精品解析：山东青岛莱西市（五四制）2025-2026学年七年级下学期期中数学试题

2025-2026学年度第二学期期中质量检测 初二数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第I卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，共15小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本题满分30分，共10道小题，每小题3分） 1. 掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有到的数字．下列事件是必然事件的是（ ） A. 向上两面的数字和为 B. 向上两面的数字和大于 C. 向上两面的数字和大于 D. 向上两面的数字和为奇数 【答案】B 【解析】 【分析】必然事件是在一定条件下一定发生的事件，根据两个小正方体的点数范围判断各事件的性质即可． 【详解】解：每个小正方体向上的数字最小为，最大为， 两个数字的和最小为，最大为； A、向上两面的数字和为仅在和时发生，是随机事件，不符合题意； B、两个数字的和最小为，向上两面的数字和一定大于，是必然事件，符合题意； C、向上两面的数字和大于仅在，，时发生，是随机事件，不符合题意； D、向上两面的数字和为奇数可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合题意． 2. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 同旁内角互补 B. 对顶角相等 C. 等角的补角相等 D. 垂线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】根据对顶角的性质、平行线的性质、补角的性质、垂线段的性质，判断命题的真假即可． 【详解】解：A选项中，只有两直线平行时，同旁内角才互补，原命题缺少前提条件，∴A是假命题，符合题意； B选项，对顶角相等是真命题，不符合题意； C选项，等角的补角相等是真命题，不符合题意； D选项，垂线段最短是真命题，不符合题意． 3. 如图，要得到，则需要的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定定理，熟练掌握其定理是解题的关键． 分析各选项中角的关系，根据平行线判定定理进行判断即可． 【详解】解：选项A、和是内错角，由于，则； 选项B、由于，则； 选项C、和不是直线、被同一条直线所截形成的角，则无法得到； 选项D、由于，则， 故选：A． 4. 下列说法正确的是（ ） A. “将油滴入水中，油会浮在水面上”是不可能事件 B. “水中捞月”是随机事件 C. “打开电视，正在播放广告”是必然事件 D. 抛掷一个正方体骰子，朝上的面的点数为偶数的概率是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类与概率计算．必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件．事件的概率等于． 【详解】选项A，∵“将油滴入水中，油会浮在水面上”是一定发生的事件，属于必然事件，∴ 选项A不符合题意； 选项B，∵“水中捞月”是一定不会发生的事件，属于不可能事件，∴选项 B不符合题意； 选项C，∵“打开电视，正在播放广告”可能发生也可能不发生，属于随机事件，∴ 选项 C不符合题意； 选项D，∵抛掷正方体骰子，朝上的面共有1，2，3，4，5，6这6种等可能的结果，其中点数为偶数的结果有2，4，6共3种， ∴ 朝上的面的点数为偶数的概率为 ，∴ 选项D符合题意． 5. 学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，落下后，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是频率的计算应用． 频率∶每个对象出现的次数与总次数的比值称为频率，熟知频率公式是解题的关键； 由骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，利用频率公式直接求解即可求得答案． 【详解】骰子的六个面上分别刻有1到6的点数， 掷得朝上一面的点数是6的频率为：， 故选：B． 6. 哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，则哥哥每分钟跑（ ）米． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由反向相遇得速度和，由同向追及得速度差，设哥哥每分钟跑x米，弟弟每分钟跑y米，列方程组求解哥哥速度即可． 【详解】解：设哥哥每分钟跑x米，弟弟每分钟跑y米， 则由题意得，， 解得，， 即哥哥每分钟跑米． 7. 2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质． 过点C作，得到，推出，，即可求出． 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 8. 一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下（），支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若摩擦力与重力方向的夹角，则斜面的坡角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，延长交于点，构造直角三角形，根据直角三角形的两个锐角互余找角之间的关系． 【详解】解：如下图所示，延长交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ． 故选：A． 9. 《孙子算经》中记载了一道有趣的题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：木长几何？”大意是：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺，问木头多长?（一尺等于十寸），设木头长尺，绳子长尺，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设木头长尺，绳子长尺，由题意可得，， ∴可列方程组为． 10. 已知关于，的方程组，下列四个结论中正确的是（ ） ①当时，该方程组的解也是方程的解； ②存在有理数，使得； ③当时，； ④不论取什么数，的值始终不变． A. ①② B. ②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】通过对原方程组进行整体加减运算，可将结论中的表达式用含  的代数式表示，进而判断结论的正误． 【详解】解：原方程组为 判断①：当时，方程组变为 解得 将解代入得 故①错误； 判断②：对原方程组，由得 若，则，解得，是有理数， 故②正确； 判断③：对原方程组，由得， 若，则，解得， 故③错误； 判断④：对原方程组，由得 得，即无论取何值，的值恒为， 故④正确； 因此正确结论为②④． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本题满分24分，共8道小题，每小题3分） 11. 李明打算购买1张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择1个，则李明购买的车票座位刚好靠近窗户的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据选择座位的方法共有5种，购买的1张票靠窗选法有2种，列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，选择座位的方法共有5种，购买的1张票靠窗选法有2种， 则李明购买的车票座位刚好靠近窗户的概率是． 12. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】过C作，根据平行线的判定与性质可求出，，然后根据求解即可． 【详解】解：过C作， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13. 如图，一面长方形墙壁因年久失修，墙上只残留5块形状大小一样的长方形瓷砖（空白部分），其中，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】47 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设每块长方形瓷砖的长为x，宽为y，根据图形可得1个长加上3个宽等于13，一个长加上一个宽等于9，据此建立方程组求解，再求得每块长方形瓷砖的面积后即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：设每块长方形瓷砖的长为x，宽为y， 由题意得：， 解得：， ∴图中每块长方形瓷砖的面积为， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：47． 14. 有长度分别为，，，的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先列举出从四条线段中任取三条的所有等可能结果，再根据三角形三边关系判断能组成三角形的结果个数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：从长度为，，，的四条线段中任取三条， 共有以下种等可能的结果： ①，，；②，，；③，，；④，，， 对四种结果逐一判断： ，满足三边关系，可以组成三角形； ，不满足三边关系，不能组成三角形； ，不满足三边关系，不能组成三角形； ，满足三边关系，可以组成三角形， 因此能组成三角形的结果有种， 根据概率公式，． 15. 如图，直线过，两点，则解为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵直线过，两点， ∴， 解得：， ∴， ∴， 解得：， ∴解为． 16. 如图，在中，分别是和的角平分线，过点D作于点E．已知的周长为14，则的面积为______． 【答案】7 【解析】 【分析】连接，过D分别作 于F、G，则由的面积=三个小三角形的面积之和可得解答． 【详解】解：如图，连接，过D分别作于F、G， 则由角平分线的性质定理可得：， ∴ = = =7， 故答案为7． 【点睛】本题考查角平分线的应用，熟练掌握角平分线的性质定理和三角形的面积公式是解题关键． 三．解答题（本题满分72分，共9道小题） 17. 解方程组： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： 将①代入②，得： ， 解得：， 将代入①，得：， 所以原方程组的解是 【小问2详解】 解：， 把代入②，得，解得； 把代入①，得，解得； ∴方程组的解为； 【小问3详解】 解：原方程组可化为 ，得，解得； 把代入①，得； ∴方程组的解为． 18. 已知：如图，直线，．求证：． 【答案】 证明：， ． ， ， ， ， 即． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟知“同位角相等与直线平行”的推理关系是解题的关键．由平行线的性质得．由平行线的判定得，两式相减即可证明． 【详解】略 19. 在一个不透明的袋子中装有个红球和个白球，每个球除颜色外其余都相同． （1）从中任意摸出个球，摸到______球的可能性大； （2）摸出红球和白球的概率分别是多少？ （3）如果另拿红球和白球共个放入袋中并搅匀，使得从中任意摸出个球，摸到红球和白球的可能性大小相等，那么应放入______个红球，______个白球． 【答案】（1）白 （2） （3） ， 【解析】 【分析】由于白球比红球多，所以摸到白球的可能性大； 根据概率公式求解； 设应放入个红球，个白球，根据概率公式得到，然后解方程即可． 【小问1详解】 ∵白球个数>红球个数， ∴从中任意摸出个球，摸到白球的可能性大； 故答案为：白； 【小问2详解】 摸到红球的概率，摸到白球的概率， 【小问3详解】 设应放入个红球，个白球， 根据题意得， 解得， ， 所以应放入个红球，个白球． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了等可能事件和概率公式，正确理解概率公式是解决问题的关键． 20. 探究与发现： （1）在同一平面内，若直线，，则与存在什么位置关系？请说明理由． （2）在同一平面内，若直线，，，则直线与的位置关系是__________． （3）在同一平面内，现在有条直线，且有，，，，，则与的位置关系是__________． 【答案】（1） 解：，理由， ∵，， ∴， ∴， （2）⊥； （3）⊥． 【解析】 【分析】（）根据平行线的判定定理求解； （）根据（）的结论及平行公理推理； （）根据（）的结论及平行公理推理． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图， 由（）（）可知，，，；，， ∴与下标为偶数的直线垂直，与下标为奇数的直线平行， ∵下标为偶数， ∴⊥， 故答案为：⊥． 21. 如图，，点F在上，点C，G在上，． （1）与平行吗？说明理由； （2）若，平分，求的度数． 【答案】（1） 解：，理由如下： ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得，结合可推得，再根据平行线的判定，即可得到结论； （2）先求出，再结合角平分线的定义，可求得，最后根据平行线的性质，即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 22. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F． （1）若∠C=36°，求∠BAD的度数． （2）求证：FB=FE． 【答案】（1）； （2）证明：BE平分 又 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB=90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题； （2）只要证明∠FBE=∠FEB即可解决问题． 【详解】解：（1） D为BC的中点， （2）略 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 23. 推进科技文化进社区活动，提升社区居民对科技文化的体验感，某社区计划打造科技文化角，准备购买甲、乙两种具有科技文化展示功能的智能收纳桶．已知甲种智能收纳桶专注于科普知识展示，乙种智能收纳桶侧重文化历史呈现，且购买甲种智能收纳桶的单价比购买乙种智能收纳桶的单价少50元．购买4个甲种智能收纳桶和6个乙种智能收纳桶所需费用为2300元． （1）求甲、乙两种智能收纳桶的单价； （2）该社区拟计划订购这两种智能收纳桶共30个，用于丰富科技文化角的展示内容，且总费用为7000元，则社区购买了多少个乙种智能收纳桶？ 【答案】（1）甲种智能收纳桶的单价为元，乙种智能收纳桶的单价为元 （2）社区购买了20个乙种智能收纳桶 【解析】 【分析】（1）设甲种智能收纳桶的单价为元，乙种智能收纳桶的单价为元，根据购买甲种智能收纳桶的单价比购买乙种智能收纳桶的单价少50元，购买4个甲种智能收纳桶和6个乙种智能收纳桶所需费用为2300元，列出方程组进行求解即可． （2）设购买甲种智能收纳桶个，则购买乙种智能收纳桶个，根据订购这两种智能收纳桶共30个，总费用为7000元，列出方程组进行求解即可. 【小问1详解】 解：设甲种智能收纳桶的单价为元，乙种智能收纳桶的单价为元， 由题意得， 解得， 答：甲种智能收纳桶的单价为元，乙种智能收纳桶的单价为元； 【小问2详解】 解：设购买甲种智能收纳桶个，则购买乙种智能收纳桶个， 由题意得， 解得， 答：社区购买了20个乙种智能收纳桶． 24. 如图，已知一次函数的图象交正比例函数于，交y轴于点，交x轴于点A． （1）求该一次函数解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2）4 【解析】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式； （1）先求得，把，代入，再建立方程组求解即可； （2）先求得点坐标为，结合三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：把代入得，， 解得， ∴， 把，代入得， 解得， 所以一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：把代入得， ∴点坐标为， ∴的面积． 25. 定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：的“亲密方程”为． （1）方程的“亲密方程”为__________； （2）已知关于，的二元一次方程的系数满足，求与它的“亲密方程”组成的方程组的解； （3）若（2）中方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“亲密方程”的定义即可得解； （2）联立方程组，利用加减消元法求解即可； （3）将解代入二元一次方程中，得到，，整体代入代数式化简求值即可． 【小问1详解】 解：根据“亲密方程”的定义可得，方程的“亲密方程”为； 【小问2详解】 解：由题意得：， 得，， 即， ， ， ， 将代入得，，解得， ， ， ， 方程组的解为； 【小问3详解】 解：是方程的一个解， ， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中质量检测 初二数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第I卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，共15小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本题满分30分，共10道小题，每小题3分） 1. 掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有到的数字．下列事件是必然事件的是（ ） A. 向上两面的数字和为 B. 向上两面的数字和大于 C. 向上两面的数字和大于 D. 向上两面的数字和为奇数 2. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 同旁内角互补 B. 对顶角相等 C. 等角的补角相等 D. 垂线段最短 3. 如图，要得到，则需要的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. “将油滴入水中，油会浮在水面上”是不可能事件 B. “水中捞月”是随机事件 C. “打开电视，正在播放广告”是必然事件 D. 抛掷一个正方体骰子，朝上的面的点数为偶数的概率是 5. 学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，落下后，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近（ ） A. B. C. D. 6. 哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，则哥哥每分钟跑（ ）米． A. B. C. D. 7. 2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下（），支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若摩擦力与重力方向的夹角，则斜面的坡角的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 《孙子算经》中记载了一道有趣的题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：木长几何？”大意是：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺，问木头多长?（一尺等于十寸），设木头长尺，绳子长尺，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于，的方程组，下列四个结论中正确的是（ ） ①当时，该方程组的解也是方程的解； ②存在有理数，使得； ③当时，； ④不论取什么数，的值始终不变． A. ①② B. ②④ C. ②③④ D. ①②③④ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本题满分24分，共8道小题，每小题3分） 11. 李明打算购买1张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择1个，则李明购买的车票座位刚好靠近窗户的概率是________． 12. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为___________． 13. 如图，一面长方形墙壁因年久失修，墙上只残留5块形状大小一样的长方形瓷砖（空白部分），其中，，则图中阴影部分的面积为________． 14. 有长度分别为，，，的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是__________． 15. 如图，直线过，两点，则解为______． 16. 如图，在中，分别是和的角平分线，过点D作于点E．已知的周长为14，则的面积为______． 三．解答题（本题满分72分，共9道小题） 17. 解方程组： （1）； （2）； （3）． 18. 已知：如图，直线，．求证：． 19. 在一个不透明的袋子中装有个红球和个白球，每个球除颜色外其余都相同． （1）从中任意摸出个球，摸到______球的可能性大； （2）摸出红球和白球的概率分别是多少？ （3）如果另拿红球和白球共个放入袋中并搅匀，使得从中任意摸出个球，摸到红球和白球的可能性大小相等，那么应放入______个红球，______个白球． 20. 探究与发现： （1）在同一平面内，若直线，，则与存在什么位置关系？请说明理由． （2）在同一平面内，若直线，，，则直线与的位置关系是__________． （3）在同一平面内，现在有条直线，且有，，，，，则与的位置关系是__________． 21. 如图，，点F在上，点C，G在上，． （1）与平行吗？说明理由； （2）若，平分，求的度数． 22. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F． （1）若∠C=36°，求∠BAD的度数． （2）求证：FB=FE． 23. 推进科技文化进社区活动，提升社区居民对科技文化的体验感，某社区计划打造科技文化角，准备购买甲、乙两种具有科技文化展示功能的智能收纳桶．已知甲种智能收纳桶专注于科普知识展示，乙种智能收纳桶侧重文化历史呈现，且购买甲种智能收纳桶的单价比购买乙种智能收纳桶的单价少50元．购买4个甲种智能收纳桶和6个乙种智能收纳桶所需费用为2300元． （1）求甲、乙两种智能收纳桶的单价； （2）该社区拟计划订购这两种智能收纳桶共30个，用于丰富科技文化角的展示内容，且总费用为7000元，则社区购买了多少个乙种智能收纳桶？ 24. 如图，已知一次函数的图象交正比例函数于，交y轴于点，交x轴于点A． （1）求该一次函数解析式； （2）求的面积． 25. 定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：的“亲密方程”为． （1）方程的“亲密方程”为__________； （2）已知关于，的二元一次方程的系数满足，求与它的“亲密方程”组成的方程组的解； （3）若（2）中方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $