∠DAC=4 ,求r的长. 例2.(2026广西南宁·二模)如图，BD是△ABC的外接圆⊙O的直径，线段BE与⊙O相切于点B,连接CE,交 BD AB F,G,∠EBG=∠BFE 于点 D D G G E B B 图1 图2 (I)求证：CG⊥AB: (2)求证：AC·BC=BDCG: ⑤)痴图2，若4C=6,AG=V5BG,∠ABC=60,求阴影部分的面积 心 相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 例3.（2526九年级下内蒙古通辽月考)如图，4B是O0的直径，C是BD的中点，过点C作D的垂线，垂足 为点E. D ⊙ AC2=AB·AE (1)求证： (2)求证：CE是⊙0的切线： 6)若4D=2CE,4B=3,求8C的长度. 变式1.(2026山东潍坊一模)如图，四边形ABCD内接于⊙O,连接AC、BD,过点B向圆外方向作 ∠CBE=∠BDC,点E在AC的延长线上. B EB2=EC.EA (1)求证： (2)求证：EB为⊙O的切线. 6 相似的性质与圆的性质综合计算、利用相似证明圆中的比例或乘积式专项训练 变式2.(2025四川乐山模拟预测)如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC边 的中点D. E B (I)求证：AB=AC (2)过点D作⊙O的切线交AC于点E, BC2=4CE·AB ①求证： ②若0o0的面积为35x,am∠4BC手，求pE的长. 变式3.(2025四川雅安·中考真题)如图，△ABC中，∠B=90°，AM是角平分线，O是AC上一点，经过点A、 点M的⊙O分别交AB,AC于点E,点F. B M (I)判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由； CM2=CF.CA (2)求证： e)若cr-2,sinC=, =5,求AE的长. >