数学(2)-【衡水金卷·先享题·调研卷】2026年普通高中学业水平等级考试模拟试题数学B

2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学（二） 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.某企业对一种特殊零部件进行招标，共有7个厂商参与竞标.将7个厂商的报价整理得到如下 数据（单位：元/个）：6.1,5.9,5.9,6.0,6.1,5.8,6.3，则这组数据的第70百分位数为 A.6.0 B.5.8 C.5.9 D.6.1 2.已知集合A={2a,a十2}，B={1,2,3},若A∩B=A,则a= A.-1 B.0 C.1 D.2 .若第二象限角0满足os(经-0）-一号，则an0 A停 B. 3 C.26 5 D.-26 5 4.设甲：m3-n3>e”-e";乙：lg(m一n)>0,则甲是乙的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知点F1(一4,0)，F2(4,0),动点P(x,y)到F1的距离比到F2的距离大6，则动点P的轨迹方 程为 A若-苦-1≥3) B. 3-7=1(x≥3) n营-苦-1 6.一操场由矩形ABCD和两个相同的半圆组成，E为AD的中点.现甲从点A出发，沿AB方向以 8个单位/s的速度匀速运动，在第5s的时候运动到AB边上靠近点B的三等分点F处，乙从点 A出发，沿弧AD方向以2π个单位/s的速度匀速运动，在第5s的时候运动到点D,则EF· EC- A.2100 F B.2200 C.2300 D.2400 D 数学（二）第1页（共4页） 衡水金卷·先 7.已知函数f(x)=3sin(ax十p)(w>0,p≤)在区间[若，受]上单调递增，且f(x)的最小正周期 为π，则9的取值范围为 A[-语-] c[别 D[-g] 8.已知函数f(x)=x2e',若关于x的方程2[f(x)]-(2a十1)f(x)十a=0有且仅有4个不同的 实数根，则a的取值范围是 A.{0}U(e,+∞) B.0U(怎，+∞） c.[o] n德) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数之1,2,3满足之1|=|之2|=2十之3=1，则 A.x12|=1 B.|+2≤1|+|2 C.1十x2>x D.|3≤2 10.在正方体ABCD一ABC1D1中，M,N分别为BC,CD的中点，点P是D,M上靠近点M的三 等分点，则 A.M,N,B1,D1四点共面 B.A1,P,C三点共线 C.直线AP与AA,所成角的正弦值为 D.直线A,P与底面ABCD所成角的正弦值为号 11.已知函数f(x)与g(x)的定义域均为R,若存在非零实数a对函数f(x),g(x)在定义域内的任意 实数x都满足f(x)十af(一x)=g(x),则称g(x)为f(x)的“广义对称函数”，则 A.若f(x)=2x,则g(x)=x为f(x)的“广义对称函数” B.若f(x)=e,则g(x)=一e为f(x)的“广义对称函数” C.若g(x)=x为f(x)的“广义对称函数”，则当f(x)存在零点时，f(x)不存在极值点 D.若g(x)=一e为f(x)的“广义对称函数”，则当f(x)存在零点时，f(x)不存在极值点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 x2+x,0≤x<1 12.已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)= ,则f(-2)+ e-1+x,x≥1 侵 13.已知圆柱与圆锥的母线长均为6，圆柱的底面半径是圆锥底面半径的2倍，且圆柱的体积为 96π，则圆锥的体积为 14.已知椭圆C:号十y=1的左、右焦点分别为F,F,过F,且斜率为1的直线与C交于M,N两 点(M在N的右侧)，则MN= ;若△MNF2内切圆的圆心为I,O为原点，则 tan∠IFzO= ·(本题第一空2分，第二空3分) 享题·调研卷 数学（二）第2页（共4页）】 回 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知首项为1的正项数列{an}满足a品+1一a?十(anaw+1)2=0. (1)证明：a 是等差数列； (2)设bn= aam+L,求数列{bn}的前n项和S am十am+1 16.(本小题满分15分) 为响应国家节能减排的号召，某小区设立了特定的充电桩集群，以满足新能源汽车充电的需 要.某充电桩集群包含快充桩和慢充桩，其占比分别为60%与40%.为规范生活安全，需要多次对 该充电桩集群进行安全测试.统计显示，快充桩故障概率与慢充桩故障概率分别为12%和5%.用 频率近似替代概率. (1)任取一个充电桩，求该充电桩故障的概率； (2)在一次安全检查中，用随机变量X表示一个充电桩检查结果的标识.若充电桩正常工作， 则X=0;若为快充桩故障，则X=1;若为慢充桩故障，则X=2. (i)求P(X=0); (ⅱ)求X的分布列与数学期望. 17.(本小题满分15分) 如图为正四棱台ABCD一A1B,C1D1与正四棱锥P一ABCD拼接而成的几何体， (1)证明：AC⊥平面PB,D1; (2)若该几何体的体积为46，A1B1=3,AB=4,PA=2√6，求二面角P一BC-C1的正弦值 B D 数学（二）第3页（共4页） 衡水金卷 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=(x一2a)(2xlnx-x+2a). (1)讨论f(x)的单调性； (2)已知f(x)有三个零点x1,x2,x3,满足x1<x2<x3. (i)求a的取值范围； （)当a>号时，证明：x<十<2 19.(本小题满分17分) 已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线交C于A,B两点，过F且垂直于AB 的直线交C的准线l于点E,A,B在l上的射影分别为P,Q. (1)当p变化时，PE与EQ是否相等，若相等，给出证明；若不相等，举出一个反例； (2)若点G(a,2)在C上，且GF=2. (1)求C的方程； (iⅱ)求AE·BE的最小值， 先享题·调研卷 数学（二）第4页（共4页） B调研卷B 2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 调研卷B·数学（二） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V.数据处理能力 M.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ⅡⅢNVM①②③④⑤⑥档次系数 情境题，求一组离散型数据的 1 选择题 5 0.82 百分位数 2 选择题 5 由集合的运算求参 易 0.75 3 选择题 5 利用诱导公式知式求值 0.70 选择题 5 不等式与充要性的综合 中 0.65 选择题 5 求点的轨迹方程 中 0.60 选择题 5 与平面向量有关的情境题 中 0.55 由正弦型三角函数的单调性 7 选择题 5 L 中 0.32 求参 利用导数研究嵌套函数的 8 选择题 5 难 0.28 零点 9 选择题 6 复数性质的综合 中 0.60 0 以正方体为载体，空间位置关 选择题 6 √ 中 0.50 系与空间角的综合 11 选择题 6 难度大的函数新定义题 0.28 利用函数的奇偶性求值，涉及 12 填空题 5 易 0.72 分段函数 13 填空题 5 圆锥与圆柱的综合，求体积 中 0.55 14 填空题 5 椭圆与圆的综合 中 0.30 证明一个数列是等差数列，裂 15 解答题 13 中 0.60 项法求和 16 解答题 公 社会热点题，涉及全概率公 0.50 式，分布列和期望 调研卷B 数学（二） 以组合体为载体，线面垂直的 17 解答题 15 L 中 0.40 判定，求二面角的大小 以对数型函数为载体，研究含 18 解答题 17 参函数的单调性，其中一问涉 难 0.26 及极值点偏移 直线与抛物线的位置关系，探 19 解答题 17 0.22 究性问题 难 ·2· 调研卷B 数学（二） 参考答案及解析 数学（二） 一、选择题 1.D【解析】将这组数据从小到大进行排列，得到： 得e∈[-，-受]放选A 5.8,5.9,5.9,6.0,6.1,6.1,6.3,7×0.7=4.9,则取 8.B【解析】由题得，广(x)=x(x+2)e,当xG 第五个数，为6.1.故选D. (-∞，一2)时，f(x)>0,f(x)单调递增，当x∈ 2.C【解析】显然2a≠a十2，故a≠2.当a>2时，2a> (-2,0)时，f(x)<0,f(x)单调递减，当x∈(0，十∞) 4,2a任B,矛盾.故a<2,此时2a<a十2，故仅有三种 时，f(x)>0,f(x)单调递增，当x一-oo时，f(.x)→0； {十23易知只 情D22©2g®22 当x一→十oo时，f(x)一→十∞，绘制其简易图象如下所示， 且f-2)=专，方程2[f)]-(2a+1f)+a=0 有③符合题意，此时a=1.故选C 3.D【解析】由诱导公式可得sin0=号，因为0为第二 可因式分解为[f)-2]f)-a=0,由于是> 象限角，故cos0=-V-sm0=-气，放ang 合，故可知f()=之有三个解，故需使fx)=a有 sin0=_25.故选D. 一个不同的实数解，由图象可知此时>专或a=0. cos 0 5 故选B. 4.B【解析】由m3-n>e"-e",可得m3十e">n3十 e”,易得函数y=m3十e”单调递增，故m>n,即m一n >0,此时不能推出lg(m一n)>0,故充分性不成立， 同理可知当lg(m一n)>0时，m一n>1,故必要性成 立，故甲是乙的必要不充分条件.故选B. 5.A【解析】由题可得|PF,-|PF2|=6<8= |FF2|,根据双曲线的定义可知，动点P的轨迹为 双曲线的右支，且2a=6,2c=8,则a=3,c=4,所以 公=心-。=7，所以动点P的轨遮方程为号-苦-1 二、选择题 9.ABD【解析】对于A,设=a十bi,2=c十di,a,b, (x≥3).故选A. cd∈R,则&12=ac-bd+(ad+bc)i,|x12| 6.C【解析】显然AF=5×8=40,可得AB=60,而弧 AD的长为2x×5=10x,由10π=πXAE,可得AE √(ac-bd0+(ad+bc)=√ac+a+F2+d= 10,面E=号A店-A正心=A花+A店，显然A正. √a2+√c2十d=|11川x2,故|1号1=x1川z2 =1,故A正确；对于B,记1在复平面上对应的向量 A成=0，故.C-(号A店-A·(A+A 为OZ,2在复平面上对应的向量为OZ,由两点之 间线段最短可知1OZ+OZ,1≤OZ,1+1OZ21,即 名AB-A它=2300.故选C, |1十2≤1|十2，故B正确：对于C,取1=1， 3 7.A【解析】因为f(x)的最小正周期为π，所以T 2=i,=一i十1，此时两边无法比较大小，故C错 2红=，解得u=2,所以f(x)=3sin(2x十p),当x∈ 误；对于D,||=|3|=|2十3一2|≤|2十|十 |一2=2，故D正确.故选ABD. [g,受]时，2x+e[号+9+g],所以答+g 1O.ABD【解析】对于A选项，显然MN∥BD,BD∥ BD,故MN∥BD,于是M,N,B,D四点共面， x+9]=[-吾+2kx,受+2x],k∈Z.因为lp≤x 故A正确：对于B,注意到CM∥A:D,可知二者共 面，故不妨设D,M与A,C交于点Q,易知8 故当且仅当k=0时原式成立，有 ,解 MC 1 MP AD-2=PD,且Q在线段MD,上，故由平面 十≤受 几何知识可知P与Q重合，故P在AC上，故B正 数学（二） 参考答案及解析 确；对于C,显然由相似关系得A户=号AC,则A户 在零点当且仅当a>0(a≠1).(x)=e十ae a一1，设 A+号A衣-号+号i+专A,显然a在 f(.x)=0,则e2r=一a,故存在极值点当且仅当a<0 (a≠一1).因此，当f(x)存在零点时，f(x)不存在极 AA上的投影向量为}AA,故A泸·AA 值点，故D正确.故选AD. 三、填空题 A,而A护=√（号A+号i计号AA 12.-e- 5 【解析】由题意可得f(分)=(？) =√售A峦+号A市+号A 2=1AA1,故 =是，因为fx)为奇函数，故-2)=-f2) 1 cos(AP,AA)=- 品滑一子则直线AP与 AP.AA -6-2放-2+（号）=-e A41所成角的正弦值为2，故C错误：对于D,由 13.16v2 【解析】不妨设圆锥的底面半径为r,则圆 3 3 B可知直线AP与底面ABCD所成角即直线A:C 柱的底面半径为2r,由题意可知96π=π×(2r)2× 与底面ABCD所成角，显然该角的平面角为 6,解得r=2,故圆锥的高h=√62一=42，可知 ∠ACA面n∠ACA,=2=号故D正确，故 其体积V= 3πh=162 3π 选ABD. 14.9合【解析】由题得F(-1.0,直线MN的 3 方程为y=x+1,设M(x1,y1),N(x2,2),x1> y=x+1 工联立+y=解得0 y=1 P(O M0,1,N(-冬-号)：所以MN A 22 B 11.AD【解析】若f(x)=2x,存在非零实数a,使得 √(-言-0)+(-)-4号由题得，4 O),所以△MNF,内切圆的圆心I必在y轴上，设内 2x十a·2(-x)=x,即(2-2a)x=x对所有x成 立，故2-2a=1,即a=,故存在，即A正确：若 切圆的半径为，因为k,=胃=-1.所以MN f(x)=e,存在非零实数a,使得e'十ae=一e成 ⊥ME,所以(MN|+ME,+INF,)·r 立，即2e十aer=0,解得a=一2e2-,但a为常数， 而-2e2随x变化，故B错误；若g(x)=x为f(x) =号MN·M,.即号×4E,=×49× 3 的广义对称函数，则存在非零实数a使得f(x)十 a-x)=x取a=-1,f(x)=受+2，f(x) 区，解得=号，所以1(o1-号×)小，即 f(-)=(受+x）-(2+x）=x满足条件，但 o.号).所以am10--号 f八x)=乏十x同时存在零点与极值点，不满足题 意，故C错误；若g(x)=-e为f(x)的广义对称函 数，则存在非零实数a使得f(x)十af(一x)=一e2, 将x替换为-x得f(-x)+af(x)=一e,解方程 组心当。=1时，方程组 无解；当a=1时，当且仅当x=0时方程成立，此时 f0)=一子，)不存在零点.当a≠士1时，) 四、解答题 -e'tae-_e-ae- a二1.设/(x)=0则e2=a,放存 15.解：(1)由a+1-a十(anam+1)2=0,且am>0,等号 1-a2 两边同除以aa+1, ·2· 调研卷B 数学（二） 可得2-1+1=0. (3分) 即1-之=1 (4分) 因此，（位}是以品-1为首项1为公差的等差数 列 (5分) (2)由1)可得· =1+(n-1)×1=. (7分) 1 又因为am>0,故an= (9分) √n 1 (2)显然P0-VPA-(号AB)=4 1 所以b.= n√n+I 1 n+1 1 √n+I+√n 故棱锥的体积V=号×AB×P0= 3 (5分) √n, (11分) 设棱台的高为，则棱台的体积V:-冬(AB十 则S。=b十b2+…十bn=√2-1+(w3-√2)+…+ A置十ABXA)=号， (n+1-√m)=n+I-1. (13分) 16.解：(1)设事件A为“选到快充桩”，则事件A为“选 由g+号k=46,解得么=2 (7分) 到慢充桩”；事件B为“充电桩故障”，则事件B为 以O为坐标原点，OD.O心，P0的方向分别为x轴、y “充电桩正常” (1分) 轴、之轴正方向，建立空间直角坐标系Oxy2,(8分) 由题意可得P(A)=0.6,P(A)=0.4,P(BA)= 0.12,P(BA)=0.05, (3分) 则由全概率公式可得P(B)=P(A)P(BA)+ 0 P(A)P(BA)=0.6×0.12+0.4×0.05=0.092. (5分) (2)(1)由题意，P(X=0)=P(A)P(B1A)+P(A)· O P(BA). (6分) P(BA)=1-P(BA),P(BA)=1-P(B A), (7分) 故P(X=0)=0.6×(1-0.12)+0.4×(1-0.05)= 0.6×0.88+0.4×0.95=0.908. (9分) (i)P(X=1)=P(A)P(B|A)=0.6×0.12= 则C(0,22,0),B(-2√2,0,0)，P(0,0,-4), 0.072 (10分) P(X=2)=P(A)P(B1A)=0.4×0.05=0.02. C(o.3号2d-22,22.0.t=0,2E.4 (11分) cc=(o.号-2， (10分) 则X的分布列为： 记平面PBC与平面BCC,的法向量分别为n,= X 0 2 n1·BC=0 P 0.9080.0720.02 (x1,y,21),n2=（x2y2,）, n.PC=0' (12分) 即西+M=0 X的数学期望E(X)=0×0.908+1×0.072+2× y十√2x=0 0.02=0.112. (15分) 可取n1=(W2,-√2,1)， (12分) 17.解：(1)连接BD与AC交于点O,连接PO, n·BC= 则PO⊥平面ABCD, 。,即/+y=0 {m·CC=0'即{-222=0 又ACC平面ABCD,可知AC⊥PO (2分) 而AC⊥BD,PO∩BD=O, 可取n2=(-2√2,2√2,1). (13分) 记二面角P一BC一C的平面角为0， 由几何体的特征可知，POC平面PBD,BDC平 面PBD, 7=7√85 85 (14分) 故AC⊥平面PB,D. (4分) 则1-万X万 由0e[0,x],可知sin0=√1-co39=6y85 85 ·3· 数学（二） 参考答案及解析 即二面角P-BC-C的正弦值为6,8丽 (15分) 85 2(后-a)(层）-（层）一2h+ 18.解：(1)易得f(x)=2xlnx-x+2a+(x-2a)(2nx +1)=4xln z-4aln x=4(r-a)In x(x>0).(2) 2(层-n(层-）-2mh+2m 2 当a≤0时，x-a>0, x∈(0,1)时，f(x)<0,f(x)单调递减： 设=（后h(小-2+2后 x∈(1，+o∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增.(3分) 当a∈(0,1)时，x∈(0，a)时，(x)>0,f(x)单调 则=-2（层-小2-2 递增； x∈(a,l)时，f(x)<0,f(x)单调递减： 2[(后-]+ x∈(1，十∞)时，(x)>0,f(x)单调递增.(4分) 当a=1时，f(x)≥0，f(x)在(0，+∞)上单调递增. 当a∈(1，+o∞)时，x∈(0,1)时，f(x)>0,f(x)单 >-2 (14分) 调递增； x∈(1，a)时，f(x)<0,f(x)单调递减： 故a(在(0，后)止单调造增，又0<<是 x∈(a,十∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增. 综上，当a≤0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1， 则4h(层)=0： 十∞)上单调递增： 当0<a<1时，f(x)在(0，a),(1,+∞)上单调递增， 则（层-） 在(a,1)上单调递减： 当a=1时，f(.x)在(0，+o)上单调递增： L∠x √e 当a>1时，f(x)在(0,1)，(a,十∞)上单调递增，在 (1,a)上单调递减. (6分) 可得2一<， (2)(i)显然a>0且a≠1.注意到f(2a)=0, 故只需g(.x)=2xlnx-x十2a有两个不为2a的零 故x十x2> 2之2a= (16分) 点即可. 综上，x%<x1十x2<2x3 (17分) 而g'(x)=2lnx+1, (7分) 19.解：(1)|PE|=|EQ. (1分) 当(o后)时，g)<0,g)单调递减 证明如下：由抛物线的定义可知|AP|=AF, 所以△PAF为等腰三角形，所以∠APF=∠AFP, 当x(后+∞)时g(x>0g(x)单调递增 (2分) 由题可知AP⊥PE,EF⊥AB, (8分) 所以∠EPF=∠EFP, 放g(x)应在(0：后)与（后+∞）上各有一个 所以△PEF为等腰三角形，所以|PE=|EF|, (3分) 零点， 同理得到|EQ|=|EF, 则s()=2a是<0.即a(o)且g2a) 所以|PE=|EQ. (4分) 4aln2a≠0，a≠2. (9分) 当x→0时，g(x)>0,当x→十o∞时，g(x)>0, 故a的取值范围为(o,2)U(2,) (10分) (i)由(i)知0<a<1,且f(x)在(0，a),(1,+∞) 上单调递增，在(a,1)上单调递减， 则可得0<x<a<x2<1<xg, 则x1十x2<2x3显然成立. (13分) (2)(i)因为点G(a,2)在C上，且|GF|=2, 显然=2a,易知x12是g(x)的零点， 易知启是由的图象知>洁 所以。十号=2，解得子 (2pa=4 则（层-））=（层-）） 所以C的方程为y2=4x. (6分) (i)法一：由(i)可得F(1,0),准线1：x=-1, 调研卷B 数学（二） 由题可知直线AB的斜率不为0， 同理|BF|=1+cos0' 2 (15分) 设直线AB的方程为x=my+1,A(x1y), B(x2,y2) 则1AB=AF1+|BF|=O 4 联立得-加y一4=0… 所以AE·BE=号。·sm 8 △=16(m2+1)>0, sin0≥8， 所以y1+2=4m,y1y2=-4. (8分) 当且仅当0=乏时取等号， 由题可得P(-1,y1),Q(-1,y2), 所以|AE|·|BE的最小值为8. (17分) 所以m=-如= 法二：由(1)可得F(1,0),准线l:x=-1, 2 由题可知直线AB的斜率不为O, 所以km·k和=坐=二4=一1， 4 4 设直线AB的方程为x=my十1，A(,M), 则FP⊥FQ. (10分) B(x2y2), 由(1)可知E为PQ的中点， 所以EF=PQ1. 联立1得y广-y4=0 (11分) △=16(m2+1)>0, 设直线AB的倾斜角为0,0∈(0，π)， 所以y1十2=4m,y1y2=-4. (8分) 则1PQ1=ABIsin0.EF=号1 ABI sin0. 由题可得P(-1,y1),Q(-1,2), 由(1)可知E为PQ的中点， (12分) 所以E(-1.2）即-1,2m (11分) (yE-y)(yE-y2) 因为kA·km=1-1)(-1一2) 则|AE|·1BE|=√(x1+1)+(y-2m)· -(y1-y2)2 4(m十2)(my2+2) √(2+1)2+（为-2m)产=√(my+2)2+(y-2m) -[(y+y2)2-4yy2] ·√(m十2)2+(y2-2m月 =4m1为+2m(1+为)+4门 =√(m2+1)(y听+4)·√(m2+1)(+4) -16(m2+1)=-1, =(m2+1)√(yy2)2+4(+y)+16 16(m2+1) 所以AE⊥BE, =(2+1)√/32+4[(y+2)2-2yy2] 所以|AE·|BE|=|AB|·|EF|=|AB· =(m2+1)√64(m2+1)=8(m2+1)2≥8， ABI sin 0ABI'sin 0. 当且仅当m=0时取等号， (14分) 所以|AE·|BE的最小值为8. (17分) 因为|AF|=|AP|=2+|AF|cos0, 所以|AF=1-cos0 2 ·5·