小升初奥数培优应用题：周期问题（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

小升初奥数培优应用题：周期问题 【知识点梳理】 1. 核心概念 周期现象是指事物在运动变化过程中，某些特征多次重复出现，其连续两次出现所经过的时间或次数叫作“周期”。解决周期问题的关键在于：找到循环的规律（即周期长度 ），并利用余数来确定具体位置或状态。 2. 基本解题模型 对于第 个对象或第 次变化： 其中： (1) ：总数或总次数 (2) ：周期长度（每组包含的数量） (3) ：商（表示完整的周期组数） (4) ：余数（关键指标） 余数判定规则： (1) 若 ：结果对应周期中的第 个元素。 (2) 若 ：结果对应周期中的最后一个元素（即第 个）。 3. 常见题型分类 (1) 图形/字母排列周期 1　 特征： 2　 方法：直接数出一个循环节的长度 ，用总数除以 看余数。 (2) 数列周期（尾数周期） 1　 特征：求 、 等幂次方的个位数字，或斐波那契数列等模运算后的余数规律。 2　 方法：列出前几项，观察个位数字或余数的循环规律，确定周期 。 3　 示例： 周期为 4，序列为 2,4,8,6。 (3) 日期与星期周期 1　 特征：已知某天是星期几，求若干天后是星期几。 2　 方法：周期 。 平年 365 天： ，星期数 +1。 闰年 366 天： ，星期数 +2。 注意大小月天数及闰年判断（能被4整除但不能被100整除，或能被400整除）。 (4) 复杂操作周期（如报数、跳格） 1　 特征：往返运动、多条件组合。 2　 方法：画出示意图或列表，找出真正的最小正周期。注意“去头去尾”或“对称性”带来的周期变化。 4. 易错点提示 (1) 起始点确认：明确是从第1个开始算，还是从第0个开始算。通常自然计数从1开始。 (2) 余数为0的处理：务必记得余数为0时，取周期的最后一个，而不是第0个。 (3) 周期寻找错误：在数列或复杂操作中，未找到最小正周期，导致计算偏差。 【培优练习】 【基础巩固篇】 1. 有一串珠子按“红、黄、蓝、绿、白”的顺序重复排列。请问第 58 颗珠子是什么颜色？ 2. 字母序列 A, B, C, D, A, B, C, D... 中，第 100 个字母是什么？前 100 个字母中共有多少个 A？ 3. 今天是星期三，再过 2024 天是星期几？ 4. 小数 的小数点后第 2023 位数字是多少？ 5. 有一列数：1, 3, 5, 1, 3, 5, ... 求前 50 个数的和。 【进阶提升篇】 6. 的个位数字是多少？ 7. 如图，一串彩灯按“红、红、黄、黄、绿、绿、蓝、蓝”排列。第 88 盏灯是什么颜色？前 88 盏灯中红灯有多少盏？ 8. 自然数按如下规律排列： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 请问第 10 行的第 5 个数是多少？ 9. 有一列数：1, 2, 4, 7, 11, 16... 求第 20 个数除以 3 的余数。 【综合应用篇】 11. 甲、乙、丙三人轮流报数，甲报 1,2，乙报 3,4，丙报 5,6，甲报 7,8... 谁报了数字 2023？ 12. 一根绳子对折 3 次后，从中间剪断，绳子变成几段？ 13. 钟表时针现在指向 3 点，经过 100 小时后，时针指向几点？ 14. 有一串分数： 请问 是这串分数中的第几个？ 15. 2023 年 5 月 1 日是星期一，2024 年 5 月 1 日是星期几？ 【高阶思维篇】 16. 操场上同学们排队，按“1, 2, 3, 1, 2, 3...”报数。最后一名同学报的是 2。如果队伍人数在 40 到 50 之间，队伍可能有多少人？ 17. 将自然数 1, 2, 3... 依次写成一个多位数 123456789101112... 求第 2023 位数字是多少？ 18. 某种细菌每 20 分钟分裂一次（1变2）。开始时只有 1 个细菌，经过 5 小时后，细菌总数是多少？其个位数字是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优应用题：周期问题 【知识点梳理】 1. 核心概念 周期现象是指事物在运动变化过程中，某些特征多次重复出现，其连续两次出现所经过的时间或次数叫作“周期”。解决周期问题的关键在于：找到循环的规律（即周期长度 ），并利用余数来确定具体位置或状态。 2. 基本解题模型 对于第 个对象或第 次变化： 其中： (1) ：总数或总次数 (2) ：周期长度（每组包含的数量） (3) ：商（表示完整的周期组数） (4) ：余数（关键指标） 余数判定规则： (1) 若 ：结果对应周期中的第 个元素。 (2) 若 ：结果对应周期中的最后一个元素（即第 个）。 3. 常见题型分类 (1) 图形/字母排列周期 1　 特征： 2　 方法：直接数出一个循环节的长度 ，用总数除以 看余数。 (2) 数列周期（尾数周期） 1　 特征：求 、 等幂次方的个位数字，或斐波那契数列等模运算后的余数规律。 2　 方法：列出前几项，观察个位数字或余数的循环规律，确定周期 。 3　 示例： 周期为 4，序列为 2,4,8,6。 (3) 日期与星期周期 1　 特征：已知某天是星期几，求若干天后是星期几。 2　 方法：周期 。 平年 365 天： ，星期数 +1。 闰年 366 天： ，星期数 +2。 注意大小月天数及闰年判断（能被4整除但不能被100整除，或能被400整除）。 (4) 复杂操作周期（如报数、跳格） 1　 特征：往返运动、多条件组合。 2　 方法：画出示意图或列表，找出真正的最小正周期。注意“去头去尾”或“对称性”带来的周期变化。 4. 易错点提示 (1) 起始点确认：明确是从第1个开始算，还是从第0个开始算。通常自然计数从1开始。 (2) 余数为0的处理：务必记得余数为0时，取周期的最后一个，而不是第0个。 (3) 周期寻找错误：在数列或复杂操作中，未找到最小正周期，导致计算偏差。 【培优练习】 【基础巩固篇】 1. 有一串珠子按“红、黄、蓝、绿、白”的顺序重复排列。请问第 58 颗珠子是什么颜色？ 【详解】 周期 （红黄蓝绿白）。 。 余数是 3，对应周期中的第 3 个颜色，即蓝色。 【答案】蓝色 2. 字母序列 A, B, C, D, A, B, C, D... 中，第 100 个字母是什么？前 100 个字母中共有多少个 A？ 【详解】 周期 （ABCD）。 。 余数为 0，对应周期最后一个字母，即 D。 因为整除，说明有 25 个完整周期。每个周期有 1 个 A，所以 A 的个数 个。 【答案】D；25个 3. 今天是星期三，再过 2024 天是星期几？ 【详解】 星期周期 。 。 余数是 1，即在星期三的基础上往后推 1 天。 ，即星期四。 【答案】星期四 4. 小数 的小数点后第 2023 位数字是多少？ 【详解】 循环节为 "142857"，周期 。 。 余数是 1，对应循环节的第 1 位数字，即 1。 【答案】1 5. 有一列数：1, 3, 5, 1, 3, 5, ... 求前 50 个数的和。 【详解】 周期 （1, 3, 5）。 。 说明有 16 个完整周期，还剩 2 个数（分别是 1, 3）。 一个周期的和 。 总和 。 【答案】148 【进阶提升篇】 6. 的个位数字是多少？ 【详解】 观察 的个位规律： 周期 ，序列为 2, 4, 8, 6。 指数 。 余数是 3，对应序列第 3 个数字，即 8。 【答案】8 7. 如图，一串彩灯按“红、红、黄、黄、绿、绿、蓝、蓝”排列。第 88 盏灯是什么颜色？前 88 盏灯中红灯有多少盏？ 【详解】 周期 （2红2黄2绿2蓝）。 。 余数 0，对应周期最后一位，即蓝色。 完整周期 11 个，每个周期有 2 盏红灯。 红灯总数 盏。 【答案】蓝色；22盏 8. 自然数按如下规律排列： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 请问第 10 行的第 5 个数是多少？ 【详解】 这不是典型的循环周期，而是等差数列求和结合的规律。 前 行共有数字个数 。 前 9 行共有数字： 个。 所以第 10 行的第 1 个数是 46。 第 10 行的第 5 个数 。 【答案】50 9. 有一列数：1, 2, 4, 7, 11, 16... 求第 20 个数除以 3 的余数。 【详解】 先找原数列通项或规律，再找余数周期。 原数列相邻两项差为：1, 2, 3, 4, 5... 第 项 。 。 。 或者找余数周期： 项数：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7... 数值：1, 2, 4, 7, 11, 16, 22... 模3余数：1, 2, 1, 1, 2, 1, 1... 从第2项开始，余数呈现 "2, 1, 1" 的周期？ 让我们重新检查余数序列： 序列为：1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1... 除去第一项，后面是 "2, 1, 1" 循环，周期 。 要求第 20 项。去掉第 1 项，剩 19 项。 。 对应循环组的第 1 个，即 2。 【答案】2 【综合应用篇】 11. 甲、乙、丙三人轮流报数，甲报 1,2，乙报 3,4，丙报 5,6，甲报 7,8... 谁报了数字 2023？ 【详解】 每人报 2 个数，一个完整轮次（甲乙丙）报 个数。 周期 。 。 余数 1，表示是新的一轮的第 1 个数。 一轮中第 1、2 个数由甲报。 所以 2023 由甲报。 【答案】甲 12. 一根绳子对折 3 次后，从中间剪断，绳子变成几段？ 【详解】 标准结论：对折 次，剪 1 刀，段数 。 验证： ，2层，剪断，得3段。( ) ，4层，剪断，得5段。( ) ，8层，剪断，得 段。 【答案】9段 13. 钟表时针现在指向 3 点，经过 100 小时后，时针指向几点？ 【详解】 时针周期 。 。 余数 4，即时针走了 4 个大格。 。 【答案】7点 14. 有一串分数： 请问 是这串分数中的第几个？ 【详解】 观察分组规律： 第 1 组（分子+分母=2）： （1个） 第 2 组（分子+分母=3）： （2个） 第 3 组（分子+分母=4）： （3个） ... 第 组有 个分数，且分子+分母 。 目标分数 ，分子+分母 。 所以它位于第 组（因为 ）。 前 7 组的总个数 个。 第 8 组的分数依次为： 是第 8 组的第 2 个。 总序号 。 【答案】第30个 15. 2023 年 5 月 1 日是星期一，2024 年 5 月 1 日是星期几？ 【详解】 从 2023.5.1 到 2024.5.1，经过了一整年。 2024 年是闰年，但 2 月 29 日包含在这一年内（2023.5.1之后，2024.5.1之前）。 所以总天数是 366 天。 。 星期一往后推 2 天，即星期三。 【答案】星期三 【高阶思维篇】 16. 操场上同学们排队，按“1, 2, 3, 1, 2, 3...”报数。最后一名同学报的是 2。如果队伍人数在 40 到 50 之间，队伍可能有多少人？ 【详解】 周期 。 最后一名报 2，说明总人数 满足 余 2。 即 。 在 40 到 50 之间寻找满足条件的数： 【答案】41, 44, 47 17. 将自然数 1, 2, 3... 依次写成一个多位数 123456789101112... 求第 2023 位数字是多少？ 【详解】 1位数 (1-9): 9 个数字，占 9 位。 2位数 (10-99): 90 个数，占 位。 累计位数 位。 剩余位数 位。 这些位由 3 位数 (100-999) 组成。 。 说明经过了 611 个完整的 3 位数，且是下一个 3 位数的第 1 位。 第一个 3 位数是 100。 第 611 个 3 位数是 。 接下来的数是 711。 我们要找的是 711 的第 1 位数字，即 7。 【答案】7 18. 某种细菌每 20 分钟分裂一次（1变2）。开始时只有 1 个细菌，经过 5 小时后，细菌总数是多少？其个位数字是多少？ 【详解】 5 小时 分钟。 分裂次数 次。 细菌总数 。 。 。 。 精确计算： 。 个位数字是 8。 也可以用周期法： 个位周期为 4 (2,4,8,6)。 。 对应第 3 个，即 8。 【答案】32768；8 学科网（北京）股份有限公司 $