专题10.2 代入消元法（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级下册

专题10.2 代入消元法 教学目标 1. 掌握消元思想以及利用代入消元解一元二次方程组，能够根据方程组的特点选择合适的方法解二元一次方程组。 教学重难点 1. 重点 （1）代入消元法解二元一次方程组。 2. 难点 （1）二元一次方程组中的同解方程与错解方程的问题； （2）整体带入法再解二元一次方程组中的应用。 知识点01 代入消元法解二元一次方程组 1. 消元思想： 将多元方程中的未知数逐个消除转换为一元一次方程，先求出一个未知数在求其他未知数这样由多化少的转换思想叫做消元思想。 2. 代入消元法： 将二元一次方程组中其中一个方程的未知数用另一个未知数表示出来，在代入另一个方程中实现消元，进而求得这个二元一次方程的解的方法。简称代入法。 3. 代入消元法的具体步骤： （1） 变形：即把其中一个方程中一个未知数用 另一个未知数 表示出来。 （2） 代入：将变形得到的式子代入 另一个方程 。得到消元后的一元一次方程。 （3） 求解：解消元后的一元一次方程。 （4） 回代：把求得的一元一次方程的解代回变形后的式子求出另一个未知数的值。 （5） 写解：把两个未知数的解用联立起来。一定要写成的形式。 注意：代入消元法多使用于方程组中未知数系数为±1时的方程，有直接代入，变形代入与整体代入。 【即学即练1】 1．用代入法解方程组，下列用含一个未知数表示另一个未知数不正确的是（　　） A．由①得：y＝2x﹣3 B．由②得：y C．由①得x D．由②得xy 【答案】B 【解答】解：A、由①得：y＝2x﹣3，正确； B、由②得：y（1﹣3x）x，错误； C、由①得：x，正确； D、由②得xy，正确， 故选：B． 【即学即练2】 2．用代入法解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1） 由①，得x＝y+3③， 3（y+3）﹣8y＝14， 整理得：﹣5y＝5， 解得y＝﹣1， 把y＝﹣1代入③，得x＝2， ∴这个方程组的解是； （2） 把①代入②，得4x+8﹣8x＝8， 整理得：﹣4x＝0， 解得：x＝0， 将代入①代入得3y＝4×0+8， 即3y＝8， 解得：； ∴这个方程组的解是． 【即学即练3】 3．用代入法解下列方程组： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解答】解：（1）， 由②，得x＝1﹣5y③， 把③代入①，得2（1﹣5y）+3y＝﹣19， 解得：y＝3， 把y＝3代入③，得x＝﹣14， 所以方程组的解是； （2）， ②×12得，3y+3＝4x+8③， 由①得，3y＝2x﹣1④， 把④代入③得，2x﹣1+3＝4x+8， 解得，x＝﹣3， ∴y， 所以方程组的解是． 【即学即练4】 4．若关于x、y的方程组和有相同的解，则（a+b）2023的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．2021 【答案】B 【解答】解：若关于x、y的方程组和有相同的解， 由题意，得， 解得． 把代入方程组中，得， ①+②，得a+b＝﹣1． ∴（a+b）2023＝（﹣1）2023＝﹣1． 故选：B． 【即学即练5】 5．在解方程组时，甲看错了方程组中的a，得到的解为，乙看错了方程组中的b，得到的解是． （1）求原方程组中a、b的值各是多少？ （2）求出原方程组中的正确解． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）将代入②得b＝﹣10， 将代入①得a＝﹣1； （2）原方程组为， ①×2﹣②得：﹣6x＝32， 解得：x， ①×4+②得：30y＝58， 解得：y， 即原方程组的解为：． 【即学即练6】 6．（1）观察发现： 解方程组 将①整体代入②，得3×4+y＝14，解得y＝2． 将y＝2代入①，解得x＝2． 所以原方程组的解是． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，会发现有很多方程组可采用此方法求解． 请写出方程组的解为 　 ． （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组：． （3）已知x，y满足方程组，求x2+4y2﹣xy的值． 【答案】（1）；（2）；（3）15． 【解答】解：（1）， 由①，得x﹣y＝1③， 把③代入②，得 4×1﹣y＝5， 解得 y＝﹣1． 把 y＝﹣1 代入①，得 x＝0． 所以原方程组的解为． 故答案为：． （2）， 由①，得2x﹣3y＝2③， 把③代入②，得2y＝9， ∴y＝4． 把y＝4代入③，得2x﹣3×4＝2， ∴x＝7． ∴原方程组的解为． （3）， ①+2×②，得7x2+28y2＝119， ∴x2+4y2＝17③． 把③代入②，得2×17+xy＝36， ∴xy＝2． ∴x2+4y2﹣xy＝17﹣2＝15． 题型01 利用代入消元法解二元一次方程组 【典例1】用代入消元法解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）， 把①代入②得：2（3﹣y）﹣3y＝1， 解得：y＝1， 把y＝1代入①得：x＝3﹣1＝2， 则方程组的解为； （2）， 由②得：x＝2y+5③， 把③代入①得：3（2y+5）+2y＝3， 整理得：8y＝﹣12， 解得：y， 把y代入③得：x＝2×（）+5＝2， 则方程组的解为． 【变式1】用代入法解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解答】解：（1）②代入①，可得：2（1﹣y）+4y＝5， 解得y， 把y代入②，解得x， ∴原方程组的解是． （2）由①，可得n＝0.6m， 把n＝0.6m代入②，可得：2m﹣3×0.6m＝1， 解得m＝5， 把m＝5代入①，解得n＝3， ∴原方程组的解是． 【变式2】用代入消元法解下列二元一次方程组． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解答】解：（1）， 将①代入②得，3x+2（2x﹣3）＝8， 解得：x＝2， 将x＝2代入①得，y＝2×2﹣3＝1， ∴原方程组的解为：； （2）， 由①得：y＝7﹣2x， 将y＝7﹣2x代入②得：x﹣2（7﹣2x）＝1， 解得：x＝3， 将x＝3代入①得：2×3+y＝7， 解得：y＝1， ∴原方程组的解为：； （3）， 由②得：y＝3x﹣3③， 将③代入①得：2x+3（3x﹣3）＝13， 解得：x＝2， 将x＝2代入③得：y＝3×2﹣3＝3， ∴原方程组的解为：； （4）， 原方程组化为：， 由②得：y＝3﹣3x③， 将③代入①得：3x+2（3﹣3x）＝6， 解得：x＝0， 将x＝0代入③得：y＝3﹣3×0＝3， ∴原方程组的解为：． 题型02 二元一次方程组的同解方程问题 【典例1】已知关于x，y的方程组和有相同的解，那么2a+b值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：∵关于x，y的方程组和有相同的解， ∴方程组与方程组有相同的解． 解方程组，得． 方程组， ②﹣①，得by＝8， 把y＝1代入，得b＝8． 2×①﹣②，得ax＝﹣6， 把x＝3代入，得a＝﹣2． ∴2a+b＝﹣4+8＝4． 故选：B． 【变式1】已知关于x，y的方程组和有相同的解，那么的平方根是（　　） A．2 B． C． D．±2 【答案】B 【解答】解：根据题意得， 解得， 把代入方程ax+by＝﹣1和方程3ax+4by＝18中，得 ， 解得， ∴a+b＝11﹣7＝4， ∴， ∵2的平方根是， ∴的平方根是， 故选：B． 【变式2】已知关于x，y的方程组与有相同的解． （1）求a、b的值； （2）求a﹣5b的平方根． 【答案】（1）a＝14，b＝2； （2）±2． 【解答】解：（1）由题意得，， ∴， ∴a﹣10＝4，5﹣2b＝1． ∴a＝14，b＝2； （2）由（1）得，a＝14，b＝2， ∴a﹣5b＝14﹣5×2＝4， ∴a﹣5b的平方根为±2． 【变式3】已知关于x，y的方程组和有相同的解． （1）求这个相同的解； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）﹣1． 【解答】（1）∵方程组和有相同的解， ∴， 解得：； （2）把代入， 得：， 解得：， ∴． 题型03 二元一次方程组的错解方程问题 【典例1】甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为，则a+b＝ 　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：把代入方程bx﹣4y＝4中，得4b﹣4×1＝4， 解得b＝2， 把代入方程ax+3y＝9中，得3a+3×2＝9， 解得a＝1， ∴a+b＝1+2＝3， 故答案为：3． 【变式1】甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，由于甲看错方程①中的a，得到方程组的解为，由于乙看错方程②中的b，得到方程组的解完，试计算a2014+（﹣b）2015的值． 【答案】2． 【解答】解：由题意可知，甲看错了方程①中的a，得出的解为，满足方程②， ∴4×（﹣2）﹣6b＝﹣2， 解得：b＝﹣1． 乙看错了方程②中的b，得出的解为，满足方程方程①， ∴5a+5×2＝15， 解得：a＝1， ∴a2014+（﹣b）2015 ＝12014+12015 ＝1+1 ＝2． 【变式2】甲、乙两人解方程组，由于甲看错了方程①中的a而得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b而得到的解为，假如按正确的a，b计算，试求出原方程的解． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：因为甲只看错了方程①中的a，所以甲所得到的解为， 应满足无a的正确的方程②，即4×（﹣3）﹣b×（﹣1）＝﹣2．③ 同理，，应满足正确的方程①，即a×5+5×4＝13．④ 解由③，④联立的方程组得：， ∴原方程组应为：， 解得：． 【变式3】已知方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求出a，b的值及原方程的解． 【答案】a＝1，b＝10，原方程组的解为． 【解答】解：将代入②得：﹣12+b＝﹣2， 将代入①得：5a+10＝15， 解得：a＝1，b＝10， 把a＝1，b＝10代入方程组得， ①×2+②得：6x＝28， 解得：x， 将x代入①得：y， 则原方程组的解为． 题型04 整体代入法在解方程组中的应用 【典例1】已知方程组的解是，则方程组的解为　　 ． 【答案】． 【解答】解：令X＝x+2，Y＝y﹣1，则方程组变形为， 由题意可得：方程组的解是， ∴x+2＝2，y﹣1＝3， ∴x＝0，y＝4， ∴方程组的解为． 【变式1】小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组． 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的（x+y）看成一个整体，把（x﹣y）看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程组可化为　　 ， 解关于m，n的方程组，得， 所以，解这个方程组得． 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）设x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程组可化为： ； 故答案为：； 得：， 即， 两式相加可得：2x＝16，x＝8， 两式相减可得：2y＝4，y＝2， 所以方程组的解是：； （2）设3x+2y＝m，4x﹣y＝n， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以，解这个方程组得． 【变式2】小智同学在解方程组时发现，可将第一个方程通过移项变形为x+y＝7，可以很轻松地解出这个方程组．小智同学发现的这种方法叫作“整体代入法”，是中学数学里很常用的一种解题方法． （1）请按照小智的解法解出这个方程组； （2）用整体代入法解方程组． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）， 整理得， 把①整体代入②得4×7﹣y＝25， 整理得：28﹣y＝25， 即y＝28﹣25， 解得y＝3， 把y＝3代入①得：x+3＝7，解得x＝4， ∴方程组的解为； （2）， 整理得， 把②整体代入①得：， 整理得：2+2x＝4， 即2x＝2， 解得x＝1， 把x＝1代入②得：y﹣2×1＝3，解得y＝5， ∴方程组的解为． 1．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（　　） A．由①得y＝5﹣2x B．由①得y＝2x﹣5 C．由②得x＝3y﹣10 D．由②得x＝10+3y 【答案】B 【解答】解：， 由①，得y＝2x﹣5， 或由②，得x＝10﹣3y， 故选：B． 2．用代入法解方程组时，将②代入①正确的是（　　） A．x﹣2x＝6 B．2y+y＝6 C．x+2x＝6 D．y+y＝6 【答案】C 【解答】解：将②代入①得：x+2x＝6， 故选：C． 3．下面是老师在黑板上展示的某同学用代入消元法解方程组的步骤，其中开始出现错误的是（　　） 解： 由①得③；步骤一 把③代入②得；步骤二 去分母得24﹣9y﹣10y＝5；步骤三 解得y＝1，再由③得x＝2.5．步骤四 A．步骤一 B．步骤二 C．步骤三 D．步骤四 【答案】C 【解答】解：步骤三中去分母，等号右边漏乘2， 应为24﹣9y﹣10y＝10． 故选：C． 4．若关于x，y的二元一次方程组的解为，则a+b＝（　　） A．2 B．﹣2 C．0 D．±2 【答案】B 【解答】解：将方程组的解 ，代入第一个方程：， ∴， 16﹣9b＝25， ∴﹣9b＝9， ∴b＝﹣1． 代入第二个方程：， ∴， 8a+3＝﹣5， ∴a＝﹣1． ∴a+b＝﹣1+（﹣1）＝﹣2． 故选：B． 5．若x、y满足5|x+y﹣3|+（x﹣2y）2＝0，则有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵， ∴， 解得． 故选：C． 6．定义运算“*”，规定x*y＝ax2+by，其中a，b为常数，且1*2＝5，2*1＝6，则2*3＝（　　） A．8 B．4 C．3 D．10 【答案】D 【解答】解：根据题意得出方程组为， 解得：， ∴2*3＝22+2×3＝10． 故选：D． 7．如关于x，y的方程组和有相同的解，则a+b的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2024 【答案】B 【解答】解：由题意可得： 则有， 解得， 把x＝2，y＝1，代入， 得， ③+④×2，得5b＝10， 解得， 当a＝﹣2，b＝2时，a+b＝﹣2+2＝0． 故选：B． 8．关于x，y的方程组的解为，且，则（m+n）2024为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2024 【答案】A 【解答】解：∵关于x，y的方程组的解为， ∴， 又∵， ∴， ∴（3m+2m）+（2n+3n）＝﹣7+2， 即5m+5n＝﹣5， ∴m+n＝﹣1， ∴（m+n）2024＝（﹣1）2024＝1． 故选：A． 9．在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得x＝4，y＝2，乙看错②中的b，解得x＝﹣3，y＝﹣1，则a和b的正确值应是（　　） A．a＝﹣4.25，b＝3 B．a＝4，b＝13 C．a＝4，b＝4 D．a＝﹣5，b＝4 【答案】D 【解答】解：将x＝4，y＝2代入3x﹣by＝4得12﹣2b＝4， 解得：b＝4， 将x＝﹣3，y＝﹣1代入ax+8y＝7得﹣3a﹣8＝7， 解得：a＝﹣5， 故选：D． 10．已知关于x，y的二元一次方程组有正整数解，其中k为整数，则﹣k2+1的值为（　　） A．﹣8或0 B．﹣8或﹣4 C．﹣4 D．0 【答案】A 【解答】解：， 由②得，y＝2x， 把y＝2x代入①得，kx+2x＝5， （k+2）x＝5， 解得：， ∴， ∴方程组的解为， ∵关于x，y的二元一次方程组有正整数解， ∴和均为正整数， 即k+2是5和10的正公约数， 5和10的正公约数有1和5， ∴k+2＝1或k+2＝5， ∴k＝﹣1或k＝3， 当k＝﹣1时，﹣k2+1＝﹣（﹣1）2+1＝﹣1+1＝0， 当k＝3时，﹣k2+1＝﹣32+1＝﹣9+1＝﹣8， ∴﹣k2+1的值为0或﹣8． 故选：A． 11．若|m+2n﹣1|+（m﹣3n+4）2＝0，则m+n的值为 　0　 ． 【答案】0． 【解答】解：∵|m+2n﹣1|+（m﹣3n+4）2＝0， ∴， 解得， ∴m+n＝﹣1+1＝0． 故答案为：0． 12．若单项式5x4y2m+n与2019xm﹣ny2是同类项，则﹣mn的平方根是　±2　 ． 【答案】±2． 【解答】解：∵单项式5x4y2m+n与2019xm﹣ny2是同类项， ∴， 解得， ∴﹣mn＝﹣2×（﹣2）＝4， ∴﹣mn的平方根是±2， 故答案为：±2． 13．若关于x、y的方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为　　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意可得： 所求方程， ∴x+2＝﹣2，y﹣1＝1， 解得：x＝﹣4，y＝2， 即方程组的解为：． 14．解方程组时，小强正确解得，而小刚只看错了c，解得，则a﹣b+c的值为 　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：解方程组时，小强正确解得， 则2a+2b＝6，2c﹣8＝﹣2， 解得：c＝3， 因小刚只看错了c，解得， 则﹣2a+4b＝6， 那么， 解得：， 则a﹣b+c＝1﹣2+3＝2， 故答案为：2． 15．对于关于x，y的二元一次方程组（其中a1，b1，c1，a2，b2，c2是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足|x﹣y|＝1，则称这个方程组为“郡一”方程组．若对于任意的无理数m，关于x，y的方程组都是“郡一”方程组，则ab的值为　或　 ． 【答案】或． 【解答】解：由题意可得：|x﹣y|＝1， 则有， 解得或， 把代入2amx+（b﹣1）y＝m得4am+b﹣1＝m， ∴（4a﹣1）m+b﹣1＝0， ∵m为任意无理数， ∴， 解得， ∴； 把代入2amx+（b﹣1）y＝m得， ∴， ∵m为任意无理数， ∴， 解得， ∴． 综上所述，ab的值为或． 16．用代入消元法解二元一次方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）， 由①得y＝15﹣4x③， 将③代入②得3x﹣2（15﹣4x）＝3， 整理得：11x﹣30＝3， 解得：x＝3， 将x＝3代入③得y＝15﹣12＝3， 故原方程组的解为； （2）原方程整理得， 由①得y＝3x﹣3③， 将③代入②得2x+3（3x﹣3）＝13， 整理得：11x＝22， 解得：x＝2， 将x＝2代入③得y＝6﹣3＝3， 故原方程组的解为． 17．已知关于x，y的方程组和有相同的解． （1）求出它们的相同解； （2）求（a+b）2023的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意得， ①×2得4x﹣2y＝14③， ②+③得x＝3， 把x＝3代入②得：y＝﹣1， ∴方程组的解为：； （2）由条件可得， ①×2得：12a+2b＝8③， ②+③得：a＝1， 把a＝1代入①得：b＝﹣2， ∴（a+b）2023 ＝[1+（﹣2）]2023 ＝（﹣1）2023 ＝﹣1． 18．阅读以下材料： 解方程组由①得x﹣y＝1③，把③代入②，得4×1﹣y＝5，解得y＝﹣1，y＝﹣1代入③得x＝0，∴，这种解法称为“整体代入法”． 请你用这种方法解方程组：． 【答案】． 【解答】解：， 由①得：3x﹣y＝﹣1， 等式两边都乘2得：6x﹣2y＝﹣2③， 把③代入②得：2y＝4， 解得：y＝2， 把y＝2代入①得：3x﹣2+1＝0， 解得：x， 所以方程组的解是． 19．在平面直角坐标系中，对于点P（a，b）和点Q（m，n），若满足：，则称点P的“美好点”为点Q．例如，点（2，1）的“美好点”是（4，1）． （1）①点P（﹣2，3）的“美好点”坐标是　（﹣4，5）　 ； ②若点P的“美好点”为（7，﹣3），则点P的坐标是多少？ （2）若点P（a，a+3）的“美好点”位于x轴上，求a的值． 【答案】（1）①（﹣4，5），②（3.5，﹣1）； （2）a＝﹣2.5． 【解答】解：（1）①根据新定义可知： ， ∴点P（﹣2，3）的“美好点”坐标是（﹣4，5）； 故答案为：（﹣4，5）； 点P的“美好点”的坐标是（﹣4，5）． ②设点P的坐标是（a，b） 根据“美好点”的定义可得， 解得：， ∴点P的坐标是（3.5，﹣1）； （2）设点P（a，a+3）的“美好点”为Q（m，n）， 由条件可得， 即， ∴n＝0， ∴a＝﹣2.5． 20．我们规定：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c，若满足a+b＝c，则称这个方程为“幸福”方程，例如：方程2x+3y＝5，其中a＝2，b＝3，c＝5，满足a+b＝c，则方程2x+3y＝5是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组，根据上述规定，回答下列问题： （1）判断方程5x+6y＝12　不是　 “幸福”方程（填“是”或“不是”）； （2）若关于x，y的二元一次方程2kx+（k﹣3）y＝9是“幸福”方程，求k的值； （3）若是关于x，y的“幸福”方程组的解，求8p﹣3q的值． 【答案】（1）不是； （2）4； （3）5． 【解答】解：（1）∵5+6＝11≠12， ∴方程不是“幸福”方程； 故答案为：不是； （2）2k+k﹣3＝9， 解得k＝4； （3）由题意得， 解得， ∴，解得， ∴， ∴8p﹣3q＝5． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.2 代入消元法 教学目标 1. 掌握消元思想以及利用代入消元解一元二次方程组，能够根据方程组的特点选择合适的方法解二元一次方程组。 教学重难点 1. 重点 （1）代入消元法解二元一次方程组。 2. 难点 （1）二元一次方程组中的同解方程与错解方程的问题； （2）整体带入法再解二元一次方程组中的应用。 知识点01 代入消元法解二元一次方程组 1. 消元思想： 将多元方程中的未知数逐个消除转换为一元一次方程，先求出一个未知数在求其他未知数这样由多化少的转换思想叫做消元思想。 2. 代入消元法： 将二元一次方程组中其中一个方程的未知数用另一个未知数表示出来，在代入另一个方程中实现消元，进而求得这个二元一次方程的解的方法。简称代入法。 3. 代入消元法的具体步骤： （1） 变形：即把其中一个方程中一个未知数用 表示出来。 （2） 代入：将变形得到的式子代入 。得到消元后的一元一次方程。 （3） 求解：解消元后的一元一次方程。 （4） 回代：把求得的一元一次方程的解代回变形后的式子求出另一个未知数的值。 （5） 写解：把两个未知数的解用联立起来。一定要写成的形式。 注意：代入消元法多使用于方程组中未知数系数为±1时的方程，有直接代入，变形代入与整体代入。 【即学即练1】 1．用代入法解方程组，下列用含一个未知数表示另一个未知数不正确的是（　　） A．由①得：y＝2x﹣3 B．由②得：y C．由①得x D．由②得xy 【即学即练2】 2．用代入法解方程组： （1）； （2）． 【即学即练3】 3．用代入法解下列方程组： （1）． （2）． 【即学即练4】 4．若关于x、y的方程组和有相同的解，则（a+b）2023的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．2021 【即学即练5】 5．在解方程组时，甲看错了方程组中的a，得到的解为，乙看错了方程组中的b，得到的解是． （1）求原方程组中a、b的值各是多少？ （2）求出原方程组中的正确解． 【即学即练6】 6．（1）观察发现： 解方程组 将①整体代入②，得3×4+y＝14，解得y＝2． 将y＝2代入①，解得x＝2． 所以原方程组的解是． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，会发现有很多方程组可采用此方法求解． 请写出方程组的解为 　 ． （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组：． （3）已知x，y满足方程组，求x2+4y2﹣xy的值． 题型01 利用代入消元法解二元一次方程组 【典例1】用代入消元法解下列方程组： （1）； （2）． 【变式1】用代入法解下列方程组： （1）； （2）． 【变式2】用代入消元法解下列二元一次方程组． （1）； （2）； （3）； （4）． 题型02 二元一次方程组的同解方程问题 【典例1】已知关于x，y的方程组和有相同的解，那么2a+b值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】已知关于x，y的方程组和有相同的解，那么的平方根是（　　） A．2 B． C． D．±2 【变式2】已知关于x，y的方程组与有相同的解． （1）求a、b的值； （2）求a﹣5b的平方根． 【变式3】已知关于x，y的方程组和有相同的解． （1）求这个相同的解； （2）求的值． 题型03 二元一次方程组的错解方程问题 【典例1】甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为，则a+b＝ 　 　 ． 【变式1】甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，由于甲看错方程①中的a，得到方程组的解为，由于乙看错方程②中的b，得到方程组的解完，试计算a2014+（﹣b）2015的值． 【变式2】甲、乙两人解方程组，由于甲看错了方程①中的a而得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b而得到的解为，假如按正确的a，b计算，试求出原方程的解． 【变式3】已知方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求出a，b的值及原方程的解． 题型04 整体代入法在解方程组中的应用 【典例1】已知方程组的解是，则方程组的解为 　 ． 【变式1】小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组． 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的（x+y）看成一个整体，把（x﹣y）看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程组可化为 ， 解关于m，n的方程组，得， 所以，解这个方程组得． 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组． 【变式2】小智同学在解方程组时发现，可将第一个方程通过移项变形为x+y＝7，可以很轻松地解出这个方程组．小智同学发现的这种方法叫作“整体代入法”，是中学数学里很常用的一种解题方法． （1）请按照小智的解法解出这个方程组； （2）用整体代入法解方程组． 1．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（　　） A．由①得y＝5﹣2x B．由①得y＝2x﹣5 C．由②得x＝3y﹣10 D．由②得x＝10+3y 2．用代入法解方程组时，将②代入①正确的是（　　） A．x﹣2x＝6 B．2y+y＝6 C．x+2x＝6 D．y+y＝6 3．下面是老师在黑板上展示的某同学用代入消元法解方程组的步骤，其中开始出现错误的是（　　） 解： 由①得③；步骤一 把③代入②得；步骤二 去分母得24﹣9y﹣10y＝5；步骤三 解得y＝1，再由③得x＝2.5．步骤四 A．步骤一 B．步骤二 C．步骤三 D．步骤四 4．若关于x，y的二元一次方程组的解为，则a+b＝（　　） A．2 B．﹣2 C．0 D．±2 5．若x、y满足5|x+y﹣3|+（x﹣2y）2＝0，则有（　　） A． B． C． D． 6．定义运算“*”，规定x*y＝ax2+by，其中a，b为常数，且1*2＝5，2*1＝6，则2*3＝（　　） A．8 B．4 C．3 D．10 7．如关于x，y的方程组和有相同的解，则a+b的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2024 8．关于x，y的方程组的解为，且，则（m+n）2024为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2024 9．在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得x＝4，y＝2，乙看错②中的b，解得x＝﹣3，y＝﹣1，则a和b的正确值应是（　　） A．a＝﹣4.25，b＝3 B．a＝4，b＝13 C．a＝4，b＝4 D．a＝﹣5，b＝4 10．已知关于x，y的二元一次方程组有正整数解，其中k为整数，则﹣k2+1的值为（　　） A．﹣8或0 B．﹣8或﹣4 C．﹣4 D．0 11．若|m+2n﹣1|+（m﹣3n+4）2＝0，则m+n的值为 　 　 ． 12．若单项式5x4y2m+n与2019xm﹣ny2是同类项，则﹣mn的平方根是　 　 ． 13．若关于x、y的方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为 　 ． 14．解方程组时，小强正确解得，而小刚只看错了c，解得，则a﹣b+c的值为 　 　 ． 15．对于关于x，y的二元一次方程组（其中a1，b1，c1，a2，b2，c2是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足|x﹣y|＝1，则称这个方程组为“郡一”方程组．若对于任意的无理数m，关于x，y的方程组都是“郡一”方程组，则ab的值为 ． 16．用代入消元法解二元一次方程组： （1）； （2）． 17．已知关于x，y的方程组和有相同的解． （1）求出它们的相同解； （2）求（a+b）2023的值． 18．阅读以下材料： 解方程组由①得x﹣y＝1③，把③代入②，得4×1﹣y＝5，解得y＝﹣1，y＝﹣1代入③得x＝0，∴，这种解法称为“整体代入法”． 请你用这种方法解方程组：． 19．在平面直角坐标系中，对于点P（a，b）和点Q（m，n），若满足：，则称点P的“美好点”为点Q．例如，点（2，1）的“美好点”是（4，1）． （1）①点P（﹣2，3）的“美好点”坐标是　 　 ； ②若点P的“美好点”为（7，﹣3），则点P的坐标是多少？ （2）若点P（a，a+3）的“美好点”位于x轴上，求a的值． 20．我们规定：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c，若满足a+b＝c，则称这个方程为“幸福”方程，例如：方程2x+3y＝5，其中a＝2，b＝3，c＝5，满足a+b＝c，则方程2x+3y＝5是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组，根据上述规定，回答下列问题： （1）判断方程5x+6y＝12　 　 “幸福”方程（填“是”或“不是”）； （2）若关于x，y的二元一次方程2kx+（k﹣3）y＝9是“幸福”方程，求k的值； （3）若是关于x，y的“幸福”方程组的解，求8p﹣3q的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $