上海市新中高级中学2025-2026学年第二学期高二数学期中试卷

**基本信息** 注重基础与创新融合，通过骰子概率、分层抽样等基础题巩固知识，结合蒙日圆（数学史）、知识竞赛统计分析等创新情境，考查概率统计、解析几何、函数等核心内容，体现数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|概率（骰子概率）、统计（分层抽样）、解析几何（双曲线焦距、蒙日圆）|基础题（第1-6题）与能力题（蒙日圆）梯度分布| |选择题|4/18|排列组合（选班长）、百分位数、直线与抛物线位置关系|选项设置区分度高，考查概念辨析| |解答题|5/78|直线与椭圆弦长、频率分布直方图与概率、函数最值与切线、双曲线与椭圆综合|综合性强，如第21题结合双曲线与椭圆，考查数学语言表达|

2025学年第二学期高二数学期中试卷 一、填空题 本大题共有12题，满分54分，其中第1-6题每题满分4分，第7-12题每题满分5分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果。 1. 投掷一颗质地均匀的骰子（每一面上分别标注数值1、2、3、4、5、6），得到点数为5的概率为__________. 1. 某校有男生490人，女生510人，如果按男生、女生进行分层，按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取100人测量身高，则抽取的男生人数为__________. 1. 的二项展开式中的系数为__________. 1. 一组数1，1，，2，5的平均数为2，则这组数的方差为__________. 1. 已知事件、相互独立，且，，则__________. 1. 双曲线的焦距为__________. 1. 函数的严格增区间为__________. 1. 直线被圆截得的弦长为__________. 1. 设甲、乙两射手独立地射击同一个目标，他们的命中率分别为0.85和0.9，在一次射击中，目标被击中的概率为__________. 1. 抛物线的焦点为，过该抛物线上的一点作其准线的垂线，垂足为，若，则__________. 1. 若函数有最小值，则实数的取值范围是__________. 1. 法国数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”。已知椭圆（）的蒙日圆为圆，若直线与圆没有公共点，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 二、选择题 本大题共4题，满分18分，其中第13、14题满分4分，第15、16题满分5分。每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号处，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分. 1. 从10名同学中选出班长1人，副班长1人，不同的选法种数是（ ） · A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 1. 已知数据：6、46、29、15、4，这5个数据的第20百分位数是（ ） · A. 26 B. 6 C. 5 D. 4 1. 过定点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（ ） · A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 1. 记，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） · A. B. C. D. 三、解答题 本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分. 已知直线斜率为2，且过定点，椭圆. （1）求直线的方程； （2）若直线与椭圆交于、两点，求弦长. 18.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分. 某学校工会为了迎接“五一”劳动节，特举办一次“劳动法与安全教育”网络知识竞赛（满分100分），共有100名教职工参加，其成绩均落在区间内，将竞赛成绩数据分成，，，，五组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并估计竞赛成绩的平均值（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）； （2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在，内的两组教职工中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加交流会，求其中恰有1人的竞赛成绩在内的概率. 19.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分. 有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋中有8个红球、2个黄球，乙袋中有9个红球、3个黄球，所有小球的大小和质地完全相同，仅仅是颜色有区别. （1）若从甲袋中随机一次性取出2个球，其中红球的个数为，求的分布列与数学期望； （2）若先从甲、乙两个袋子中任选一个袋子，再从所选的袋子中随机一次性取出2个球，求取出的2个球都是红球的概率. 20.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知为常数，且，，. （1）当时，求函数的最小值； （2）若函数在处的切线过原点，求的值； （3）对于正实数，比较与的大小. 21.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知双曲线的左、右顶点分别为、，设点在第一象限且在双曲线上，为坐标原点. （1）求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值； （2）若，求的取值范围； （3）设椭圆，直线与椭圆的另一个交点为。记、的面积分别为、，求的最小值，并写出取得最小值时点的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $