命题大赛 新疆乌鲁木齐2025-2026学年高一下学期阶段测试数学试题

**基本信息** 涵盖向量、复数、立体几何、解三角形等模块，以水晶切割、山顶测量等现实情境为载体，突出空间观念与运算能力考查，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|向量运算、复数模、立体几何位置关系、解三角形|第5题水晶切割结合空间几何体表面积，体现数学眼光观察现实世界| |多选题|3题|向量概念、解三角形与向量综合、正方体截面与线面角|第11题正方体截面周长计算，考查空间想象与推理能力| |填空题|3题|解三角形、向量共线、实际距离最值|第14题乌鲁木齐道路距离问题，培养模型意识与应用能力| |解答题|5题|复数分类、立体几何体积与证明、三角函数与向量综合|第19题三角函数图象变换与最值，综合考查运算与逻辑推理|

阶段测试卷 一、单选题 1．已知平面向量，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量满足，则的夹角（   ） A． B． C． D． 3．若复数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 4．已知是两个平面，是两条直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品．如图所示，现有棱长为的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成饰品，则该饰品的表面积为（   ） A． B． C． D． 6．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得在A的南偏东的方向上，在A的南偏东的方向上，在点测得在的南偏西的方向上，在的南偏东的方向上，且，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，矩形中，分别为边上的动点，且.则的最小值为（    ） A．8 B．16 C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的是（   ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的长度都为0 D．两个单位向量的长度相等 10．在中，，是的中点，则（   ） A． B． C． D． 11．如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（   ） A．若是的中点，则直线与是异面直线 B．由，C，E三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 C．与平面BCE所成角为 D．三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题 12．已知的角A，B，C对应的边为a，b，c，且，则_______． 13．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N．设，求的值 A C 北京路 Dv 喀什东路 P 14、乌鲁木齐北京路和喀什东路所在直线的交汇点记为点A，且两线夹角为75°，点C在北京路上，点D在喀什东路上，且， P点如图所示，其中，，求AP距离的最大值 。 四、解答题 15．已知复数，． (1)若z为实数，求x的值； (2)若z为虚数，求x的取值范围； (3)若z为纯虚数，求x的值． 16．如图，长方体中，，点P为的中点. (1)求三棱锥的体积. (2)求证：直线平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值； 17．已知，． (1)求； (2)当时，求实数的值． 18．已知内角的对边分别为，且满足 (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 19．设向量． (1)求的单调减区间； (2)在中，若角A满足，且边，求三角形周长的最大值； (3)将图象向右平移个单位，向下平移个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有30个最大值，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段测试卷 整体难度：一般 考试范围：平面向量,复数,空间向量与立体几何,三角函数与解三角形 试卷题型 题型 数量 单选题 8 多选题 3 填空题 3 解答题 5 试卷难度 难度 题数 容易 4 较易 4 适中 10 较难 1 细目表分析 题号 难度系数 详细知识点 一、单选题 1 0.9 由向量共线（平行）求参数 2 0.95 向量夹角的计算 3 0.92 共轭复数的概念及计算；复数代数形式的乘法运算 4 0.65 线面关系有关命题的判断；面面关系有关命题的判断 5 0.77 求组合多面体的表面积 6 0.65 余弦定理边角互化的应用；特殊角的三角函数值；余弦定理解三角形 7 0.65 距离测量问题 8 0.65 向量加法法则的几何应用；向量与几何最值 二、多选题 9 0.85 向量的模；零向量与单位向量 10 0.8 向量加法的法则；向量减法的法则 11 0.42 求线面角；球的表面积的有关计算；异面直线的判定；多面体与球体内切外接问题 三、填空题 12 0.85 余弦定理边角互化的应用；正弦定理边角互化的应用； 13 0.6 平面向量、不等式 14 0.45 正、余弦定理的实际应用 四、解答题 15 0.94 复数的基本概念；已知复数的类型求参数 16 0.71 锥体体积的有关计算；证明线面平行；求异面直线所成的角；余弦定理解三角形 17 0.83 空间向量的坐标运算；空间向量平行的坐标表示 18 0.65 三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形 19 0.52 求sinx型三角函数的单调性；求图象变化前（后）的解析式；数量积的坐标表示；求三角形中的边长或周长的最值或范围；正弦函数图象的应用 知识点分析 序号 知识点 对应题号 1 平面向量 1,2,8,9,10,13,17,19 2 复数 3,15, 3 空间向量与立体几何 4,5,11,16 4 三角函数与解三角形 6,7,12,14,18,19 难度分布 容易 较易 适中 较难 21.05 21.05 52.63 5.26 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段测试卷 一、单选题 1．已知平面向量，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量满足，则的夹角（   ） A． B． C． D． 3．若复数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 4．已知是两个平面，是两条直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品．如图所示，现有棱长为的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成饰品，则该饰品的表面积为（   ） A． B． C． D． 6．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得在A的南偏东的方向上，在A的南偏东的方向上，在点测得在的南偏西的方向上，在的南偏东的方向上，且，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，矩形中，分别为边上的动点，且.则的最小值为（    ） A．8 B．16 C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的是（   ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的长度都为0 D．两个单位向量的长度相等 10．在中，，是的中点，则（   ） A． B． C． D． 11．如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（   ） A．若是的中点，则直线与是异面直线 B．由，C，E三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 C．与平面BCE所成角为 D．三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题 12．已知的角A，B，C对应的边为a，b，c，且，则_______． 13．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N．设，求的值 14、乌鲁木齐北京路和喀什东路所在直线的交汇点记为点A，且两线夹角为75°，点C在北京路上，点D在喀什东路上，且， P点如图所示，其中A C 北京路 Dv 喀什东路 P ，求AP距离的最大值。 四、解答题 15．已知复数，． (1)若z为实数，求x的值； (2)若z为虚数，求x的取值范围； (3)若z为纯虚数，求x的值． 16．如图，长方体中，，点P为的中点. (1)求三棱锥的体积. (2)求证：直线平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值； 17．已知，． (1)求； (2)当时，求实数的值． 18．已知内角的对边分别为，且满足 (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 19．设向量． (1)求的单调减区间； (2)在中，若角A满足，且边，求三角形周长的最大值； (3)将图象向右平移个单位，向下平移个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有30个最大值，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年4月27日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C D D C C B ACD ABD 题号 11 答案 BD 1．C 【详解】，， 因为， 所以，解得. 2．B 【详解】由， 因为， 所以. 3．C 【详解】复数，则，所以. 4．D 【详解】若，则或，A错误； 若，，所以或，B错误； 若，直线只垂直于平面内的一条直线，无法得到，C错误； ，则平面内存在直线l与直线平行，则，可得,D正确. 5．D 【详解】原正方体棱长为，裁去八个相同的四面体时，切割点应该为正方体各棱的中点， 每个面切掉四个角后，剩余一个边长为的小正方形， 则六个小正方形面的面积和为： 而切掉正方体的个顶点后，每个切口新增一个边长为的正三角形， 则八个正三角形面的面积和为， 所以该饰品的表面积为. 6．C 【分析】由余弦定理的推论将化成边的关系，化简整理，再根据余弦定理的推论得，从而求得. 【详解】由余弦定理的推论，结合， 得， 整理得，所以. 所以. 因为，所以. 7．C 【分析】依据图形求得角度，然后利用正弦定理得到，最后使用余弦定理计算即可. 【详解】由题可知：， 所以， 所以在中，, 在中， 在中，. 故选：C 8．B 【分析】取线段的中点，连接、、，可得出，结合向量模的三角不等式可求得的最小值. 【详解】取线段的中点，连接、、，如下图所示：    因为，所以， 因为四边形为矩形，则， 因为， 所以， 当且仅当与方向相反时，等号成立，故的最小值为. 9．ACD 【分析】根据题意，由向量的概念逐一判断，即可得到结果. 【详解】向量与向量互为相反向量，所以模长相等，故A正确； 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误； 零向量的模都是0，故C正确； 单位向量的长度都是1，故D正确； 故选：ACD 10．ABD 【详解】A选项，由向量加法的三角形法则，，A正确； B选项，由向量的减法法则，，B正确； C选项，，C错误； D选项，，D正确； 11．BD 【分析】A应用正方体的结构特征及平行线的传递性判断；B由平面的基本性质画出截面图，并确定其形状，进而求出截面图形的周长判断；C利用线面垂直的性质判断与CE是否垂直即可；D构建合适的空间直角坐标系，标注相关点坐标并求出球心坐标，进而求出外接球的半径，即可得. 【详解】A，若为的中点，则，， 所以为平行四边形，则， 又，，则为平行四边形， 所以，故，故A错误； B，如图，过，C，E三点确定的平面与正方体相交形成的截面为等腰梯形， 其中F为的中点（平行则四点共面），则等腰梯形的周长为，B正确. C，， 与不垂直，且平面， 若平面，必有，矛盾，C错误； D，以A为原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 设外接球的球心为，则 ， ， ， 联立可得，，， ，，D正确. 12．/30° 【详解】由正弦定理， ， 代入得： ， 由余弦定理得， ， ． 13. 4 【分析】利用平面向量基本定理表示出，列方程组即可求解. 【详解】因为点O是BC的中点， 所以. 而M、N、O三点共线，所以 ， 则有1，故。 14. A C 北京路 Dv 喀什东路 P 【详解】设∠CDA=θ 所以当θ=45°时， 15．(1) (2) (3)． 【分析】（1）（2）（3）利用复数有相关概念列式求解. 【详解】（1）由z为实数，得，所以. （2）由z为虚数，得，解得， 所以x的取值范围为. （3）由z为纯虚数，得且，所以. 16．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据棱锥的体积公式即可求解； （2）由中位线性质可证，然后再根据线面平行的判断定理即可证明； （3）首先证明直线与所成角是或其补角，然后通过勾股定理计算， 最后根据余弦定理即可求解. 【详解】（1）. （2）设，连接， 因，且为长方体， 则四边形为正方形，故为线段中点， 因点P为的中点，则为的中位线，则， 又平面，平面，则平面. （3）连接，由（1）可知，则直线与所成角是或其补角， 因，点P为的中点， 则，， 在中，， 在中，， 在中，， 在中由余弦定理得，， 故直线与所成角的余弦值为. 17．(1)2 (2)0 【分析】（1）根据空间向量的加减运算法则，先求出与的坐标，再利用空间向量数量积的坐标运算公式，计算它们的数量积即可； （2）根据两向量平行的坐标表示，设存在实数使得 ，根据对应坐标相等列方程组，求解参数即可． 【详解】（1）， ， ． （2），， 因为 ，所以存在实数，使得， ，解得 是唯一解，故 ． 18．(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理，移项得. 已知，所以，故. 因为，所以 （2）三角形面积 又由，当时，. 由，得. 故，于是. 当时取等号，所以面积最大值为 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）由数量积的坐标表示及辅助角公式得到，再通过整体代入即可求解； （2）由（1）求得，再由余弦定理及基本不等式求得范围，即可求解； （3）由伸缩平移变换得到，结合正弦函数轴右侧及左侧第15个最大值点构造不等式求解即可. 【详解】（1） 由， 解得， 所以的单调减区间为． （2）由， 所以，所以，所以， 根据余弦定理，， 则 得，当且仅当取等， 所以周长最大值为. （3）将图象向右平移个单位，向下平移个单位， 可得：，再将其图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍 可得：，因为， 又在轴右侧的第15个最大值点为， 在轴左侧的第15个最大值点为， 所以，又，解得：. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $