精品解析：甘肃民乐县第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

民乐一中2025-2026学年第二学期高二年级期中考试 数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 向量，，若，，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 若函数的极大值点与极小值点分别为，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，给定点，若点与点关于平面对称，点与点关于轴对称，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. 6 B. 3 C. D. 5. 如图，四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE，则=（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，则必有（ ） A. B. C. D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，则 B. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 C. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 D. 两个不同的平面的法向量分别是，则 10. 题图为的图像，下列判断中正确的是（ ）． A. 函数在区间上是严格减函数 B. 函数在区间上是严格减函数 C. 函数在区间上是严格增函数 D. 函数在区间上是严格增函数 11. 对于函数，下列结论正确的（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若恒成立，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的一条切线是，则实数______. 13. 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则___________． 14. 已知函数，且在区间上的最大值为3，无最小值，则的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设O为坐标原点，． （1）求； （2）若点P为直线OC上一动点，求的最小值． 16. 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点. （1）求证：平面ADEF； （2）求证：平面BDE. 17. 已知函数 （1）求函数 的单调区间和极值点； （2）若 的极小值为 ，求函数 在 上的最大值． 18. 如图，在长方体中，.请用空间向量知识解答下列问题： （1）求证：当点在棱上移动时，始终有； （2）点在棱上移动，当平面平面时，求的长. 19. 已知函数，其中． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 民乐一中2025-2026学年第二学期高二年级期中考试 数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 向量，，若，，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则，即， 又，则，即，所以， 则. 故选：D 2. 若函数的极大值点与极小值点分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，根据导数判断函数单调性与极值点，即可得解. 【详解】由，得， 则当时，；当或时，， 故在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值点与极小值点分别为，， 则，，所以， 故选：C. 3. 在空间直角坐标系中，给定点，若点与点关于平面对称，点与点关于轴对称，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据点的对称求得和的坐标，进而利用两点间的距离公式求得. 【详解】解：由题意得： 由点与点关于平面对称， 点与点关于轴对称. 可知： 则 故选：A． 4. 已知函数，则（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，通过赋值法求得代入，即可得. 【详解】因为， 所以， 令，得， ∴， 所以，故 故选：D. 5. 如图，四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由向量线性运算的几何含义知，，，，即可得与的线性关系式. 【详解】四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE， ∴===+=. 故选：B 6. 已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出函数的导函数，根据在区间上单调递增，得出，利用导数求出的最小值，从而求出是的最大值. 【详解】由已知可得， 因为在上单调递增， 所以即在上恒成立， 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，所以， 即的最大值为. 故选：C 7. 已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用夹角是锐角的向量关系计算即可. 【详解】因为空间向量，， 若与的夹角是锐角，则且不成立， 所以或. 故选：C. 8. 已知定义在上的函数满足，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设，则，所以在上单调递增，则，即，所以. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，则 B. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 C. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 D. 两个不同的平面的法向量分别是，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A由不重合两直线方向向量平行可判断；对于B要考虑直线可能在面内；对于C，直线方向向量与法向量平行，则直线与面垂直；对于D，由两法向量垂直可得两平面垂直. 【详解】对于A，两条不重合直线的方向向量分别是： ， 则，所以，即，故A正确； 对于B，直线的方向向量，平面的法向量是， 则， 所以，即或，故B错误； 对于C，直线的方向向量，平面的法向量是， 则，所以，即，故C错误； 对于D，两个不同的平面的法向量分别是， 则， 所以，故D正确． 故选：AD. 10. 题图为的图像，下列判断中正确的是（ ）． A. 函数在区间上是严格减函数 B. 函数在区间上是严格减函数 C. 函数在区间上是严格增函数 D. 函数在区间上是严格增函数 【答案】AC 【解析】 【分析】借助导函数的正负即可得原函数的单调性. 【详解】对A：在区间上，则函数在区间是严格减函数，故A正确； 对B：在区间上有正有负，故B错误； 对C：在区间上，则函数在区间是严格增函数，故C正确； 对D：在区间上有正有负，故D错误； 故选：AC. 11. 对于函数，下列结论正确的（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得，得到的单调区间，可判定A正确；根据的单调性，结合当时，，当时，，画出的图象，可判定B错误；根据的单调性，得到，结合，可判定C正确；转化为在恒成立，令，求得，得到函数的单调性与，可判定D正确. 【详解】由函数，可得， 令，解得， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，所以A正确； 当时，，当时，， 则函数的图象，如图所示， 所以函数有且仅有一个零点，所以B错误； 由函数的图象，可得， 因为，所以，所以C正确； 若在恒成立，则在恒成立， 令，可得， 当时，；当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以，所以D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的一条切线是，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】设切点坐标为，根据导数导数的几何意义可得出关于、的方程组，即可解得实数的值. 【详解】因为，则， 设切点坐标为，则满足①， ，则，代入①得，解得， 所以，. 故答案为：. 13. 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的坐标表示，结合投影向量公式进行求解即可. 【详解】由题意得，， ∴向量在向量上的投影数量为． 所以 故答案为：. 14. 已知函数，且在区间上的最大值为3，无最小值，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性，求出函数的极值，结合题意可得且，即可求解. 【详解】由题意知，， 令或， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则的极大值为，极小值为，且， 又在上的最大值为3，无最小值， 所以，解得，所以， 令，解得或，所以， 所以. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设O为坐标原点，． （1）求； （2）若点P为直线OC上一动点，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量夹角的坐标表示计算即可； （2）利用三点共线的坐标表示设，利用空间向量的数量积的坐标表示结合二次函数性质求最值即可. 【小问1详解】 由题意可知， 所以， 则； 【小问2详解】 由题意可设，则， 易知， 所以 ， 当时，取得最小值. 16. 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点. （1）求证：平面ADEF； （2）求证：平面BDE. 【答案】（1）证明：取的中点，连接，， 在中，，分别为，的中点，所以，且， 由已知，，所以，且， 所以四边形为平行四边形，可得， 又因为平面，且平面， 所以平面. （2）证明：在正方形中，，因为平面平面，且平面平面， 且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 在直角梯形中，，，可得， 在中，，， 因为，所以， 因为，平面， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，先证明四边形为平行四边形，可得，即可证出； （2）由平面平面可得平面，可得，再结合勾股定理证明，即可证出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知函数 （1）求函数 的单调区间和极值点； （2）若 的极小值为 ，求函数 在 上的最大值． 【答案】（1）增区间是，减区间是和， 是函数 的极小值点； 是函数 的极大值点． （2） ． 【解析】 【分析】（1）先求导函数再根据导函数正负得出函数的极值； （2）先根据极小值求出，再根据极值及边界值求最大值即可． 【小问1详解】  ，            令 ，得 或          ， 的情况如下： 递减 递增 递减 所以 是函数 的极小值点； 是函数 的极大值点．增区间是，减区间是和； 【小问2详解】 由已知 的极小值为 ，即 解得 ， 由（1）知在上递减，在上递增， 又 ，   ． 所以当 时， 取得最大值 ． 18. 如图，在长方体中，.请用空间向量知识解答下列问题： （1）求证：当点在棱上移动时，始终有； （2）点在棱上移动，当平面平面时，求的长. 【答案】（1） 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立的空间直角坐标系，如图所示， 则， 设，则． 因为，所以， 所以，即． （2）1 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，设，结合，即可得证； （2）求得平面和平面的法向量为和，结合平面平面，得到，列出方程求得，即可得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设平面的法向量为，平面的法向量为， 因为， 所以，取，则； 因为， 所以，取，则， 因为平面平面，可得，即． 所以，解得， 故当平面平面时，的长为1． 19. 已知函数，其中． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，求证：. 【答案】（1）. （2）当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. （3） 设， 则， 所以函数在上单调递增， 则，即，即证. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）根据题意，分类讨论a的取值，即可得出对应的单调区间； （3）设，利用导数讨论函数的单调性可得，即可求解. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 则，所以切线的斜率为，又， 所以该切线方程为：，即； 【小问2详解】 函数的定义域为， ， 令，则. 当或即时，恒成立， 所以函数在上单调递增； 当即时， 令或， 令， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 略 【点睛】利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $