小升初奥数培优应用题：归一与归总问题（专项练习）2025-2026学年六年级下册数学人教版

小升初奥数培优应用题：归一与归总问题 亲爱的同学们： 编写《归一与归总问题》的初衷，不仅是为了解决几道数学题，更是为了帮助孩子们构建一种透过现象看本质的逻辑思维。归一与归总，看似是两种不同的解题路径，实则是数学世界中“变”与“不变”辩证关系的完美体现。 在归一问题中，我们寻找那个恒定不变的“单一量”，如单价、速度或效率，以此为基础推演万千变化；而在归总问题里，我们锁定那个守恒的“总量”，如工作总数、路程或总价，在反比关系中洞察平衡之美。从基础的“3支钢笔15元”到复杂的“牛吃草”动态模型，每一道例题都是思维的阶梯。 我希望读者们不要仅满足于套用公式，更要理解每一步计算背后的逻辑意义。通过基础巩固篇夯实根基，在进阶与综合应用中融会贯通，最后在思维拓展篇中挑战极限。愿你们在每一次“求单一”与“求总量”的探索中，不仅收获分数，更收获严谨、灵活且深刻的数学智慧，为未来的学习打下坚实基石。 【知识点梳理】 1. 归一问题 定义：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之改变，且变化的规律是相同的。解题时，先求出“单一量”（即单位数量的数值），再以这个单一量为标准，求出所要求的数量。 核心公式： 分类： (1) 正归一问题： 1　 特征：单一量不变。例如：单价不变、工作效率不变、速度不变。 2　 逻辑：先求单一量，再求新的总量或数量。 3　 示例：3支钢笔15元，买8支需要多少钱？ 思路：先求1支钢笔的价格（ 元），再求8支的价格（ 元）。 (2) 反归一问题： 1　 特征：总量不变，但涉及两个变量的反向变化。 2　 注：在传统奥数分类中，有时将“求份数”的过程也归为归一问题的延伸。 解题步骤： (1) 找对应：找出题目中已知的总量和对应的数量。 (2) 求单一：用除法求出单位数量的值（单一量）。 (3) 求结果：根据问题要求，用乘法求新总量，或用除法求新数量。 2. 归总问题 定义：已知两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，但它们的乘积（总量）保持不变。解题时，先求出“总量”，再以这个总量为标准，求出所要求的数量。 核心公式： 特征： (1) 总量恒定：如工作总量一定、路程一定、总价一定（当单价和数量成反比时）、耕地面积一定等。 (2) 反比关系：单一量越大，所需的数量越少；单一量越小，所需的数量越多。 示例： 一批零件，每天做10个，6天做完。如果每天做15个，几天做完？ 思路：先求零件总数（ 个），再求新天数（ 天）。 解题步骤： 1. 求总量：利用已知条件，计算出不变的总量。 2. 求新量：用总量除以新的单一量（或新的数量），得到要求的数量（或单一量）。 3. 归一与归总的区别与联系 维度 归一问题 归总问题 不变量 单一量（单位效率/单价）不变 总量（总工作量/总价/总路程）不变 第一步 用除法求单一量 用乘法求总量 第二步 用乘法求总量 或 除法求数量 用除法求新单一量 或 新数量 【培优练习】 【基础巩固篇】 1. 一台拖拉机3小时耕地15公顷。照这样计算，8小时可以耕地多少公顷？ 2. 服装厂加工一批校服，3天加工了180套。照这样的速度，加工720套校服需要多少天？ 3. 5辆卡车4次共运货200吨。平均每辆卡车每次运货多少吨？ 4. 修路队修一条公路，计划每天修60米，15天修完。实际每天多修15米，实际多少天修完？ 5. 小明读一本故事书，每天读12页，10天读完。如果他想8天读完，每天需要读多少页？ 【进阶提升篇】 6. 3台织布机4小时织布360米。照这样计算，5台织布机8小时可以织布多少米？ 7. 一个工程队修一条水渠，原计划每天修80米，20天完成。实际提前4天完成，实际每天修多少米？ 8. 某工厂生产一批零件，原计划每天生产50个，30天完成。如果要提前5天完成，每天需要多生产多少个零件？ 9. 4只猫4天吃了4条鱼。照这样计算，8只猫8天吃多少条鱼？ 10. 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，5小时到达。返回时速度提高了20%，返回时需要多少小时？ 【综合应用篇】 11. 学校食堂买回一批大米，计划每天吃50千克，可以吃24天。实际每天节约10千克，这批大米实际可以吃多少天？ 12. 3台抽水机4小时灌溉农田24公顷。现在有6台同样的抽水机，要灌溉72公顷农田，需要多少小时？ 13. 一项工程，由12人合作需要10天完成。如果增加3人，需要多少天完成？（假设每人工作效率相同） 14. 一艘轮船往返于甲、乙两港之间。去时顺水，每小时行30千米，4小时到达；返回时逆水，每小时行20千米。往返一次平均每小时行多少千米？ 15. 某车间生产一批零件，原计划每天生产40个，15天完成。实际前3天每天生产50个，剩下的要在9天内完成，剩下的平均每天要生产多少个？ 【思维拓展篇】 16. 5个人挖5米深的沟需要5小时。照这样计算，10个人挖10米深的沟需要多少小时？ 17. 一批苹果，如果每箱装12千克，需要50个箱子。如果每箱多装3千克，可以少用多少个箱子？ 18. 甲、乙两个水管同时向一个空水池注水，3小时可以注满。如果单独开甲管，5小时可以注满。如果单独开乙管，需要多少小时注满？ 19. 某农场有块草地，草每天匀速生长。如果放牧20头牛，10天吃完；如果放牧15头牛，15天吃完。如果放牧10头牛，多少天吃完？ 20. 某加工厂用同样的机器加工零件。3台机器4小时加工了240个零件。现在增加了2台同样的机器，并且每台机器的工作效率提高了20%，加工600个零件需要多少小时？ 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优应用题：归一与归总问题 亲爱的同学们： 编写《归一与归总问题》的初衷，不仅是为了解决几道数学题，更是为了帮助孩子们构建一种透过现象看本质的逻辑思维。归一与归总，看似是两种不同的解题路径，实则是数学世界中“变”与“不变”辩证关系的完美体现。 在归一问题中，我们寻找那个恒定不变的“单一量”，如单价、速度或效率，以此为基础推演万千变化；而在归总问题里，我们锁定那个守恒的“总量”，如工作总数、路程或总价，在反比关系中洞察平衡之美。从基础的“3支钢笔15元”到复杂的“牛吃草”动态模型，每一道例题都是思维的阶梯。 我希望读者们不要仅满足于套用公式，更要理解每一步计算背后的逻辑意义。通过基础巩固篇夯实根基，在进阶与综合应用中融会贯通，最后在思维拓展篇中挑战极限。愿你们在每一次“求单一”与“求总量”的探索中，不仅收获分数，更收获严谨、灵活且深刻的数学智慧，为未来的学习打下坚实基石。 【知识点梳理】 1. 归一问题 定义：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之改变，且变化的规律是相同的。解题时，先求出“单一量”（即单位数量的数值），再以这个单一量为标准，求出所要求的数量。 核心公式： 分类： (1) 正归一问题： 1　 特征：单一量不变。例如：单价不变、工作效率不变、速度不变。 2　 逻辑：先求单一量，再求新的总量或数量。 3　 示例：3支钢笔15元，买8支需要多少钱？ 思路：先求1支钢笔的价格（ 元），再求8支的价格（ 元）。 (2) 反归一问题： 1　 特征：总量不变，但涉及两个变量的反向变化。 2　 注：在传统奥数分类中，有时将“求份数”的过程也归为归一问题的延伸。 解题步骤： (1) 找对应：找出题目中已知的总量和对应的数量。 (2) 求单一：用除法求出单位数量的值（单一量）。 (3) 求结果：根据问题要求，用乘法求新总量，或用除法求新数量。 2. 归总问题 定义：已知两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，但它们的乘积（总量）保持不变。解题时，先求出“总量”，再以这个总量为标准，求出所要求的数量。 核心公式： 特征： (1) 总量恒定：如工作总量一定、路程一定、总价一定（当单价和数量成反比时）、耕地面积一定等。 (2) 反比关系：单一量越大，所需的数量越少；单一量越小，所需的数量越多。 示例： 一批零件，每天做10个，6天做完。如果每天做15个，几天做完？ 思路：先求零件总数（ 个），再求新天数（ 天）。 解题步骤： 1. 求总量：利用已知条件，计算出不变的总量。 2. 求新量：用总量除以新的单一量（或新的数量），得到要求的数量（或单一量）。 3. 归一与归总的区别与联系 维度 归一问题 归总问题 不变量 单一量（单位效率/单价）不变 总量（总工作量/总价/总路程）不变 第一步 用除法求单一量 用乘法求总量 第二步 用乘法求总量 或 除法求数量 用除法求新单一量 或 新数量 【培优练习】 【基础巩固篇】 1. 一台拖拉机3小时耕地15公顷。照这样计算，8小时可以耕地多少公顷？ 【详解】 这是一道典型的正归一问题。 第一步，求单一量（每小时耕地多少公顷）： （公顷/小时）。 第二步，求新总量（8小时耕地多少公顷）： （公顷）。 【答案】40公顷 2. 服装厂加工一批校服，3天加工了180套。照这样的速度，加工720套校服需要多少天？ 【详解】 这是归一问题中求数量的类型。 第一步，求单一量（每天加工多少套）： （套/天）。 第二步，求新数量（加工720套需要的天数）： （天）。 【答案】12天 3. 5辆卡车4次共运货200吨。平均每辆卡车每次运货多少吨？ 【详解】 这是连除的归一问题，求双重单一量。 方法一：先求5辆卡车1次运多少： （吨）；再求1辆卡车1次运多少： （吨）。 方法二：先求1辆卡车4次运多少： （吨）；再求1辆卡车1次运多少： （吨）。 【答案】10吨 4. 修路队修一条公路，计划每天修60米，15天修完。实际每天多修15米，实际多少天修完？ 【详解】 这是一道归总问题。总量（公路全长）不变。 第一步，求总量： （米）。 第二步，求实际每天修的长度： （米）。 第三步，求实际天数： （天）。 【答案】12天 5. 小明读一本故事书，每天读12页，10天读完。如果他想8天读完，每天需要读多少页？ 【详解】 归总问题。书的总页数不变。 第一步，求总页数： （页）。 第二步，求新的每天阅读量： （页）。 【答案】15页 【进阶提升篇】 6. 3台织布机4小时织布360米。照这样计算，5台织布机8小时可以织布多少米？ 【详解】 这是复杂的归一问题，先求单一量（1台1小时织多少）。 第一步，求1台织布机1小时织布量： （米）。 第二步，求5台8小时的织布量： （米）。 【答案】1200米 7. 一个工程队修一条水渠，原计划每天修80米，20天完成。实际提前4天完成，实际每天修多少米？ 【详解】 归总问题。水渠总长不变。 第一步，求水渠总长： （米）。 第二步，求实际天数： （天）。 第三步，求实际每天修的米数： （米）。 【答案】100米 8. 某工厂生产一批零件，原计划每天生产50个，30天完成。如果要提前5天完成，每天需要多生产多少个零件？ 【详解】 归总问题。 第一步，求零件总数： （个）。 第二步，求实际天数： （天）。 第三步，求实际每天产量： （个）。 第四步，求每天多生产的数量： （个）。 【答案】10个 9. 4只猫4天吃了4条鱼。照这样计算，8只猫8天吃多少条鱼？ 【详解】 易错题，需仔细分析单一量。 第一步，求1只猫1天吃多少鱼： （条）。或者理解为：4只猫1天吃1条鱼，1只猫1天吃0.25条。 第二步，求8只猫1天吃多少： （条）。 第三步，求8只猫8天吃多少： （条）。 【答案】16条 10. 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，5小时到达。返回时速度提高了20%，返回时需要多少小时？ 【详解】 归总问题。路程不变。 第一步，求甲乙两地距离： （千米）。 第二步，求返回时的速度： （千米/小时）。 第三步，求返回时间： （小时）或约4.17小时。 【答案】 小时（或 小时） 【综合应用篇】 11. 学校食堂买回一批大米，计划每天吃50千克，可以吃24天。实际每天节约10千克，这批大米实际可以吃多少天？ 【详解】 归总问题。大米总量不变。 第一步，求大米总量： （千克）。 第二步，求实际每天吃的量： （千克）。 第三步，求实际天数： （天）。 【答案】30天 12. 3台抽水机4小时灌溉农田24公顷。现在有6台同样的抽水机，要灌溉72公顷农田，需要多少小时？ 【详解】 归一与归总的混合应用。 第一步，求1台抽水机1小时灌溉面积： （公顷）。 第二步，求6台抽水机1小时灌溉面积： （公顷）。 第三步，求灌溉72公顷所需时间： （小时）。 【答案】6小时 13. 一项工程，由12人合作需要10天完成。如果增加3人，需要多少天完成？（假设每人工作效率相同） 【详解】 归总问题。工作总量看作“人·天”。 第一步，求工作总量： （人·天）。 第二步，求现在的人数： （人）。 第三步，求所需天数： （天）。 【答案】8天 14. 一艘轮船往返于甲、乙两港之间。去时顺水，每小时行30千米，4小时到达；返回时逆水，每小时行20千米。往返一次平均每小时行多少千米？ 【详解】 注意：平均速度 速度的平均值。需用总路程除以总时间。 第一步，求单程距离： （千米）。 第二步，求返回时间： （小时）。 第三步，求总路程： （千米）。 第四步，求总时间： （小时）。 第五步，求平均速度： （千米/小时）。 【答案】24千米/小时 15. 某车间生产一批零件，原计划每天生产40个，15天完成。实际前3天每天生产50个，剩下的要在9天内完成，剩下的平均每天要生产多少个？ 【详解】 分段计算的归总问题。 第一步，求零件总数： （个）。 第二步，求前3天生产的数量： （个）。 第三步，求剩下的零件数量： （个）。 第四步，求剩下部分每天的产量： （个）。 【答案】50个 【思维拓展篇】 16. 5个人挖5米深的沟需要5小时。照这样计算，10个人挖10米深的沟需要多少小时？ 【详解】 分析单一量：1个人1小时挖多少米？ 米/人·小时。 现在任务：10米深，10个人。 10个人1小时挖： 米。 挖10米需要时间： 小时。 逻辑技巧：人数翻倍，工作量（深度）也翻倍，效率同步提升，故时间不变。 【答案】5小时 17. 一批苹果，如果每箱装12千克，需要50个箱子。如果每箱多装3千克，可以少用多少个箱子？ 【详解】 归总问题。苹果总重不变。 第一步，求苹果总重： （千克）。 第二步，求新每箱重量： （千克）。 第三步，求新箱子数量： （个）。 第四步，求少用的箱子数： （个）。 【答案】10个 18. 甲、乙两个水管同时向一个空水池注水，3小时可以注满。如果单独开甲管，5小时可以注满。如果单独开乙管，需要多少小时注满？ 【详解】 工程问题（特殊的归总问题，总量设为1）。 第一步，求甲乙效率和： 。 第二步，求甲的效率： 。 第三步，求乙的效率： 。 第四步，求乙单独注满的时间： （小时）。 【答案】7.5小时 19. 某农场有块草地，草每天匀速生长。如果放牧20头牛，10天吃完；如果放牧15头牛，15天吃完。如果放牧10头牛，多少天吃完？ 【详解】 设每头牛每天吃草量为1份。 1. 20头牛10天吃草总量： 份。 2. 15头牛15天吃草总量： 份。 3. 草每天生长量： 份/天。 4. 原有草量： 份。 5. 10头牛每天净消耗草量： 份（因为每天长5份，抵消5头牛的食量）。 6. 吃完所需天数： 天。 【答案】30天 20. 某加工厂用同样的机器加工零件。3台机器4小时加工了240个零件。现在增加了2台同样的机器，并且每台机器的工作效率提高了20%，加工600个零件需要多少小时？ 【详解】 综合归一与变化率。 第一步，求原单台单机效率： （个/小时）。 第二步，求新单台单机效率： （个/小时）。 第三步，求新机器总数： （台）。 第四步，求新总效率（5台1小时加工量）： （个/小时）。 第五步，求所需时间： （小时）。 【答案】5小时 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $