2026年中考数学二轮复习课件 专题一：代数综合

专题一 代数 【中考二轮复习专题】 专题 代数综合 01 考前概览 02 方法点拨 03 重点题型 典例精讲.通性通法. 变式训练 目录 图片替换区 代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点. 掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键． 在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力． 考前概览 3 解决代数综合题应注意以下几点： （1）重视知识关联，梳理函数、方程、不等式等知识间的内在联系，通过相互转化寻找解题思路 . （2）加强计算训练，保证计算准确，同时结合逻辑推理，有条理地推导结论，书写步骤完整规范. （3）面对复杂代数表达式，尝试因式分解、换元等方法化简，将问题转化为熟悉的形式. 方法点拨 解决代数综合题应注意以下几点： （4）遇到含参数问题，依据参数范围或条件分类讨论，全面分 析各种情况. （5）熟练运用函数与方程、转化与化归等数学思想方法，提升解题效率. 方法点拨 类型一 方程与不等式综合 例1 已知方程组 的解满足 求a的取值范围． 点拨：本题考查了含字母系数的方程解法及利用不等式组求字母的取值 范围问题． ①×3－②×2得：y＝13a－4 ①×4－②×3得：x＝18a－5 总结：在解含字母系数的方程时要分清未知数和字母常数，这样才能更准确地对方程进行求解． 解： 所以， 由题意令x＞0，y＞0得： 重点题型 变式：某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B 商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元. （1）A，B两种商品每件进价各为多少元？ 解：设A商品的进价是x元/件，B商品的进价是y元/件. 根据题意得 答:A商品的进价是100元/件，B商品的进价是60元/件. 解得 类型一 方程与不等式综合 重点题型 变式：某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商 品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元. （2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不 少于A商品件数的2倍.若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元 销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1 770元， 则购进A商品的件数最多为多少？ 解：设购进m件A商品，则购进(60-m)件B商品. 根据题意得 解得19≤m≤20 ∴m的最大值为20. 答:购进A商品的件数最多为20件 类型一 方程与不等式综合 重点题型 例2 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+b(a<0)与反比例函数 y=(k≠0)交于 A(-m，3m)，B(4，-3)两点，与 y轴交于点 C，连接 OA，OB. (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)求△AOB 的面积; (3)请根据图象直接写出不等式<ax+b 的解集. 点拨：本题考查了函数解析式的求法、三角形的面积以及函数与不等式间的关系． 类型二 函数与不等式综合 重点题型 (1)求反比例函数和一次函数的解析式; 点拨：(1)利用待定系数法求函数的解析式． 解：(1)因为点B(4，-3)在反比例函数y= ∴-3=，∴k=-12. ∴反比例函数的解析式为 y= ∵A(-m，3m)在反比例函数y=的图象上， ∴3m=，解得m=2或-2(负舍) 所以点A的坐标为(-2，6). 类型二 函数与不等式综合 重点题型 类型二 函数与不等式综合 (1)求反比例函数和一次函数的解析式; 点拨：(1)利用待定系数法求函数的解析式． 解: (1)因为点 A，B 在一次函数 y=ax+b 的图象上，把点A(-2，6)，B(4，-3)分别代入，得 所以一次函数的解析式为 重点题型 类型二 函数与不等式综合 例2 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+b(a<0)与反比例函数 y=(k≠0)交于 A(-m，3m)，B(4，-3)两点，与 y轴交于点 C，连接 OA，OB. (2)求△AOB 的面积; 点拨：(2)观察图可知，S△AOB=S△AOC+S△BOC . 解：(2)因为点C为直线 AB与y轴的交点，所以OC=3. ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC = = =9 重点题型 类型二 函数与不等式综合 (3)请根据图象直接写出不等式<ax+b 的解集. 点拨：(3)不等式的解集是反比例函数图象在 一次函数图象的下方时对应的x的取值范围． 解：(3)由图可知，当x＜-2或0＜x＜4时，<ax+b. 所以，不等式<ax+b 的解集为x＜-2或0＜x＜4. 例2 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+b(a<0)与反比例函数 y=(k≠0)交于 A(-m，3m)，B(4，-3)两点，与 y轴交于点 C，连接 OA，OB. 重点题型 总结：一次函数y1=k1x+b，反比例函数y2=: ①当k1x+b＞y1＞y2时，表示一次函数的图象在反比例函数的图象上方，据此找到对应x的范围； ②当k1x+b＜y1＜y2时，表示一次函数的图象在反比例函数的图象下方，据此找到对应x的范围. 类型二 函数与不等式综合 重点题型 变式：如图，函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A(m，3). (1)求m，a的值； (2)根据图象，直接写出不等式2x＞ax＋4的解集. (2)由图象可知，不等式2x＞ax＋4的解集为 解：(1)∵函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A(m，3)， ∴ 类型二 函数与不等式综合 重点题型 解：(1)∵两函数的图象都经过点(1，a)， ∴ 例3 已知函数 和y＝kx+1(k≠0)． (1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值； (2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点? 点拨：本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查了函数解析 式的求法和利用判别式判断函数图象交点个数． 解得 类型三 函数综合 重点题型 解：(2)将 代入y＝kx+1，消去y，得 ． ∵k≠0，∴要使得两函数的图象总有公共点，只要Δ≥0即可． ∵Δ＝1+8k．∴1+8k≥0，解得k≥ ． ∴k≥ 且k≠0时这两个函数的图象总有公共点． 类型三 函数综合 例3 已知函数 和y＝kx+1(k≠0)． (1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值； (2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点? 点拨：本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查了函数解析 式的求法和利用判别式判断函数图象交点个数． 重点题型 类型三 函数综合 例3 已知函数 和y＝kx+1(k≠0)． (1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值； (2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点? 总结：两图象交点的个数常常通过建立方程组，进而转化为一元二次方程，利用根的判别式来判断． 若Δ＞0，两图象有两个公共点； 若Δ＝0，两图象有一个公共点； 若Δ＜0，两图象没有公共点． 重点题型 变式：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在线段AB上，以C为顶点的抛物线M:y=ax2+bx+c经过点B，点C不与点B重合， (1)求点A，B的坐标. 解：直线y=x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当x=0时，代入得y=6，点B的坐标为(0,6). 当y=0时，代入得x=-8， 所以点A的坐标为(-8,0). 类型三 函数综合 重点题型 解：设点C的坐标为(m，m+6)，则可设抛物线M的函数解 析式为y=a(x-m)2+m+6. 因为抛物线M经过点B，将B(0,6)代入得am2+m+6=6. 因为m≠0，所以am=-,即m=. 将m=代入y=a(x-m)2+m+6，整理得y=ax2++6，所以b=，c=6. 类型三 函数综合 变式：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在线段AB上，以C为顶点的抛物线M:y=ax2+bx+c经过点B，点C不与点B重合， (2)求b，c的值. 重点题型 例4 已知关于x的二次函数 与 ，这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A，B两个不同的点．   (1)试判断哪个二次函数的图象经过A，B两点； (2)若A点坐标为(-1，0)，试求B点坐标； (3)在(2)的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小? 点拨：本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断二次函数图象，与x轴的交点个数及二次函数的性质． 类型四 方程与函数综合 重点题型  (1)试判断哪个二次函数的图象经过A，B两点； 解：(1)对于二次函数 由于 Δ＝(-m)2－4×1× 所以此函数的图象与x轴没有交点． 对于关于x的二次函数 由于Δ＝ 所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点． 故图象经过A，B两点的二次函数为 . 类型四 方程与函数综合 重点题型  (2)若A点坐标为(-1，0)，试求B点坐标； 解：(2)将A(-1，0)代入 ，得 整理，得 解得m＝0，或m＝2． ①当m＝0时， , 令y＝0，得 ，解得x1=-1,x2=1. 此时，B点的坐标是B(1，0)． ②当m＝2时， ．令y＝0，得 解得x3＝-1，x4＝3． 此时，B点的坐标是B(3，0)． 类型四 方程与函数综合 重点题型  (3)在(2)的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小? 解：(3)当m＝0时，二次函数为 . 此函数的图象开口向上，对称轴为x＝0， 所以当x＜0时，函数值y随x的增大而减小． 此函数的图象开口向上，对称轴为x＝1， 所以当x＜1时，函数值y随x的增大而减小． 总结：判断二次函数与x轴的交点情况，只需考虑对应一元二次方程的判别式． 当m＝2时，二次函数为 类型四 方程与函数综合 重点题型 变式：已知关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0． （1）求证该方程有两个实数根； 证明：（1）∵Δ= (3m+1)2－4×m×3 =(3m－1)2.  ∵  (3m－1)2≥0， ∴Δ≥0，            ∴原方程有两个实数根． 类型四 方程与函数综合 重点题型 变式：已知关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0． （2）如果抛物线y=mx2+(3m+1)x+3与x轴交于A、B两个整数点（点A在点B左侧），且m为正整数，求此抛物线的表达式； 解：令y=0，那么 mx2+(3m+1)x+3=0. 解得 ， . ∵抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数， ∴m=1. ∴抛物线的表达式为 . 类型四 方程与函数综合 重点题型   (1)求点B的坐标；   (2)求经过A，O，B三点的抛物线的解析式；   (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．   (4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．     例5 如图所示，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°得到线段OB． 类型五 与代数为主的综合题 重点题型   (1)求点B的坐标；       点拨：(1)由∠AOB＝120°可得OB与x轴正半轴的夹角为60°，利用OB＝2及三角函数可求得点B的坐标； 解：(1)过点B作BG⊥x轴的垂线， 由题意知∠AOB＝120°，OB=2， 所以∠BOG=60°，OG=2cos60°=1，BG=2sin60°= ，即B(1， ). G 例5 如图所示，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°得到线段OB． 类型五 与代数为主的综合题 重点题型   (2)求经过A，O，B三点的抛物线的解析式；       点拨：(2)利用待定系数法可求出解析式； G 所以抛物线的解析式为 . 解：(2)设抛物线的解析式为 ， 代入点B(1， )，得 . 例5 如图所示，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°得到线段OB． 类型五 与代数为主的综合题 重点题型 (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；       点拨：(3)OB为定值，即求BC+CO最小．利用二次函数的对称性可知点C为直线AB与对称轴的交点. G C 例5 如图所示，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°得到线段OB． 类型五 与代数为主的综合题 重点题型 G C 类型五 与代数为主的综合题 解：(3)如图所示，抛物线的对称轴是直线x＝-1，因为A，O关于抛物线的对称轴对称，所以当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小． 设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，则 因此直线AB的解析式为 当x=-1时， ， 因此点C的坐标为 . 解得 重点题型 (4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．       点拨：(4)过P作y轴的平行线交AB于D，设其交x轴于E，交过点B与x轴平行的直线于F.利用转化的方法列出S△PAB关于点P的横坐标x的函数关系式求解． 例5 如图所示，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°得到线段OB． 类型五 与代数为主的综合题 重点题型 解：(4)如图所示，过P作y轴的平行线交AB于D，设其交x轴于E，交过点B与x轴平行的直线于F． 设点P的横坐标为x，则 当 时，△PAB的面积的最大值为 ，此时P . ． 类型五 与代数为主的综合题 重点题型 总结：本题为二次函数的综合题，综合程度较高，要掌握利用点的坐标表示坐标轴上线段的方法． 因为线段的长度为正数，所以在用点的坐标表示线段长度时，我们用“右边点的横坐标减左边点的横坐标，上边点的纵坐标减下边点的纵坐标”，从而不用加绝对值号，本题中线段PD的长为 就是利用了这一规律． 类型五 与代数为主的综合题 重点题型 $