精品解析：天津市和平区2025-2026学年高三年级第二学期第二次质量调查数学科试卷

和平区2025-2026学年度第二学期高三第二次质量调查 数学学科试卷 第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题共45分） 监测注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，务必将自己的姓名、准考证号涂在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案标号. 3.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： ·锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高. ·柱体的体积公式，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高. ·如果事件A、B互斥，则. ·如果事件A、B相互独立，则. ·任意两个事件A与B，若，则. 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，，故C不符合题意； ，故D符合题意． 2. 命题“，，使得”的否定是（ ） A. ，，使得 B. ，，使得 C. ，，使得 D. ，，使得 【答案】C 【解析】 【详解】命题“，，使得”的否定是“，，使得”. 3. 等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 9 B. 18 C. 21 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的片段和性质列式求解即得. 【详解】由题意，成等比数列，则， 故可得. 4. 已知定义在上的函数，满足，，对，，（），有，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，再结合函数单调性的表示可知函数在上单调递减，再利用单调性比较大小即可． 【详解】解：，， ， 又对，，（），有， 则函数在上单调递减， ，即． 5. 如图所示，某单峰频率分布直方图在右边“拖尾”，若由频率分布直方图估计样本数据的中位数为m，众数为n，平均数为p，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【详解】由频率分布直方图可知，单峰不对称且右“拖尾”，最高峰偏左，众数最小. 平均数受极端值影响，与中位数相比，平均数总在“拖尾”那边，故平均数大于中位数， 故得. 6. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的解析式，再分、两种情况解不等式即可． 【详解】解：由，则， ，解得， ，解得， 综上，不等式的解集是． 7. 已知双曲线：（）的两条渐近线互相垂直，抛物线：（）的焦点到的渐近线的距离为，过点作的两条切线，切点分别为点，则直线在轴上的截距为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式得出抛物线的方程，然后再通过抛物线的切点弦公式即可求解. 【详解】双曲线的两条渐近线分别为和，由于这两条渐近线垂直，斜率乘积为， 即，故两条渐近线分别为和， 设抛物线的焦点为，焦点到渐近线的距离为，由点到直线的距离公式得， 因此抛物线方程为，由于过外点作抛物线的切点弦方程为， 代入，得，因此直线的方程为， 在轴的截距为当时的值，代入得，即直线在轴的截距为，故D正确. 8. 已知函数（）在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用二倍角公式将函数化简，再根据正弦函数的单调性求出的单调递减区间，最后结合已知条件确定实数的取值范围即可. 【详解】因为，所以： ， 因为（）的单调递增区间就是的单调递减区间， 由，，解不等式得： ，， 所以的单调递减区间为，， 又因为在区间上单调递减，当时，单调递减区间为， 则有， 由 得 ，由 得 ， 因为 ，所以 ， 因此，实数的取值范围为. 9. 如图，在六面体中，上下底面均为矩形，且平面平面，，，平面ABCD，，，，则六面体的体积为（ ） A. 45 B. 47 C. 60 D. 75 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意把六面体 可以看成长方体的一部分；再结合柱体体积和锥体体积用该长方体的体积减去多余部分的体积即可求解. 【详解】根据题意可知：六面体可以看成长方体的一部分. 在长方体中，，. 长方体的体积. 直三棱柱的体积. 直三棱柱的体积. 三棱锥的体积. 所以六面体的体积. 第Ⅱ卷（非选择题共105分） 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共105分. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分） 10. 已知，为虚数单位，复数为纯虚数，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因是纯虚数， 可得，解得. 11. 的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） 【答案】84 【解析】 【分析】根据展开式的通项，再令进行计算． 【详解】解：二项式的展开式， 当，即时，常数项为． 12. 已知圆：，圆：，直线l：（k，且）与两圆与均相切，则直线l的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用直线与圆相切，得到和，联立方程即可求解出结果． 【详解】因为的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 又直线与均相切， 所以①，②，由①②得到，即有， 两边平方得，即， 又，所以，即， 代入①式得到，解得， 所以方程为． 13. 现对8只不同的实验产品进行测试，其中有3只不合格品、5只合格品，若每次取1只测试，直到3只不合格品全部测出为止，则最后1只不合格品恰好在第4次测试时被发现的不同情形种数为__________；在最后一只不合格品正好在第4次测试时被发现的条件下，第2次测得合格品的概率为__________. 【答案】 ①. 90 ②. 【解析】 【详解】①最后只不合格品恰好在第次测试时被发现，要求第次为不合格品，前次有只不合格品、只合格品. 总情形数：. ②设事件：最后一只不合格品在第次测出，事件：第次测得合格品，，满足的情形：第次不合格，第次合格，第、次为不合格品，，故. 14. 已知边长为3的正方形，F为边上靠近点B的三等分点，E为线段上一点，M为线段上一点，若，则__________；若以为底边作等腰三角形，则当点E在边上运动时，的取值范围为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】以为原点建立坐标系，设，由三点共线，，结合列方程组求解即可；根据即可求解． 【详解】解：如图，以为原点建立坐标系， 则，设， 三点共线，则， 又， ，解得， ； 设的中点为， ， ， 又E为线段上一点， ， ． 15. 已知，，当取得最大值时，此时有函数，函数，且对任意，有不等式恒成立，则实数p的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据基本不等式求出，再根据分段函数求出的最小值，最后解关于的二次函数，利用对数函数的单调性从而求出实数p的取值范围. 【详解】当， ，当且仅当， 即等号成立，故， 故函数，函数， 当时，，最小值为（时取到）， 当时，， 故的最小值为， 对任意，有不等式恒成立等价于对任意，有不等式恒成立， 即，解得或， 所以或， 因为函数在单调递减， 所以解得. 三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. （1）求的值； （2）若，求△ABC的面积； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角得，结合条件利用和角公式求得，进而求出的值； （2）利用（1）的结论，结合和角公式求得的值，进而利用三角形面积公式即可求得； （3）利用三角恒等变换公式依次求得，与的值即可. 【小问1详解】 由和正弦定理，可得， 又，则， 整理得， 故. 【小问2详解】 由（1）可知，则角为锐角，因为，， 求得，，同理解得，， 因为，所以， 则. 【小问3详解】 由，故， ，， 则. 17. 如图，四棱台的上下底面均为正方形，且底面ABCD，. （1）求证：平面平面； （2）若线段上存在点P，使得平面与平面的夹角的余弦值为. （ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：因为平面ABCD，平面ABCD， 因此，又因为正方形ABCD，所以，， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据题意先证平面，再根据面面垂直的判定即可证明； （2）以点A为原点建立空间直角坐标系，设点，利用向量法求平面角求出，确定点；（ⅰ）根据空间向量法求线面角即可；（ⅱ） 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点A为原点，AB，AD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， ，，，，，. 若存在点P，设点，， 设平面PBD的法向量为，，， 则，令，则， 设平面与平面的夹角为，易得平面的法向量为， 由已知有，即， 整理有，解得，或（舍）； 所以，，， （ⅰ）设直线与平面所成角为， ， 所以，直线与平面PBD所成角的正弦值为； （ⅱ）易知，设点到平面的距离为d，故. 点到平面PBD的距离为. 18. 已知，数列满足，当时，. （1）求数列的通项公式； （2）数列的前n项和为，证明：； （3）若数列满足，，求数列的前n项和. 【答案】（1）； （2）证明：由（1）得，则，数列是等比数列， 则，，， ， ，因此， 所以对任意，. （3）. 【解析】 【分析】（1）变形给定等式，构造常数列求出通项公式. （2）利用等比数列前n项和公式，结合差值比较法推理证明. （3）按为偶数、奇数分类，利用分组求和法，结合等差等比数列前n项和公式求解. 【小问1详解】 当时，由，得，即， 因此，数列是常数列，则，即， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）得，所以，， 则， 当n为偶数时，， 设，， ， ， 两式相减得 ，于是， 又， 因此； 当n为奇数时，， ，而满足上式， 所以. 19. 已知椭圆（）的左焦点为F，点在椭圆上，且轴. （1）求椭圆的方程； （2）直线l与椭圆相切于点P，且点P在第一象限，过原点与直线l平行的直线与直线PF交于点Q，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意，列出关于的方程组，求解即得椭圆方程； （2）（法一）设直线l的方程并与椭圆方程联立，由推得，求出，分别求出直线PF与的方程，联立求出，再由两点之间距离公式化简计算即得；（法二）设，写出直线l的方程为，即得过原点与直线l平行的直线方程为，列出直线PF的方程，两者联立求得，再由两点之间距离公式化简计算即得. 【小问1详解】 依题意，可得，解得， 故椭圆方程为. 【小问2详解】 （法一）直线l斜率显然存在，由题意设直线l的方程为，， 联立，整理得， ，可得，整理得， 则，，即， 故直线PF的斜率为，直线PF的方程为， 过原点与直线l平行的直线方程为， 联立，解得，即， 则. （法二）设，直线l斜率显然存在，由题意直线l的方程为， 则过原点与直线l平行的直线方程为，椭圆左焦点， 故直线PF的方程为， 联立，解得，即得， 则 又因为， 故. 20. 已知，函数（a，），. （1）当，时，求曲线在点处的切线方程； （2）已知，. （ⅰ）若，分别是函数，的导函数，且在区间上恒成立，求实数m的取值范围； （ⅱ）已知，证明：. 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）由（ⅰ）知时，， 即，故， 所以有k，，，令， 则（k，）， 所以 . 所以，. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，先求得到切线斜率，再求得到切点坐标，最后用直线的点斜式方程求解即可. （2）（ⅰ）法一：先求出和，将不等式转化为恒成立，根据端点数值得到，进而证明对于时，恒成立即可； 法二：先求出和，将不等式转化为关于的不等式，再通过分离参数法，构造新函数，利用导数求新函数在区间上的最值，从而得到的取值范围. （ⅱ）要证明该不等式，先利用（ⅰ）中得到的结论，得到关于的不等式，再将求和式中的每一项代入该不等式，最后对求和式进行化简、放缩，结合数列求和的方法完成证明即可. 【小问1详解】 当，时，， 则，，， 所以， 故切线方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）若，，，，， 由，得（）， 法一：令， 由，且，且可得. 下证对于时，恒成立. 将函数视为关于m的一次函数且单调递增， 所以， 故只需证成立，令， ，，， 当时，， 所以，故在单调递减， 当时，，所以在单调递增， ，因此存在，使得， 故在单调递减，在单调递增， 又因为，，有，故在上单调递增， 所以，在单调递减，在单调递增， 因此， 故恒成立，所以，当时，恒成立， 综上，实数m的取值范围. 法二：当时，： 当时，，设， ， 设，， 则时，，单调递增； 时，，单调递减. 而，，，所以在上存在唯一零点，设为， 则时，，，单调递增； 时，，，单调递减. 故在处取得最大值，在处取得最小值，所以， 综上，实数m的取值范围为. （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 和平区2025-2026学年度第二学期高三第二次质量调查 数学学科试卷 第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题共45分） 监测注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，务必将自己的姓名、准考证号涂在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案标号. 3.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： ·锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高. ·柱体的体积公式，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高. ·如果事件A、B互斥，则. ·如果事件A、B相互独立，则. ·任意两个事件A与B，若，则. 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，，使得”的否定是（ ） A. ，，使得 B. ，，使得 C. ，，使得 D. ，，使得 3. 等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 9 B. 18 C. 21 D. 27 4. 已知定义在上的函数，满足，，对，，（），有，则有（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，某单峰频率分布直方图在右边“拖尾”，若由频率分布直方图估计样本数据的中位数为m，众数为n，平均数为p，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线：（）的两条渐近线互相垂直，抛物线：（）的焦点到的渐近线的距离为，过点作的两条切线，切点分别为点，则直线在轴上的截距为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 已知函数（）在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在六面体中，上下底面均为矩形，且平面平面，，，平面ABCD，，，，则六面体的体积为（ ） A. 45 B. 47 C. 60 D. 75 第Ⅱ卷（非选择题共105分） 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共105分. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分） 10. 已知，为虚数单位，复数为纯虚数，则__________. 11. 的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） 12. 已知圆：，圆：，直线l：（k，且）与两圆与均相切，则直线l的方程为__________. 13. 现对8只不同的实验产品进行测试，其中有3只不合格品、5只合格品，若每次取1只测试，直到3只不合格品全部测出为止，则最后1只不合格品恰好在第4次测试时被发现的不同情形种数为__________；在最后一只不合格品正好在第4次测试时被发现的条件下，第2次测得合格品的概率为__________. 14. 已知边长为3的正方形，F为边上靠近点B的三等分点，E为线段上一点，M为线段上一点，若，则__________；若以为底边作等腰三角形，则当点E在边上运动时，的取值范围为__________. 15. 已知，，当取得最大值时，此时有函数，函数，且对任意，有不等式恒成立，则实数p的取值范围为__________. 三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. （1）求的值； （2）若，求△ABC的面积； （3）求的值. 17. 如图，四棱台的上下底面均为正方形，且底面ABCD，. （1）求证：平面平面； （2）若线段上存在点P，使得平面与平面的夹角的余弦值为. （ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）求点到平面的距离. 18. 已知，数列满足，当时，. （1）求数列的通项公式； （2）数列的前n项和为，证明：； （3）若数列满足，，求数列的前n项和. 19. 已知椭圆（）的左焦点为F，点在椭圆上，且轴. （1）求椭圆的方程； （2）直线l与椭圆相切于点P，且点P在第一象限，过原点与直线l平行的直线与直线PF交于点Q，求的值. 20. 已知，函数（a，），. （1）当，时，求曲线在点处的切线方程； （2）已知，. （ⅰ）若，分别是函数，的导函数，且在区间上恒成立，求实数m的取值范围； （ⅱ）已知，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $