2026年全国高考金榜密押卷-数学-1

2026届全国高考金榜密押卷参考答案 参考答案·数学（一） 1.B复数汽-G5得志却D=3+红的虚部为毛故选且 2.A由a=于+2km(k∈Z),可得sina=cosa:反之若sina=cosa,则a=于+kx(k∈Z),得不到a=于+2kx (k∈Z),故“a=于+2kx(k∈Z”是“sina=cosa”的充分不必要条件.故选A 3D由1∈A,得已。<0，解得a>1由2gA,得2是。≥0，或a=2,解得a<2,所以实数a的取值范围为 (1,2].故选D. 4.C由C的准线方程为y=-1,得-=一1，所以p=2,所以C的方程为x2=4,且F(0,1),令y=1,得 x2=4,解得x=±2，所以AB=4.故选C. 5.B由题知f0)=2sin9=5(1g<受)，即m9=号(1g<受)，所以g=受，所以f(x) 2sin(ur+号)(w>0).因为直线x=元是曲线y=f(x)的一条对称轴，所以wm十否=交+k,k∈Z,所以 w-日+k,∈乙，又fx)在区间[0，器]上单调递增，所以答+号≤受，且w>0,解得0<<3，所以符合条 件的。的值有合，各，号，所以心的最大值是号故选B 6.C如图，以直线AC,BD分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，由 ∠BAD=苓，AD=2,易得A(-3,0),B(0,-1),C(3,0),D(0,1), 又E是边BC的三等分点（靠近点C),所以E(2,-}）,所以A正- (,-)D庞=(2，-)，所以A·D庞=(，-3)· (25,-号)=故选C 7.D因为二b=5sinB-osC,由正弦定理得i血CgnB_BsmB-osC,所以sin A(3simB-cosC) cos A sin A cos A =cosA(sinC-sinB),所以W3 sin Asin B-+sin Bcos A=sin Ccos A十sin Acos C=sin(A+C)=sinB,因为 B∈(0，x),所以sinB≠0，所以w3sinA+cosA=2sin(A+晋)=1，所以sn(A+晋)=2，又A∈(0，x,则 吾<A+晋<看，所以A+晋-晋，即A=牙由d=6+d-2冰c0sA且a=3,得9=8+2+bc,又6>0， c>0,所以9=+c+bc≥36c,所以bc≤3，当且仅当b=c=3时等号成立，因为△ABC的面积为2 -bcsin A -6c<39,所以△ABC面积的最大值为3故选D 数学（一）参考答案第1页（共6页） 8.C设△ABC外接圆的圆心为O',球O的半径为R,球心O到平面ABC的距离为D x,即OO=x,连接OA,则OA=5,所以R°=x2+25,在△ABC中，取AC的中点E, 连接0P,0E,则0E=AB=3,PE=AC-2,所以0P=3,在R△00P中， OP=√x2+13,由题意知当截面与直线OP垂直时，截面面积最小，设此时截面圆 的半径为r,则2=R2-OP2=x2+25-(x2+13)=12,所以截面圆的面积为π2= 12π，当截面过球心时，截面圆的面积最大为πR,因为所得截面圆的面积的最大值 是最小值的号倍，所以R=子×12x=28,所以R=28,解得R=27,所以球0 的体积为V-音R-2元故选C 9.BCD对于A,因为5×60%=3，所以该组数据的60%分位数为79=8，故A错误；对于B,2,3,4,5,6中互 2 质的两数有(2,3)，(25)，3,4,3,5)，4,5)，(5,6)，共6组，所求概率为是-，故B正确；对于C 回归直线过点(a,3.9),所以0.3a十a=3.9,所以a=3,故C正确；对于D,由P(A∩B)=P(B)-P(A)P(B), 得P(A∩B)=[1一P(A)]P(B)=P(A)P(B),所以A,B相互独立，所以A,B相互独立，故D正确.故 选BCD. 10.ABD由题知f(x+1)为奇函数，f(x十2)为偶函数，所以f(1)=0,且f(x+1)=-f(-x十1)，f(x+2)= f-x+2),所以f[(x+1)+1]=-f[-(x+1)+1]=-f(-x),即f(x十2)=-f(-x),所以f(-x+ 2)=f(x+2)=-f(-x).令t=一x,则f(t+2)=-f(t),所以f(t十4)=-f(t+2)=f(t),所以f(x十4) =f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数，故A正确；当x∈[1,2]时，f(x)=ax2十b.f(0)=f(-1+1) =-f(2)=-4a-b,f(3)=f(1+2)=f(-1+2)=f(1)=a十b,又f(0)+f(3)=6,所以-3a=6,解得a =-2,因为f(1)=a十b=0,所以a=-2,b=2,故B正确；当x∈[1,2]时，f(x)=-2x2十2，所以f(2026) =f(2)=-8十2=-6，故C错误；因为f(4)=f(0)=一f(2)=6,f(0)+f(3)=6,所以f(3)=0,又f(1) =0,f2)=-6,所以f1)+f2)+f3)+f4=0,所以罗f()=506×0+f1)+f2)=0-6=-6, 故D正确.故选ABD, 1.BC因为C的离，心率为e=后=，左焦点为F(-1,0),则c=1,a=2,又a2=+2,所以=3，所以C 的方程为号+号-1，故A错误设C上的任意一点P(x,),则PF=√x+1)+y了，点P到直线x -4的距离为x+4,所以1PF=+D+可=-√P+2x+1+3-2-√(2+8x+16)=号(x+40, 故B正确；由题意知，直线l的斜率存在且不为0，设直线1的方程为y=k(x十1)(k≠0)，因为MF|= OM,所以∠NMF0=∠M0F,所以w=-,设Aan).B(g).Maw）.所以号+答=1，号+誉 =1.两式相减得红十)=+士”二2=0，所以+左2)2=-0，所以得 a2 b(x1-x2) 十登，岛兴=0，所以时十·=0，所以·质=一答所以=圣，所以及=士号，所以1的方 b x-x2 为v=士B十).即3x士2y十3=0，放C正确：联立千+苦之 2 ”消去y并整理得(3十42)r+ y=k(x+1), 8k2x+4k2-12=0,所以x1十x2=一 8k2 3=能，所以一=V十一场西= 64k4 -￥是，A=+E1--×2-×1V1+ V(3+4k2)23+4k2 2 3+4k2 2 3+4×号 数学（一）参考答案第2页（共6页） =?,故D错误，故选BC 12.x+y2=0由题意知f(x)=2+2f1)x,所以f(1)=1+2f1),所以f(1)=-1,所以f(x)=号x -+号，所以f)=号-1+号-1，所以曲线y=(x)在点(1，f1)处的切线方程为y-1- -(x-1),即x+y-2=0. 1Cm>Cm解得子≤m≤ 1a.3十22因为二项式(x+m(mEN)的展开式中第四项的系数最大，所以Cm≥C, 音又m∈N,所以m=1,所以a+6=1,所以是+号=(a+)(日+2)=1+2+名+2≥3+ 2√会·吾-3+22，当且仅当号=名，即a=巨-1,6-2一2时取等号，所以+号的最小值为3+22 14(日+）由题知。>兰在0，十∞)上恒成立，设()=x一1-nx(x>0).所以及)=1-子 e2r-1 =二1，当0<x<1时，k(x)<0,k(x)单调递减；当x>1时，k'(x)>0,(x)单调递增，所以(x)≥k(1)= 0,即x之1十1nx,所以≤云在0，十∞)上恒成立，当且仅当x=1时等号成立.设m(x)=。 x e2-1 2r-1 （>0》,所以m)-2z2,当0<<1时，m)>0,m()单调递增：当>1时，m()<0,m( 单调递减，所以m)<m1）=。则<名，当且仅当x=1时等号成立，所以(）=日 e2x-1 max e 所以。>。 15.解：1)由题意知当该批商品A净含量满足X<495或X>505时，净含量不达标，且X~N(500,空)， 5 所以4=500,0=之， 净含量不达标的概率为P(X<495)+P(X>505)=1-P(495≤X≤505)≈1-0.955=0.045.…3分 故生产的该批商品A中，质量不达标的有1000X0.045=45包.… …5分 (2)Y可能的取值为0、1、2. 由题意知，任取一包商品A,净含量达标的概率为0.955.… …7分 故Y~B(2,0.955),所以 P(Y=0)=C8×(1-0.955)2=0.0452≈0.002， P(Y=1)=C2×0.955×(1-0.955)≈0.086， P(Y=2)=C×0.9552≈0.912. 10分 所以Y的分布列为 Y 0 2 P0.0020.0860.912 所以E(Y)=0×0.002+1×0.086十2×0.912=1.910或E(Y)=2×0.955=1.910.…13分 16.(1)证明：连接AC,由题意知四边形ABCE为正方形，所以AC⊥BE,…1分 因为平面PEB⊥平面ABCE,平面PEB∩平面ABCE=BE,ACC平面ABCE,所以AC⊥平面PEB, …2分 又PEC平面PEB,所以AC⊥PE, 又PE⊥CE,AC∩CE=C,AC,CEC平面ABCE,所以PE⊥平面ABCE,…4分 又AE℃平面ABCE,所以PE⊥AE,…5分 因为AE⊥CE,CE∩PE=E,CE,PEC平面PEC, 数学（一）参考答案第3页（共6页） 所以AE⊥平面PEC,又EFC平面PEC,所以AE⊥EF.…7分 (2)解：由(1)知EA,EC,EP两两垂直，故以E为坐标原点，直线EA,EC,EP 分别为x轴，y轴，x轴建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0,0,0), A(2,0,0),B(2,2,0),F(0,1,1),所以EA=(2,0,0),EF=(0,1,1), EB=(2,2,0),… …9分 设平面ABF的-个法向量m=(x,》,则m·-0,即2z=0, 即 m.Ei=0,y十z=0, 令y=1,得x=0,2=-1,所以m=(0,1,-1),…11分 A22-- fn·EF=0,n1b+c=0, 设平面BEF的一个法向量m=(a,b,c),则n·E市=0.即2a+2b=0, 即 令b=1,得a=-1,c=-1, 所以n=（-1,1,-1),… …13分 2=6 设平面AEF与平面BEF的夹角为0，则cos9=Tm·斤=V2X53 m·n 即平面AEF与平面BEF的夹角的余弦值为气。 ……15分 1.解：当a=1时，fx=nx+兰-x 所以f(x)=1+C二e-1=-1De-2(x>0), x x2 …1分 令h(x)=e-x(x>0),则h'(x)=e-1,因为x>0,所以h'(x)>0, 所以h(x)在(0，十0∞)上单调递增，…2分 所以在(0，十∞)上，h(x)>h(0)=1>0恒成立， 又在(0，+∞)上，x2>0,所以令f(x)>0,得x>1,令f(x)<0,得0<x<1, 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增，…4分 所以f(x)mn=f(1)=e-1,即f(x)的最小值为e-l.… …5分 (2)f(z)=Inz+ae-x(aER).f(x)-1+ae(z-1)-1=(z-1)(ae'-z) x 因为f(x)有3个极值点，所以f(x)有3个变号零点，显然x=1为f(x)的一个零点（记为x),则ae一 x=0,即a=二有两个不同于1的相异正根.…7分 令gx)=号则g(x)=,由g(x)>0,得0<<1，由g(x)<0,得x>1,所以g()在0,1D上单 调递增，在1，十o∞)上单调递减，且g(x)=0和x十∞时，g(x)-→0，g1)=。, …8分 作出g(x)的图象如下： y=g(r) 要使y=a的图象与y=g(x)有两个不同交点，必有0<a<是，记这两个交点的横坐标分别为，西，则x <1=石<x3,且==a,…9分 e22e3 所以 lnx2=x2十lna, In x3=x3+In a, 所以f(x1)f(x2)f(x3)=(ae-1)(lnx2+1-x2)(lnx3+1-x3)=(ae-1)(lna+1)2.…10分 令p(a)=(ae-1D(na+1D2(0<a<）, 数学（一）参考答案第4页（共6页 则p(a)=e(ha+1)2+(ae-1)…2lha+1)…合=(na+1)(eha-2+3c,…1分 a 显然y=3c十dna-名在(0，号)上单调递增，所以ena-吕+3e<-e-2e+3e=0, 因为0<a<是，所以lna+1<0, 所以g(a)>0,所以g(a)在(0，是)上单调递增， …13分 又（侵）=是-1，所以当己<a<时g(a)>。-1恒成立， 所以当a∈[是，)时f)f)f)≥是-1恒成立， 所以实数a的取值范围为[是，） …15分 b-3 3 18.(1)解：由题意知 解得a=√3，b=1, 2分 4 =1, 所以E的方程为写一y=1. 3分 (2)证明：由(1)得c=√3+1=2，故E的右焦点坐标为(2,0)，由题意知直线m不与y轴垂直，故设直线m 的方程为x=ty十2，A(x1,),B(x2,y2), 联立5消去产并整理得(-3Y+y十1=0 …4分 x=ty+2, 则2-3≠0a=16-4-30>0,m+%=号n为 所以+=)+4=+4 5分 设Maw).则w=23w=二g所以M33名) 6 同理可得N兰3名) …6分 假设MN过定点H,依据对称性知点H必在x轴上， 设Hp0.则i=(3号-p3各)爪-（二p》 -2t …7分 由/.得兰(-p）=3兴（二p）, 化简得4t(2十1)(3-p)=0对任意≠士3恒成立，所以p=3, 所以直线MN恒过定点H(3,0).…9分 (3)证明：由(1)得A1（-√3,0)，A2(3,0), 由题意设l的方程为x=y十3，R(x3,为)，T(x4,y4),Q(x0,%), x2 联立方-=1·消去x并整理，得(2-3》Y+6以y十6=0， …10分 x=λy+3, 则2-3≠0，△=362-24（入2-3）=12（λ2+6）>0， 且为十=2gn一3所以n十=-X 6λ …11分 因为R,A1,Q三点共线，A2,T,Q三点共线， 数学（一）参考答案第5页（共6页 xo十3_x十3 所以∠A1QA2与∠RQT相等或互补，所以 yo x03_x43 yo y 两式相除，得+5=+5)x_y士3+)必=2+)%二=-(2+)， x0-√3（x4-√3)为yy4+(3-√3)为(2-√3)为-y4 解得x0=1,… …13分 所以 }1QRIIQTI sin∠RQT QRQT-|(x-1)(x4-1) z1QAl|QA|sm∠AQa TQA1QA2T-3-1)(W3+1) =(A为+2)（入4+2） 2 6A2 12λ2 =λ2为4十2以（为+y4)+4 -33十4 …15分 2 =1+2 因为是-3>-3，且-3≠0所以1+2g>1,所以8<5 …17分 19.(1)解：因为{an}满足性质Ⅱ(0)，即an+1=Ⅱn,所以a+2=Ⅱn+1, 所以2=±，即2=a+1,所以a+2=a+1,… …1分 a+1Ⅱ2 an+1 又a1=100,a2=100,所以an>0,所以lgan+2=lga21=2lgan+1,…2分 且1lga2=1ga=2,所以ga=1≠2， lg ar 以当心2时，5g。=2,即《ga)去掉首项后，剩余项是以2为公比的等比数列，…3分 (100,n=1, 所以当n≥2时，lgan=2m-1,所以an=( 1021,n≥2. …4分 （2②解：因为宫d=L+k(r+1D,所以字i=L1+(m+2 所以3a-之a=Ⅱ+1-几.+k,即a1=Ⅱ.(a+1-1D+k, …6分 =1 又{an}具有性质Ⅱ（入），所以aw+1=Ⅱn十入，即Ⅱn=am+1一入， 所以a2=2+入，a3=a1a2十入=3λ十4，a2+1=(a+1-入)(a+1-1)十k,所以(1十1)an+1=1+k,…7分 所以以士1Da:=士，即Q士12+)-t,解得x=-1,=1, 1(+1)a=λ+k,(+1)(3λ+4)=λ+k, 所以入，k的值分别为一1,1.…9分 (3)证明：设f(x)=lnx-x+1,则f(x）=1-1=1二(x>0), 当0<x<1时，f(x)>0,当x>1时，f(x)<0, 所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减， 所以Hx>0,f(x)≤f(1)=0,所以lnx≤x-1,当且仅当x=1时等号成立.…11分 又{an}具有性质Ⅱ(A),且a1>0,>0, 所以a2=a1十入>0，a3=a1a2十λ>0，依次类推知am>0,…12分 所以lnan≤an-1,…… …13分 所以lna1≤a1-l,lna2≤a2-1,,lnan≤am-1, 累加，得lna1+lna2十…+lnan≤a1十a2十…十am-n=Sn-n, 所以ln(a1a2…an)≤Sn-n,即ln几n≤Sn-n,…l5分 又a+1=Ⅱn十λ，所以ln(a+1一入)≤Sn-n.…17分 数学（一）参考答案第6页（共6页）2026届全国高考金榜密押卷（一） 数学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题 卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 非如 p 合题目要求的。 1.复数2的嘘部为 A.3 B.4 C.3i D.4i 。 2.“a=至+2kx(k∈Z)”是“sina=cos&”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知A={x 2a<0 ,若1∈A,2￠A,则实数a的取值范围为 A(1,2) B.(1,+∞) C.(-∞，2) D.(1,2] 4.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线方程为y=一1，过点F且垂直于y轴的直 线l交C于点A,B,则|AB= 蜜 A.1 B.2 C.4 D.6 5.已知函数f(x)=2sin(oa+p)(o>0,p<受)过点(0W3),直线x=元为曲线y=f(x)的 一条对称轴，且)在区间[0，]上单调递增，则w的最大值是 荞 A号 R号 c 6.在菱形ABCD中，∠BAD=苓，AD=2,E是边BC的三等分点（靠近点C),则A它·D克- A.2 26 b c n.9 (一)·数学第1页（共4页） 7.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,bc,且一b_3sin B--osC,若4=3，则△ABC a cos A 的面积的最大值为 A.23 B3⑤ 2 C.√3 D 8.在三棱锥D-ABC中，AD⊥平面ABC,CA⊥AB,AB=6,AC=8,P是线段AC的四等分点 (靠近点C),记三棱锥D-ABC的外接球为球O,过点P作球O的截面，若所得截面的面积 的最大值是最小值的号倍，则球0的体积为 A号 B.112π C.2247 3π D.224√7π 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是 A.数据3,5,7,9,10的60%分位数是9 B若从23,45,6中任取两个不同的数，则这两数互质的概率为号 C.若y关于x的经验回归方程为y=0.3x十a,且x=a,=3.9,则a=3 D.若事件A,B满足P(A∩B)=P(B)一P(A)P(B),则事件A,B相互独立 10.设函数f(x)的定义域为R,将f(x)的图象向左平移1个单位长度得到一个奇函数的图象， 将f(x)的图象向左平移2个单位长度得到一个偶函数的图象，当x∈[1,2]时，f(x)= ax2+b,且f(0)+f(3)=6,则 A.f(x)是以4为周期的周期函数 B.a=-2,b=2 C.f(2026)=-4 D.f(:)--6 1已知椭圆c+芳 -=1(a>b>0)的离心率为2，左焦点为F(-1,0),过F作直线1与C交 于A,B两点，若M为线段AB的中点，O为坐标原点，且MF=|OM,则 A.椭圆C的方程为号+y=1 B.椭圆C上的任意一点到点F的距离等于到直线x=一4距离的一半 C.直线l的方程为W3x+2y十√3=0或√3x-2y十√3=0 D.IABI=77 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数fx)的导函数是了()，且f(x)=子+f(1)·r+号，则曲线y=了(x)在点 (1,f(1)处的切线方程为 13.已知二项式(x十m)(m∈N)的展开式中第四项的系数最大，若a十b=m,a>0,b>0,则 +名的最小值为 a 14.已知对任意x∈(0，十o∞)，都有ae2x-1一x一xlnx>0成立，则实数a的取值范围为 (一)·数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 某公司生产的商品A每包标识“净含量500g”,实际生产中净含量存在误差.规定净含量在 [495,505](单位：g)内为净含量达标，否则为净含量不达标.该公司质检部门检测发现某批 商品A的实际净含量X(单位：g)服从正态分布N(500,）. (1)若该批商品A中随机抽取1000包，估计其净含量不达标的商品A的数量； (2)随机抽取2包该批商品A,记其中净含量达标的包数为Y.求Y的分布列和数学期望 (结果精确到0.001). 参考数据：若X~N(u,o2),则P(u-o≤X≤u十o)≈0.683，P(μ一2a≤X≤十2o)≈ 0.955,P(μ-3a≤X≤4+3o)≈0.997. 16.(本小题满分15分) 如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC,CE⊥AD,垂足为点E,AB=BC= AD,如图2，将△CDE沿直线CE折至△PCE处，使得平面PEB⊥平面ABCE,F为棱 PC的中点. 图1 图2 (1)证明：AE⊥EF; (2)若AB=2,求平面AEF与平面BEF的夹角的余弦值， (一)·数学第3页（共4页） 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=lnx+ae-x(a∈R). 7 (1)当a=1时，求f(x)的最小值； (2)若f(x)有三个极值点x1x,x,且满足f(a)f(x)f(x)≥。-1，求实数a的取值 范围。 18.(本小题满分17分) 已知双曲线E:号-苦-1(。>0,6>0)的蒲近线方程为y= y 号x,点P(2,号)在双曲线 E上 (1)求E的方程； (2)过E的右焦点作两条互相垂直的直线m,n,m与E的右支交于A,B两点，n与E的右支 交于C,D两点，线段AB的中点为M,线段CD的中点为N.证明：直线MN过定点； (3)记E的左、右顶点分别为A1,A2,斜率存在且非零的直线1与E交于R,T两点，RA1与 TA2交于点Q.若l过点P(3,0),设△QA1A2的面积为S1,△QRT的面积为S2,证明： S1<S2. 19.(本小题满分17分) 对数列{an},记a1a2a3…an=Ⅱn,若存在常数A,使得an+1=Ⅱn十入，则称数列{an}具有性质 Ⅱ（λ）. (1)若数列{an}具有性质Ⅱ(0)，且a1=100,a2=100,求{an}的通项公式； (2)若数列(a}具有性质Ⅱ(a),且a1=2,之a=Ⅱ.十k(n+1),求实数入和k的值； (3)若{an}具有性质Ⅱ（入），a1>0,λ>0，Sn为{an}的前n项和，证明：ln(an+1一入)≤Sm一n. t,”,,',,”,,,。,.4 (一)·数学第4页（共4页）