1.4 三角形的中位线定理&专题特训 构造三角形中位线的四种常用技巧-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（湘教版·新教材）

1.4三角形的中位线定理 A分点训练 。夯实基础 知识点2三角形的中位线与平行四边形 5.(山西中考)如图，在□ABCD中，O是对角 知识点个三角形的中位线定理 1.(株洲天元区期末)如图，数学兴趣小组想测 线AC的中点，E是AD的中点，连接OE.下 列两条线段的数量关系一定成立的是( ) 量湖面AB的宽度，在湖面外任取一点O,先 连接OA和OB,接着分别取OA和OB的中 A.OE-TAD B.OE-BC 点C,D,测得CD的长为4m,则AB的宽 度为 ( C.OE-7AB D.OE-7AC A.12m B.8 m C.6m D.4 m (第5题图) (第6题图) 6.(广东中考)如图，D,E,F分别是△ABC各 (第1题图) (第2题图) 边上的中点，∠A=70°，则∠EDF的度数是 2.如图，在△ABC中，D,E分别是AC,BC的 () 中点.若∠A=45°，∠CED=70°，则∠C的度 A.20° B.40° C.70° D.110° 数为 ( 7.(教材P25习题T4变式)如图，D是△ABC A.45° B.50° C.60° D.65° 内一点，E,F,G,H分别是AB,AC,CD,BD 3.(教材P25练习T1变式)（资阳中考）三角形的 的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形 周长为48cm,则它的三条中位线组成的三角形 的周长是 ( A.12 cm B.24 cm C.28 cm D.30 cm 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为 中线，延长CB至点E,使BE=BC,连接 DE,F为DE的中点，连接BF.若AB=10, 求BF的长， 17 数学八年级下册湘教版 B综合运用 。提升能力 (2)求EF的长. 8.(湘乡期末)如图，EF是△ABC的中位线， BD平分∠ABC,交EF于点D,BE=3, DF=1,则BC的长为 A.4 B.8 C.12 D.无法求出 9.(教材P25习题T1变式)如图，在□ABCD C创新拓展 0发展素养 中，对角线AC,BD相交于点O,且E,F,G, H分别是OA,OB,OC,OD的中点.下列说 12.新趋势知识生成)（教材P23“探究”变式）证 法正确的是 明三角形中位线定理的方法很多，下面是其 A.EH-HG 中一种添加辅助线构图的方法：如图，过点C B.AC⊥BD 作CF∥AB,与DE的延长线交于点F C.四边形EFGH是平行四边形 请结合图形，补全求证及证明过程. D.△ABO的面积是△EFO面积的2倍 已知：在△ABC中，点D,E分别是AB,AC 的中点。 求证： D (第9题图) (第10题图) 10.如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD= AC,AE⊥CD,垂足为E,过点E作EF∥AB 交BC于点F.若BD=16,则EF的长为 11.(娄底期中)如图，等边三角形ABC的边长 是2，D,E分别为AB,AC的中点，延长BC 至点F,使CF=BC,连接CD,EF (1)求证：DE=CF; 第1章四边形 18 专题特训 构造三角形中位线的四种常用技巧 类型个已知两边中点，连接第三边构造中位线 类型3 已知一边中点，取另一边中点构造中位线 1.如图，在四边形ABCD中，E,F分别是AB, 4.如图，在△ABC中，延长BC至点D,使 AD的中点.若BC=10,DC=6,EF=4, ∠AFE=50°，则∠ADC的度数是( ) CD=号BC,过AC的中点E作EF∥CD(点 A.150° B.140°C.135°D.120° F位于点E右侧)，且EF=2CD,连接DF 若AB=8,则DF的长为 ( A.2 B.3 C.4 D.5 5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,BC=5, (第1题图) (第2题图) AB=8,AD=10,M是BD的中点，则CM 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3, 的长为 BC=4,N是BC上一点，M是AB上的动 点，D,E分别为CN,MN的中点，则DE长 的最小值是 类型2已知角平分线十垂线，延长一边构造 24 等腰三角形得中位线 (第5题图) (第6题图) 3.(益阳赫山区期末)如图，在△ABC中，D是 类型4 已知两条线段的中点，取公共边的中 BC边的中点，AE是∠BAC的平分线， 点，得两条中位线 AE⊥CE于点E,连接DE.若AB=7,DE= 6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD= 1,则AC的长是 ( 2,BC=5,E,F分别是对角线AC,BD的中 A.4 B.4.5 C.5 D.5.5 点，则EF的长为 ( A.1 B.1.5 C.2.5 D.3.5 7.如图，在四边形ABCD中，AB=3,CD=5, B E,F分别为AD,BC的中点，则EF长的取 (第3题图) (变式题1图) 值范围是 【变式题1】如图，在△ABC中，AB=15,BC 3,BD平分∠ABC,交AC于点E,过点A作 BE的垂线，交BE的延长线于点D,F为 AC的中点，连接DF,则DF的长为 【变式题2】如图，AD为△ABC中∠BAC的 (第7题图)》 (变式题图) 外角平分线，BD⊥AD于点D,E为BC的中 【变式题】公共边已知→公共边隐藏 点，DE=5,AC=3,则AB的长为 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D,E分 别在边AB和BC上，且AD=4,CE=3,连接 DE,M,N分别是AC,DE的中点，连接MN,则 (变式题2图) (第4题图) MN的长为 19 数学八年级下册湘教版7.C8.A9.120 ∠FAE=∠BCE, 10.(1)证明：，AF∥BC,.∠FAE=∠BCE.在△AEF和△CEB中，AE=CE, ∠AEF=∠CEB, .△AEF≌△CEB(角边角)..EF=BE..四边形ABCF是平行四边形.（2)解：.四边 形ABCF是平行四边形，∴.BF=2EF=2,AB∥CF.∴∠CFB=∠ABD=90°..CF⊥ BD.:BC=CD,.BD=2BF=4.∴.AD=√AB2+BD=5. 11.解：(1)一理由如下：：四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC.,OP=OQ, ∴.四边形APCQ是平行四边形.二理由如下：连接AC,交BD于点O.,四边形 ABCD是平行四边形，∴.OA=OC,OB=OD.DQ=BP,∴.OQ=OP.∴.四边形APCQ 是平行四边形.（任选其一即可）(2)如图，点Q即为所求.（答案不唯一） 1.3中心对称和中心对称图形 1.A2.D3.√13 4.解：(1)如图①，△DCB即为所求.(2)如图②，四边形A'B'C'D'即为所求。 图① 图② 5.D6.B7.解：都是中心对称图形，其对称中心分别是点A,B,C,D,如图所示. 8.C9.C10.12 11.解：(1)如图所示.(2)四边形BCBC是平行四边形.理由如下：由中心对称的性质， 得OB=OB',OC=OC,∴四边形BCB'C是平行四边形. R A' B 12.解：(1)△ADC和△EDB成中心对称.(2)8(3)由(1)得BE=AC=3..5-3< AE<5+3,即2<AE<8.,DE=AD,.2<2AD<8..1<AD<4. 13.解：(1)=(2)如图①，EF即为所求.(3)如图②，MN即为所求.（答案不唯一） 图① 图②@ 1.4三角形的中位线定理 1.B2.D3.B 4.解：∠ACB=90,AB=10,CD为中线，∴CD=号AB=5.:F为DE的中点， BE=BC,∴BF是△CDE的中位线.BF= 2cD=2.5 4 5.C6.C 7.证明：在△ABD中，E,H分别是AB,BD的中点，∴EH∥AD,EH=AD.同理得 FG/AD,FG=AD,∴EH∥FG且EH=FG.:四边形EFGH是平行四边形. 8.B9.C10.8 1.(I)证明：D,E分别是AB,AC中点，DE∥BC,DE=号BC.:CF=号BC, DE=CF.(2)解：由(1)知，DE∥BC,DE=CF,∴.四边形DEFC是平行四边形..CD= EF.,D为AB的中点，等边三角形ABC的边长是2，AD=BD=1,CD⊥AB,BC= 2.∴.EF=CD=√BC-BD=√3. 12.解：DE∥BC,DE=号BC证明如下：过点C作CF∥AB,与DE的延长线交于点 F,∴∠ADE=∠F.D,E分别是AB,AC的中点，∴.BD=AD,AE=CE.在△ADE和 ∠ADE=∠F, △CFE中，∠AED=∠CEF,∴.△ADE≌△CFE(角角边).∴.AD=CF,DE=EF= AE=CE, DR.CF/∥BD,BD=CR四边形DBCF是平行四边形.∴DF/BC,DF=BC又 DE-DF,∴DE/BC,DE-BC 专题特训构造三角形中位线的四种常用技巧 1.B2.号3.C【变式题1】6【变式题274.C5.46.B 7.1<EF<4【变式题】号 1.5矩形 1.5.1矩形的性质 1.C2.B3.C4.25.45 6.解：：∠AOD=120°，∴∠AOB=180°-∠AOD=60°.四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABC=90°，AC=BD=2OA=2OB.∴.△AOB是等边三角形..∴.OA=OB=AB=2. .BD=AC=2OA=4..BC=√AC-AB=25.∴.SE形ABCm=AB·BC=2X23=4V5. 7.(I)证明：四边形ABCD是矩形，∴.AB=CD,∠B=∠C=90°.在△ABE和△DCF I∠BAE=∠CDF, 中，3AB=DC, ∴·△ABE≌△DCF(角边角).(2)解：，△ABE≌△DCF,∴.AE= t∠B=∠C, DF=13.在Rt△ABE中，BE=√AE-AB=5. 8.50°9.B10.45°11.912.15° 13.(1)证明：四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC,∠B=∠ADC=90°..∠AEB= ∠DAF.又DF⊥AE,∠DFA=90°=∠B.又，AD=AE,△ADF≌△EAB(角角 边)..DF=AB.(2)解：由(1)知∠DFA=90°，.∠DAF+∠ADF=90°.，∠ADC= 90°，即∠ADF+∠FDC=90°，.∠DAF=∠FDC=30°..在Rt△ADF中，AD= 2DF.由(1)知DF=AB,∴.AD=2AB=8. 14.(1)证明：四边形ABCD是矩形，M,N分别是AB,CD的中点，.MN∥BC∥ AD..∠CBN=∠MNB.:∠PNB=3∠CBN,.∠PNM=2∠CBN.(2)解：连接 AN.易得∠ANM=∠MNB.:'AD∥MN∥BC,.∠PAN=∠ANM,∠CBN= ∠MNB.∴∠ANM=∠CBN.∴.∠PNM=2∠CBN=2∠ANM.∴∠ANM=∠ANP. ∠PAN=∠ANP.AP=PN.CD=AB=4,M,N分别为AB,CD的中点，∴.DN= 2.设PN=AP=x,则PD=6-x.在Rt△PDN中，PD2+DN2=PN2,.(6-x)2+ 2=,解得x=9∴AP-9 5 专题特训矩形中的折叠问题 1.B 2.(1)证明：四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC..∠DAC=∠ACB.由折叠的性质， 得∠ACB=∠ACE,∴∠DAC=∠ACE.∴AE=CE.△ACE是等腰三角形.(2)解： :四边形ABCD是矩形，.AD=BC=16,CD=AB=8,∠D=90°.：CE=AE,DE= AD-AE=16-AE,∴.在Rt△CDE中，CE2=DE2+CD2,即AE2=(16-AE)2+82. AE=10.Sam=2AECD=号×10X8=40 3.A4.√25.9或25 6.解：(1)由折叠的性质，得∠DEF=∠BEF.四边形ABCD是矩形，.AD∥BC, ∠ABC=9O°.∴.∠DEF=∠BFE=∠BEF,∠EBF=∠ABC-∠ABE=72°.∴∠BFE= 2(180°-∠EBF)=54,(2)设AE=x,则BE=DE=8-x,在R△ABE中，AE+AB BE,即十6=(8-P,解得x=子AE=子 1.5.2矩形的判定 1.C2.12 3.证明：，AB∥CD,∠BAD=90°，∴·∠D=180°-∠BAD=90°.在△ABC中，AB=5, BC=12,AC=13,∴.AB2+BC=AC.∴.△ABC是直角三角形，且∠B=90°.∴∠BAD= ∠D=∠B=90°.∴.四边形ABCD是矩形. 4.AC=BD(答案不唯一)5.4 6.证明：：OA=OC,OB=OD,.四边形ABCD是平行四边形.，∠AOB=∠OAD+ ∠ADO=2∠OAD,∴.∠OAD=∠ADO..OA=OD.∴.AC=BD.∴.四边形ABCD是 矩形. 7.C8.D9.A 10.答案不唯一，如：(1)解：①(2)证明：四边形ABCD为平行四边形，.AB∥DC, (AB=DC, AB=DC..∠A+∠D=180°.在△ABM和△DCM中， ∠1=∠2，.△ABM≌ BM=CM, △DCM(边角边)..∠A=∠D=90°..□ABCD为矩形. 11.证明：(1)CE∥BF,.∠BFD=∠CED.D是边BC的中点，∴BD=CD. ,∠BDF=∠CDE,∴△BDF≌△CDE(角角边).(2)由(I)知△BDF≌△CDE,∴.DF= DE=ER.又：BD=CD,四边形BFCE是平行四边形.DE=合BC,EF=BC. .四边形BFCE是矩形. 12.解：(1)四边形EFGH是矩形.理由如下：由折叠的性质可知∠AFE=∠EFK, ∠BPG=∠KFG.∴∠EPG-∠EFK+∠KFG=合（∠APK+∠BFK)=9O同理可 得∠FGH=∠EHG=90°..四边形EFGH是矩形.(2)如图，点M即为所求。 1.6菱形 1.6.1菱形的性质 1.D2.C3.A4.8 5.(I)证明：：四边形ABCD是菱形，AD=CD.:S菱形ABCD=AD·BE=CD·BF, .BE=BF.(2)解：BE⊥AD,∴∠BED=90°..∠A=∠BED-∠ABE=80°.四 边形ABCD是菱形，AB=AD.∠ABD-号(180°-∠A)=50.∠EBD= ∠ABD-∠ABE=40°. 6