专题02 面积问题（重难专练）（山东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题02 面积问题 内容导航 第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点 核心模块 重难考向 考法解读/考向预测 第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧 要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基 考向01 三角形的面积 考向02 四边形的面积 考向03 圆的面积 第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 近三年山东中考面积问题，以三角形、四边形、圆与扇形面积为核心载体，分三大考查形式：坐标系内代数综合（结合反比例、二次函数）、纯几何动态综合（折叠、旋转、动点）、不规则图形面积求解。命题注重与函数、全等相似、圆的性质深度融合，选填侧重基础技巧，解答题多为压轴综合，核心考查面积公式应用、割补转化、数形结合、动态最值分析能力。 2026 年山东中考面积问题仍为高频重难点，分值与考查梯度保持稳定，选填、解答题均有覆盖，核心呈现三大命题趋势。其一，基础题型仍以三角形、四边形、圆与扇形面积计算为核心，选填题侧重考查割补法、等积变形、转化法求解不规则图形面积，常结合反比例函数性质、图形折叠旋转、正方形与矩形性质命题，保持 “小而活” 的特点。其二，解答题将延续二次函数与面积综合的压轴定位，重点考查坐标系内动态几何的面积最值、特殊四边形面积与函数解析式的综合应用，深度融合动点、全等相似、三角函数等知识点。其三，命题将进一步强化几何动态变换中的面积极值探究，注重对数形结合、建模能力与逻辑推理能力的综合考查。 重●难●要●点●剖●析 考向01 三角形的面积 题型1 坐标系中的三角形面积 ① 在坐标系中求三角形的面积时，一般应求出三个顶点的坐标； ② 若三角形有水平或者竖直的边，则以此为底，易求高，从而可直接求三角形的面积； ③ 若三角形没有水平或者竖直的边，则一般采用间接法，即构造一个矩形，用矩形面积减去三个直角三角形的面积即可得所求三角形的面积； 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 2．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求的面积． 3．（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； (3)如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值． 题型2 几何图形中的三角形面积 ① 若直接求某三角形的面积，则该题往往要借助三角比、勾股定理、相似、全等来求底和高； ② 求直角三角形斜边上的高时，一般采用面积法，即等于两直角边的乘积比斜边； ③ 若求三角形面积的最值问题时，一般设某边为x，写出S关于x的关系式，借助函数的思想求最值。 4．（2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为________． 6．（2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．    (1)求证：； (2)若，时，求的面积． 考向02 四边形的面积 题型1 坐标系中的四边形的面积 ① 和三角形一样，在坐标系中求四边形的面积时，首先应尽量求出四个顶点的坐标； ② 若四边形是特殊的四边形，则可根据面积公式求解； ③ 通常情况需要采用间接法求四边形的面积，一是连接一条对角线，求出所分成两个三角形的面积；二是在外围构造一个矩形，用大矩形的面积减若干直角三角形的面积即可。 7．（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一张纸片被y轴分成矩形和平行四边形两部分．点A的坐标为，点B，C分别在x轴和y轴上，点D的坐标为．下列结论： ①纸片的面积是； ②点E的坐标为； ③若直线既平分矩形的面积又平分的面积，则直线的解析式为； ④若点M是直线上的一个动点，连接EM，设，点C到的距离为n，则m与n之间的关系式为． 其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2025·山东德州·中考真题）如图，矩形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，与矩形周长相等，的面积是矩形面积的一半，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（    ） A．5 B．1 C．3 D．2 题型2 几何图形中四边形的面积 ① 平行四边形面积=底×高； ② 矩形面积=长×宽； ③ 菱形面积=底×高=对角线乘积的一半； ④ 正方形的面积=边长2； ⑤ 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2； 10．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为_____． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ∵正方形的边长为2， ， ∴面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形的边长为， 则， ……， ， 则的值为：， 故答案为：． 11．（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则___________． 12．（2025·山东济南·中考真题）在中，，，，点O为的中点．在中，，，，连接并延长到点F，使，连接． 【初步感知】（1）如图1，当点D，E分别在，上时，请完成填空：___________；___________． 【深入探究】（2）如图2，若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转一定的角度，连接，，，． ①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． ②当四边形的面积最小时，求线段的长． 考向03 圆的面积 题型1 圆、扇形的面积 1 圆的面积=πr2； 2 扇形的面积= = ； 3 圆锥的侧面积= （r为底面圆的半径，l为母线长） 圆锥的表面积= ； 13．（2025·山东东营·中考真题）小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图如图所示，已知主视图和左视图均为边长是的等边三角形，则所需铁皮面积（接缝面积忽略不计）为（    ） A． B． C． D． 14．（2024·山东东营·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为_________． 15．（2023·山东泰安·中考真题）如图，是的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若，，则阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 题型2 直接和差法求不规则图形的面积 1 ; 2 ； 3 ④ ； 16．（2025·山东德州·中考真题）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是，则剩余部分的面积是（   ） A． B． C． D． 17．（2013·山东潍坊·中考真题）为了改善市民的生活环境，我是在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场.在Rt△ABC内修建矩形水池DEFG，使顶点D、E在斜边AB上，F、G分别在直角边BC、AC上；又分别以AB、BC、AC为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设地砖.其中米，∠BAC=600.设EF=x米，DE=y米. （1）求y与x之间的函数解析式； （2）当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？ （3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x为何值时，矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的？ 18．（2012·山东日照·中考真题）如图1，正方形OCDE的边长为1，阴影部分的面积记作S1；如图2，最大圆半径r=1，阴影部分的面积记作S2，则S1________S2（用“>”、“<”或“=”填空） 题型3 转化法求不规则图形的面积 1 已知CD∥AB，则= 2 已知OE=EB，= 19．（2023·山东滨州·中考真题）如图，某玩具品牌的标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（　　）    A． B． C． D． 20．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，为的直径，点C是的中点，过点C做射线的垂线，垂足为E．    (1)求证：是切线； (2)若，求的长； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有的式子表示）． 21．（2022·山东东营·中考真题）如图，为的直径，点C为上一点，于点D，平分． (1)求证：直线是的切线； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 题型4 构造和差法求不规则图形的面积 1 → ; 2 → 3 → 22．（2025·山东东营·中考真题）如图，是的直径，、是上的两点，，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积． 23．（2024·山东德州·中考真题）如图，圆与都经过A，B两点，点在上，点C是上的一点，连接并延长交于点P，连接． (1)求证： (2)若，． ①求的半径； ②求图中阴影部分的面积． 24．（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 重●难●提●分●必●刷 （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（2025·山东枣庄·二模）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计的面积S，设的半径为1，则的值为（    ）（） A．0.14 B．0.2 C．0.5 D．1 2．（2024·山东烟台·一模）如图，将边长为的正六边形铁丝框（面积记为），变形为以点为圆心，为半径的扇形（面积记为），则的值为（    ）    A． B． C．1 D． 二、多选题 3．（2024·山东潍坊·一模）如图，在中， ，分别以为直径作半圆围成两月牙形（图中阴影部分），过点C作分别交三个半圆于点D，E，F．则下列说法一定正确的是（   ）    A．四边形为矩形 B． C． D．两月牙形的面积等于四边形面积的 三、填空题 4．（2025·山东泰安·一模）四边形的对角线、的长分别为m、n，可以证明当时（如图），四边形的面积，那么当、所夹的锐角为θ时（如图），四边形的面积_______．（用含m、n、θ的式子表示） 5．（2025·山东·二模）如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为______． 6．（2025·山东济南·二模）一把折扇展开后如图所示，其纸面部分近似的看作是两个扇形围成的．其中，，，，则折扇纸面部分的面积是______． 7．（2025·山东青岛·一模）如图，在边长为的正方形网格中，“状”图案（阴影部分）是由半径分别为和，圆心在格点上的两种弧围成的，则阴影部分的面积是______． 8．（2025·山东青岛·一模）如图所示，在中，，以点A为圆心，2为半径的与相切于点，交于点，交于点，且，则图中阴影部分的面积是______． 四、解答题 9．（2024·湖南郴州·模拟预测）项目式学习： 项目主题 反比例函数k的几何意义之三角形面积 项目情境 已知矩形的两邻边、分别落在x正半轴与y正半轴上，反比例函数的图象经过点B，的图象分别与、交于点D、E． 活动任务一 （1）如图（1），若顶点B的坐标是，，则反比例函数的解析式是______． 驱动问题一 （2）在（1）的条件下，则的面积是______； 活动任务二 （3）如图（2），当，时，则的面积是______． 驱动问题二 （4）通过观察、思考上题的计算方法、结果，猜想到的面积有何规律或特征吗？请你用含，的代数式，表示的面积（写出推理过程）． 10．（2024·河南开封·二模）【问题背景】 “综合与实践”课上，王老师带领同学们剪拼图形，用发展的眼光看问题，感受图形的变换美！ 【特例感知】 （1）如图（1），纸片为矩形，且，，点E，F分别为边，的中点，沿将纸片剪成两部分，将纸片沿纸片的对角线方向向上平移． ①当纸片平移至点与的中点O重合时，两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是______． ②当两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是时，则平移距离为______． 【类比探究】 （2）如图（2），当纸片为菱形，，时，将纸片沿其对角线剪开，将纸片沿方向向上平移．当两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为时，求平移距离（用含a的式子表示）． 【拓展延伸】 （3）某小组将图（2）剪下来的与图（1）中的四边形按图（3）的方式放在同一平面内，使点L与点B重合，与重合．将从如图（3）所示的起始位置开始绕B点逆时针旋转，旋转过程中，边与边相交于点T，边与边相交于点S，连接．请直接写出旋转过程中，，之间的数量关系． 11．（2025·山东滨州·一模）【初步发现】 如图1，的内切圆与斜边相切于点，与相切于点，求的面积． 解：设线段的长为，根据切线长定理得， 在中， 根据勾股定理得， 整理得， 所以． 请同学们想一想的面积等于与的积．这仅仅是巧合吗？ 【深入探索】 （1）已知：如图2，的内切圆与相切于点，与相切于点． ①若，求证：的面积等于； ②若，求证：． 【拓展延伸】 （2）已知：的内切圆与相切于点．请直接写出的面积． 12．（2025·山东济南·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于A和两点，与轴交于，连接，在线段上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当的横坐标为，求与的面积比； (3)若动点横坐标记为，的面积记为，的面积记为，且，写出与的函数关系，并判断是否有最大值，若有请求出；若没有请说明理由． 13．（2025·山东潍坊·二模）如图，有一张边长为的菱形纸片，现用它裁出一个矩形纸片，矩形纸片的四个顶点、、、分别位于菱形的四条边上，且，．如何裁剪才能使裁出的矩形纸片的面积最大？最大面积是多少？ 14．（2025·山东菏泽·一模）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点． (1)求函数关系式； (2)的面积与四边形的面积的数量关系为_________；（填“”，“”或“”） (3)证明：． 15．（2025·山东东营·一模）如图，抛物线的顶点为，与 x 轴交于 A、B 两点，且 B，与y 轴交于点 C ． (1)求抛物线的函数解析式； (2)对称轴上是否存在点 N ，使的周长最小，若存在，请求出点坐标，若 不存在，请说明理由； (3)在直线的下方抛物线的图象上能否找到一点 P ，使四边形的面积最大？若能，请求出面积的最大值及点 P 的坐标；若不能，请说明理由． 16．（2023·广东深圳·二模）（一）、问题背景： 数学活动课上，老师拿出一个由五连格边长为1的正方形连成的L形教具，将它放入一个的直角三角形中，，，如图1顶点D，E，F，G刚好落在三边上，请求出此直角三角形的面积． （二）、问题提出与解决：（以下问题二选一解答） （1）小颖同学受到启发，将此教具放入如图的直角坐标系中，顶点A，B，C分别落在坐标轴上，提出问题：如图2，如果反比例函数图像经过顶点D，试求出反比例解析式． （2）小明同学也受到启发，画了一个圆，如图3，将此教具放入圆内，使圆经过其顶点A，B，C，提出问题：怎么算出圆的面积? 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 面积问题 内容导航 第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点 核心模块 重难考向 考法解读/考向预测 第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧 要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基 考向01 三角形的面积 考向02 四边形的面积 考向03 圆的面积 第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 近三年山东中考面积问题，以三角形、四边形、圆与扇形面积为核心载体，分三大考查形式：坐标系内代数综合（结合反比例、二次函数）、纯几何动态综合（折叠、旋转、动点）、不规则图形面积求解。命题注重与函数、全等相似、圆的性质深度融合，选填侧重基础技巧，解答题多为压轴综合，核心考查面积公式应用、割补转化、数形结合、动态最值分析能力。 2026 年山东中考面积问题仍为高频重难点，分值与考查梯度保持稳定，选填、解答题均有覆盖，核心呈现三大命题趋势。其一，基础题型仍以三角形、四边形、圆与扇形面积计算为核心，选填题侧重考查割补法、等积变形、转化法求解不规则图形面积，常结合反比例函数性质、图形折叠旋转、正方形与矩形性质命题，保持 “小而活” 的特点。其二，解答题将延续二次函数与面积综合的压轴定位，重点考查坐标系内动态几何的面积最值、特殊四边形面积与函数解析式的综合应用，深度融合动点、全等相似、三角函数等知识点。其三，命题将进一步强化几何动态变换中的面积极值探究，注重对数形结合、建模能力与逻辑推理能力的综合考查。 重●难●要●点●剖●析 考向01 三角形的面积 题型1 坐标系中的三角形面积 ① 在坐标系中求三角形的面积时，一般应求出三个顶点的坐标； ② 若三角形有水平或者竖直的边，则以此为底，易求高，从而可直接求三角形的面积； ③ 若三角形没有水平或者竖直的边，则一般采用间接法，即构造一个矩形，用矩形面积减去三个直角三角形的面积即可得所求三角形的面积； 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，设A点坐标为，点C的坐标为，得到点D，E，F的坐标，然后求出和的长，然后根据三角形面积公式求出的值，再根据解答即可． 【详解】解：设A点坐标为，点C的坐标为， 则点B的坐标为，点D的坐标为， 又∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 又∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， 解得， ∴ ， 故选：D． 2．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的表达式，坐标与图形，三角形的面积，利用待定系数法求出反比例函数的表达式是解题的关键． （）利用正比例函数求出点的坐标，再代入反比例函数的表达式即可求解； （）分别求出的坐标，得到的长度，再根据坐标与图形以及三角形的面积公式计算即可求解； 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：把代入得，， ∴， ∵轴， ∴点的横坐标为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴． 3．（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； (3)如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解出抛物线的解析式，再转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．设直线的表达式为，解方程组得到直线的表达式为，则，求得，求得于是得到，解方程得到，根据平移的性质得到，将代入，解方程即可； （3）过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且，求得抛物线的顶点，得到，推出，解方程得到当时，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：抛物线过点 得 解得 抛物线的表达式为 顶点； （2）解：如图，连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为． 设直线的表达式为 由题意知 解得 直线的表达式为 的面积为12 ， ， 解得（舍） 点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点 将代入 得 解得． （3）解：如图，过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且 抛物线的顶点 ， 易得 当时， 点横坐标最小值为，此时点到直线距离最近，的面积最小 最近距离即边上的高，高为： 面积的最小值为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，平移的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地找出辅助线是解题的关键． 题型2 几何图形中的三角形面积 ① 若直接求某三角形的面积，则该题往往要借助三角比、勾股定理、相似、全等来求底和高； ② 求直角三角形斜边上的高时，一般采用面积法，即等于两直角边的乘积比斜边； ③ 若求三角形面积的最值问题时，一般设某边为x，写出S关于x的关系式，借助函数的思想求最值。 4．（2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点，则可得到，即可得到，根据垂线段最短和三角形三边关系得到，即可得到点P在时，的值最大为长，利用勾股定理和三角形的面积公式计算解答即可． 【详解】解：过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点， 则， 又∵， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即当点P在时，的值最大为长， ∵是正方形， ， ∴， ∴的值最大为， ∴的最大面积是， 故选：C． 5．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为________． 【答案】/ 【分析】根据平行四边形的性质得到，，，由折叠性质得到，进而得到点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即此时面积的最小，过C作于N，根据平行线间的距离处处相等得到，故只需利用锐角三角函数求得即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，，则， ∵E为边的中点， ∴， ∵沿翻折得， ∴， ∴点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即面积的最小， 过C作于N， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴面积的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、圆的有关性质以及直线与圆的位置关系、锐角三角函数等知识，综合性强的填空压轴题，得到点的运动路线是解答的关键． 6．（2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．    (1)求证：； (2)若，时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由求出，然后利用证明，可得，再由等边对等角得出结论； （2）过点E作于F，根据等腰三角形的性质和含直角三角形的性质求出和，然后利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点E作于F， 由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴．    【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含直角三角形的性质以及勾股定理等知识，正确寻找证明三角形全等的条件是解题的关键． 考向02 四边形的面积 题型1 坐标系中的四边形的面积 ① 和三角形一样，在坐标系中求四边形的面积时，首先应尽量求出四个顶点的坐标； ② 若四边形是特殊的四边形，则可根据面积公式求解； ③ 通常情况需要采用间接法求四边形的面积，一是连接一条对角线，求出所分成两个三角形的面积；二是在外围构造一个矩形，用大矩形的面积减若干直角三角形的面积即可。 7．（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一张纸片被y轴分成矩形和平行四边形两部分．点A的坐标为，点B，C分别在x轴和y轴上，点D的坐标为．下列结论： ①纸片的面积是； ②点E的坐标为； ③若直线既平分矩形的面积又平分的面积，则直线的解析式为； ④若点M是直线上的一个动点，连接EM，设，点C到的距离为n，则m与n之间的关系式为． 其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】如图，延长交轴于， 求解，，，，，可得，，可得①符合题意；可得，可得②符合题意；如图，连接交于点，连接交于点，结合矩形和平行四边形，可得直线即直线既平分矩形的面积又平分的面积，进一步可得③符合题意；如图，连接，过作于，求解，进一步可得④符合题意． 【详解】解：如图，延长交轴于， ∵一张纸片被y轴分成矩形和平行四边形两部分．点A的坐标为，点B，C分别在x轴和y轴上，点D的坐标为， ∴，，，，， ∴，，纸片面积为：，故①符合题意； ∴，故②符合题意； 如图，连接交于点，连接交于点， ∵矩形和平行四边形， ∴直线即直线既平分矩形的面积又平分的面积， ∵，，， ∴，， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为；故③符合题意； 如图，连接，过作于， 由题意可得：，而的面积为， ∴， ∴， ∵当最小时，最大， ∴当时，最小， ∵， ∴，解得：， 此时， ∴m与n之间的关系式为，故④符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是一次函数的应用，矩形，平行四边形的性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 8．（2025·山东德州·中考真题）如图，矩形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，与矩形周长相等，的面积是矩形面积的一半，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质和面积公式，平行四边形的性质和面积公式，勾股定理等知识点，掌握这些是解题的关键． 根据题意可得D点的纵坐标是C点纵坐标的一半，，过D点作轴，交轴于点，用勾股定理求出长即可． 【详解】解：过D点作轴，交轴于点，如图： 与矩形周长相等，， ， 的面积是矩形面积的一半，， ， 由勾股定理得：， 点D的坐标为． 故选：A． 9．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（    ） A．5 B．1 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图形与性质，反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用线段的长度表示出点的坐标是解题的关键．设，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到a，b的关系式，再利用求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法解答即可得出结论． 【详解】解：设， 由题意得：． ∵正方形与（其中边分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴． 故选：C 题型2 几何图形中四边形的面积 ① 平行四边形面积=底×高； ② 矩形面积=长×宽； ③ 菱形面积=底×高=对角线乘积的一半； ④ 正方形的面积=边长2； ⑤ 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2； 10．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键．根据题意求出面积标记为的正方形的边长，得到，同理求出，得到规律，根据规律解答． 【详解】解：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ∵正方形的边长为2， ， ∴面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形的边长为， 则， ……， ， 则的值为：， 故答案为：． 11．（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则___________． 【答案】 【分析】首先表示出四边形的面积和四边形面积，然后根据题意得到，整理得到，，设，得到，然后解方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，四边形的面积 四边形面积 ∵四边形的面积等于四边形面积的2倍 ∴ 整理得， ∴ 设， ∴ 解得或（舍去） ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查了完全平方公式，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 12．（2025·山东济南·中考真题）在中，，，，点O为的中点．在中，，，，连接并延长到点F，使，连接． 【初步感知】（1）如图1，当点D，E分别在，上时，请完成填空：___________；___________． 【深入探究】（2）如图2，若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转一定的角度，连接，，，． ①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． ②当四边形的面积最小时，求线段的长． 【答案】（1）90；；（2）①（1）中的结论仍然成立，证明见解析；② 【分析】（1）证明，可得，，从而得到，进而得到；根据题意可得，即可得到； （2）①证明四边形为平行四边形，可得，，从而得到，根据题意可得，可证明，可得，从而得到的度数，即可；②根据平行四边形的性质可得当最小时，四边形的面积最小，即当E到的距离最小时，最小，四边形的面积最小，过点E作于点M，连接，则当最小时，四边形的面积最小，从而得到当点B，E，M三点共线时，取得最小值，最小值为，此时时，最小，再由，可得，，然后根据勾股定理可得的长，再结合，即可求解． 【详解】解：∵点O为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：90； （2）①中的结论仍然成立，证明 ∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，, ∴,； ②在中，∵，，， ∴， 由①得：四边形为平行四边形， ∴四边形的面积等于， ∴当最小时，四边形的面积最小， 即当E到的距离最小时，最小，四边形的面积最小， 如图，过点E作于点M，连接，则当最小时，四边形的面积最小， ∵，， ∴， 即当点B，E，M三点共线时，取得最小值，最小值为， 此时时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由①得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性，勾股定理，平行四边形的判定和性质，利用类比思想解答是解题的关键． 考向03 圆的相关面积 题型1 圆、扇形的面积 1 圆的面积=πr2； 2 扇形的面积= = ； 3 圆锥的侧面积= （r为底面圆的半径，l为母线长） 圆锥的表面积= ； 13．（2025·山东东营·中考真题）小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图如图所示，已知主视图和左视图均为边长是的等边三角形，则所需铁皮面积（接缝面积忽略不计）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】这道题考查的是圆锥侧面积的计算，首先明确圆锥侧面积公式为 (r为底面半径，l为母线长)，由三视图可知，圆锥的母线长，底面圆的直径等于等边三角形的边长，即底面半径，代入圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：则所需铁皮面积 故选B 14．（2024·山东东营·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等，正确求出正八边形的面积是解题的关键．过点A作，求得，根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】 如图，是正八边形的一条边，点O是正八边形的中心，过点A作， 在正八边形中， ∴ ∵，，解得： ∴ ∴正八边形为 ∴ ∴ ∴的估计值为 故答案为：． 15．（2023·山东泰安·中考真题）如图，是的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若，，则阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，再根据扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及扇形的面积公式等知识，求出是解答的关键． 题型2 直接和差法求不规则图形的面积 1 ; 2 ； 3 ④ ； 16．（2025·山东德州·中考真题）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是，则剩余部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是切线的性质、圆的面积计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 根据切线的性质得到，根据垂径定理求出，再根据勾股定理、圆的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，平移小圆，使小圆的圆心与点重合，小圆与相切于，连接， ∵小圆与相切于， ， ， 在中，， 则剩余部分的面积为：， 故选：D． 17．（2013·山东潍坊·中考真题）为了改善市民的生活环境，我是在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场.在Rt△ABC内修建矩形水池DEFG，使顶点D、E在斜边AB上，F、G分别在直角边BC、AC上；又分别以AB、BC、AC为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设地砖.其中米，∠BAC=600.设EF=x米，DE=y米. （1）求y与x之间的函数解析式； （2）当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？ （3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x为何值时，矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的？ 【答案】（1）（0＜x＜8）（2）（3）米时 【详解】解：（1）在Rt△ABC中，由题意得AC=米，BC=36米，∠ABC=300, ∴AB=，． 又∵AD+DE+BE=AB，∴DE=AB－AD－BE． ∴（0＜x＜8）． （2）∵矩形DEFG的面积， ∴当x=9时，矩形DEFG的面积最大，最大面积为平方米． （3）记AC为直径的半圆、BC为直径的半圆、AB为直径的半圆面积分别为S1、S2、S3，两弯新月面积为S，则 由AC2+BC2=AB2可知S1+S2=S3，∴．故S=S△ABC． ∴两弯新月的面积S=(平方米)． 由得，解得，符合题意． ∴当米时，矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的． （1）应用锐角三角函数，将AD，BE用x来表示，由DE=AB－AD－BE列式即得y与x之间的函数解析式． （2）求出矩形DEFG面积的函数表达式，应用二次函数最值原理求解即可． （3）应用转换思想，由S两弯新月=S△ABC，根据矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的列方程求解即可． 18．（2012·山东日照·中考真题）如图1，正方形OCDE的边长为1，阴影部分的面积记作S1；如图2，最大圆半径r=1，阴影部分的面积记作S2，则S1________S2（用“>”、“<”或“=”填空） 【答案】＜． 【详解】结合图形发现：图1阴影部分的面积等于等于矩形ACDF的面积，图2每个阴影部分正好是它所在的圆的四分之一，则阴影部分的面积大圆面积的四分之一．计算出结果后再比较S1与S2的大小即可： ∵正方形OCDE的边长为1，∴根据勾股定理得OD=， ∴AO=． ∴AC=AO－CO= －1．∴． ∵大圆面积=πr2=π∴． ∵＜，∴S1＜S2． 题型3 转化法求不规则图形的面积 1 已知CD∥AB，则= 2 已知OE=EB，= 19．（2023·山东滨州·中考真题）如图，某玩具品牌的标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等，只要计算出一个阴影部分的面积即可，如图，连接，阴影的面积＝扇形的面积，据此即可解答. 【详解】解：根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等； 如图，连接，则，是等边三角形， ∴，弓形的面积相等， ∴阴影的面积＝扇形的面积， ∴图中三个阴影部分的面积之和； 故选：C.    【点睛】本题考查了不规则图形面积的计算，正确添加辅助线、掌握求解的方法是解题关键. 20．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，为的直径，点C是的中点，过点C做射线的垂线，垂足为E．    (1)求证：是切线； (2)若，求的长； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有的式子表示）． 【答案】(1)见解析； (2)； (3) 【分析】（1）连接OC，证明，即可得到结论； （2）连接AC，证明，从而可得，再代入求值即可； （2）连接，证明，从而可得，，求出扇形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：连接，        ∵点C是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴半径， ∴是切线； （2）连接，        ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）连接，      ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质及判定、切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键． 21．（2022·山东东营·中考真题）如图，为的直径，点C为上一点，于点D，平分． (1)求证：直线是的切线； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接OC，根据OB=OC，以及平分推导出，即可得出，从而推出，即证明得出结论； （2）过点O作于F，利用即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接OC，如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵于点D， ∴， ∴直线是的切线； （2）过点O作于F，如图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，包括垂径定理，圆的切线，扇形的面积公式等，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是本题的关键． 题型4 构造和差法求不规则图形的面积 1 → ; 2 → 3 → 22．（2025·山东东营·中考真题）如图，是的直径，、是上的两点，，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线判定定理、扇形面积与三角形面积的计算，利用弧相等推导圆心角相等，结合直角三角形性质分析线段与角度关系是解题的关键． （1）连接，，由得圆心角，进而得，由得，由得，可得，即可得，又因是的半径即可证明； （2）由，结合得，由勾股定理可得，由即可得出． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（2024·山东德州·中考真题）如图，圆与都经过A，B两点，点在上，点C是上的一点，连接并延长交于点P，连接． (1)求证： (2)若，． ①求的半径； ②求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①2 ② 【分析】对于（1），连接，在中，先根据同弧所对的圆周角相等得，然后在中，根据圆周角定理得，可得答案； 对于（2）①，由结合（1），可得，再连接，作，可得，，进而得出，然后在中，根据得出答案； 对于②，先说明是等边三角形，即可求出其面积，在中，求出弓形的面积，然后根据得出答案． 【详解】（1）如图所示． 连接， 在中，， 在中，， ∴； （2）①，∵， ∴． 连接，过点作，交于点D， ∴，， ∴． 在中，， 即， ∴， 所以的半径是2； ②∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴垂直平分，垂直平分， ∴点三点共线． 在中，， 在中，． 在中，上标点，． 在中， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的性质和判定，勾股定理，余弦，求扇形的面积，等边三角形的性质和判定，构造辅助线是解题的关键． 24．（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是关键． 如图：连接，作于点B，得三角形是等边三角形，求出，再根据，即可解答． 【详解】解：如图：连接，作于点B， ∵， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∴ ∴, ∴． 故选：A． 重●难●提●分●必●刷 （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（2025·山东枣庄·二模）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计的面积S，设的半径为1，则的值为（    ）（） A．0.14 B．0.2 C．0.5 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形和圆，正确求出正十二边形的面积是解题的关键，根据圆的面积公式得到的面积，求得圆的内接正十二边形的面积，即可得出结论． 【详解】解：的半径为1， 的面积， 圆的内接正十二边形的中心角为， 过点A作，如图所示： ， 圆的内接正十二边形的面积， ， 故选：A． 2．（2024·山东烟台·一模）如图，将边长为的正六边形铁丝框（面积记为），变形为以点为圆心，为半径的扇形（面积记为），则的值为（    ）    A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由正六边形的性质的长的长，根据扇形面积公式与弧长公式推得扇形面积可表示为弧长半径，求出；再由正六边形性质，利用等边三角形性质、含的直角三角形性质及勾股定理求出相应线段长度，表示出，作比即可得结果． 【详解】解：，， ， 由题中正六边形变为扇形过程可知：的长度， ， 在正六边形中，，如图所示：   由正六边形性质可知是等边三角形， 在中，，，则， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、扇形面积公式、弧长公式、等边三角形性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握正六边形的性质，求出弧长是解决问题的关键． 二、多选题 3．（2024·山东潍坊·一模）如图，在中， ，分别以为直径作半圆围成两月牙形（图中阴影部分），过点C作分别交三个半圆于点D，E，F．则下列说法一定正确的是（   ）    A．四边形为矩形 B． C． D．两月牙形的面积等于四边形面积的 【答案】ABC 【分析】根据直径所对的圆周角为90度推出，结合可判断A选项；通过导角证明，可判断B选项；过点C作于点H，由“垂线段最短”得出，再证，根据相似三角形对应边成比例可判断C选项；根据勾股定理解，可得，结合圆的面积公式可判断D选项． 【详解】解：点D，F在以，为直径的半圆上， ， ， ， 四边形为矩形， 故A选项正确； ，， ，， ， ， 故B选项正确； 如图，过点C作于点H，取的中点M，连接，    由“垂线段最短”可得， ， ， ， 四边形为矩形， ，四边形为矩形， ， ，， ，， ， 又， ， ， ， ， ， 故选项C正确； 在中，由勾股定理得， ， ，， ， 两月牙形的面积 ， 故选项D错误， 故选． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆的面积，垂线段最短，勾股定理等知识点，难度较大，能够综合应用上述知识点是解题的关键． 三、填空题 4．（2025·山东泰安·一模）四边形的对角线、的长分别为m、n，可以证明当时（如图），四边形的面积，那么当、所夹的锐角为θ时（如图），四边形的面积_______．（用含m、n、θ的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了三角函数，根据三角函数表示出三角形的高是解题的关键；设、交于O点，在①图形中，根据即可得出，在②图形中，过A作于E，过C作于F，根据三角函数可得，再根据即可得解． 【详解】解：如图， 设、交于O点，在①图形中，设， ∴ ； 在②图形中，过A作于E，过C作于F， 夹角为θ， ， ， 故答案为：． 5．（2025·山东·二模）如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为______． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故答案为：． 6．（2025·山东济南·二模）一把折扇展开后如图所示，其纸面部分近似的看作是两个扇形围成的．其中，，，，则折扇纸面部分的面积是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了扇形面积公式，掌握是解题的关键．由折扇纸面部分的面积等于即可求解． 【详解】解：， 由题意得：折扇纸面部分的面积是， 故答案为：． 7．（2025·山东青岛·一模）如图，在边长为的正方形网格中，“状”图案（阴影部分）是由半径分别为和，圆心在格点上的两种弧围成的，则阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积公式，求其他不规则图形的面积，由图形可知，然后代入求解即可，解题关键是掌握由扇形面积公式求该不规则图形面积的求法． 【详解】解：如图， ∴ ， 故答案为：． 8．（2025·山东青岛·一模）如图所示，在中，，以点A为圆心，2为半径的与相切于点，交于点，交于点，且，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题主要考查扇形面积的计算，掌握扇形面积公式（n为圆心角的度数、r为圆的半径）是解题的关键． 如图：连接，可知，结合条件可求得的面积，再求得扇形的面积，最后根据面积的和差即可解答． 【详解】解：如图：连接， 由已知可得：，，，， 阴影部分的面积为：． 故答案为：． 四、解答题 9．（2024·湖南郴州·模拟预测）项目式学习： 项目主题 反比例函数k的几何意义之三角形面积 项目情境 已知矩形的两邻边、分别落在x正半轴与y正半轴上，反比例函数的图象经过点B，的图象分别与、交于点D、E． 活动任务一 （1）如图（1），若顶点B的坐标是，，则反比例函数的解析式是______． 驱动问题一 （2）在（1）的条件下，则的面积是______； 活动任务二 （3）如图（2），当，时，则的面积是______． 驱动问题二 （4）通过观察、思考上题的计算方法、结果，猜想到的面积有何规律或特征吗？请你用含，的代数式，表示的面积（写出推理过程）． 【答案】（1）；（2）4.5；（3）；（4） 【分析】本题考查反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、反比例函数k的几何意义、矩形的性质、三角形的面积等知识，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解答此题的关键． （1）先根据点B的坐标和矩形的性质，求得点，再把点代入，即可求解； （2）根据点B的坐标和矩形的性质，求得点D的纵坐标为4，代入求出横坐标，即可得出点，从而可求得，，然后利用，即可求解； （3）设，则，，根据求解即可； （4）设，则，，则，，根据求解即可． 【详解】解：（1）∵B的坐标是，，四边形是矩形， ∴， ∵E在上， ∴， ∴； （2）∵B的坐标是，，D在上， ∴D的纵坐标为4， ∵D在上， ∴D的横坐标， ∴， ∴，， ∵B的坐标是， ∴， ∴ ； （3）∵，， 设，则，， ∴，， ∴； （4）设，则，， ∴，， ∴； 即． 10．（2024·河南开封·二模）【问题背景】 “综合与实践”课上，王老师带领同学们剪拼图形，用发展的眼光看问题，感受图形的变换美！ 【特例感知】 （1）如图（1），纸片为矩形，且，，点E，F分别为边，的中点，沿将纸片剪成两部分，将纸片沿纸片的对角线方向向上平移． ①当纸片平移至点与的中点O重合时，两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是______． ②当两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是时，则平移距离为______． 【类比探究】 （2）如图（2），当纸片为菱形，，时，将纸片沿其对角线剪开，将纸片沿方向向上平移．当两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为时，求平移距离（用含a的式子表示）． 【拓展延伸】 （3）某小组将图（2）剪下来的与图（1）中的四边形按图（3）的方式放在同一平面内，使点L与点B重合，与重合．将从如图（3）所示的起始位置开始绕B点逆时针旋转，旋转过程中，边与边相交于点T，边与边相交于点S，连接．请直接写出旋转过程中，，之间的数量关系． 【答案】（1）①②或（2），详见解析（3），详见解析 【分析】（1）①先求出，，由中点O为的中点，与O重合，得出，进而即可得解；②由两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片面积之比是，得出，然后可得，解方程即可得解； （2）由平移得，进而可得出，再进行线段和差即可； （3）如图，延长到P，使，连，过点S作交于点N，过点P作交于点Q，利用面积公式求出，，得出，进而即可得解； 【详解】（1）①∵，， ∴， ∵点E，F分别为边，的中点， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴为等腰直角三角形，， ∵四边形在上平移， ∴， ∴为等腰直角三角形， 同理，也为等腰直角三角形， ∴，， ∵中点O为的中点，与O重合， ∴， ∴ ， ∴两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是， 故答案为：； ②∵两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片面积之比是，， ∴， ∵ ∴， ∴或， 故答案为：或； （2）∵纸片为菱形，， ∴，和为等边三角形， 如图，过M点作交于点X， ∴， ∴， ∵纸片沿方向向上平移， ∴， ∵两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为， ∴， ∴， ∴， （3）如图，延长到P，使，连，过点S作交于点N，过点P作交于点Q， ∵为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题主要考查了平移和旋转的应用，三角函数的应用，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，等边三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 11．（2025·山东滨州·一模）【初步发现】 如图1，的内切圆与斜边相切于点，与相切于点，求的面积． 解：设线段的长为，根据切线长定理得， 在中， 根据勾股定理得， 整理得， 所以． 请同学们想一想的面积等于与的积．这仅仅是巧合吗？ 【深入探索】 （1）已知：如图2，的内切圆与相切于点，与相切于点． ①若，求证：的面积等于； ②若，求证：． 【拓展延伸】 （2）已知：的内切圆与相切于点．请直接写出的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）先设，根据切线长定理得，，，再根据勾股定理，得，整理，得，然后根据，整体代入可得答案； （2）先由，得，整理，得，再求出，最后根据勾股定理逆定理可得答案； （3）作，在中，根据特殊角三角函数值分别表示出，，再根据，然后根据勾股定理得，最后根据整体代入可得答案． 【详解】设，根据题意，． （1）由题意得，， 在中，根据勾股定理，得， 整理，得， 所以； （2）由，得， 整理，得， ∴ ． 根据勾股定理逆定理可得； （3）如图，过点A作于点G． 依题意，， 设， 在中，，， ∴． 在中，根据勾股定理，得， 整理，得， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，勾股定理及其逆定理，解直角三角形，求三角形的面积，整体代入思想等，理解题目中给出的解题方法是解题的关键． 12．（2025·山东济南·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于A和两点，与轴交于，连接，在线段上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当的横坐标为，求与的面积比； (3)若动点横坐标记为，的面积记为，的面积记为，且，写出与的函数关系，并判断是否有最大值，若有请求出；若没有请说明理由． 【答案】(1) (2)25 (3)当时，S有最大值 【分析】（1），代入求出b，c的值，即得； （2）求出，得，得，即得； （3）写出，得， 得，， 得，即得当时，S有最大值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交，两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：设直线的解析式为， 代入， 得， 解得， ∴， ∵的横坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵直线的解析式为，二次函数解析式为，点横坐标为， ∴， ∴， ∵ ∴， ， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，三角形面积比，三角形面积差，割补法求三角形面积，是解题的关键． 13．（2025·山东潍坊·二模）如图，有一张边长为的菱形纸片，现用它裁出一个矩形纸片，矩形纸片的四个顶点、、、分别位于菱形的四条边上，且，．如何裁剪才能使裁出的矩形纸片的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】当、、、为菱形各边的中点时，才能使裁出的矩形纸片的面积最大，最大值为 【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，二次函数的应用，根据题意设，则，进而分别求得，根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， 设，则 ∵，则 ∴是等边三角形，则 过点作于点 ∴， ∴ 设矩形纸片的面积为， ∴ ∴当时，矩形纸片的面积最大为 答：当、、、为菱形各边的中点时，才能使裁出的矩形纸片的面积最大，最大值为 14．（2025·山东菏泽·一模）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点． (1)求函数关系式； (2)的面积与四边形的面积的数量关系为_________；（填“”，“”或“”） (3)证明：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质可得点，再把代入，即可求解； （2）连接，交于点K，根据反比例函数比例系数的几何意义，可得，从而得到，即可求解； （3）设平移距离为n，可得点，，从而得到，可证明，从而得到，再由，可得，即可求证． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴轴，轴， ∵， ∴点， 把点代入，得：， ∴函数关系式为； （2）解：如图，连接，交于点K， ∵， ∴， ∴， ∴的面积四边形的面积； 故答案为：； （3）解：如图，设平移距离为n， 根据题意得：四边形是矩形， ∴， ∴点， ∵反比例函数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 15．（2025·山东东营·一模）如图，抛物线的顶点为，与 x 轴交于 A、B 两点，且 B，与y 轴交于点 C ． (1)求抛物线的函数解析式； (2)对称轴上是否存在点 N ，使的周长最小，若存在，请求出点坐标，若 不存在，请说明理由； (3)在直线的下方抛物线的图象上能否找到一点 P ，使四边形的面积最大？若能，请求出面积的最大值及点 P 的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为 (3)存在，面积的最大值为，点P的坐标为． 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式、求平面直角坐标系内三角形面积等，解题的关键是用含x的式子表示出的长度． （1）设函数的解析式为，将B代入求出a值即可； （2）令，求出点A坐标，进而求出直线的解析式，中，的长度固定，点A、点B关于直线对称，当点N是对称轴与直线的交点时，之和最小，即的周长最小，求出点N的坐标即可； （3）过点P作轴于点E，交于点F，设，则，F ，利用求出的最大值，再利用求出答案即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点为， 设函数的解析式为， 又函数图象经过点， ， 解得， ， 即抛物线的函数解析式为； （2）解：存在， 函数的图象与y轴交于点C， ， ， 令，得， 解得，， ， ∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∵， ∴设直线的解析式为，可得， 解得， 故直线的解析式为：， ∵中，的长度固定，点A、点B关于直线对称， ∴当点N是对称轴与直线的交点时，之和最小，即的周长最小， 将代入中得：， ∴点N的坐标是； （3）解：如图，过点P作轴于点E，交于点F，设，则， 点F的坐标为． ， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时四边形的面积最大，最大值为 时，， 在直线的下方抛物线的图象上能否找到一点 P ，使四边形的面积最大，面积的最大值为，点P的坐标为． 16．（2023·广东深圳·二模）（一）、问题背景： 数学活动课上，老师拿出一个由五连格边长为1的正方形连成的L形教具，将它放入一个的直角三角形中，，，如图1顶点D，E，F，G刚好落在三边上，请求出此直角三角形的面积． （二）、问题提出与解决：（以下问题二选一解答） （1）小颖同学受到启发，将此教具放入如图的直角坐标系中，顶点A，B，C分别落在坐标轴上，提出问题：如图2，如果反比例函数图像经过顶点D，试求出反比例解析式． （2）小明同学也受到启发，画了一个圆，如图3，将此教具放入圆内，使圆经过其顶点A，B，C，提出问题：怎么算出圆的面积? 【答案】（一）；（二）（1）；（2） 【分析】（一）如图1，由题意知，，，，则，，，，，根据，计算求解即可； （二）（1）如图2，过作轴于，由题意知，，，，，，在中，由勾股定理求，证明，则，求得，，同理，则，求得，，则，，代入反比例函数解析式求，进而可得反比例函数解析式； （2）如图3，取中点，作，取圆心，连接，，则，由正方形的性质，设，，在和中，由勾股定理得 ，，即，求的值，的值，进而可得的半径，然后代入圆的面积公式进行求解即可． 【详解】（一）解：如图1， 由题意知，，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴此直角三角形的面积为； （二）（1）解：如图2，过作轴于， 由题意知，，，，，， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得，， 同理， ∴，即，解得，， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：如图3，取中点，作，取圆心，连接，，则， 由正方形的性质， 设，， 在中，由勾股定理得 ， 在中，由勾股定理得， ∴，解得， ∴， ∴的半径为， ∴， ∴圆的面积为． 【点睛】本题主要考查了正弦、正切，相似三角形的判断与性质，反比例函数，正方形的性质，圆的面积，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $