精品解析：内蒙古自治区北京一零一中呼和浩特分校2025-2026学年第二学期初二年级阶段性测试卷（一）数学学科

2025−2026学年第二学期初二年级阶段性测试卷（一） 数学学科 时间：90分钟 满分100分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加减乘除运算．利用二次根式的加减法的法则对A项和B项进行运算即可，利用二次根式的乘法和除法法则对C项和D项进行运算即可． 【详解】解：A、和，不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 3. 如图，长方形的顶点A，B在数轴上，点A表示－1，，．若以点A为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点M表示点数为． 故选A． 【点睛】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出的长． 4. 在菱形中，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质可得，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴． 5. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出是的中位线是解题关键．取格点、，由网格的性质可知，，得到，，进而证明是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，取格点、， 由网格的性质可知，， ，， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 6. 下列命题，其中是真命题的为（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 一组邻边相等的矩形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定判断A选项，根据菱形的判定判断B选项，根据矩形的判定判断C选项，根据正方形的判定判断D选项，真命题选择选项说法正确的即可． 【详解】解：A选项，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A选项错误，不符合题意； B选项，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B选项错误，不符合题意； C选项，对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项错误，不符合题意； D选项，一组邻边相等的矩形是正方形，故D选项正确，符合题意 故选D． 【点睛】本题考查了真命题、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定的知识点，熟练掌握这些判定是解答本题的关键． 7. 如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是平行四边形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据三角形的中位线性质证明四边形为平行四边形，然后根据矩形、菱形的判定与性质逐项即可解答． 【详解】解：∵点分别是四边形边的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ①若，则， ∴四边形为菱形，即①错误； ②若，则，即， ∴四边形为矩形，即②错误； ③与是否互相平分均能得到四边形是平行四边形，即③错误； ④若四边形是正方形，则，， ∴，，即与互相垂直且相等，故④正确， 故正确的个数是1个． 故选：A． 8. 如图，在正方形中，，点，分别在边，上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用以上性质；根据可得，根据折叠后对应角相等、对应边相等，可得，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，设，则，列方程求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， 将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，， ， ， 设，则， ， ， ， 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 代数式有意义时，实数的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得出9-x≥0，即可得出答案． 【详解】解：使二次根式有意义，必须满足9-x≥0，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件． 10. 如图所示，在中，，，，，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】运用平行四边形的性质以及，求出，再证明四边形是平行四边形，故，，最后运用勾股定理得，把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 则 ∴ 过点M作交于点，交于点，如图所示： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， 则． 11. 如图，在菱形中，顶点到，的距离分别为，且都为，，那么菱形的边长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于点，通过全等三角形得出线段的垂直平分线，然后通过等面积，勾股定理以及完全平方公式等求出，假设，利用勾股定理列出方程求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点， ∵，且， ∴， ∴， ∴垂直平分线段， ∴，， 由勾股定理得，， 由等面积得， 即， 解得， ∴， ∵四边形是菱形， ∴假设， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴菱形的边长为． 12. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，延长到E，使，连接，过点A作于点F，若，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，根据矩形的性质可得，，，再证四边形是平行四边形，得，再利用等面积法即可求解．熟知矩形的性质和平行四边形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：在矩形中，，，，， ∴， ∵，则， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 13. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将各个二次根式化简，再进行合并即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式展开，再合并即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题考查二次的加减及二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算法则是解题关键． 四、解答题：本题共5小题，共54分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． （1）长方形的周长是多少？ （2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通通上要铺上造价为的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵长方形的长为，宽为， ∴长方形的周长为： ． 答：长方形的周长是． 【小问2详解】 由题意，知 （元）． 答：购买地砖需要花费元． 【点睛】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式．解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质． 15. 如图，折叠长方形纸片的一边，使点落在边的处，是折痕，已知，，求的长． 【答案】的长为． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠，由题意得，，，由折叠性质可知，，， 通过勾股定理得，所以，设，则，然后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是长方形， ∴，，， 由折叠性质可知，，， ∴在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的长为． 16. 如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E． （1）若∠DBC=25°，求∠ADC′的度数； （2）若AB=4，AD=8，求△BDE的面积． 【答案】(1) 40° （2）10 【解析】 【分析】（1）求出∠ADB，求出∠BDC ，根据折叠求出∠C′DB，代入∠ADC′=∠BDC′-∠ADB即可； （2）先证BE=DE，然后设DE=x，则BE=x，AE=8-x，在Rt△ABE中，由勾股定理求出x的值，再由三角形的面积公式求出面积的值． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC，∠ADC=∠C=90°， ∵AD∥BC， ∴∠BDA=∠DBC=25°， ∴∠BDC=90°-25°=65°， ∵沿BD折叠C和C′重合， ∴∠C′DB=∠CDB=65°， ∴∠ADC′=∠BDC′-∠BDA=65°-25°=40°； （2）由折叠可知，∠CBD=∠EBD， ∵AD∥BC， ∴∠CBD=∠EDB， ∴∠EBD=∠EDB， ∴BE=DE， 设DE=x，则BE=x，AE=8-x， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2即42+（8-x）2=x2， 解得：x=5， 所以S△BDE=DE×AB=×5×4=10． 17. 如图，已知在平行四边形中，于点E，于点F，交于H，的延长线交于G． （1）求证：； （2）若，，连接，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形： （1）利用，证明即可； （2）平行四边形的性质，得到，进而得到，推出，求出的长，勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 证明：∵于点E，于点F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边作正方形ADEF，连接CF． (1)观察猜想 如图1，当点D在线段BC上时可以证明△ABD≌△ACF，则 ①BC与CF的位置关系为： ； ②BC，DC，CF之间的数量关系为： ； (2)类比探究 如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，(1)中①，②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明； (3)拓展延伸 如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变． ①BC，DC，CF之间的数量关系为： ②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，则OC的长度为 ． 【答案】（1）①BC⊥CF；②BC＝DC＋CF；（2）①成立，②不成立，结论②应改为BC＝CF－DC，理由详见解析；（3）①BC＝DC－CF；② 【解析】 【分析】（1）①根据SAS证明△ABD≌△ACF，可得∠ABC＝∠ACF＝45°，则∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝90°，所以BC⊥CF； ②由△ABD≌△ACF的性质和线段的和可得结论； （2）①成立，证明∠BAC＋∠CAD＝∠DAF＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAF，同理证明△ABD≌△ACF，可得BC⊥CF， ②不成立，由BD＝BC＋CD，BD＝CF，可得新的结论：BC＝CF−DC； （3）①根据图3知：DC最长，同理：△DAB≌△FAC，则BD＝CF，可得BC＝DC−CF； ②先根据正方形的边长求对角线DF的长，证明∠DCF＝90°，根据直角三角形斜边中线的性质可得OC的长． 【详解】（1）①BC⊥CF，理由是： 如图1，∵四边形ADEF是正方形， ∴∠DAF＝90°，AD＝AF， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD＋∠DAC＝∠DAC＋∠CAF， ∴∠BAD＝∠CAF， 在△BAD和△CAF中， ∵， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴∠ABC＝∠ACF＝45°， ∵∠ACB＝45°， ∴∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝90°， ∴BC⊥CF； ②BC＝DC＋CF， 理由是：由①知：△ABD≌△ACF， ∴BD＝CF， ∴BC＝BD＋CD＝CF＋CD； 故答案为：①BC⊥CF，②BC＝CF＋CD； （2）①成立，②不成立，结论②应改为BC＝CF−DC； 证明：如图2，在正方形ADEF中， AD＝AF，∠DAF＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAF＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAF， ∵∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝180°−∠BAC−∠ABC＝45°， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， 在△ABD与△ACF中， ， ∴△ABD≌△ACF（SAS）， ∴∠ACF＝∠ABD＝45°，BD＝CF， ∵∠ACB＝45°， ∴∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝90°， ∴BC⊥CF； ∵BD＝BC＋CD，BD＝CF， ∴BC＝CF−DC； （3）①BC＝DC−CF， 理由是：如图3，同理得：∠DAB＝∠FAC， 易证得：△DAB≌△FAC， ∴BD＝CF， ∴DC＝BD＋BC＝CF＋BC， ∴BC＝DC−CF； ②正方形ADEF中，边长EF＝2， ∴DF＝2， ∵∠ABC＝45°， ∴∠ABD＝135°， ∵△DAB≌△FAC， ∴∠ACF＝∠ABD＝135°， ∵∠ACB＝45°， ∴∠DCF＝90°， ∵四边形ADEF是正方形， ∴OD＝OF， ∴OC＝DF＝． 故答案为：①BC＝DC−CF，②． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的性质和判定，证明△DAB≌△FAC是本题的关键，并运用了类比的方法解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年第二学期初二年级阶段性测试卷（一） 数学学科 时间：90分钟 满分100分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，长方形的顶点A，B在数轴上，点A表示－1，，．若以点A为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为（ ） A. B. C. D. 4. 在菱形中，，，则（ ）． A. B. C. D. 5. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 6. 下列命题，其中是真命题的为（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 一组邻边相等的矩形是正方形 7. 如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是平行四边形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，在正方形中，，点，分别在边，上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 2 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 代数式有意义时，实数的取值范围是_____ 10. 如图所示，在中，，，，，，则的长为__________． 11. 如图，在菱形中，顶点到，的距离分别为，且都为，，那么菱形的边长为__________． 12. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，延长到E，使，连接，过点A作于点F，若，，则的长为__________． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 13. 计算： （1） （2） 四、解答题：本题共5小题，共54分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． （1）长方形的周长是多少？ （2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通通上要铺上造价为的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 15. 如图，折叠长方形纸片的一边，使点落在边的处，是折痕，已知，，求的长． 16. 如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E． （1）若∠DBC=25°，求∠ADC′的度数； （2）若AB=4，AD=8，求△BDE的面积． 17. 如图，已知在平行四边形中，于点E，于点F，交于H，的延长线交于G． （1）求证：； （2）若，，连接，求的长． 18. 已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边作正方形ADEF，连接CF． (1)观察猜想 如图1，当点D在线段BC上时可以证明△ABD≌△ACF，则 ①BC与CF的位置关系为： ； ②BC，DC，CF之间的数量关系为： ； (2)类比探究 如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，(1)中①，②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明； (3)拓展延伸 如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变． ①BC，DC，CF之间的数量关系为： ②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，则OC的长度为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $