1.5.1 矩形的性质&专题特训 矩形中的折叠问题-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（湘教版·新教材）

1.5矩形 1.5.1矩形的性质 ④分点训练 。夯实基础 6.（岳阳云溪区期中)如图，矩形ABCD的两条 对角线AC,BD相交于点O,∠AOD=120°， 知识点①矩形的定义 AB=2,求BC的长和矩形ABCD的面积. 1.如图，要使口ABCD成为矩形，可以添加的 条件是 ( A.AB=BC B.AC⊥BD C.∠1+∠2=90 D.∠1=∠2 (第1题图) (第2题图) 知识点2矩形的性质 2.(娄底期中)如图，在矩形ABCD中，对角线7.（吉林中考）如图，在矩形ABCD中，点E,F AC,BD相交于点O.若OA=2,则BD的 在边BC上，连接AE,DF,∠BAE=∠CDF, 长为 ( (1)求证：△ABE≌△DCF; A.2 B.4 (2)当AB=12,DF=13时，求BE的长. C.6 D.8 3.下列说法错误的是 A.矩形是中心对称图形 B.矩形的对角线相等 C.矩形有4条对称轴 D.矩形的对边相等 4.如图，已知四边形ABCD是矩形，AD=10, CD=6,点E在AD上.若EC平分∠BED, 则DE的长为 易错点无图时无法根据题意准确画出草图 (第4题图) 致错 （第5题图) 8.在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点 5.如图，在矩形ABCD中，AC,BD交于点O,M, O,E是矩形ABCD的对角线AC的延长线 N分别为BC,OC的中点.若MN=3,AB=8, 上一点，连接BE.若AC=2BE,∠ACB= 则BC的长为 65°，则∠E的度数为 第1章四边形 20 B综合运用 。提升能力 (2)若∠FDC=30°，且AB=4,求AD的长. 9.(桂平期中)如图，在矩形ABCD中，对角线 AC,BD相交于点O,过点O的直线EF分 别交AB,CD于点E,F.若矩形ABCD的面 积为24，则阴影部分的面积是 ( ) A.4 B.6 C.8 D.10 C创新拓展 ⊙发展素养 (第9题图) （第10题图)》 10.(南宁江南区期中)如图，在矩形ABCD中， 14.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6, 对角线AC,BD交于点O,AE⊥BD于点 M,N分别是AB,CD的中点，P是AD上 E.如果∠DAE:∠BAE=3:1,那么 一点，且∠PNB=3∠CBN. ∠EAC的度数为 (1)求证：∠PNM=2∠CBN; 11.如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点， (2)求AP的长. ∠AED=90°，∠EAD=30°，F是AD边的中 点，EF=6cm,则BE的长为cm (第11题图) (第12题图) 12.(武冈期中)如图，延长矩形ABCD的边BC 至点E,使CE=BD,连接AE.若∠ADB= 30°，则∠E的度数为 13.如图，在矩形ABCD中，点E在BC上， AE=AD,DF⊥AE,垂足为F. (1)求证：DF=AB; 21 数学八年级下册湘教版 专题特训 矩形中的折叠问题 类型个沿矩形对角线所在直线折叠 4.如图，将矩形纸片ABCD(AB>AD)沿过点 1.如图，将矩形ABCD沿BD折叠得到△BCD, D的直线折叠，使点A落在CD边上的点F CD与AB交于点E.已知∠2=40°，则∠1 处，折痕为DE,连接CE,再将△BEC沿直 的度数为 线CE折叠，使点B落在DE上的点G处. A.20° 若BC=√2，则△DEC的面积为 B.25° C.30° D.40° 2.(长沙望城区期中)如图，将矩形ABCD沿对 (第4题图) (第5题图) 角线AC翻折，点B落在点F处，CF交AD 5.数学抽象分类讨论（宁乡期末）如图，在长方 于点E. 形ABCD中，AD=15,AB=17,E为射线 (1)求证：△ACE是等腰三角形； DC上一动点（不与点D重合），将△ADE沿 (2)若AB=8,BC=16,求△ACE的面积. AE翻折得到△ADE,连接D'B.若△ABD 为直角三角形，则DE的长为 类型3沿矩形对角线的垂直平分线折叠 6.如图，在矩形纸片ABCD中，AD∥BC,将矩 形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在 点C处，折痕为EF (1)若∠ABE=18°，求∠BFE的度数； (2)若AB=6,AD=8,求AE的长. 类型2沿仅过矩形一个顶点的直线折叠 3.如图，把矩形纸片ABCD折叠，使点B恰好落 在CD边的中点E处，折痕为AF.若CD=6, 则AF的长为 A.4√3 B.2√3 C.4√2 D.8 第1章四边形 227.C8.A9.120 ∠FAE=∠BCE, 10.(1)证明：，AF∥BC,.∠FAE=∠BCE.在△AEF和△CEB中，AE=CE, ∠AEF=∠CEB, .△AEF≌△CEB(角边角)..EF=BE..四边形ABCF是平行四边形.（2)解：.四边 形ABCF是平行四边形，∴.BF=2EF=2,AB∥CF.∴∠CFB=∠ABD=90°..CF⊥ BD.:BC=CD,.BD=2BF=4.∴.AD=√AB2+BD=5. 11.解：(1)一理由如下：：四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC.,OP=OQ, ∴.四边形APCQ是平行四边形.二理由如下：连接AC,交BD于点O.,四边形 ABCD是平行四边形，∴.OA=OC,OB=OD.DQ=BP,∴.OQ=OP.∴.四边形APCQ 是平行四边形.（任选其一即可）(2)如图，点Q即为所求.（答案不唯一） 1.3中心对称和中心对称图形 1.A2.D3.√13 4.解：(1)如图①，△DCB即为所求.(2)如图②，四边形A'B'C'D'即为所求。 图① 图② 5.D6.B7.解：都是中心对称图形，其对称中心分别是点A,B,C,D,如图所示. 8.C9.C10.12 11.解：(1)如图所示.(2)四边形BCBC是平行四边形.理由如下：由中心对称的性质， 得OB=OB',OC=OC,∴四边形BCB'C是平行四边形. R A' B 12.解：(1)△ADC和△EDB成中心对称.(2)8(3)由(1)得BE=AC=3..5-3< AE<5+3,即2<AE<8.,DE=AD,.2<2AD<8..1<AD<4. 13.解：(1)=(2)如图①，EF即为所求.(3)如图②，MN即为所求.（答案不唯一） 图① 图②@ 1.4三角形的中位线定理 1.B2.D3.B 4.解：∠ACB=90,AB=10,CD为中线，∴CD=号AB=5.:F为DE的中点， BE=BC,∴BF是△CDE的中位线.BF= 2cD=2.5 4 5.C6.C 7.证明：在△ABD中，E,H分别是AB,BD的中点，∴EH∥AD,EH=AD.同理得 FG/AD,FG=AD,∴EH∥FG且EH=FG.:四边形EFGH是平行四边形. 8.B9.C10.8 1.(I)证明：D,E分别是AB,AC中点，DE∥BC,DE=号BC.:CF=号BC, DE=CF.(2)解：由(1)知，DE∥BC,DE=CF,∴.四边形DEFC是平行四边形..CD= EF.,D为AB的中点，等边三角形ABC的边长是2，AD=BD=1,CD⊥AB,BC= 2.∴.EF=CD=√BC-BD=√3. 12.解：DE∥BC,DE=号BC证明如下：过点C作CF∥AB,与DE的延长线交于点 F,∴∠ADE=∠F.D,E分别是AB,AC的中点，∴.BD=AD,AE=CE.在△ADE和 ∠ADE=∠F, △CFE中，∠AED=∠CEF,∴.△ADE≌△CFE(角角边).∴.AD=CF,DE=EF= AE=CE, DR.CF/∥BD,BD=CR四边形DBCF是平行四边形.∴DF/BC,DF=BC又 DE-DF,∴DE/BC,DE-BC 专题特训构造三角形中位线的四种常用技巧 1.B2.号3.C【变式题1】6【变式题274.C5.46.B 7.1<EF<4【变式题】号 1.5矩形 1.5.1矩形的性质 1.C2.B3.C4.25.45 6.解：：∠AOD=120°，∴∠AOB=180°-∠AOD=60°.四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABC=90°，AC=BD=2OA=2OB.∴.△AOB是等边三角形..∴.OA=OB=AB=2. .BD=AC=2OA=4..BC=√AC-AB=25.∴.SE形ABCm=AB·BC=2X23=4V5. 7.(I)证明：四边形ABCD是矩形，∴.AB=CD,∠B=∠C=90°.在△ABE和△DCF I∠BAE=∠CDF, 中，3AB=DC, ∴·△ABE≌△DCF(角边角).(2)解：，△ABE≌△DCF,∴.AE= t∠B=∠C, DF=13.在Rt△ABE中，BE=√AE-AB=5. 8.50°9.B10.45°11.912.15° 13.(1)证明：四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC,∠B=∠ADC=90°..∠AEB= ∠DAF.又DF⊥AE,∠DFA=90°=∠B.又，AD=AE,△ADF≌△EAB(角角 边)..DF=AB.(2)解：由(1)知∠DFA=90°，.∠DAF+∠ADF=90°.，∠ADC= 90°，即∠ADF+∠FDC=90°，.∠DAF=∠FDC=30°..在Rt△ADF中，AD= 2DF.由(1)知DF=AB,∴.AD=2AB=8. 14.(1)证明：四边形ABCD是矩形，M,N分别是AB,CD的中点，.MN∥BC∥ AD..∠CBN=∠MNB.:∠PNB=3∠CBN,.∠PNM=2∠CBN.(2)解：连接 AN.易得∠ANM=∠MNB.:'AD∥MN∥BC,.∠PAN=∠ANM,∠CBN= ∠MNB.∴∠ANM=∠CBN.∴.∠PNM=2∠CBN=2∠ANM.∴∠ANM=∠ANP. ∠PAN=∠ANP.AP=PN.CD=AB=4,M,N分别为AB,CD的中点，∴.DN= 2.设PN=AP=x,则PD=6-x.在Rt△PDN中，PD2+DN2=PN2,.(6-x)2+ 2=,解得x=9∴AP-9 5 专题特训矩形中的折叠问题 1.B 2.(1)证明：四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC..∠DAC=∠ACB.由折叠的性质， 得∠ACB=∠ACE,∴∠DAC=∠ACE.∴AE=CE.△ACE是等腰三角形.(2)解： :四边形ABCD是矩形，.AD=BC=16,CD=AB=8,∠D=90°.：CE=AE,DE= AD-AE=16-AE,∴.在Rt△CDE中，CE2=DE2+CD2,即AE2=(16-AE)2+82. AE=10.Sam=2AECD=号×10X8=40 3.A4.√25.9或25 6.解：(1)由折叠的性质，得∠DEF=∠BEF.四边形ABCD是矩形，.AD∥BC, ∠ABC=9O°.∴.∠DEF=∠BFE=∠BEF,∠EBF=∠ABC-∠ABE=72°.∴∠BFE= 2(180°-∠EBF)=54,(2)设AE=x,则BE=DE=8-x,在R△ABE中，AE+AB BE,即十6=(8-P,解得x=子AE=子 1.5.2矩形的判定 1.C2.12 3.证明：，AB∥CD,∠BAD=90°，∴·∠D=180°-∠BAD=90°.在△ABC中，AB=5, BC=12,AC=13,∴.AB2+BC=AC.∴.△ABC是直角三角形，且∠B=90°.∴∠BAD= ∠D=∠B=90°.∴.四边形ABCD是矩形. 4.AC=BD(答案不唯一)5.4 6.证明：：OA=OC,OB=OD,.四边形ABCD是平行四边形.，∠AOB=∠OAD+ ∠ADO=2∠OAD,∴.∠OAD=∠ADO..OA=OD.∴.AC=BD.∴.四边形ABCD是 矩形. 7.C8.D9.A 10.答案不唯一，如：(1)解：①(2)证明：四边形ABCD为平行四边形，.AB∥DC, (AB=DC, AB=DC..∠A+∠D=180°.在△ABM和△DCM中， ∠1=∠2，.△ABM≌ BM=CM, △DCM(边角边)..∠A=∠D=90°..□ABCD为矩形. 11.证明：(1)CE∥BF,.∠BFD=∠CED.D是边BC的中点，∴BD=CD. ,∠BDF=∠CDE,∴△BDF≌△CDE(角角边).(2)由(I)知△BDF≌△CDE,∴.DF= DE=ER.又：BD=CD,四边形BFCE是平行四边形.DE=合BC,EF=BC. .四边形BFCE是矩形. 12.解：(1)四边形EFGH是矩形.理由如下：由折叠的性质可知∠AFE=∠EFK, ∠BPG=∠KFG.∴∠EPG-∠EFK+∠KFG=合（∠APK+∠BFK)=9O同理可 得∠FGH=∠EHG=90°..四边形EFGH是矩形.(2)如图，点M即为所求。 1.6菱形 1.6.1菱形的性质 1.D2.C3.A4.8 5.(I)证明：：四边形ABCD是菱形，AD=CD.:S菱形ABCD=AD·BE=CD·BF, .BE=BF.(2)解：BE⊥AD,∴∠BED=90°..∠A=∠BED-∠ABE=80°.四 边形ABCD是菱形，AB=AD.∠ABD-号(180°-∠A)=50.∠EBD= ∠ABD-∠ABE=40°. 6