精品解析：陕西省渭南市韩城市2026年初中学业水平模拟考试(一) 九年级数学

韩城市2026年初中学业水平模拟考试（一） 九年级数学 试卷类型：A 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. B. C. D. 2. 下面是部分电子元器件的符号，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，与交于点F，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，的平分线交边于点D．若的面积为15，则的面积为（ ） A. 9 B. 6 C. 5 D. 5.5 6. 一次函数（k为常数，且）的图象不经过第三象限．若点N在该一次函数的图象上，则点N的坐标不可能为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是矩形的对角线，线段的垂直平分线，分别交、于点、，连接．若，，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 8. 已知二次函数（b、c是常数）的图象与x轴的交点的横坐标为和1，且二次函数的最小值为m，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 8 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 有理数的算术平方根是______． 10. 算筹是我国古代常用的计算工具，也叫算、筹、策、筹策、算子．如图，用大小完全相同的算筹按照一定规律摆成下列图形，第1个图形中有3个算筹，第2个图形中有4个算筹，第3个图形中有5个算筹，…，以此类推，第26个图形中有______个算筹． 11. 第31个全国中小学生安全教育日的活动主题是：同守护 共成长．某校开展中小学生安全教育日知识竞赛活动，该竞赛一共有50道题目，安安每道题都做了且没有空题，已知他答对的题数比答错题数的5倍还多2题，则安安答对了______道题． 12. 如图，、、都是的半径，连接、．若，，则的度数为______°． 13. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，，点B、C在x轴上，且，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A．若的面积为6，则k的值为______． 14. 如图，在菱形中，连接交于点O，点F在上，且，点E在边上，且，连接、．若的面积为10，则四边形的面积为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解不等式组： ． 17. 先化简，再求值：，并从、1、2、3、4中选一个合适的数代入求值． 18. 如图，已知．请你用尺规作图法作等腰，使得为底边，且点D在边上．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，是的中线，的平分线交于点，延长至点，连接，．求证：． 20. 055型驱逐舰对于中国海军实施“近海防御、远海护卫”战略具有重要意义．某班开展“055驱逐舰”主题班会，班级的每位同学都从南昌舰、拉萨舰、鞍山舰、无锡舰、大连舰、延安舰、遵义舰、咸阳舰、东莞舰、安庆舰这10艘战舰中随机挑选一艘进行介绍，每位同学选择每艘驱逐舰的可能性相同． （1）该班的晓慧选择介绍延安舰的概率为______； （2）该班的军军和乐乐制作了四张正面分别为大连舰、延安舰、咸阳舰、安庆舰的不透明卡片（如图），这些卡片除了正面不同外其余均相同，将四张卡片背面朝上洗匀后放置在桌面上，军军从四张卡片中随机抽取一张，不放回，乐乐再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求两人均没有抽到咸阳舰的概率． 21. 背景：某数学小组的成员利用所学知识在周末测量了一棵银杏树的高度． 测量过程：该小组的同学甲在地面上的点C处测量了银杏树顶端A的仰角的度数；该小组的同学乙在地面上的点D处放置一面平面镜（大小忽略不计），随后从点D处沿方向移动至点E处时，恰好从平面镜中看到银杏树顶端A的像． 数据：米，米，米，． 说明：，，点B、C、D、E在一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 任务：求银杏树的高度．（参考数据：，，） 22. 2026年3月16日，快舟十一号遥七运载火箭成功将8颗卫星送入预定轨道，再次彰显了我国的航天实力，也让全民的“航天梦”在实干中愈发清晰．某网店为了满足广大航天爱好者的需求，购入A、B两种火箭模型共200件，这两种火箭模型每件的进价和售价如下表所示： A种模型 B种模型 进价（元/件） 50 60 售价（元/件） 80 100 设购入A种火箭模型x件，所购进的两种火箭模型全部卖出后获得的总利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）若购入A、B两种火箭模型的总费用不超过11200元，那么该网店如何进货才能获利最大？并求出最大利润． 23. 五四青年节是为了继承和发扬“五四”运动以来中国青年光荣的革命传统而设立的节日．在五四青年节来临之际，某校开展了以“新时代五四爱国主义精神”为主题的作文比赛，比赛结束后随机抽取了30名学生的比赛成绩，对比赛成绩（单位：分，满分10分，成绩均大于等于6分，且为整数）进行整理与分析，并绘制了如下不完整的条形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，所抽取学生比赛成绩的中位数是______分，众数是______分； （2）求所抽取学生比赛成绩的平均数； （3）已知该校一共有1200名学生参加了本次比赛，请估计比赛成绩在9分及9分以上的学生人数． 24. 如图，内接于，且是的直径，延长至点，过点作于点，过点作的切线交于点． （1）求证：； （2）若点是的中点，的半径为，，求的长． 25. 某广场遮雨棚的顶棚由抛物线和组成，立柱、、均与地面所在直线垂直，垂足分别为、、，且米，米，抛物线的最高点与的距离为米，点、分别在抛物线、上，抛物线和抛物线关于所在直线对称．以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示． （1）求抛物线和的函数表达式； （2）现要在抛物线的点处和抛物线的点处各安装一盏照明灯（大小忽略不计），点在抛物线对称轴的左侧，点在抛物线对称轴的右侧，且点、关于轴对称，若点到的距离为米，求、之间的距离． 26. 探究图形中线段与角度的关系，并完成以下问题 【问题初探】 （1）如图1，在中，，，，点D在边上，连接，，求证：； （2）如图2，是正方形的对角线，点E为边的中点，连接，点F在边右侧，连接、，，，求的长； 【问题解决】 （3）如图3，某市要在一块四边形街区内搭建智慧安防监控网络，其中，主干道米，米，，点B处为核心监控基站，点E在边上，且米，点F是街区内部的移动信号中继器，满足，连接并延长至点P，在P处修建一个服务中心，连接、，，且要保证主监控点A到服务中心P的距离最短，请你帮助工作人员求出主监控点A到服务中心P的距离最短时，核心监控基站B到服务中心P的距离（即求线段取得最小值时，线段的长）．（基站、服务中心、移动信号中继器、主监控点的大小均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 韩城市2026年初中学业水平模拟考试（一） 九年级数学 试卷类型：A 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 2. 下面是部分电子元器件的符号，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形沿着某条直线对称后，直线两旁的部分能够完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、该图形找不到任何一条直线使折叠后两旁部分重合，不是轴对称图形； 选项B、该图形中的斜箭头导致无法沿竖直或水平直线折叠重合，不是轴对称图形； 选项C、该图形中有“”和“”号，沿竖直中线折叠不能重合，不是轴对称图形； 选项D、该图形沿中间竖直直线折叠，左右两部分能够完全重合，是轴对称图形． 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘除运算，运用同底数幂的乘除法法则直接计算即可． 【详解】解：． 4. 如图，直线，与交于点F，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质和三角形的外角的性质，进行求解即可； 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的一个外角，， ∴． 5. 如图，在中，，的平分线交边于点D．若的面积为15，则的面积为（ ） A. 9 B. 6 C. 5 D. 5.5 【答案】B 【解析】 【详解】解：过点作于点，于点， 平分，，， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ． 6. 一次函数（k为常数，且）的图象不经过第三象限．若点N在该一次函数的图象上，则点N的坐标不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一次函数图象不经过第三象限，结合一次函数性质确定的取值范围，再将各选项点坐标代入函数求出，判断是否符合的范围即可． 【详解】解：令得，， 一次函数与轴交于， 一次函数（）的图象不经过第三象限， ， 选项A、 将代入函数得： ，解得，符合条件； 选项B、 将代入函数得：，解得，符合条件； 选项C、 将代入函数得： ，解得，符合条件； 选项D、 将代入函数得： ，解得，不满足，不符合条件； 则点的坐标不可能为． 7. 如图，是矩形的对角线，线段的垂直平分线，分别交、于点、，连接．若，，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质，可得，设，可以把用的代数式表示出来，再利用勾股定理列方程，求出即可求解本题． 【详解】解： 垂直平分， ， 设， 在矩形中，，， ， ， 解得：， ． 8. 已知二次函数（b、c是常数）的图象与x轴的交点的横坐标为和1，且二次函数的最小值为m，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数与x轴交点满足函数解析式，先求出b，c的值，再根据二次函数性质求出最小值m，最后计算即可； 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交点横坐标为和， ∴函数图象过点和， 将两点坐标代入解析式得：， 整理得， 解得，， ∴二次函数解析式为， 配方得， ∵二次项系数，函数开口向上， ∴最小值， 则． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 有理数的算术平方根是______． 【答案】3 【解析】 【详解】解：， ∴，即有理数的算术平方根是3． 10. 算筹是我国古代常用的计算工具，也叫算、筹、策、筹策、算子．如图，用大小完全相同的算筹按照一定规律摆成下列图形，第1个图形中有3个算筹，第2个图形中有4个算筹，第3个图形中有5个算筹，…，以此类推，第26个图形中有______个算筹． 【答案】28 【解析】 【分析】观察图形中算筹数量的变化，发现规律：第个图形中有个算筹，令进行求解即可． 【详解】解：由图可知， 第1个图形中有个算筹， 第2个图形中有个算筹， 第3个图形中有个算筹， 以此类推，第个图形中有个算筹， 则第26个图形中有个算筹． 11. 第31个全国中小学生安全教育日的活动主题是：同守护 共成长．某校开展中小学生安全教育日知识竞赛活动，该竞赛一共有50道题目，安安每道题都做了且没有空题，已知他答对的题数比答错题数的5倍还多2题，则安安答对了______道题． 【答案】 42 【解析】 【分析】设安安答错了道题，则答对了道题，根据总题数为50道建立等量关系，列方程求解即可． 【详解】解：设安安答错了道题，则答对了道题， 根据题意，得， 解得， 则答对题数为（题）． 12. 如图，、、都是的半径，连接、．若，，则的度数为______°． 【答案】 80 【解析】 【详解】解：，  .  ，  ． 13. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，，点B、C在x轴上，且，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A．若的面积为6，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，得到点坐标，根据的面积为6，列出方程进行求解即可； 【详解】解：设，则， ∴， ∵，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A， ∴， 由图象可知，， ∴的面积， ∴． 14. 如图，在菱形中，连接交于点O，点F在上，且，点E在边上，且，连接、．若的面积为10，则四边形的面积为______． 【答案】 80 【解析】 【分析】根据菱形的性质，得到，作于点，证明，得到， 根据的面积为10，求出菱形的面积，进而求出的面积，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出的面积，再利用分割法进行求解即可. 【详解】解：四边形是菱形， ，，，  ， 点在上，， ，  ，  过点作于点， ， ， ， ，  ， ， ，  ，  ，  ，  ，  ，  四边形是菱形，   ， 点在边上，， ， .  三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 16. 解不等式组： ． 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 因此，原不等式组的解集为． 17. 先化简，再求值：，并从、1、2、3、4中选一个合适的数代入求值． 【答案】，当时，原式的值为2（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：原式 ， ∵， ∴，， ∴当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 18. 如图，已知．请你用尺规作图法作等腰，使得为底边，且点D在边上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，等腰即为所求． 【解析】 【分析】作出线段的垂直平分线与的交点即为点，根据线段垂直平分线的性质得到． 【详解】略 19. 如图，是的中线，的平分线交于点，延长至点，连接，．求证：． 【答案】 证明：是的平分线， ， 又， ， 是的中线， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】根据以及角平分线的定义得到，再由是的中线得到，最后证明即可得出结论． 【详解】略 20. 055型驱逐舰对于中国海军实施“近海防御、远海护卫”战略具有重要意义．某班开展“055驱逐舰”主题班会，班级的每位同学都从南昌舰、拉萨舰、鞍山舰、无锡舰、大连舰、延安舰、遵义舰、咸阳舰、东莞舰、安庆舰这10艘战舰中随机挑选一艘进行介绍，每位同学选择每艘驱逐舰的可能性相同． （1）该班的晓慧选择介绍延安舰的概率为______； （2）该班的军军和乐乐制作了四张正面分别为大连舰、延安舰、咸阳舰、安庆舰的不透明卡片（如图），这些卡片除了正面不同外其余均相同，将四张卡片背面朝上洗匀后放置在桌面上，军军从四张卡片中随机抽取一张，不放回，乐乐再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求两人均没有抽到咸阳舰的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到两人均没有抽到咸阳舰的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有10艘战舰，且每位同学选择每艘驱逐舰的可能性相同， ∴该班的晓慧选择介绍延安舰的概率为； 【小问2详解】 解：用A、B、C、D分别表示正面分别为大连舰、延安舰、咸阳舰、安庆舰的四张卡片，列表如下： 军军 乐乐 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两人均没有抽到咸阳舰的结果数有6种， ∴两人均没有抽到咸阳舰的概率为． 21. 背景：某数学小组的成员利用所学知识在周末测量了一棵银杏树的高度． 测量过程：该小组的同学甲在地面上的点C处测量了银杏树顶端A的仰角的度数；该小组的同学乙在地面上的点D处放置一面平面镜（大小忽略不计），随后从点D处沿方向移动至点E处时，恰好从平面镜中看到银杏树顶端A的像． 数据：米，米，米，． 说明：，，点B、C、D、E在一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 任务：求银杏树的高度．（参考数据：，，） 【答案】银杏树的高度为米 【解析】 【分析】先由，可设，再解即可． 【详解】解：由题意得， ∴ ∴， ∴， ∴ 设， 则， 在中，， ∴ 解得 ∴（米） 答：银杏树的高度为米． 22. 2026年3月16日，快舟十一号遥七运载火箭成功将8颗卫星送入预定轨道，再次彰显了我国的航天实力，也让全民的“航天梦”在实干中愈发清晰．某网店为了满足广大航天爱好者的需求，购入A、B两种火箭模型共200件，这两种火箭模型每件的进价和售价如下表所示： A种模型 B种模型 进价（元/件） 50 60 售价（元/件） 80 100 设购入A种火箭模型x件，所购进的两种火箭模型全部卖出后获得的总利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）若购入A、B两种火箭模型的总费用不超过11200元，那么该网店如何进货才能获利最大？并求出最大利润． 【答案】（1）（，为非负整数） （2）购进A种模型80件，B种模型120件时获利最大，最大利润为7200元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式，根据题意列出不等式，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）购入A种火箭模型件，则购入B种火箭模型件，结合每件利润计算总利润，整理得到w与x的函数关系式，同时确定自变量的取值范围； （2）根据总费用不超过11200元列出一元一次不等式，求出x的取值范围，再根据一次函数的增减性，判断取得最大值时的取值，进而得到最大利润和对应进货方案． 【小问1详解】 解：由题意可知，购入A种火箭模型件，则购入B种火箭模型件， 根据题意得：， 整理得：， 因此，w与x之间的函数关系式为：（，为非负整数） 【小问2详解】 解：由题意得， 整理得：， 解得：， 由（1）知，则， 在函数中， 由于， 则随的增大而减小， 当时，取得最大值，即最大利润为元， 此时件， 答：购进A种火箭模型80件，B种火箭模型120件时获利最大，最大利润为7200元． 23. 五四青年节是为了继承和发扬“五四”运动以来中国青年光荣的革命传统而设立的节日．在五四青年节来临之际，某校开展了以“新时代五四爱国主义精神”为主题的作文比赛，比赛结束后随机抽取了30名学生的比赛成绩，对比赛成绩（单位：分，满分10分，成绩均大于等于6分，且为整数）进行整理与分析，并绘制了如下不完整的条形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，所抽取学生比赛成绩的中位数是______分，众数是______分； （2）求所抽取学生比赛成绩的平均数； （3）已知该校一共有1200名学生参加了本次比赛，请估计比赛成绩在9分及9分以上的学生人数． 【答案】（1）8；9 补全统计图如下： （2）分 （3）560名 【解析】 【分析】（1）先求出得分为8分的人数，再补全统计图，最后根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据平均数的定义求解即可； （3）用1200乘以样本中比赛成绩在9分及9分以上的学生人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，成绩为8分的人数为名， 图略； 把这30名学生的比赛成绩按照从低到高的顺序排列，第15个数据为8分，第16个数据为8分，故中位数为分， ∵得分为9分的人数最多， ∴众数为9分； 【小问2详解】 解：分， 答：所抽取学生比赛成绩的平均数为分； 【小问3详解】 解：名， 答：估计比赛成绩在9分及9分以上的学生人数为560名． 24. 如图，内接于，且是的直径，延长至点，过点作于点，过点作的切线交于点． （1）求证：； （2）若点是的中点，的半径为，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 是的切线， ，即， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的性质、勾股定理以及三角函数定义等． （1）连接，根据圆的切线性质得，再利用直径所对的圆周角是直角得，根据等腰三角形的性质，由得，即可得证； （2）先根据三角函数定义，得，求出的长，结合勾股定理求出的长，从而求得，进而得到，最后由勾股定理得：，即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的半径为， ， 在中，， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， 即， 得， ， ， 故的长为． 25. 某广场遮雨棚的顶棚由抛物线和组成，立柱、、均与地面所在直线垂直，垂足分别为、、，且米，米，抛物线的最高点与的距离为米，点、分别在抛物线、上，抛物线和抛物线关于所在直线对称．以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示． （1）求抛物线和的函数表达式； （2）现要在抛物线的点处和抛物线的点处各安装一盏照明灯（大小忽略不计），点在抛物线对称轴的左侧，点在抛物线对称轴的右侧，且点、关于轴对称，若点到的距离为米，求、之间的距离． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为；抛物线的函数表达式为 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得点、坐标，利用抛物线上纵坐标相等的两点确定对称轴，结合顶点高度得到顶点坐标，设顶点式代入点求出二次项系数，即可得函数表达式，再根据抛物线和抛物线关于轴对称得到抛物线的二次项系数及顶点坐标，代入顶点式即得表达式； （2）先由点到轴的距离确定点的纵坐标，代入抛物线解析式，并结合对称轴位置求出横坐标，再根据轴对称性得到点坐标，最后计算两点间的距离即可． 【小问1详解】 解：∵米，米， ∴，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的最高点与的距离为米， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的函数表达式为， 将代入得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为， ∵抛物线和抛物线关于所在直线对称，所在直线为轴， ∴抛物线和抛物线形状相同，抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：点到的距离为米，即，代入表达式得： ， 解得或， ∵点在抛物线对称轴的左侧，对称轴为， ∴， ∵点、关于轴对称， ∴， ∴，即、之间的距离为． 26. 探究图形中线段与角度的关系，并完成以下问题 【问题初探】 （1）如图1，在中，，，，点D在边上，连接，，求证：； （2）如图2，是正方形的对角线，点E为边的中点，连接，点F在边右侧，连接、，，，求的长； 【问题解决】 （3）如图3，某市要在一块四边形街区内搭建智慧安防监控网络，其中，主干道米，米，，点B处为核心监控基站，点E在边上，且米，点F是街区内部的移动信号中继器，满足，连接并延长至点P，在P处修建一个服务中心，连接、，，且要保证主监控点A到服务中心P的距离最短，请你帮助工作人员求出主监控点A到服务中心P的距离最短时，核心监控基站B到服务中心P的距离（即求线段取得最小值时，线段的长）．（基站、服务中心、移动信号中继器、主监控点的大小均忽略不计） 【答案】（1） 证明：在中，，，， ， 、， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出，再求出，从而得出结论； （2）根据勾股定理求出长，易证明，进而得到，从而求出长； （3）易证明，进而得到，以点E为圆心，长为半径作交于点G，连接，在上取一点H，使得，作射线，则、，进而得到，从而证明，进而得到，即点在射线上运动（不与点重合），当时，取得最小值，即为图3中，易证明四边形是矩形，进而得到，在中，利用勾股定理求出长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是正方形， 、， ， 在中，由勾股定理得：， 为的中点， ， 、， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：、， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， 如图3，以点E为圆心，长为半径作交于点G，连接，在上取一点H，使得，作射线， 、， ， 是直径、， ， ， ， ， ， ， ， 点在射线上运动（不与点重合）， 当时，取得最小值，即为图3中， ， ， 四边形是矩形， ， 如图3，连接， 在中，由勾股定理得：， 主监控点A到服务中心P的距离最短时，核心监控基站B到服务中心P的距离为米． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理，熟练掌握相关性质定理、数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $