精品解析：广东东莞市第十三高级中学等校2025-2026学年第二学期期中质量检测试卷高二数学

2025-2026学年第二学期期中质量检测试卷 高二年级数学试卷 命题人：覃蓉翠 审题人：吴敏彤 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 计算（ ） A. 20 B. 90 C. 120 D. 180 【答案】A 【解析】 【详解】. 2. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式及复合函数的求导法则即可求解. 【详解】由基本初等函数的导数公式，有，，， AB选项错误，C选项正确； 由复合函数的求导法则，有，D选项错误． 3. 某班班会从甲、乙等6名学生中选3名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的选法为（ ） A. 32 B. 20 C. 16 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】利用组合数和对立事件来解决选取问题即可. 【详解】利用对立事件思想： 从6名同学中任选3名同学共有种方法， 这3名同学中没有甲乙同学的共有种方法， 所以甲乙至少有一人参加的不同选法有种方法， 故选：C. 4. 如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则（ ） A. B. 2 C. 0 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】根据图像得，点，切线斜率为，，则. 5. 设＜b,函数的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，由得，∴当时，取极大值0，当时取极小值且极小值为负．故选C． 6. （1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为 A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数． 【详解】由题意得x3的系数为，故选A． 【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数． 7. 一袋中装有除颜色外完全相同的5个红球和2个白球，如果不放回地依次取2个小球.在第1次取到红球的条件下，第2次取到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设“第1次摸到红球”，“第2次摸到红球”，分别得到和，根据条件概率公式求解即可. 【详解】在这2次摸球过程中，设“第1次摸到红球”，“第2次摸到红球”， 则， ， 所以 8. 已知，：函数在区间上存在最大值，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数分析得的单调性，则得到不等式组，解出的范围，再根据必要不充分条件的判断即可得到答案. 【详解】， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 且. 若在区间上存在最大值，则该区间须包含极大值点， 且极大值不小于区间右端点的函数值（否则函数在该区间没有最大值），即， 由得，即，分解因式得，解得， 联立，解得， 又因为是的真子集， 是的必要不充分条件. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的按比例得分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，那么 B. C. 分配6本不同的书，平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本共有90种不同的分配方法 D. 分配6本不同的书，分成3份，1份4本，另外2份每份1本共有30种不同的分配方法 【答案】ABC 【解析】 【详解】选项A.，整理得，解得正整数，A正确. 选项B. ，， 则，B正确. 选项C.6本不同的书分给不同的甲、乙、丙三人，每人2本.先给甲选2本，再给乙选2本，剩余给丙， 总方法数，C正确. 选项D.分成3份（无序），1份4本，另两份各1本，则总方法数，D错误. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，令可求；B选项令可求；C选项，令可求；D选项，把和时的展开式相加可求. 【详解】令，得，故A错误； 令，得，故B正确； 令，得，故C正确； 将与这两式的左右两边分别相加， 得，解得，故D错误. 故选：BC. 11. 三次函数的性质，下列说法正确的是（　　） A. 函数在处的切线方程为 B. 的极小值点为 C. 当时，方程有三个实根 D. 的图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：求导，根据导数的几何意义求切线方程；对于B：利用导数判断函数的单调性和极值点；对于C：作出函数的图象，结合图象分析判断；对于D：根据对称中心的定义分析判断. 【详解】对于选项A：因为的定义域为， 且， 可得，即切点坐标为，切线斜率为0， 所以函数在处的切线方程为，故A正确； 对于选项B：令，解得或；令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值点为，极大值点为，故B错误； 对于选项C：因为，，结合选项B可得函数的图象： 由图可知：当时，与有三个交点， 即方程有三个实根，故C正确； 对于选项D：因为 ， 所以的图象关于点对称，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共16分） 12. 设A，B为两个事件，且，，则_____. 【答案】 【解析】 【详解】已知，， 则，解得. 13. 已知a∈{3，4，6}，b∈{1，2，7，8}，r∈{8，9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数是________. 【答案】24 【解析】 【分析】先求出a、b、r的取法，然后利用分步乘法原理可求得答案 【详解】圆的方程由三个量a、b、r确定，a、b、r分别有3种、4种、2种选法， 由分步乘法计数原理得，可表示不同的圆的个数为3×4×2＝24. 故答案为：24 14. 设和是函数的两个极值点.若，则_____. 【答案】3 【解析】 【分析】求导，由题意和是方程的两根，结合已知条件与韦达定理即可求出结果. 【详解】函数， ， 又和是函数的两个极值点， 则和是方程的两根， 故，， 又，则， 即，则，经检验判别式大于0. 故. 四、解答题（本题共5小题，总共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设函数在处取得极大值． （1）求的解析式； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 ，， 由题意得，即，解得，，经验证符合题意， 所以． 【小问2详解】 由（1）可得， 令，得，， + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以在，单调递增，在单调递减，且，，， 所以， 16. 若3男3女排成一排，分别求下列排列的种数. （1）一共有多少种不同的排法? （2）男生甲在排头或在排尾的排法总数? （3）男生甲、乙相邻的排法总数? （4）男女生相间的排法总数? （5）甲乙两人相隔2人的排法总数? 【答案】（1）720 （2）240 （3）240 （4）72 （5）144 【解析】 【小问1详解】  6个人任意排列，总排法为6的全排列种. 【小问2详解】  先排甲，甲只能在排头/排尾，共2种位置选择， 剩余5人全排列种. 【小问3详解】 将甲乙捆绑为1个整体，共5个元素全排列， 甲乙内部可互换顺序种. 【小问4详解】 3男3女人数相等，相间排列只有两种模式：男女男女男女和女男女男女男， 每种模式中男女分别全排列种. 【小问5详解】 先确定甲乙位置：两人相隔2人即位置差为3，确定甲乙位置的方法共有种， 剩余4人全排列种. 17. 已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． （1）求； （2）求展开式中含项的系数； （3）求展开式的第六项． 【答案】（1） （2）-280 （3） 【解析】 【分析】（1）由条件结合二项式系数的性质得所有二项式系数和为列方程求即可； （2）根据二项式展开式的通项得，令，可求，由此可求结论； （3）根据二项式展开式的通项得，再令进行求解即可. 【小问1详解】 因为二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． 所以，解得． 【小问2详解】 二项式展开式的通项为，， 令，解得：， 所以当时，， 故展开式中含项的系数为． 【小问3详解】 根据（2）可得，二项式展开式的通项为，， 令，可得，所以展开式的第六项为． 18. 设，. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围； （3）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值. 【答案】（1）单调减区间为 ，单调增区间为 . （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再分析函数的单调性. （2）求出函数的导数，将函数在区间上单调递增等价于其导数在区间上大于或等于0，再求解即可. （3）首先求出的切线，再联立方程求解即可. 【小问1详解】 当时，，则. 函数的定义域为.令，解得. 当时，，则在上单调递增. 当时，，则在上单调递减. 综上，单调减区间为 ，单调增区间为 . 【小问2详解】 令. 则函数在区间上单调递增，等价于对任意恒成立. ​，即在恒成立，解得. 【小问3详解】 ​，点处切线斜率，切线方程为. 切线与​相切，联立得​，整理为. 相切说明方程只有一个实根，判别式，解得. 19. 已知函数的图象在点处的切线方程为. （I）用表示出； （II）若在上恒成立，求的取值范围； （III）证明： 【答案】（I），；（II）；（III）证明见解析. 【解析】 【分析】（I）根据导数的几何意义，结合切线方程即可得到结果； （II）令，可求得的两根；分别在和两种情况下，根据单调性可得结果； （III）根据（II）的结论可知当时，在上恒成立，令依次取，，，…，，各式相加整理即可证得结论. 【详解】（I），，； 又，； （II）由（I）得：； 令，则在上恒成立； ， 令，解得：，； （1）当，即时，在上恒成立， 在上单调递增，，满足题意； （2）当，即时， 若，则，则在上单调递减， 此时，不合题意； 综上所述：的取值范围为； （III）由（II）知：当时，在上恒成立， 那么当时，在上恒成立； 令依次取，，，…，可得： ，，，…，， ， ， ， . 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义、利用导数解决恒成立问题和证明不等式的问题；证明不等式的关键是能够结合恒成立的结论，通过赋值法得到基本不等关系，通过累加的方式整理化简得到结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中质量检测试卷 高二年级数学试卷 命题人：覃蓉翠 审题人：吴敏彤 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 计算（ ） A. 20 B. 90 C. 120 D. 180 2. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某班班会从甲、乙等6名学生中选3名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的选法为（ ） A. 32 B. 20 C. 16 D. 10 4. 如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则（ ） A. B. 2 C. 0 D. 3 5. 设＜b,函数的图象可能是 A. B. C. D. 6. （1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为 A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 7. 一袋中装有除颜色外完全相同的5个红球和2个白球，如果不放回地依次取2个小球.在第1次取到红球的条件下，第2次取到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，：函数在区间上存在最大值，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的按比例得分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，那么 B. C. 分配6本不同的书，平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本共有90种不同的分配方法 D. 分配6本不同的书，分成3份，1份4本，另外2份每份1本共有30种不同的分配方法 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 三次函数的性质，下列说法正确的是（　　） A. 函数在处的切线方程为 B. 的极小值点为 C. 当时，方程有三个实根 D. 的图象关于点对称 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共16分） 12. 设A，B为两个事件，且，，则_____. 13. 已知a∈{3，4，6}，b∈{1，2，7，8}，r∈{8，9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数是________. 14. 设和是函数的两个极值点.若，则_____. 四、解答题（本题共5小题，总共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设函数在处取得极大值． （1）求的解析式； （2）求在区间上的最值． 16. 若3男3女排成一排，分别求下列排列的种数. （1）一共有多少种不同的排法? （2）男生甲在排头或在排尾的排法总数? （3）男生甲、乙相邻的排法总数? （4）男女生相间的排法总数? （5）甲乙两人相隔2人的排法总数? 17. 已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． （1）求； （2）求展开式中含项的系数； （3）求展开式的第六项． 18. 设，. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围； （3）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值. 19. 已知函数的图象在点处的切线方程为. （I）用表示出； （II）若在上恒成立，求的取值范围； （III）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $