河北沧州市沧县中学2025-2026学年度高二下学期第二次月考数学试卷

**基本信息** 以AI报告出错概率、新能源汽车电池寿命等现实情境为载体，融合概率统计、排列组合等知识，通过分层设问考查数学建模与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|正态分布、残差、二项式系数|结合物价调查（题2）、AI工具使用（题4）考查基础应用| |多选|3/18|回归分析、二项式定理|通过残差图判断模型拟合（题9）、盒子取球概率递推（题11）考查逻辑辨析| |填空|3/15|随机变量方差、展开式有理项|花圃栽种（题14）结合相邻区域颜色限制，考查排列组合创新应用| |解答|5/87|独立性检验、分层抽样、比赛概率|体育锻炼调查（题16）综合列联表分析与期望计算，体现数据观念与模型意识|

沧县中学高二年级2025-2026学年度下学期第二次月考 数学试卷 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，物价部门对某商品在各商场的售价（元）及其一天的销售量（件）进行调查，得到了若干对数据，经过分析，计算，得到关于的经验回归方程为，则样本点的残差为（    ） A． B． C．1 D．2 3．的展开式中的系数为（    ） A． B． C．80 D．100 4．随着互联网的发展，AI的出现为人们提供了很大的便利.某企业员工小唐撰写报告选择文心一言、豆包、DeepSeek的概率均为，而使用文心一言、豆包、DeepSeek出错的概率分别为、、，结果今天他的报告有误，在此条件下，他选择文心一言写报告的概率为（   ） A． B． C． D． 5．已知平面平面，平面内有共5个点，其中有且仅有三点共线，平面内有共4个点，任意三点不共线，则以这9个点为顶点的三棱锥最多有（    ） A．80个 B．86个 C．116个 D．136个 6．目前新能源汽车越来越受到人们的关注与喜爱，其中新能源汽车所配备电池的充电量及正常使用年限是人们购车时所要考虑的重要因素之一.某厂家生产的某一型号的新能源汽车配备了两组电池，且两组电池能否正常使用相互独立.电池的正常使用年限（单位：年）服从正态分布，，，则这两组电池在20年内都能正常使用的概率为（    ） A． B． C． D． 7．运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（   ） A．72 B．96 C．114 D．124 8．设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，甲、乙两人首次投篮的可能性相同，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．以下四个命题中，说法正确的是（    ） A．在相关关系中，若用拟合时的决定系数为，用拟合时的决定系数为，且，则的拟合效果好 B．若经验回归方程为，当解释变量x每增加1个单位，响应变量增加1.8个单位 C．残差图是一种散点图，若残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明模型选择比较合适，而且带状区域的宽度越窄，模型拟合的精度越高 D．成对样本数据的线性相关程度越强，样本相关系数越接近1 10．已知，则（    ） A． B． C． D．这8个数中最大 11．有个编号分别为1，2，3，…，的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从号盒子取出的球是白球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．设随机变量，且，则________；若随机变量满足，则的方差为________. 13．已知的展开式的各项系数之和为，则展开式中有理项共有_____项． 14．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有______种.（用数字作答） 四、解答题 15．平顶山市公安局交警支队依据《中华人民共和国道路交通安全法》第条规定：所有主干道路凡机动车途经十字口或斑马线，无论转弯或者直行，遇有行人过马路，必须礼让行人，违反者将被处以元罚款，记分的行政处罚．如表是本市一主干路段监控设备所抓拍的个月内，机动车驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据： 月份 违章驾驶员人数 （Ⅰ）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程； （Ⅱ）预测该路段月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数． 参考公式：，． 16．为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查，统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表．         年龄 次数 每周0～2次 70 55 36 59 每周3～4次 25 40 44 31 每周5次及以上 5 5 20 10 (1)若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； (2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求的分布列与期望； (3)已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为，求小明星期天选择跑步的概率． 参考公式：． 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．已知某工厂的一种机器有两个相同的易损配件，当两个配件都正常工作时（两个配件损坏与否互不影响），该机器才能正常运转.该工厂计划购买一批易损配件，现有甲、乙两个品牌的配件供选择，甲、乙两个品牌的配件可以搭配使用，甲品牌配件的价格为400元/个，乙品牌配件的价格为800元/个.现需决策如何购买易损配件，为此收集并整理了以往购买的甲、乙两个品牌配件各100个的使用时间的数据，得到如下柱状图.分别以甲、乙两种配件使用时间的频率作为概率. (1)若从2个甲品牌配件和2个乙品牌配件中任选2个装入机器，求该机器正常运转时间不少于2个月的概率. (2)现有两种购置方案：方案一，购置2个甲品牌配件；方案二，购置2个乙品牌配件.试从性价比（机器正常运转的时间的数学期望与成本的比值）的角度考虑，哪一种方案更实惠? 18．如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从腔室出发，到达腔室，粒子从室经过号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.粒子间的旋转状态相互独立.现有两个粒子从室出发. (1)求两粒子进入室都为上旋状态的概率； (2)若实验装置出现故障，两个粒子进入室后，共裂变为个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回室的概率为，各粒子返回室相互独立. ①时，写出返回室的粒子个数的分布列、期望、方差； ②时，记有个粒子返回室的概率为，则为何值时，取最大值. 19．甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下： 若一方以或获胜，则胜者得3分，败者得0分； 若一方以获胜，则胜者得2分，败者得1分． (1)求甲获得3分的概率； (2)若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； (3)已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为． ①求的表达式，并比较和的大小关系； ②求在上的最大值及取得最大值时的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 4月27日月考 参考答案 1．A 2．A 3．A 4．C 5．C 6．D 7．C 8．C 9．AC 10．AC 11．BCD （1-8为单选题，选对得5分，选错的0分，共40分） （9-12为多选题，每题6分。若有3个正确选项，选对一个得2分，选对两个得4分，选对3个得6分，选错或不选得0分。若有两个正确选项，选对1个得3分，选对两个得6分，选错或不选得0分） 12． (2分） （3分） （12题为双空，第一空2分，第二空3分） 13．6 （5分） 14．120 （5分） 15．解：（Ⅰ）由表中数据，计算；，（1分） ，（2分） ，（9分） （10分） 所以与之间的回归直线方程为；（11分） （Ⅱ）时，，（13分） 预测该路段月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为人． 16．（1）零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关， 由题得列联表如下： 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 125 95 220 体育锻炼频率高 75 105 180 合计 200 200 400 （列联表2分） ，(7分） 根据小概率值的独立性检验推断不成立， 即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01. （2）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在内的人数分别为1，2， 依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2， 所以，（8分） ，（9分） ，（10分） （每个概率求对给一分） 所以的分布列：： 0 1 2 所以的数学期望为.（12分） （3）记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A，B，C， 星期天选择跑步为事件，则， ， 则，（15分） 所以小明星期天选择跑步的概率为. （第三问，结果对即给分） 17．（1）解：若装入2个甲品牌的配件，则该机器正常运转时间不少于2个月的概率为，（2分） 若装入2个乙品牌的配件，则该机器正常运转时间不少于2个月的概率为，(4分） 若装入1个甲品牌和1个乙品牌的配件，则该机器正常运转时间不少于2个月的概率为，（6分） 故该机器正常运转时间不少于2个月的概率为.（7分） （第一问每个概率求对给2分，最后结果正确给1分 ，若直接列出表达式，没有单独求概率，只要结果对就给满分7分） （2）若采用方案一，设机器可正常运转的时间为（单位：月），则的可能取值为1，2， 且，（8分） （9分） 所以的分布列为 1 2 ，（10分）它与购置配件的成本之比为 （11分） 若采用方案二，设机器可正常运转的时间为（单位：月），则的可能取值为3，4， 且，（12分） （13分） 所以的分布列为 3 4 ，（14分）它与购置配件的成本之比为， （15分） 因为，所以从性价比的角度考虑，方案二更实惠. （第二问，每算对一个概率给1分，期望求对给一分，成本比求对给一分） 18．（1）设“两个粒子通过号门后处于上旋状态粒子个数为个”，， “两个粒子通过号门后进入室都为上旋状态”， 则，， 则. （5分） （第（1）问，最后结果正确即给5分） （2）①返回室的粒子个数的可能性为，，，， 服从二项分布： ，（6分），（7分） ，（8分），（9分） ，（10分） （每算对一个概率给1分） 所以期望，（11分）方差；（12分） ②的可能取值为，此时， 个粒子返回室的概率为， 则， 所以，（17分） 当时，取最大值. （最后一问，结果正确即给分） 19．（1）根据题意，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立． 所以甲以获胜的概率为，（1分） 甲以获胜的概率为，（3分） 所以甲获得3分的概率为；（4分） （没有单独求3：0，3：1的概率，直接给出甲获3分的概率表达式也可给4分） （2）由题意可知，随机变量为甲的总得分，其所有可能取值为、、、， 若，即甲、乙获胜的概率都是， 所以，（5分） ，（6分） ，（7分） ，（8分） （每个概率1分） 所以随机变量的分布列为： 所以；(10分） （3）①，(11分），（12分） 所以 ，（13分） 则，（14分） 所以； ②由①可得，， 令，， 因为，可得恒成立，所以单调递增， 又当时，取得最大值，即， 所以，（17分） 即当时，取得最大值. （最后一问，结果对即给分） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $