10.2消元——解二元一次方程组同步培优讲义 2025-2026学年人教版七年级数学下册

10.2消元——解二元一次方程组 （4知识点+12题型+过关检测） 【题型1 用代数式表示某个字母】 3 【题型2 代入消元法解方程组的步骤判断】 5 【题型3 代入消元法解二元一次方程组】 7 【题型4 加减消元法解二元一次方程组的步骤判断】 10 【题型5 某个未知数的系数互为相反数，用加法消元】 12 【题型6 某个未知数的系数相同，用减法消元】 14 【题型7 某个未知数的系数成倍数关系，变形用加减消元法】 16 【题型8 换元法解二元一次方程组】 18 【题型9 整体代入法解二元一次方程组】 21 【题型10 解含参的二元一次方程组】 27 【题型11 二元一次方程组错解复原问题】 29 【题型12 方程组相同解问题】 32 理解消元思想，体会 “化二元为一元” 的转化思想。 熟练掌握代入消元法的概念与解题步骤，规范求解二元一次方程组。 掌握加减消元法，能根据未知数系数特点，选择加法、减法、倍数变形进行消元。 掌握整体代入法、换元法等特殊解法，提升灵活解题能力。 会解决含参方程组、错解复原、同解方程组等综合题型，强化运算与逻辑推理能力。 03 知识•梳理 知识点 1 消元思想 二元一次方程组含有两个未知数，通过消去一个未知数，将二元方程转化为一元一次方程求解。核心核心：消元转化，二元变一元。 知识点 2 代入消元法 把其中一个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，再代入另一个方程，消去一个未知数，进而求解。适用：未知数系数为±1，易变形的方程。步骤口诀：变形→代入→消元→求解→回代→写解。 代入消元法解二元一次方程组一般步骤 名称 具体操作 注意事项 1.变形 从方程组中选取一个系数为±1（或较简单）的方程，将其变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式（如y = ax + b或x = ay + b） 变形时注意移项变号，系数化为1时避免计算错误 2.代入 将变形后的代数式，代入另一个未变形的原方程中，消去一个未知数 严禁代入变形后的原方程，否则无法消元，会出现恒等式 3.求解 解代入后得到的一元一次方程，求出一个未知数的值 注意去括号、移项、合并同类项的符号与计算准确性 4.回代 将求出的未知数的值，代入变形后的代数式中，求出另一个未知数的值 回代时直接代入变形后的式子，无需代入原方程，简化计算 5.写解 将两个未知数的值用大括号联立，写出方程组的解 。 解的书写格式规范，两个未知数对应清晰，可代入原方程组检验 知识点 3 加减消元法 利用等式基本性质，将两个方程左右两边相加或相减，消去同一个未知数。 1. 系数互为相反数：两式相加消元； 2. 系数完全相同：两式相减消元； 加减消元法解二元一次方程组一般步骤 步骤 具体操作 注意事项 1.观察 观察方程组中两个方程的未知数系数，判断是否有系数相同、互为相反数，或成倍数关系的未知数 优先观察系数较简单的未知数，减少变形步骤 2.变形 若未知数系数既不相同也不互为相反数，选取一个未知数，给其中一个（或两个）方程两边同乘适当的数，使该未知数的系数变为相同或互为相反数 方程两边同乘一个数时，每一项都要乘，不能漏乘常数项 3.消元 ① 系数互为相反数：将两个方程左右两边分别相加，消去该未知数； ② 系数相同：将两个方程左右两边分别相减，消去该未知数 减法消元时，减式整体变号，逐项计算，避免符号错误 4.求解 解消元后得到的一元一次方程，求出一个未知数的值 计算时注意合并同类项、系数化为1的准确性 5.回代 将求出的未知数的值，代入原方程组中任意一个简单的方程，求出另一个未知数的值 优先代入未变形的原方程，便于检验计算是否正确 6.写解 将两个未知数的值用大括号联立，写出方程组的解，可代入原方程组检验 检验时需代入两个原方程，确保解满足所有方程 3. 系数成倍数：方程整体同乘倍数，构造相同 / 相反系数后加减消元。 知识点 4 特殊解法 1. 整体代入法：把重复的多项式看作整体，直接代入运算； 2. 换元法：设重复整体为新未知数，简化复杂方程组。 知识点 5 综合拓展考点 1. 含参方程组：把参数当作常数，正常消元计算； 2. 错解复原：看错系数的解，满足未看错的方程； 3. 同解方程组：公共解满足所有方程。 04 题型•汇总 【题型1 用代数式表示某个字母】 · 合理移项，将需表示的字母留在等号一侧； · 其余项移到另一侧，严格遵守移项变号； · 未知数系数不为 1 时，两边同除系数，化为最简形式。 【典例1】．将方程变形，用含的代数式表示，下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．已知方程，用含的式子表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．已知用含有的代数式表示是（　　） A． B． C． D． 【变式3】．把二元一次方程，用含x的代数式表示y，则可以表示为__________． 【题型2 代入消元法解方程组的步骤判断】 · 检查方程变形是否正确，符号、移项有无错误； · 代数式必须代入另一个原方程，禁止代回变形方程； · 逐一核查去括号、合并同类项、计算步骤。 【典例2】．小鑫同学用“代入消元法”解二元一次方程组时，最简单的做法是（   ） A．把方程①变形为，再代入方程② B．把方程①变形为，再代入方程② C．把方程②变形为，再代入方程① D．把方程②变形为，再代入方程① 【变式1】．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（   ） A．由①，得 B．由②，得 C．由①，得 D．由②，得 【变式2】．下面是老师在黑板上展示的某同学用代入消元法解方程组的步骤，其中开始出现错误的是（   ） 解： 由①得③；步骤一 把③代入②得；步骤二 去分母得；步骤三 解得，再由③得.步骤四 A．步骤一 B．步骤二 C．步骤三 D．步骤四 【变式3】．创新意识 老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解方程组，规则是每人只能看到前一人的计算结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，过程如图所示，且其中有一位同学的解题步骤出现错误，则解题中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【题型3 代入消元法解二元一次方程组】 · 优选系数为±1的方程，变形出x= 或 y= 的形式； · 整体代入另一方程，消元得到一元一次方程； · 求出一个未知数的值，回代变形式求另一个未知数； · 用大括号联立，规范写出方程组的解。 【典例3】．用代入法解下列方程组： (1) (2) 【变式1】．解方程组： (1)； (2) 【变式2】．用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) 【变式3】．如果三角形的三个内角分别是，，，求： (1)x，y满足的关系式； (2)当时，求y的值； (3)当时，求x的值． 【题型4 加减消元法解二元一次方程组的步骤判断】 · 先判断系数特征，确定用加法、减法还是扩倍变形； · 方程同乘一个数时，每一项必须同时相乘，不漏项； · 减法消元时，减数整体变号，避免符号失误。 【典例4】．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【变式1】．解方程组下列做法正确的是（    ） A．将①代入②，消去 B．将①代入②，消去 C．①＋②，消去 D．①＋②，消去 【变式2】．方程组，下列步骤可以消去未知数的是（   ） A．①② B．①② C．①-② D．①+② 【变式3】．解二元一次方程组时，通过下列步骤能消去未知数x的是（    ） A． B． C． D． 【题型5 某个未知数的系数互为相反数，用加法消元】 · 同一未知数系数一正一负、绝对值相等； · 两个方程直接左右相加，消去该未知数； · 解一元一次方程，回代求出另一个未知数。 【典例5】．解下列方程组： 【变式1】．解下列二元一次方程组： (1)； (2)． 【变式2】．解方程组： 【变式3】．解方程组． 【题型6 某个未知数的系数相同，用减法消元】 · 同一未知数系数完全相等； · 两式对应相减，消去该未知数； · 注意：减式全部变号，逐项计算，防止漏变号。 【典例6】．解方程组：． 【变式1】．解方程组：． 【变式2】．解方程组： 【变式3】．解二元一次方程组：． 【题型7 某个未知数的系数成倍数关系，变形用加减消元法】 · 观察两个方程系数，找出成整数倍的未知数； · 对系数简单的方程整体乘整数，构造相同或相反系数； · 再利用加法或减法消元，常规求解。 【典例7】．解方程组： 【变式1】．解方程组：． 【变式2】．解方程组： 【变式3】．解方程组： 【题型8 换元法解二元一次方程组】 · 观察方程组，找出重复出现的相同多项式； · 设新未知数替换整体，简化为基础二元一次方程组； · 先求新未知数，再回代还原，求出原未知数。 【典例8】．若关于、的方程组的解是，则关于、的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．若方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．阅读探索：解方程组 解：设，，原方程组可以化为解得 即【此种解方程组的方法叫做换元法】 (1)运用上述方法解方程组 (2)已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【变式3】．解方程组 解：设，，原方程组可变为 解得：．所以，解得，此种解方程组的方法叫换元法． (1)【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： (2)【能力运用】已知关于x，y的方程组：的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为___________． 【题型9 整体代入法解二元一次方程组】 · 找出方程组中重复出现的整体式子； · 由一个方程求出整体代数式的值； · 整体直接代入另一方程，无需拆开展开，简化计算。 【典例9】．利用整体代换思想变式解方程组，我们可以把看成一个整体，设，很快可以求出原方程组的解为________． 【变式1】．把某个式子看成一个整体，用一个量代替它，从而使问题得到简化，这叫整体代换成换元思想，请根据上面的思想解决下面问题：若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是_______． 【变式2】．阅读与思考 下面是小宇同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． “整体思想”应用举例 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程，可以应用为整体代入、整体换元、整体约减、整体求和、整体构造等方法．有些问题若从局部求解，采取逐个击破的方式，则很难解决，或者比较复杂；而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也就迎刃而解了．因而，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，运用整体思想有时会使我们的解题更加简便快捷．例如 例1解方程组： 解：把②代入①得，，解得． 把代入②得，．所以原方程组的解为 例2已知实数满足①②，求和的值．解：由可，由①可得． 整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上．通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又紧密联系的量作为整体来处理的思想方法． 任务：（要求：运用阅读内容中的方法） (1)已知二元一次方程组求和的值； (2)解方程组： (3)已知方程组的解是请直接写出方程组：的解． 【变式3】．下面是小文同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． 用整体思想解决问题“整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，通过学习，我发现在解方程组时，运用“整体代入法”有时会使解题更加简便快捷． 例1：解方程组 解：把②代入①，得，解得． 把代入②，得．所以原方程组的解为 例2：解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得． ． 把代入①，得． 方程组的解为 …… 任务： (1)类比“例1”的方法，解方程组． (2)已知二元一次方程组，请利用“整体思想”求出的值． (3)已知，类比“例2”的方法，求的值． 【题型10 解含参的二元一次方程组】 · 将参数看作普通常数，不参与消元； · 选用代入或加减消元法正常解题； · 方程的解用含参数的代数式表示； · 若附带限制条件，列方程或不等式求参数取值。 【典例10】．若关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，则的值为（   ） A． B．3 C．5 D． 【变式1】．若方程组的解满足，则k的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式2】．已知关于的方程组的解满足，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】．已知关于x、y的方程组的解满足，则a的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【题型11 二元一次方程组错解复原问题】 · 看错系数的解，不符合看错的方程，但满足正确方程； · 将错解代入无错误的方程，求出参数； · 还原完整原方程组，重新求解得到正确答案。 【典例11】．已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 【变式1】．在解关于的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为，则_________． 【变式2】．解关于的方程组时，小强正确解得，而小刚只看错了，解得，求的值． 【变式3】．解方程组的应用： (1)如果方程组与方程组有相同的解，那么__________． (2)甲、乙两人同时解关于x、y的方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得，求原方程组的正确解． 【题型12 方程组相同解问题】 · 两个方程组有相同解，该解满足四个方程； · 优先联立不含参数的两个方程，求出公共解； · 把公共解代入含参数方程，计算参数数值。 【典例12】．若方程组与方程组的解相同，则的值为    （    ） A．2 B．7 C．1 D．0 【变式1】．已知关于，的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．已知关于的方程组与方程组同解，则_____． 【变式3】．规定：对于平面直角坐标系中任意一点的坐标满足，此时我们称点为“倍差点”，请回答以下相关问题． (1)以下各点：①②③中是“倍差点”的有（填序号即可）； (2)若点是“倍差点”，且点A向右平移2个单位，向下平移1个单位后得到点B，点B到y轴距离是到x轴距离的2倍，求此时点A的坐标； (3)已知“倍差点”，，关于x、y的方程组与有相同的解，求：①用含k的式子表示m和s；②若对于任意k的值，等式始终成立，求的值 05 过关•检测 1．已知是二元一次方程的解，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 3．若单项式与是同类项，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 4．已知方程组，以下说法不正确的是（    ） A．无论实数取何值，不可能等于 B．当时，方程组的解也是方程的解 C．存在某一个值，使得， D．代数式的最小值为7 5．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②无论取何值，，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为自然数的解有3对；④若，则，其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知二元一次方程组：①②③④解以上四个方程组比较适合的方法是（   ） A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法 C．②③用代入法，①④用加减法 D．②④用代入法，①③用加减法 7．已知整式，，其中，为自然数，m，n，，为正整数，．且满足，，下列说法： ①若，，时，则，； ②若，则满足条件的整式M共有15个； ③若，则符合条件的情况有9种． 其中正确的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 8．在解关于，的方程组时，小明由于将方程①的“”，看成了“”，因而得到的解为，则原方程组的解为（   ） A． B． C． D． 9．在关系式中，当时，，当时，，则a，b的值是（） A．， B．， C．， D．， 10．关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 11．已知二元一次方程，用含的代数式表示，则________． 12．已知关于的方程组的解满足，则的值为_____． 13．若实数与满足，则的平方根为__________． 14．若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为______． 15．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则m的值为________． 16．已知关于x，y的二元一次方程组的解均为整数，若k为正整数，则满足条件的k值个数为________． 17．用适当的方法解下列二元一次方程组． (1) (2) 18．解下列方程组： (1) (2) 19．甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲看错了b，求得解为，乙看错了a，求得的解为，求原方程组的解． 20．【阅读感悟】 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值． 如：已知实数满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出的值，再代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数系数之间的关系，通过适当变形后，整体求代数式的值． 解法如下： ，得：， ，得：． 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较简单，它用到了通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则________，________； (2)对于实数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．如：．已知，，求的值． 21．已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 22．我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法． (1)已知关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的二元一次方程组的解； (2)请用上面的换元法解方程组． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.2消元——解二元一次方程组 （4知识点+12题型+过关检测） 【题型1 用代数式表示某个字母】 3 【题型2 代入消元法解方程组的步骤判断】 5 【题型3 代入消元法解二元一次方程组】 7 【题型4 加减消元法解二元一次方程组的步骤判断】 10 【题型5 某个未知数的系数互为相反数，用加法消元】 12 【题型6 某个未知数的系数相同，用减法消元】 14 【题型7 某个未知数的系数成倍数关系，变形用加减消元法】 16 【题型8 换元法解二元一次方程组】 18 【题型9 整体代入法解二元一次方程组】 21 【题型10 解含参的二元一次方程组】 27 【题型11 二元一次方程组错解复原问题】 29 【题型12 方程组相同解问题】 32 理解消元思想，体会 “化二元为一元” 的转化思想。 熟练掌握代入消元法的概念与解题步骤，规范求解二元一次方程组。 掌握加减消元法，能根据未知数系数特点，选择加法、减法、倍数变形进行消元。 掌握整体代入法、换元法等特殊解法，提升灵活解题能力。 会解决含参方程组、错解复原、同解方程组等综合题型，强化运算与逻辑推理能力。 03 知识•梳理 知识点 1 消元思想 二元一次方程组含有两个未知数，通过消去一个未知数，将二元方程转化为一元一次方程求解。核心核心：消元转化，二元变一元。 知识点 2 代入消元法 把其中一个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，再代入另一个方程，消去一个未知数，进而求解。适用：未知数系数为±1，易变形的方程。步骤口诀：变形→代入→消元→求解→回代→写解。 代入消元法解二元一次方程组一般步骤 名称 具体操作 注意事项 1.变形 从方程组中选取一个系数为±1（或较简单）的方程，将其变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式（如y = ax + b或x = ay + b） 变形时注意移项变号，系数化为1时避免计算错误 2.代入 将变形后的代数式，代入另一个未变形的原方程中，消去一个未知数 严禁代入变形后的原方程，否则无法消元，会出现恒等式 3.求解 解代入后得到的一元一次方程，求出一个未知数的值 注意去括号、移项、合并同类项的符号与计算准确性 4.回代 将求出的未知数的值，代入变形后的代数式中，求出另一个未知数的值 回代时直接代入变形后的式子，无需代入原方程，简化计算 5.写解 将两个未知数的值用大括号联立，写出方程组的解 。 解的书写格式规范，两个未知数对应清晰，可代入原方程组检验 知识点 3 加减消元法 利用等式基本性质，将两个方程左右两边相加或相减，消去同一个未知数。 1. 系数互为相反数：两式相加消元； 2. 系数完全相同：两式相减消元； 加减消元法解二元一次方程组一般步骤 步骤 具体操作 注意事项 1.观察 观察方程组中两个方程的未知数系数，判断是否有系数相同、互为相反数，或成倍数关系的未知数 优先观察系数较简单的未知数，减少变形步骤 2.变形 若未知数系数既不相同也不互为相反数，选取一个未知数，给其中一个（或两个）方程两边同乘适当的数，使该未知数的系数变为相同或互为相反数 方程两边同乘一个数时，每一项都要乘，不能漏乘常数项 3.消元 ① 系数互为相反数：将两个方程左右两边分别相加，消去该未知数； ② 系数相同：将两个方程左右两边分别相减，消去该未知数 减法消元时，减式整体变号，逐项计算，避免符号错误 4.求解 解消元后得到的一元一次方程，求出一个未知数的值 计算时注意合并同类项、系数化为1的准确性 5.回代 将求出的未知数的值，代入原方程组中任意一个简单的方程，求出另一个未知数的值 优先代入未变形的原方程，便于检验计算是否正确 6.写解 将两个未知数的值用大括号联立，写出方程组的解，可代入原方程组检验 检验时需代入两个原方程，确保解满足所有方程 3. 系数成倍数：方程整体同乘倍数，构造相同 / 相反系数后加减消元。 知识点 4 特殊解法 1. 整体代入法：把重复的多项式看作整体，直接代入运算； 2. 换元法：设重复整体为新未知数，简化复杂方程组。 知识点 5 综合拓展考点 1. 含参方程组：把参数当作常数，正常消元计算； 2. 错解复原：看错系数的解，满足未看错的方程； 3. 同解方程组：公共解满足所有方程。 04 题型•汇总 【题型1 用代数式表示某个字母】 · 合理移项，将需表示的字母留在等号一侧； · 其余项移到另一侧，严格遵守移项变号； · 未知数系数不为 1 时，两边同除系数，化为最简形式。 【典例1】．将方程变形，用含的代数式表示，下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程，解题的关键是将x看成已知求出y．用含的式子表示，可先移项，再将系数化为1即得答案． 【详解】解：对， 移项，得， 系数化为1，得． 故选：A． 【变式1】．已知方程，用含的式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程，将方程进行正确的变形是解答本题的关键． 将方程通过移项和除法变形为用表示的形式． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故选：D． 【变式2】．已知用含有的代数式表示是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先从x的方程解出t，再代入y的方程中即可． 本题考查了代入消元法，熟练掌握方法是解题的关键． 【详解】解： 将方程①变形为： 将③代入方程②得： 整理，得： 即：， 故选：A． 【变式3】．把二元一次方程，用含x的代数式表示y，则可以表示为__________． 【答案】 【分析】本题考查了代入法解二元一次方程组；把x当作已知数，y当作未知数，解一元一次方程即可． 【详解】解：由， 移项得：； 故答案为：． 【题型2 代入消元法解方程组的步骤判断】 · 检查方程变形是否正确，符号、移项有无错误； · 代数式必须代入另一个原方程，禁止代回变形方程； · 逐一核查去括号、合并同类项、计算步骤。 【典例2】．小鑫同学用“代入消元法”解二元一次方程组时，最简单的做法是（   ） A．把方程①变形为，再代入方程② B．把方程①变形为，再代入方程② C．把方程②变形为，再代入方程① D．把方程②变形为，再代入方程① 【答案】B 【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，观察两个方程，最简单的做法是找到含系数为1的字母的方程，进行变形，即可求解． 【详解】解：依题意，最简单的做法是把方程①变形为，再代入方程② 故选：B． 【变式1】．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（   ） A．由①，得 B．由②，得 C．由①，得 D．由②，得 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，准确的计算是解决本题的关键． 根据二元一次方程组的解法—代入消元法，可把方程组中一个方程的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，一般通过移项，系数化1，变形即可． 【详解】解：A、由得，，该选项正确，不符合题意； B、由得，，该选项错误，符合题意； C、由得，，该选项正确，不符合题意； D、由得，，该选项正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2】．下面是老师在黑板上展示的某同学用代入消元法解方程组的步骤，其中开始出现错误的是（   ） 解： 由①得③；步骤一 把③代入②得；步骤二 去分母得；步骤三 解得，再由③得.步骤四 A．步骤一 B．步骤二 C．步骤三 D．步骤四 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握和运用解二元一次方程组的方法是解题的关键． 根据解二元一次方程组的方法—代入消元法的步骤，即可判定． 【详解】解： 步骤三中去分母应为：， 原解法中，去分母，等号右边漏乘2， 故选：C． 【变式3】．创新意识 老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解方程组，规则是每人只能看到前一人的计算结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，过程如图所示，且其中有一位同学的解题步骤出现错误，则解题中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据等式的性质和四位同学的求解过程逐步检查即可． 【详解】解：由①得，显然甲同学正确 将③代入②得，显然乙同学正确 去分母得，显然丙同学错误， 由解得，代入③，得，显然丁同学正确， 故解题中出现错误的同学是丙， 故选：C． 【题型3 代入消元法解二元一次方程组】 · 优选系数为±1的方程，变形出x= 或 y= 的形式； · 整体代入另一方程，消元得到一元一次方程； · 求出一个未知数的值，回代变形式求另一个未知数； · 用大括号联立，规范写出方程组的解。 【典例3】．用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由①得③， 把③代入②，得 ， 解得， 将代入③，得， 所以这个方程组的解是； （2）解：由①得③， 把③代入②得， 解得， 将代入③，解得， 所以这个方程组的解是． 【变式1】．解方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 将①代入②得， 解得 将代入①得， ∴方程组的解为； （2）解： 整理得， 将②代入①得， 解得 将代入②得， ∴方程组的解为． 【变式2】．用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： 把②代入①，得 解这个方程，得． 把代入②得，． 所以这个方程组的解是； （2）解： 由②，得③． 把③代入①，得． 解这个方程，得． 把代入③，得． 所以这个方程组的解为； （3）解： 由①，得③． 把③代入②，得． 解这个方程，得． 将代入③，得． 所以这个方程组的解是． 【变式3】．如果三角形的三个内角分别是，，，求： (1)x，y满足的关系式； (2)当时，求y的值； (3)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理建立等式解答即可； （2）把代入（1）关系式求解即可； （3）把代入（1）关系式求解即可． 【详解】（1）解：根据三角形内角和定理，得， 故． （2）解：， 当时，． （3）解：， 当时，． 【题型4 加减消元法解二元一次方程组的步骤判断】 · 先判断系数特征，确定用加法、减法还是扩倍变形； · 方程同乘一个数时，每一项必须同时相乘，不漏项； · 减法消元时，减数整体变号，避免符号失误。 【典例4】．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【答案】C 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，根据加减消元法逐一排除即可，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：、，系数为，不能消去，不符合题意； 、，系数为，不能消去，不符合题意； 、，系数为，能消去，符合题意； 、，系数为，不能消去，不符合题意； 故选：． 【变式1】．解方程组下列做法正确的是（    ） A．将①代入②，消去 B．将①代入②，消去 C．①＋②，消去 D．①＋②，消去 【答案】B 【分析】利用代入消元法和加减消元法的运算规则，判断各选项的做法是否正确即可； 【详解】解：∵方程①已经将表示为含的代数式， ∴将①代入②，可得，消去了，因此A错误，B正确． ∵可得，整理得，无法消去或，因此C，D错误． 【变式2】．方程组，下列步骤可以消去未知数的是（   ） A．①② B．①② C．①-② D．①+② 【答案】C 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解本题的关键．根据加减消元法进行求解即可． 【详解】解：A、①②，得 ， 变形后不能消去未知数，故不符合题意； B、①②，得 ， 变形后不能消去未知数，故不符合题意； C、①②，得 ， 变形后能消去未知数，故符合题意． D、①②，得 ， 变形后不能消去未知数，故不符合题意； 故选：C． 【变式3】．解二元一次方程组时，通过下列步骤能消去未知数x的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要消去未知数，需使两个方程中的系数相等或互为相反数，再通过加减运算消去． 【详解】解：∵方程①中的系数为，方程②中的系数为， ∴将②后，②中的系数变为，与①中的系数相等， ∴用①减去②，即可消去未知数，对应操作就是． 观察四个选项，选项D符合题意． 【题型5 某个未知数的系数互为相反数，用加法消元】 · 同一未知数系数一正一负、绝对值相等； · 两个方程直接左右相加，消去该未知数； · 解一元一次方程，回代求出另一个未知数。 【典例5】．解下列方程组： 【答案】 【详解】解： 得： 解得 将代入②得： 解得 因此，原方程组的解为． 【变式1】．解下列二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用代入消元法求解该二元一次方程组； （）利用加减消元法求解该二元一次方程组． 【详解】（1）解：， 把代入得， 解得， 把代入得， ∴原方程组的解是； （2）解：， 得，解得， 把代入得， 解得， ∴原方程组的解为． 【变式2】．解方程组： 【答案】 【详解】解方程组：， 解：由①+②得：， 解得：． 把代入②得：， 解得：． ∴方程组的解为：． 【变式3】．解方程组． 【答案】原方程组的解为 【分析】用加减消元法进行计算即可． 【详解】解：， ，得， 解得， 把代入②，得， 故原方程组的解为． 【题型6 某个未知数的系数相同，用减法消元】 · 同一未知数系数完全相等； · 两式对应相减，消去该未知数； · 注意：减式全部变号，逐项计算，防止漏变号。 【典例6】．解方程组：． 【答案】 【详解】解：得， 解得 将代入①中得， 解得 故方程组的解． 【变式1】．解方程组：． 【答案】 【分析】根据加减消元法求解即可． 【详解】解：， 得， 把代入①得 ， 解得， ∴原方程组的解为． 【变式2】．解方程组： 【答案】 【详解】解： 得，解得， 把代入②得，解得， ∴原方程组的解为． 【变式3】．解二元一次方程组：． 【答案】 【分析】采用加减消元法进行求解即可． 【详解】解：， 由，得， 解得， 再代入方程①，得， 解得， 故方程的解为． 【题型7 某个未知数的系数成倍数关系，变形用加减消元法】 · 观察两个方程系数，找出成整数倍的未知数； · 对系数简单的方程整体乘整数，构造相同或相反系数； · 再利用加法或减法消元，常规求解。 【典例7】．解方程组： 【答案】 【详解】解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 【变式1】．解方程组：． 【答案】 【详解】解：整理得， 由②①得， 将代入②得 解得， 原方程组的解为． 【变式2】．解方程组： 【答案】 【分析】用加减消元法，因为要消去其中一个未知数，所以可以给第一个方程两边同乘3，再与第二个方程相加，消去后求解． 【详解】原方程组整理为： 将①得： ③ ②③得：，解得 ， 把代入①得：，解得 ， 所以原方程组的解为： ． 【变式3】．解方程组： 【答案】 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ，得， ，得 解得：， 把代入，得 解得：， 方程组的解为． 【题型8 换元法解二元一次方程组】 · 观察方程组，找出重复出现的相同多项式； · 设新未知数替换整体，简化为基础二元一次方程组； · 先求新未知数，再回代还原，求出原未知数。 【典例8】．若关于、的方程组的解是，则关于、的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方程组转化为，结合题意得出，计算即可得出结果． 【详解】解：方程组转化为， ∵关于、的方程组的解是， ∴, ∴． 【变式1】．若方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题运用整体换元的思想，根据二元一次方程组解的定义，将所求方程组中的整体部分对应原方程组的未知数，再根据原方程组的已知解列方程求解即可． 【详解】解：令，，则所求方程组可化为， ∵原方程组 的解为 ， ∴对于方程组，其解为， ∴， 解第一个方程得：，即， 解第二个方程得：， ∴所求方程组的解为 【变式2】．阅读探索：解方程组 解：设，，原方程组可以化为解得 即【此种解方程组的方法叫做换元法】 (1)运用上述方法解方程组 (2)已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照题干方法，利用换元法解方程组即可； （2）根据题意易得方程组的解满足，进行求解即可． 【详解】（1）解：设，原方程组可化为， 解得，即， ∴； （2）解：∵关于，的方程组的解为， ∴关于，的方程组的解满足， 解得. 【变式3】．解方程组 解：设，，原方程组可变为 解得：．所以，解得，此种解方程组的方法叫换元法． (1)【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： (2)【能力运用】已知关于x，y的方程组：的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照题干，设、，原方程组可变为，解方程组，再得到原方程组的解即可； （2）设、，根据题意可得到，解方程即可． 【详解】（1）解：设、， 原方程组可变为， 解得：， 所以， 解得； （2）解：设、， 原方程组可变为， 关于，的方程组的解为， ， 解得， 方程组的解为． 【题型9 整体代入法解二元一次方程组】 · 找出方程组中重复出现的整体式子； · 由一个方程求出整体代数式的值； · 整体直接代入另一方程，无需拆开展开，简化计算。 【典例9】．利用整体代换思想变式解方程组，我们可以把看成一个整体，设，很快可以求出原方程组的解为________． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 先根据题意建立新的方程组，再利用加减消元法解方程组，然后将方程组的解代入，最后求解即可． 【详解】解： 设， 则原方程组转化为 ①+②得，， 解得， 将代入①，得， 解得：， 方程组的解为， ， ， 故答案为：． 【变式1】．把某个式子看成一个整体，用一个量代替它，从而使问题得到简化，这叫整体代换成换元思想，请根据上面的思想解决下面问题：若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是_______． 【答案】 【分析】仿照已知方程组的解法求出所求方程组的解即可． 【详解】解：∵关于m，n的方程组的解是， ∴方程组的解为， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式2】．阅读与思考 下面是小宇同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． “整体思想”应用举例 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程，可以应用为整体代入、整体换元、整体约减、整体求和、整体构造等方法．有些问题若从局部求解，采取逐个击破的方式，则很难解决，或者比较复杂；而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也就迎刃而解了．因而，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，运用整体思想有时会使我们的解题更加简便快捷．例如 例1解方程组： 解：把②代入①得，，解得． 把代入②得，．所以原方程组的解为 例2已知实数满足①②，求和的值．解：由可，由①可得． 整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上．通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又紧密联系的量作为整体来处理的思想方法． 任务：（要求：运用阅读内容中的方法） (1)已知二元一次方程组求和的值； (2)解方程组： (3)已知方程组的解是请直接写出方程组：的解． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能熟练利用整体思想求解是解题的关键． （1）两个方程分别相加或相减，即可求解； （2）将②可变形为，将①代入求解即可； （3）由整体思想得，即可求解． 【详解】（1）解： ①②得， ①②得， ， 的值为，的值为3； （2）解： 解：②可变形为③， 把①代入③得，， 解得， 把代入①，得， 原方程组的解为； （3）解：方程组的解是， ， 解得． 故原方程组的解为． 【变式3】．下面是小文同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． 用整体思想解决问题“整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，通过学习，我发现在解方程组时，运用“整体代入法”有时会使解题更加简便快捷． 例1：解方程组 解：把②代入①，得，解得． 把代入②，得．所以原方程组的解为 例2：解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得． ． 把代入①，得． 方程组的解为 …… 任务： (1)类比“例1”的方法，解方程组． (2)已知二元一次方程组，请利用“整体思想”求出的值． (3)已知，类比“例2”的方法，求的值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）类比于“例1”的方法可进行求解； （2）将方程①变形为，然后代入②可进行求解； （3）将方程①变形为，然后可得，，进而问题可求解 【详解】（1）解：， 把②代入①，得，解得． 把代入②，得． 所以原方程组的解为； （2）解：， 将方程①变形为③， 把②代入③，得， 得． （3）解：， 将方程①变形为③， 将②代入③，得， 解得． 把代入②，得． 所以． 【题型10 解含参的二元一次方程组】 · 将参数看作普通常数，不参与消元； · 选用代入或加减消元法正常解题； · 方程的解用含参数的代数式表示； · 若附带限制条件，列方程或不等式求参数取值。 【典例10】．若关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，则的值为（   ） A． B．3 C．5 D． 【答案】A 【分析】将方程组的两个方程相加得，进而得出，由x，y互为相反数得，从而，解之可得的值． 【详解】解：， ，得 ， ∴， ∵，互为相反数， ∴， ∴， 解得． 【变式1】．若方程组的解满足，则k的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】解二元一次方程组，可得关于的方程，根据题意解方程可得答案． 【详解】解：， ①②得： ， ， ， 解得． 【变式2】．已知关于的方程组的解满足，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】将求出x，y的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题意得 由②，得， 将③代入①，得， 解得， ∴， ∴． 【变式3】．已知关于x、y的方程组的解满足，则a的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】用加减消元法将两方程相减，并化简，又与已知条件相结合，得到关系，求解即可． 【详解】解：将方程组上面的方程减下面的方程得：， 化简得， 又因为， 所以， 解得． 【题型11 二元一次方程组错解复原问题】 · 看错系数的解，不符合看错的方程，但满足正确方程； · 将错解代入无错误的方程，求出参数； · 还原完整原方程组，重新求解得到正确答案。 【典例11】．已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】甲看错方程①中的，因此甲得到的解满足正确的方程②；乙看错方程②中的，因此乙得到的解满足正确的方程①，先联立求出正确的的值，再设乙看错的为，代入乙的解即可求出的值. 【详解】∵ 甲看错方程①中的a，甲得到的解满足正确的方程②， ∴ 代入②得 ③， ∵ 乙看错方程②中的b，乙得到的解满足正确的方程①， ∴ 代入①得 ④， 联立③④，③+④得 ， 设乙把②中的b看成了，将，代入看错的方程② ， 得 ， 整理得 ， 解得 ， 则乙把②中的b看成的数是． 【变式1】．在解关于的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为，则_________． 【答案】 【分析】甲看错方程组中的，其得到的解满足方程组，代入求解可求出，乙看错方程组中的，其得到的解满足原方程，据此求出，最后计算的值即可． 【详解】解：∵甲求得的解是方程组的解， ∴将代入方程组得：， 解得； ∵乙看错了方程组中的，求得的解满足原方程， ∴将，代入得：， 解得：， ∴． 【变式2】．解关于的方程组时，小强正确解得，而小刚只看错了，解得，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，先把代入原方程组得到；再利用小刚看错但解满足第一个方程的条件，将其解代入方程得到，联立两个关于的方程求出，最后代入算出结果为． 【详解】解：由题意得：是方程组的解， ∴， 解得：，， ∵小刚只看错了，解得， ∴是方程的解， ∴， ∴联立， 解得：， ∴． 【变式3】．解方程组的应用： (1)如果方程组与方程组有相同的解，那么__________． (2)甲、乙两人同时解关于x、y的方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得，求原方程组的正确解． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）两个方程组有相同的解，因此该相同解同时满足两个只含x，y的方程，先求出x，y的值，再代入含m，n的方程求出m，n，即可计算得到的值； （2）甲看错a得到的解满足正确的方程②，乙看错b得到的解满足正确的方程①，分别代入求出正确的a，b，再解原方程组即可得到正确解． 【详解】（1）解：∵两个方程组有相同的解， ∴x、y满足方程组，解得， 将，代入， 得，解得， ∴． （2）解：将代入方程②，得：，解得， 将代入方程①，得：，解得， 把，代入原方程组，得到， 解得， ∴原方程组的正确解为． 【题型12 方程组相同解问题】 · 两个方程组有相同解，该解满足四个方程； · 优先联立不含参数的两个方程，求出公共解； · 把公共解代入含参数方程，计算参数数值。 【典例12】．若方程组与方程组的解相同，则的值为    （    ） A．2 B．7 C．1 D．0 【答案】A 【分析】若两个方程组解相同，则公共解满足所有方程，将已知的x、y代入含a、b的方程，即可求出的值． 【详解】解：∵方程组与方程组的解相同， ∴公共解为， 将代入，得， 将两个方程左右分别相加，得， 两边同除以7，得． 【变式1】．已知关于，的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把两个方程组中不含未知数和含未知数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可． 【详解】解：关于，的方程组与有相同的解， 关于，的方程组的解也是关于，的方程组的解， ， ，可得， 解得， 把代入①，可得：， 解得， 原方程组的解是， 关于，的方程组的解也是关于，的方程组的解， ， 解得：， ； 故选：C． 【变式2】．已知关于的方程组与方程组同解，则_____． 【答案】81 【分析】先联立不含参数的方程和 解出x和y，再代入含参数的方程求a和b，即可． 【详解】解：联立方程 ， 解得 ， 把 代入 得， 解得 ， ∴． 【变式3】．规定：对于平面直角坐标系中任意一点的坐标满足，此时我们称点为“倍差点”，请回答以下相关问题． (1)以下各点：①②③中是“倍差点”的有（填序号即可）； (2)若点是“倍差点”，且点A向右平移2个单位，向下平移1个单位后得到点B，点B到y轴距离是到x轴距离的2倍，求此时点A的坐标； (3)已知“倍差点”，，关于x、y的方程组与有相同的解，求：①用含k的式子表示m和s；②若对于任意k的值，等式始终成立，求的值 【答案】(1)①③ (2)或 (3)①，② 【分析】（1）根据“倍差点”定义，逐项验证即可； （2）根据“倍差点”定义，将变形为，得到，由点B到y轴距离是到x轴距离的2倍，列绝对值方程，分区间讨论求解即可； （3）①联立解得，将公共解代入另外两个方程，并结合“倍差点”定义，可得关于的方程组求解；②将①的结论代入得，即，求出p，q，即可解答． 【详解】（1）解：当时，①是“倍差点”， 当时，②不是“倍差点”， 当时，③是“倍差点”； （2）解：∵点是“倍差点”， ∴，即， ∵点A向右平移2个单位，向下平移1个单位后得到点B， ∴， ∵点B到y轴距离是到x轴距离的2倍， ∴，即， 当时，，， 则，解得（舍去）； 当时，，， 则，解得，此时， ∴； 当时，，， 则，解得，此时， ∴； ∴点A的坐标为或 （3）解：①∵关于x、y的方程组与有相同的解， ∴联立解得 ∴， ∵，是“倍差点”， ∴，， 将，代入得，整理得， ∴解得， ②由①得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 05 过关•检测 1．已知是二元一次方程的解，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先将方程的解代入方程求出a的值，再得到点的坐标，根据坐标符号判断所在象限即可． 【详解】解：∵是二元一次方程 的解， ∴把代入方程得， 解得， ∴点的坐标为， ∵横坐标大于0，纵坐标小于0，符合第四象限点的坐标特征， ∴该点在第四象限． 2．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据五只雀六只燕共重16两，可得第一个方程：，互换其中一只后，一方剩余只雀和只燕，另一方剩余只雀和只燕，二者重量相等，可得第二个方程：，即可得到答案． 【详解】解：设雀每只两，燕每只两， ． 3．若单项式与是同类项，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：由题意，得 解得． 4．已知方程组，以下说法不正确的是（    ） A．无论实数取何值，不可能等于 B．当时，方程组的解也是方程的解 C．存在某一个值，使得， D．代数式的最小值为7 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的解及方程组解的定义判断即可得解． 【详解】已知关于、的方程组， 解得：， 当时，， 变形为无意义， 不可能等于，故正确； 当时，方程组的解为， 代入方程， 左边， 右边， 左边右边， 当时，方程组的解也是方程的解，故正确； 当，时，代入方程组得， 解得：，无实数解， 不存在某一个值，使得，，故错误； ， ， 的最小值为，故正确． 5．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②无论取何值，，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为自然数的解有3对；④若，则，其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先解方程组，得到，然后将代入，即可判断①；若，即可得到，然后解方程即可判断②；根据题意，可知，然后代入求值即可判断③；将代入解方程即可判断④． 【详解】 解：， ，得， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：． ①当时，，， ∴， ， ∴，故①错误； ②若，则， 解得：， ∴，， ∴x，y互为相反数，故②错误； ③，为自然数， ∴， 当时，，， 当时，，， 当时，，， ∴x，y为自然数的解有3对，故③正确； ④∵， ∴， 解得：，故④错误， ∴其中正确的有③，共1个． 6．已知二元一次方程组：①②③④解以上四个方程组比较适合的方法是（   ） A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法 C．②③用代入法，①④用加减法 D．②④用代入法，①③用加减法 【答案】B 【分析】当方程组中有一个方程直接给出一个未知数用另一个未知数表示的形式时，适合用代入消元法；当同一未知数的系数相同或互为相反数，或易化为相同/相反数时，适合用加减消元法，据此解答即可． 【详解】解：观察四个方程组： ∵①中已用直接表示，③中已用直接表示， ∴①③适合选用代入法； ∵②中同一未知数的系数可快速化为相同或相反数，④中的系数相等，可直接减法消元， ∴②④适合选用加减法． 7．已知整式，，其中，为自然数，m，n，，为正整数，．且满足，，下列说法： ①若，，时，则，； ②若，则满足条件的整式M共有15个； ③若，则符合条件的情况有9种． 其中正确的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键． 说法①中，由时M和N的值即系数和，结合和的值解出m和n，结果正确；说法②中，时整式的系数需满足和为，且最高次项系数为正整数，计算满足条件的整式个数为，与给出的15不符；说法③中，根据的表达式和系数关系的约束，求解符合条件的组合，结果为种，与给出的9种不符．因此仅说法①正确． 【详解】解：∵时，，， 又∵，， ∴，， 解得，， ∴，（为正整数），故①正确． ∵，则，其中，，， 令（），则， 当时， ，此时满足条件的自然数解有组，是或或或， 当时， ，此时满足条件的自然数解有3组，是或或； 当时， ，此时满足条件的自然数解有2组，是或； 当时， ，此时满足条件的自然数解有1组，是； 总解数为个．故②错误． ∵， ∴，， ，， ∴， 又∵， ∴，，，， 由，分两种情况： 当，，则，，结合，，且， 解得有，，，对应3种情况． 当，，则，，结合，，且， 解得有，，，，对应4种情况． ∴总情况数，故③错误． 综上，仅①正确．故选B． 8．在解关于，的方程组时，小明由于将方程①的“”，看成了“”，因而得到的解为，则原方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把代入中可求出a，b的值，再把a，b的值代入中，解关于x，y的方程组即可解答． 【详解】解：把代入中可得：， 解得， 把代入中可得，， 解得：． 9．在关系式中，当时，，当时，，则a，b的值是（） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用代入法得到关于的二元一次方程组，用消元法解方程组即可得到结果． 【详解】解：∵当时，，当时，， 将两组值代入，可得方程组， 用②①得：， 化简得， 将代入①得：， 解得， ∴，． 10．关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能根据已知得出关于、的方程组是解此题的关键． 根据已知得出关于、的方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：关于、的二元一次方程组的解是， 关于、的二元一次方程组中， 解得：， 故选：A． 11．已知二元一次方程，用含的代数式表示，则________． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ ∴． 12．已知关于的方程组的解满足，则的值为_____． 【答案】 【分析】先将两式相加求出，再整体代入得出答案． 【详解】解：， ，得． ∵， ∴， 解得． 13．若实数与满足，则的平方根为__________． 【答案】 【分析】利用非负数的和为则每个非负数都为的性质列方程组，解出，的值，再计算并求其平方根． 【详解】解：， 则， 解得， 则，其平方根为． 14．若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为______． 【答案】 【分析】运用整体思想，把两方程相加即可得解． 【详解】解：， 由得， ， ， ， 解得． 15．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则m的值为________． 【答案】4 【分析】利用加减消元法求出方程组的解，再把方程组的解代入方程中得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为， ∵关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解， ∴， 解得． 16．已知关于x，y的二元一次方程组的解均为整数，若k为正整数，则满足条件的k值个数为________． 【答案】3 【详解】解：， 由②得， 将代入①得， 整理得，即， ∵关于x，y的二元一次方程组的解均为整数， ∴或， 解得或或13或， ∵k为正整数， ∴或或13，共3个． 17．用适当的方法解下列二元一次方程组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程组运用代入消元法解答即可； （2）方程组整理后运用加减消元法解答即可． 【详解】（1）解：， 由②得，③， 把③代入①得：， 解得：， 把代入③得：， ∴方程组的解为：； （2）解：方程组整理为：， 得：， 把代入①得：， 解得：， 所以方程组的解为． 18．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法消去y．先求出x的值．再代入求出y的值． （2）通过换元法简化原方程组．求解后回代得到原方程组的解． 【详解】（1）解： 得 得 解得 把代入①得 解得 因此方程组的解为 （2）解：设，， 原方程组可化为 得 得 解得 把代入②得 解得 因此可得 两式相加得 解得 把代入得 因此原方程组的解为 19．甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲看错了b，求得解为，乙看错了a，求得的解为，求原方程组的解． 【答案】 【分析】根据题意，把甲求得的解代入①，求出，把乙求得的解代入②，求出，即可得到答案． 【详解】解：甲看错了b，把甲求得的解代入①得，, 得， 乙看错了a，把乙求得的解代入②得，, 得， ∴， 得：， 解得， 把代入②得：， ∴原方程组的解为． 20．【阅读感悟】 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值． 如：已知实数满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出的值，再代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数系数之间的关系，通过适当变形后，整体求代数式的值． 解法如下： ，得：， ，得：． 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较简单，它用到了通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则________，________； (2)对于实数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．如：．已知，，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据材料提示方法，，即可求解； （2）根据新定义的计算方法得到，为，结合材料提示方法，由此即可求解． 【详解】（1）解：， 得， 得，， ∴， 故答案为：；． （2）解：∵，其中是常数，，， ∴， ∵为， ∴得，， 整理得，， ∴的值为． 21．已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立和，组成方程组即可解答； （2）利用方程组的解求出和，计算代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵方程组与的解相同， ∴， 由得：， ， 将代入①中得：， 解得：， ∴． （2）解：∵由（1）得， ∴将代入，得， 由得：， ， 将代入①中得：，解得：， ∴． 22．我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法． (1)已知关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的二元一次方程组的解； (2)请用上面的换元法解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，得到，然后解方程组即可； （2）设，得到，然后解方程组即可； 【详解】（1）解：设， 则原方程组可化为， ， 解得：； （2）设， 则原方程组可化为， 化简整理得， 解得：， ， 解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $