热点02 方程与不等式7大题型（热点专练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

热点02 方程与不等式 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01 一元一次方程、二元一次方程组 题型02 一元二次方程、判别式、根与系数关系 题型03 分式方程、增根判定与检验 题型04 方程实际应用：面积、增长率、利润 题型05 一元一次不等式（组）求解 题型06 含参数不等式、方案选择问题 题型07 方程不等式综合小题 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：方程与不等式是江苏中考数学的核心计算模块，整体分值占比稳定在15-25分，是解答题的重要开篇模块，同时也是后续函数、几何综合题的计算基础，属于 “计算能力必争分” 的核心板块。 1.高频考点分布： · 一元一次方程/二元一次方程组：以基础解答题形式考查，常结合实际应用； · 一元二次方程：必考考点，涵盖解方程、根的判别式、根与系数关系，常以选择、填空、解答题形式出现； · 分式方程：必考考点，重点考查解方程、增根判定与检验，是江苏中考高频失分点； · 一元一次不等式（组）：以选择、填空、解答题形式考查，含参数不等式、方案选择是区分度考点。 2.命题特点： · 基础题以课本变式为主，侧重运算规范性与步骤完整性； · 实际应用题是高频考点，常结合增长率、利润、面积等生活场景，考查建模能力； · 含参数问题、综合小题成为区分度考点，侧重考查分类讨论与代数推理能力。 3.高频失分点： · 分式方程忘记检验，或误把使分母为0的根当作解； · 一元二次方程应用中忽略实际意义（如长度为正、人数为整数）； · 不等式两边同乘/除以负数时，忘记改变不等号方向； · 含参数不等式中，未考虑参数的正负与边界情况，导致漏解。 预测2026年：2026 年方程与不等式模块将继续保持稳定，更侧重核心素养与实际应用： 1.基础题难度不变，仍以解方程、解不等式的规范运算为主； 2.情境化应用题占比提升，将更多结合江苏本地经济、生活背景，考查建模能力； 3.含参数的方程/不等式问题、方案选择问题的区分度进一步增强，侧重考查分类讨论思想； 4.对运算规范性的要求进一步提高，如分式方程必须写检验步骤、应用题需作答并检验解的合理性。 题型01 一元一次方程、二元一次方程组 解｜题｜策｜略 ①一元一次方程：遵循 “去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1” 的步骤，注意去分母时每一项都要乘最小公倍数，去括号时漏乘、符号错误是高频失分点； ②二元一次方程组：优先用代入消元法（有系数为1的未知数时）或加减消元法（系数成倍数关系时），消元后转化为一元一次方程求解； ③解完后需代入原方程/方程组检验，确保解的正确性； ④实际应用中，优先设未知数，找等量关系列方程，解完后需检验解是否符合实际意义（如人数、物品数量为正整数）。 例1（2025·江苏连云港·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 例2（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为_______． 【变式1】（2026·江苏宿迁·一模）若，满足方程组，则的值为______． 【变式2】 （2026·山东枣庄·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为______． 【变式3】（2026·江苏无锡·一模）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国，乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲经过多少日与乙相逢？设甲经过日与乙相逢，可列方程为（   ） A． B． C． D． 题型02 一元二次方程、判别式、根与系数关系 解｜题｜策｜略 ：① 解一元二次方程：优先选择合适的方法，无特殊要求时，配方法、公式法、因式分解法均可，注意： · 因式分解法：适合易分解的方程，如ax2+bx+c=0可分解为(mx+n)(px+q)=0； · 公式法：通用方法，先化为一般形式ax2+bx+c=0，再用求根公式； ② 根的判别式：Δ=b2−4ac， · Δ>0：方程有两个不相等的实数根； · Δ=0：方程有两个相等的实数根； · Δ<0：方程无实数根；注意：一元二次方程需先确认二次项系数a≠0； ③ 根与系数关系（韦达定理）：对于ax2+bx+c=0(a≠0)，两根x1,x2，满足x1+x2=，x1x2=，常用于求代数式的值，注意前提是方程有实数根（Δ≥0）； ④ 含参数的一元二次方程，优先考虑二次项系数不为0，再结合判别式或韦达定理解题。 例1（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则____________． 例2（2025·江苏扬州·中考真题）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 例3（2025·江苏镇江·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____． 例4（2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________． 【变式1】（2026·江苏南通·模拟预测）已知a、b满足，则代数式的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．2 【变式2】（2026·江苏扬州·一模）若m是方程的一个根，则代数式的值为______． 【变式3】（2026·江苏泰州·一模）已知，是关于x的方程的两根，则的值为_______． 【变式4】（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则___________ 【变式4】（2026·江苏南京·模拟预测）计算、解方程： (1)； (2)． 题型03 分式方程、增根判定与检验 解｜题｜策｜略 ①解分式方程的核心步骤：, · 去分母：两边同乘最简公分母，转化为整式方程； · 解整式方程； · 检验：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母≠0，则是原方程的解；若最简公分母=0，则为增根，原方程无解； ②增根问题：先确定分式方程的增根（使分母为 0 的未知数的值），再将增根代入去分母后的整式方程，求参数的值； ③易错点：去分母时漏乘不含分母的项，或忘记检验，江苏中考中分式方程不写检验步骤会扣分； ④实际应用中的分式方程，除检验是否为增根外，还需检验解是否符合实际意义。 例1（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是____________． 例2（2025·江苏连云港·中考真题）解方程． 例3（2025·江苏扬州·三模）已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是____． 例4（2025·江苏宿迁·三模）解分式方程：． 【变式1】（2026·江苏无锡·一模）方程的解是：___． 【变式2】（2025·江苏南通·模拟预测）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是________． 【变式3】（2025·江苏南京·二模）（1）解方程：； （2）若关于x的方程无解，则a的值是 ． 【变式4】（2025·江苏常州·模拟预测）解下列方程、不等式组： (1)； (2)； 题型04 方程实际应用：面积、增长率、利润 解｜题｜策｜略 ① 通用步骤：审（找等量关系）→设（设未知数）→列（列方程）→解（解方程）→验（检验解的合理性）→答； ② 高频模型： · 增长率问题：a(1±x)n=b，其中a为初始量，x为增长率/降低率，n为增长次数，b为最终量； · 利润问题：利润=售价-成本，利润率=利润/成本×100%，总利润=单件利润×销量； · 面积问题：利用矩形、三角形等图形的面积公式，结合边长关系列方程，注意解需为正数且符合图形边长限制； ③ 解题关键：找准等量关系，用未知数表示出相关量，列方程后优先化简，再求解，避免复杂计算。 例1（2025·江苏南京·中考真题）某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？ 例2（2025·江苏宿迁·一模）疫情得到有效控制后，各大中小型企业复工复产在有序展开，经济开始复苏．阳光超市三月份的营业额为36万元，五月份的营业额为49万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 例3（2025·江苏南通·一模）甲乙两个正方形的面积和为10，按图1放置，阴影部分面积为8，则按图2放置，阴影部分面积为（   ） A． B． C．8 D．10 例4（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 【变式1】（2025·江苏南通·二模）某件商品原价1000元，连续两次都降价后售价为640元，则x的值为（    ） A．68 B．64 C．36 D．20 【变式2】（2025·江苏徐州·一模）如图①，一张长方形纸板的长为24，宽为12，将其剪掉四角并折叠成如图②的有盖长方体盒子，若该长方体盒子的底面积为32，求该长方体盒子的高． 【变式3】（2025·江苏常州·一模）某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售乌馒头的固定损耗为20元，且成本价为12元/盒． 销售单价x（元/盒） 15 13 日销售量y（盒） 500 700 (1)直接写出乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式并写出自变量的范围； (2)“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗，端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒定价多少元时，商店日销售纯利润为1480元． 【变式4】（2025·江苏宿迁·三模）近两年直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在网络平台上对一款成本价为120元的商品进行直播销售，如果按每件200元销售，每天可卖出40件．通过市场调查，该商品售价每降低1元，日销售量增加2件，设每件商品降价元． (1)每件商品降价元时，日销售量为______件： (2)若日销售盈利为4800元，为尽快减少库存，的值应为多少； (3)设日销售盈利为元，当为何值时，取值最大，最大值是多少？ 题型05 一元一次不等式（组）求解 解｜题｜策｜略 1 一元一次不等式：步骤与一元一次方程类似，注意两边同乘/除以负数时，不等号方向必须改变； ② 一元一次不等式组： · 分别解每个不等式； · 在数轴上表示解集，找公共部分； · 确定不等式组的解集，遵循 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到” 的原则； 2 易错点：解不等式时符号错误，或在数轴上表示解集时，空心圈与实心点混淆； ④ 求整数解时，先确定不等式组的解集，再找出范围内的整数，注意边界值是否包含在内。 例139．（2023·辽宁·中考真题）若有意义，则实数a的取值范围是________． 例2（2025·江苏南京·中考真题）解不等式组． 【变式1】（2026·江苏宿迁·一模）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【变式2】（2026·江苏宿迁·一模）不等式组的整数解之和为______． 【变式3】（2026·江苏扬州·一模）解不等式组，并写出它的所有整数解的和． 题型06 含参数不等式、方案选择问题 解｜题｜策｜略 1 含参数的一元一次不等式：先解出不等式的解集（含参数），再结合题目给出的解集或整数解的个数，列关于参数的不等式，求解参数的取值范围； ② 关键注意点： · 系数含参数时，需分情况讨论：系数> 0、系数< 0、系数= 0，避免漏解； · 整数解的个数问题，需结合数轴分析边界值，确定参数的临界条件； 2 方案选择问题：先根据题意列出不等式组，求出自变量的取值范围，再结合自变量为正整数的条件，找出所有可行方案，最后计算各方案的成本或利润，选择最优方案； ④ 解题核心：利用数轴直观分析解集，避免漏解或多解。 例1（2025·江苏扬州·三模）关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是____． 例2（2026·江苏南通·模拟预测）计算： (1) (2)若整数使得关于的不等式组有且仅有个整数解，且使关于的一元一次方程的解满足．求整数所有可能的值． (3)先化简，再求值：，其中整数满足． 例3（2026·江苏苏州·模拟预测）在一堂化学活动课前，李老师给同学们布置了一个任务：制作A、B两种化学分子的模型，每个化学分子的模型都需要用到小球和塑料管．老师演示了一下，用32个小球、26根塑料管可以制作2个分子模型与1个B分子模型，制作一个A分子模型需要的小球、塑料管数量比为，制作一个B分子模型需要的小球、塑料管数量比为，已知每根塑料管价格是每个小球价格的一半． (1)制作一个A，B分子模型分别需要小球、塑料管的数量各是多少？ (2)李老师说道：“上次的活动课上，我花费200元购得的塑料管数量比花320元购得的小球数量多了80．今天我路过文具商店的时候，看到了促销广告：‘每购买3个小球赠送1根塑料管，清理库存，数量有限！小球仅剩1760个，塑料管仅剩1404根．’我向学校申请了项目活动经费2050元采购小球和塑料管，全部用来制作化学分子模型，一个模型和一个模型为一套，至少需要制作65套才够用．”要使得购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套，请你们帮老师算一算，有几种采购方案？（要求：根据题意列出方程、不等式解决问题） 【变式1】（2025·江苏常州·二模）如果不等式的解集能使关于的一次不等式成立，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·江苏扬州·一模）若关于x的方程的解为正数，且使关于y的不等式组 的解集为，则符合条件的所有整数a的和为_____． 【变式3】（2025·江苏常州·一模）江苏省是中国重要的粮食生产基地，其大米产量在全国占据重要地位．经销商老杨购进了一批南粳1号大米和南粳2号大米进行销售，两种米的进价和价如下： 进价(元/公斤) 售价(元/公斤) 南粳1号 a 6 南粳2号 b 8 已知老杨购进400公斤南粳1号大米和100公斤南粳2号大米共需2000元；购进300公斤南粳1号大米和 200公斤南粳2号大米共需2250元． (1)求a，b的值； (2)若老杨购进两种粳米共320公斤，其中南粳2号大米的进货量不超过南粳1号大米进货量的3倍，且不低于南粳1号大米进货量的，设购进南粳1号大米x公斤，则老杨应该如何进货才能使全部售完后的销售利润y(元)最大?最大利润为多少元? 题型07 方程不等式综合小题 解｜题｜策｜略 这类题目常结合一元二次方程、分式方程、不等式组，考查知识的综合应用能力，解题时遵循以下步骤： 1 分步拆解，逐个解决：先解方程，再解不等式，最后结合条件综合分析； 2 注意各部分的限制条件：如一元二次方程的二次项系数不为0、分式方程的分母不为0、不等式的不等号方向； 3 含参数的综合题，先分别求出各部分参数的取值范围，再取公共部分； ④ 计算时优先化简，避免复杂运算，注意符号与步骤的规范性。 例1（2025·江苏徐州·中考真题）（1）解方程；     （2）解不等式组 例2（2026·江苏连云港·一模）某种直饮机上有温水、开水两个按钮，操作屏示意图如图所示，小明先接温水再接开水，打算接的水，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度）． 生活经验：饮水适宜温度是（包括与）． (1)若小明先接温水，则还需再接开水的时间为____； (2)设小明接温水的时间为， ①若最终杯子中水的温度是，求的值； ②若要使水杯中水的温度为饮水适宜温度，求的取值范围． 【变式1】（2026·江苏无锡·二模）解方程（不等式） (1)； (2)． 【变式2】（2025·辽宁盘锦·一模）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ （20分钟限时练） 1．（17-18七年级上·北京东城·期末）文化情境·数学文化中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”这道题的意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有辆车，则可列方程（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏南通·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏南通·模拟预测）已知：不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2025·江苏连云港·模拟预测）设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边为________． 5．（2025·江苏淮安·模拟预测）若关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 6．（2025·江苏苏州·模拟预测）若是方程的根，则代数式的值是______． 7．（2025·江苏连云港·模拟预测）计算 (1)计算： (2)解方程组： 8．（2025·江苏·一模）解方程：； 9．（2025·江苏·一模）解方程：． 10．（2025·江苏·一模）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 11．（2026·江苏无锡·一模）某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． (1)若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； (2)为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 12．（2026·江苏连云港·模拟预测）某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元． (1)求，两款帆布袋的单价分别为多少元． (2)某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点02 方程与不等式 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01 一元一次方程、二元一次方程组 题型02 一元二次方程、判别式、根与系数关系 题型03 分式方程、增根判定与检验 题型04 方程实际应用：面积、增长率、利润 题型05 一元一次不等式（组）求解 题型06 含参数不等式、方案选择问题 题型07 方程不等式综合小题 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：方程与不等式是江苏中考数学的核心计算模块，整体分值占比稳定在15-25分，是解答题的重要开篇模块，同时也是后续函数、几何综合题的计算基础，属于 “计算能力必争分” 的核心板块。 1.高频考点分布： · 一元一次方程/二元一次方程组：以基础解答题形式考查，常结合实际应用； · 一元二次方程：必考考点，涵盖解方程、根的判别式、根与系数关系，常以选择、填空、解答题形式出现； · 分式方程：必考考点，重点考查解方程、增根判定与检验，是江苏中考高频失分点； · 一元一次不等式（组）：以选择、填空、解答题形式考查，含参数不等式、方案选择是区分度考点。 2.命题特点： · 基础题以课本变式为主，侧重运算规范性与步骤完整性； · 实际应用题是高频考点，常结合增长率、利润、面积等生活场景，考查建模能力； · 含参数问题、综合小题成为区分度考点，侧重考查分类讨论与代数推理能力。 3.高频失分点： · 分式方程忘记检验，或误把使分母为0的根当作解； · 一元二次方程应用中忽略实际意义（如长度为正、人数为整数）； · 不等式两边同乘/除以负数时，忘记改变不等号方向； · 含参数不等式中，未考虑参数的正负与边界情况，导致漏解。 预测2026年：2026 年方程与不等式模块将继续保持稳定，更侧重核心素养与实际应用： 1.基础题难度不变，仍以解方程、解不等式的规范运算为主； 2.情境化应用题占比提升，将更多结合江苏本地经济、生活背景，考查建模能力； 3.含参数的方程/不等式问题、方案选择问题的区分度进一步增强，侧重考查分类讨论思想； 4.对运算规范性的要求进一步提高，如分式方程必须写检验步骤、应用题需作答并检验解的合理性。 题型01 一元一次方程、二元一次方程组 解｜题｜策｜略 ①一元一次方程：遵循 “去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1” 的步骤，注意去分母时每一项都要乘最小公倍数，去括号时漏乘、符号错误是高频失分点； ②二元一次方程组：优先用代入消元法（有系数为1的未知数时）或加减消元法（系数成倍数关系时），消元后转化为一元一次方程求解； ③解完后需代入原方程/方程组检验，确保解的正确性； ④实际应用中，优先设未知数，找等量关系列方程，解完后需检验解是否符合实际意义（如人数、物品数量为正整数）。 例1（2025·江苏连云港·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题，需根据两者相向而行，相遇时路程之和为全程（即1），再建立方程即可. 【详解】解：设相遇时间为天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为（全程/天）； 大雁从北海到南海需9天，故其速度为（全程/天）， ∴方程为， 故选：A 例2（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为_______． 【答案】1 【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值，利用加减消元法求出方程组的解，进而即可求解． 【详解】解： 得，， 解得， 将代入得，， 解得， 该方程组的解为， ∴，， ， 故答案为：1． 【变式1】（2026·江苏宿迁·一模）若，满足方程组，则的值为______． 【答案】 【分析】将方程组中的两个方程相加，再进行化简即可得出答案． 【详解】解：， ①＋②，得：， ∴， 即的值为． 【变式2】 （2026·山东枣庄·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为______． 【答案】4 【分析】将两个方程相加，可得，结合列出关于k的方程，即可求解． 【详解】解： 得，， ， ， ， 【变式3】（2026·江苏无锡·一模）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国，乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲经过多少日与乙相逢？设甲经过日与乙相逢，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将长安到齐国的总路程看作单位1，根据题意得到甲乙各自的行走时间和日行程，利用甲的行程加乙的行程等于总路程的等量关系列方程即可． 【详解】解：设总路程为单位1， ∵甲走完全程需要5日， ∴甲每日的行程为， 甲走了日， ∴甲的总行程为， ∵乙走完全程需要7日， ∴乙每日的行程为， 又∵乙先出发2日，甲出发日后相逢， ∴乙一共行走了日， ∴乙的总行程为， ∵甲、乙两人的行程和等于总路程1， ∴可得方程 ． 题型02 一元二次方程、判别式、根与系数关系 解｜题｜策｜略 ：① 解一元二次方程：优先选择合适的方法，无特殊要求时，配方法、公式法、因式分解法均可，注意： · 因式分解法：适合易分解的方程，如ax2+bx+c=0可分解为(mx+n)(px+q)=0； · 公式法：通用方法，先化为一般形式ax2+bx+c=0，再用求根公式； ② 根的判别式：Δ=b2−4ac， · Δ>0：方程有两个不相等的实数根； · Δ=0：方程有两个相等的实数根； · Δ<0：方程无实数根；注意：一元二次方程需先确认二次项系数a≠0； ③ 根与系数关系（韦达定理）：对于ax2+bx+c=0(a≠0)，两根x1,x2，满足x1+x2=，x1x2=，常用于求代数式的值，注意前提是方程有实数根（Δ≥0）； ④ 含参数的一元二次方程，优先考虑二次项系数不为0，再结合判别式或韦达定理解题。 例1（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则____________． 【答案】2 【分析】本题考查解一元二次方程，估算无理数的大小，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用配方法解出的方程后利用夹逼法求得正根在哪两个连续整数之间即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则， 故答案为：2． 例2（2025·江苏扬州·中考真题）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 例3（2025·江苏镇江·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，一元二次方程的，据此计算解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 例4（2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 【变式1】（2026·江苏南通·模拟预测）已知a、b满足，则代数式的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．2 【答案】A 【分析】设，将等式变形为，解方程即可． 【详解】设， 由，得， 化简得， 解得， 即． 【变式2】（2026·江苏扬州·一模）若m是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】运用整体思想求解，将代入原方程可得对应关系式，再对所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：把代入方程， 可得：， 整理得， 因此． 【变式3】（2026·江苏泰州·一模）已知，是关于x的方程的两根，则的值为_______． 【答案】9 【分析】先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：根据根与系数的关系可得：，， ∴ ． 【变式4】（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则___________ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：如果一元二次方程的两根为，，则． 根据根与系数的关系和方程的解得到，，，代入，并再将原式化简为，即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根分别是， ∴，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【变式4】（2026·江苏南京·模拟预测）计算、解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)，． 【分析】（1）先分别化简乘方、绝对值、二次根式、负整数指数幂，再加减即可求解； （2）根据一元二次方程的因式分解——十字相乘的解法即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， 或， 解得：，． 题型03 分式方程、增根判定与检验 解｜题｜策｜略 ①解分式方程的核心步骤：, · 去分母：两边同乘最简公分母，转化为整式方程； · 解整式方程； · 检验：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母≠0，则是原方程的解；若最简公分母=0，则为增根，原方程无解； ②增根问题：先确定分式方程的增根（使分母为 0 的未知数的值），再将增根代入去分母后的整式方程，求参数的值； ③易错点：去分母时漏乘不含分母的项，或忘记检验，江苏中考中分式方程不写检验步骤会扣分； ④实际应用中的分式方程，除检验是否为增根外，还需检验解是否符合实际意义。 例1（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是____________． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将原方程去分母后把代入解得的值即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 是该方程的解， ， 解得：， 当时，原分式方程有意义， 故答案为：． 例2（2025·江苏连云港·中考真题）解方程． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．利用解分式方程的步骤求解即可，注意验根． 【详解】解：去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 例3（2025·江苏扬州·三模）已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是____． 【答案】且 【分析】本题考查利用分式方程的解的情况求参数，掌握分式方程的解法是解题的关键． 先解分式方程可得，再根据解为正数，结合方程的增根建立关于的不等式组，求解即可． 【详解】解： 去分母，得， 解得：， 分式方程的增根为： ∵分式方程的解为正数， ∴， 解得：，且． 故答案为：且． 例4（2025·江苏宿迁·三模）解分式方程：． 【答案】原方程无解． 【分析】本题考查的是分式方程的解法，先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1，再检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得：， ∴， 解得：， 检验：将代入， ∴是原分式方程的增根，原方程无解． 【变式1】（2026·江苏无锡·一模）方程的解是：___． 【答案】 【分析】本题为分式方程求解问题，解题思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后，代入最简公分母检验，得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为，得 检验：当时， 因此是原分式方程的解． 【变式2】（2025·江苏南通·模拟预测）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式方程的求解方法以及根据方程解的取值范围确定参数取值范围的能力，同时要考虑到分式方程中分母不能为零这一重要条件．熟练掌握分式方程的求解步骤，以及能够根据题目条件准确列出关于参数的不等式组是解题的关键． 首先解给定的分式方程，将方程的解用含的表达式表示出来；然后根据方程的解为非负数这一条件，以及分式方程中分母不能为零的限制，列出关于的不等式组；最后求解这个不等式组，得到的取值范围． 【详解】解： ， ， ， ， ， ． ∵分式方程分母不能为，即，， ∴，． 又∵方程的解为非负数， ∴，． 综上，且． 故答案为：且． 【变式3】（2025·江苏南京·二模）（1）解方程：； （2）若关于x的方程无解，则a的值是 ． 【答案】（1）；（2）2 【分析】此题考查了解分式方程和分式方程的无解问题，熟练掌握解分式方程是关键． （1）去分母化为整式方程，解方程并检验即可； （2）根据分式方程无解的情况进行分析即可． 【详解】解：（1） 去分母得到， 解得， 当时，， ∴是分式方程的解； （2）∵， 方程两边同时乘以，得 ， ∴； 当时，无解，即关于的方程无解， 当时，， ∵原分式方程无解， ∴， 此时无解， ∴a的值是 故答案为： 【变式4】（2025·江苏常州·模拟预测）解下列方程、不等式组： (1)； (2)； 【答案】(1)方程无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程，解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）先去分母化为整式方程，再解整式方程，然后检验即可； （2）分别求每一个不等式的解集，再取解集的公共部分作为不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 解得：； 检验：时，， 是增根，该方程无解； （2）解：由， 解得：， 由， 去分母得：， 去括号得，， 解得：， 不等式组的解为： 题型04 方程实际应用：面积、增长率、利润 解｜题｜策｜略 ① 通用步骤：审（找等量关系）→设（设未知数）→列（列方程）→解（解方程）→验（检验解的合理性）→答； ② 高频模型： · 增长率问题：a(1±x)n=b，其中a为初始量，x为增长率/降低率，n为增长次数，b为最终量； · 利润问题：利润=售价-成本，利润率=利润/成本×100%，总利润=单件利润×销量； · 面积问题：利用矩形、三角形等图形的面积公式，结合边长关系列方程，注意解需为正数且符合图形边长限制； ③ 解题关键：找准等量关系，用未知数表示出相关量，列方程后优先化简，再求解，避免复杂计算。 例1（2025·江苏南京·中考真题）某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？ 【答案】A饮料每杯元，B饮料每杯8元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每杯饮料元，每杯饮料元，根据“小丽买了，饮料各1杯，用了元；小明买了3杯饮料和5杯饮料，用了元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设每杯饮料元，每杯饮料元， 根据题意得：， 解得：． 答：每杯饮料元，每杯饮料8元． 例2（2025·江苏宿迁·一模）疫情得到有效控制后，各大中小型企业复工复产在有序展开，经济开始复苏．阳光超市三月份的营业额为36万元，五月份的营业额为49万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率），如果设每月的平均增长率为，根据“五月份的营业额为49万元”，即可得出方程． 【详解】解：设每月的平均增长率为x，则可列方程为， 故选：D． 例3（2025·江苏南通·一模）甲乙两个正方形的面积和为10，按图1放置，阴影部分面积为8，则按图2放置，阴影部分面积为（   ） A． B． C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据已知图1可得，进而求出，再由甲乙两个正方形的面积和为10列方程求出当时，，即可求解． 【详解】解：甲乙两个正方形的边长分别为，，且 依题意得：， 由图1得：， ∴， ∴，（不合题意舍去） ∴， ∴， 解得：，， 当时，，， 当时，，不合题意舍去， 综上所述：按图2放置，阴影部分面积为8， 故选C． 例4（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 【答案】(1)款机器人的单价为5万元，款机器人的单价为4万元 (2)购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，根据用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买款机器人台，则购买款机器人台，根据购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，列出一元一次不等式，解得，再设购买成本为万元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：款机器人的单价为5万元，则款机器人的单价为4万元； （2）解：设购买款机器人台，则购买款机器人台， 根据题意得：， 解得：， 设购买成本为万元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 此时，， 答：购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台． 【变式1】（2025·江苏南通·二模）某件商品原价1000元，连续两次都降价后售价为640元，则x的值为（    ） A．68 B．64 C．36 D．20 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程．根据两次降价后的价钱为640元，列出方程，求解即可． 【详解】解：由题意可得，两次降价后的价格为：， 解得或（舍去）． 故选：D． 【变式2】（2025·江苏徐州·一模）如图①，一张长方形纸板的长为24，宽为12，将其剪掉四角并折叠成如图②的有盖长方体盒子，若该长方体盒子的底面积为32，求该长方体盒子的高． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该长方体盒子的高为，则该长方形盒子的底面为长，宽的长方形，根据该长方体盒子的底面积为32，即可得出关于一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】 解：设该长方体盒子的高为，则该长方形盒子的底面为长，宽的长方形， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又， ， ． 答：该长方体盒子的高为4． 【变式3】（2025·江苏常州·一模）某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售乌馒头的固定损耗为20元，且成本价为12元/盒． 销售单价x（元/盒） 15 13 日销售量y（盒） 500 700 (1)直接写出乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式并写出自变量的范围； (2)“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗，端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒定价多少元时，商店日销售纯利润为1480元． 【答案】(1) (2)当乌馒头每盒定价15元时，商店日销售纯利润为1480元 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键． （1）设乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式为，待定系数法即可求解； （2）根据销售量单价损耗费用销售总利润，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设函数表达式为，将，；，代入得： ， 解得：， ∵销售单价不低于成本价且不高于20元， ∴， ∴乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式为； （2）解：由题意得：， 解得：，， ∵顾客获得最大实惠， ∴， ∴当乌馒头每盒定价15元时，商店日销售纯利润为1480元． 【变式4】（2025·江苏宿迁·三模）近两年直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在网络平台上对一款成本价为120元的商品进行直播销售，如果按每件200元销售，每天可卖出40件．通过市场调查，该商品售价每降低1元，日销售量增加2件，设每件商品降价元． (1)每件商品降价元时，日销售量为______件： (2)若日销售盈利为4800元，为尽快减少库存，的值应为多少； (3)设日销售盈利为元，当为何值时，取值最大，最大值是多少？ 【答案】(1) (2)的值应为40； (3)当时，取最大值，最大值是5000． 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的解析式和方程是解题的关键． （1）根据售价每降低1元，日销售量增加2件列出对应的代数式即可； （2）根据利润（售价成本价）数量列出方程求解即可； （3）根据利润（售价成本价）数量列出关于x的二次函数关系，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，每件商品降价x元时，日销售量为件， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴， 解得， ∵为尽快减少库存， ∴的值应为40； （3）解：由题意得，， ， ∴当时，取最大值，最大值是5000． 题型05 一元一次不等式（组）求解 解｜题｜策｜略 1 一元一次不等式：步骤与一元一次方程类似，注意两边同乘/除以负数时，不等号方向必须改变； ② 一元一次不等式组： · 分别解每个不等式； · 在数轴上表示解集，找公共部分； · 确定不等式组的解集，遵循 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到” 的原则； 2 易错点：解不等式时符号错误，或在数轴上表示解集时，空心圈与实心点混淆； ④ 求整数解时，先确定不等式组的解集，再找出范围内的整数，注意边界值是否包含在内。 例139．（2023·辽宁·中考真题）若有意义，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义则被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 例2（2025·江苏南京·中考真题）解不等式组． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．熟练掌握该知识点是关键．分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得解． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得，． 原不等式组的解集为：． 【变式1】（2026·江苏宿迁·一模）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数为非负数． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：． 【变式2】（2026·江苏宿迁·一模）不等式组的整数解之和为______． 【答案】0 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，得到不等式组的解集，再找出解集范围内的整数解，计算整数解的和即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为 ∴不等式组的整数解为，，， ∴整数解之和为． 【变式3】（2026·江苏扬州·一模）解不等式组，并写出它的所有整数解的和． 【答案】，不等式组整数解的和为0 【分析】分别求出每一个不等式的解集，确定不等式组的解集，从而得出答案． 【详解】解：， 由①得： 由②得： ∴不等式组的解集为： ∴不等式组的整数解是：，， ∴不等式组整数解的和为． 题型06 含参数不等式、方案选择问题 解｜题｜策｜略 1 含参数的一元一次不等式：先解出不等式的解集（含参数），再结合题目给出的解集或整数解的个数，列关于参数的不等式，求解参数的取值范围； ② 关键注意点： · 系数含参数时，需分情况讨论：系数> 0、系数< 0、系数= 0，避免漏解； · 整数解的个数问题，需结合数轴分析边界值，确定参数的临界条件； 2 方案选择问题：先根据题意列出不等式组，求出自变量的取值范围，再结合自变量为正整数的条件，找出所有可行方案，最后计算各方案的成本或利润，选择最优方案； ④ 解题核心：利用数轴直观分析解集，避免漏解或多解。 例1（2025·江苏扬州·三模）关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元一次不等式，熟练掌握除以或乘以一个负数不等式符号改变这一知识点是解题的关键． 根据题意判断出，然后把其代入到，即可求出的解集． 【详解】解：∵不等式的解集为， ， ， ， ， 故答案为：． 例2（2026·江苏南通·模拟预测）计算： (1) (2)若整数使得关于的不等式组有且仅有个整数解，且使关于的一元一次方程的解满足．求整数所有可能的值． (3)先化简，再求值：，其中整数满足． 【答案】(1) (2)，，，， (3)， 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组有且仅有个整数解， ∴， 解得， ，得， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴整数所有可能的值为，，，，； （3）解：原式 ， ∵整数满足，且，，， ∴或， 当时，原式； 当时，原式． 例3（2026·江苏苏州·模拟预测）在一堂化学活动课前，李老师给同学们布置了一个任务：制作A、B两种化学分子的模型，每个化学分子的模型都需要用到小球和塑料管．老师演示了一下，用32个小球、26根塑料管可以制作2个分子模型与1个B分子模型，制作一个A分子模型需要的小球、塑料管数量比为，制作一个B分子模型需要的小球、塑料管数量比为，已知每根塑料管价格是每个小球价格的一半． (1)制作一个A，B分子模型分别需要小球、塑料管的数量各是多少？ (2)李老师说道：“上次的活动课上，我花费200元购得的塑料管数量比花320元购得的小球数量多了80．今天我路过文具商店的时候，看到了促销广告：‘每购买3个小球赠送1根塑料管，清理库存，数量有限！小球仅剩1760个，塑料管仅剩1404根．’我向学校申请了项目活动经费2050元采购小球和塑料管，全部用来制作化学分子模型，一个模型和一个模型为一套，至少需要制作65套才够用．”要使得购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套，请你们帮老师算一算，有几种采购方案？（要求：根据题意列出方程、不等式解决问题） 【答案】(1)制作一个A分子模型需要小球10个，塑料管8根，制作一个B分子模型要小球12个，塑料管10根 (2)共有四种方案可选择 【分析】（1）设制作一个分子模型需要小球个，塑料管根，制作一个分子模型要小球个，塑料管根，根据用32个小球、26根塑料管可以制作2个分子模型与1个分子模型，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设塑料管的价格是元/根，则小球的价格是元/个，根据花费200元购得的塑料管数量比花320元购得的小球数量多80，列出方程式得出塑料管的单价，小球的单价；设采购材料能制作出套模型，则需要用去个小球，根塑料管，根据向学校申请了项目活动经费2050元采购小球和塑料管，列出一元一次不等式，再由题意列出一元一次不等式组，解不等式组进而得出，即可解决问题． 【详解】（1）解：设制作一个分子模型需要小球个，塑料管根，制作一个分子模型要小球个，塑料管根，由题意，得： ， 解得， 答：制作一个分子模型需要小球10个，塑料管8根，制作一个分子模型要小球12个，塑料管10根； （2）解：设塑料管的单价是a元/根，小球的单价是元/个，根据题意得： 解得． 经检验：是原方程的解． 塑料管的单价是元/根，小球的单价是1元/个． 设采购材料能制作出套模型，需要用去个小球，根塑料管． 根据促销活动内容，每购买3个小球赠送1根塑料管， ， 解得． ∵小球仅剩1760个，塑料管仅剩1404根， ∴， 解得， ∴． 至少需要制作65套才够用， ． 综上，． 购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套， 是整数且是正整数， ∵22与3互质， ∴必须是3的倍数， ，69，72，75． 共有四种方案可选择． 【变式1】（2025·江苏常州·二模）如果不等式的解集能使关于的一次不等式成立，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得到关于的不等式是解此题的关键．先求出不等式的解集，再根据不等式用表示出的取值范围，由 即可求出的取值范围． 【详解】解：不等式的解集是， 不等式的解集是， 不等式的解集能使关于的一次不等式成立， ， 解得：， 故选：C． 【变式2】（2025·江苏扬州·一模）若关于x的方程的解为正数，且使关于y的不等式组 的解集为，则符合条件的所有整数a的和为_____． 【答案】5 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集，考核学生的计算能力，注意分式方程一定要检验．解分式方程，检验根得出的范围；根据分式方程的解为正数，列出不等式求得的范围；解不等式组，根据解集为，得出的范围；根据为整数，得出的值，最后求和即可． 【详解】解：分式方程的两边都乘以得：， 解得， ， ， ， 方程的解为正数， ， 且； ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， ． 且 整数的和为； 故答案为：5． 【变式3】（2025·江苏常州·一模）江苏省是中国重要的粮食生产基地，其大米产量在全国占据重要地位．经销商老杨购进了一批南粳1号大米和南粳2号大米进行销售，两种米的进价和价如下： 进价(元/公斤) 售价(元/公斤) 南粳1号 a 6 南粳2号 b 8 已知老杨购进400公斤南粳1号大米和100公斤南粳2号大米共需2000元；购进300公斤南粳1号大米和 200公斤南粳2号大米共需2250元． (1)求a，b的值； (2)若老杨购进两种粳米共320公斤，其中南粳2号大米的进货量不超过南粳1号大米进货量的3倍，且不低于南粳1号大米进货量的，设购进南粳1号大米x公斤，则老杨应该如何进货才能使全部售完后的销售利润y(元)最大?最大利润为多少元? 【答案】(1) (2)购进南粳1号大米200公斤，南粳2号大米120公斤时，全部售完后的销售利润最大，最大为740元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准不等量关系，正确列出一元一次不等式组；（3）灵活运用一次函数的性质求最值． 设南粳1号大米的进价是a元，南粳2号大米价是b元，根据购进400公斤南粳1号大米和100公斤南粳2号大米共需2000元；购进300公斤南粳1号大米和 200公斤南粳2号大米共需2250元，列出二元一次方程组，解方程组即可； 设购进南粳1号大米x公斤，则购进南粳2号大米价公斤，根据题意，得，，设销售的总利润为W元，则，根据一次函数的增减性求最值即可． 【详解】（1）解：设南粳1号大米的进价是a元，南粳2号大米价是b元， 由题意得：， 解得：， 答：南粳1号大米的进价是元，南粳2号大米价是6元． （2）解：设购进南粳1号大米x公斤，则购进南粳2号大米价公斤， 根据题意，得：， 解得， 设销售的总利润为W元，则， 由y随x的增大而增大，得当时，利润最大，最大为740元． 购进南粳1号大米200公斤，南粳2号大米120公斤时，全部售完后的销售利润最大，最大为740元． 答：购进南粳1号大米200公斤，南粳2号大米120公斤时，全部售完后的销售利润最大，最大为740元． 题型07 方程不等式综合小题 解｜题｜策｜略 这类题目常结合一元二次方程、分式方程、不等式组，考查知识的综合应用能力，解题时遵循以下步骤： 1 分步拆解，逐个解决：先解方程，再解不等式，最后结合条件综合分析； 2 注意各部分的限制条件：如一元二次方程的二次项系数不为0、分式方程的分母不为0、不等式的不等号方向； 3 含参数的综合题，先分别求出各部分参数的取值范围，再取公共部分； ④ 计算时优先化简，避免复杂运算，注意符号与步骤的规范性。 例1（2025·江苏徐州·中考真题）（1）解方程；     （2）解不等式组 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查解一元二次方程，解一元一次不等式组． （1）利用配方法求解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：（1）， 移项，得， 配方，得，即， 开平方，得， 解得， 即， （2） 解不等式，得：， 解不等式，得：， 因此该不等式组的解集为：． 例2（2026·江苏连云港·一模）某种直饮机上有温水、开水两个按钮，操作屏示意图如图所示，小明先接温水再接开水，打算接的水，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度）． 生活经验：饮水适宜温度是（包括与）． (1)若小明先接温水，则还需再接开水的时间为____； (2)设小明接温水的时间为， ①若最终杯子中水的温度是，求的值； ②若要使水杯中水的温度为饮水适宜温度，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）设需再接开水的时间为．根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （2）①由题意知温水体积为，开水体积为，设水杯中水的温度为，根据题意得出与的关系式，再代入数据即可求解； ②根据饮水适宜温度是，结合①中的与的关系式，列出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设需再接开水的时间为． 根据题意，得， 解得． 答：需再接开水的时间为． （2）解：①由题意，知温水体积为，开水体积为， 设水杯中水的温度为，由题意， ∴， ∴当时． 解得： ②∵饮水适宜温度是， ∴， 解得． 【变式1】（2026·江苏无锡·二模）解方程（不等式） (1)； (2)． 【答案】(1) (2)不等式组的解集为 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程，按步骤配方后开方即可得到结果； （2）分别求解不等式组中两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可得到不等式组的最终解集． 【详解】（1）解：解方程 移项得 配方得 即 开方得 解得． （2）解：解不等式组 解第一个不等式 移项得 系数化为1得 解第二个不等式 去分母得 去括号得 移项合并得 系数化为1得 所以不等式组的解集为． 【变式2】（2025·辽宁盘锦·一模）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 【答案】(1)A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元 (2)此次购进至少要花元钱 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用． （1）设购进A种哪吒玩偶的单价是x元，则购进B种哪吒玩偶的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合购进两种玩偶的数量共15个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即购进A种哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出购进B种哪吒玩偶的单价； （2）设购进A种哪吒玩偶个，则购进B种哪吒玩偶个，根据购进A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元，利用总价=单价×数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设A种哪吒玩偶的单价为元，则B种哪吒玩偶的单价为元． 根据题意，得： 解得： 经检验：是原分式方程的解 B种：元 答：A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元． （2）解：设购进A种哪吒玩偶个，则购进B种哪吒玩偶个 根据题意，得： 解得： 设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元， 花费 整理，得： ∵，当时，随的增大而减小 ∴当时，取得最小值，最小值元 答：此次购进至少要花元钱． （20分钟限时练） 1．（17-18七年级上·北京东城·期末）文化情境·数学文化中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”这道题的意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有辆车，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系并列出方程是解题的关键． 本题包含的等量关系为总人数不变，故可设有辆车，根据总人数列方程即可． 【详解】解：设有辆车． 每 3 人乘一车，剩余 2 辆车， 总人数为； 每 2 人乘一车，剩余 9 人无车， 总人数为； ． 故选：． 2．（2025·江苏南通·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，其根的判别式求解即可． 本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：， ， 解得． 故选：D． 3．（2025·江苏南通·模拟预测）已知：不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及一元一次方程的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．求出不等式的解集，确定出最小整数解，代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：不等式去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 不等式最小整数解为， 把代入方程得：，即， 整理得：， 解得：． 故选：． 4．（2025·江苏连云港·模拟预测）设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边为________． 【答案】 【分析】本题考查换元法，解一元二次方程，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．通过换元法，设 ，将原方程转化为一元二次方程求解，得到 ，再根据勾股定理得出斜边长． 【详解】解：设 ， 则原方程化为 ， 即 ， ， 解得 或 ， 由于 ，故舍去 ， ∴， 在直角三角形中，斜边长的平方等于两直角边的平方和， 故斜边长为． 故答案为 ． 5．（2025·江苏淮安·模拟预测）若关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义；利用一元二次方程的根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：一元二次方程的判别式为，其中，，， 代入得． 由于方程有两个不相等的实数根， 故，即， 解得． 故答案为：． 6．（2025·江苏苏州·模拟预测）若是方程的根，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义、整体代入法求代数式值、分式的混合运算等知识，根据题中所给代数式的结构特征，结合已知条件，恒等变形代值求解即可得到答案，熟练掌握分式混合运算法则化简求值是解决问题的关键． 【详解】解：是方程的根， ，即， ， 故答案为：． 7．（2025·江苏连云港·模拟预测）计算 (1)计算： (2)解方程组： 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据算术平方根的定义、零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值的性质分别化简，再相加减即可； （）利用加减法解答即可； 本题考查了实数的混合运算，解二元一次方程，正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， ，得， 将代入①，得， ∴， ∴方程组的解为． 8．（2025·江苏·一模）解方程：； 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程求解方法和解题步骤是解题的关键．通过去分母转化为整式方程，即可求解． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 9．（2025·江苏·一模）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．先把方程化为可得，再利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 10．（2025·江苏·一模）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式组，涉及一元一次不等式的解法、用数轴表示不等式组解集的方法，熟练掌握一元一次不等式的解法及数轴表示是解决问题的关键；先分别解出不等式组的两个不等式，再根据不等式组解集的求法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”求出解集，在数轴上表示即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得 ； 解不等式②得 ； 故原不等式组的解集为． 在数轴上表示出不等式组的解集，如图所示： ． 11．（2026·江苏无锡·一模）某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． (1)若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； (2)为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，，围成这样的矩形养殖区符合题意 (2)面积不能达到，见解析 【分析】（1）设，则，根据“养殖区的面积计划为”列方程求解即可； （2）设，则，，根据题意列出一元二次方程，然后利用判别式判断即可． 【详解】（1）解：设，则． 由题意得：． 解得，． ，即， ∴， ， ∴， ∴，，围成这样的矩形养殖区符合题意； （2）解：设，则，， 由题意得：， 整理得， ， 方程无解， ∴面积不能达到． 12．（2026·江苏连云港·模拟预测）某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元． (1)求，两款帆布袋的单价分别为多少元． (2)某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)两款帆布袋的单价分别为8元和5元 (2)当购买款帆布袋4个，款帆布袋8个时，总费用最低，最低费用是72元 【分析】本题主要考查一次函数的应用，二元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是列出与的一次函数． （1）设，两款帆布袋的单价分别为元，元，根据题意列出方程组，解得即可； （2）设购买款帆布袋件，则购买款帆布袋 件，根据题意列不等式，求得的取值范围，设总费用为元，写出与的一次函数，再根据一次函数的性质即可作答． 【详解】（1）解：设，两款帆布袋的单价分别为元，元， 由题意得：， 解得：， ，两款帆布袋的单价分别为8元和5元； （2）解：设购买款帆布袋个，则购买款帆布袋个，设总费用为元， ， ， 随的增大而增大． 购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的， ， 且为正整数， 当时，有最小值，最小值为， 此时， 购买，两款帆布袋分别为4个和8个时，总费用最低，最低费用为72元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $