22.1 函数的概念-【新学期对照学】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

第二十二章函数 第二十二章 函数 22.1 函数的概念 教材内容对照学 批注拓展原教材·预习听课都实用 在研究运动变化现象时，为了描述事物的状态，人们经常会引进 敲黑板国多 一些量，通过研究不同量之间的关系，来认识事物变化的规律. 先思考几个具体问题· 交思考 ,>s=601 可思考答案 （1)汽车以60km/h的速度匀速行驶，当行驶时间t分别为1h, (1)60km,120km, 2h,5h时，行驶路程s分别为多少？s的值随t的值的变化而变化吗？ 300km.变化 (2)3200元，4200元. （2)电影票的售价为40元/张.第一场售出80张票，第二场售 7200元.变化 (3)100mcm2 出105张票，第三场售出180张票，三场电影的票房收入各是多少元？ 400Tcm2,900mcm2. 设一场电影售出x张票，票房收入为y元，y的值随x的值的变化 变化. 而变化吗？ >y=40x (4)20cm.10cm, 8cm.变化 (3)你见过水中的涟漪吗？如图 22.1-1,圆形水波慢慢地扩大.在这一过程 中，当圆的半径r分别为10cm,20cm,30cm时， 圆的面积S分别为多少？S的值随r的值的 变化而变化吗？)S=T 图22.1-1 （4)长方体的体积为1000cm,当长方体的底面积S分别为50cm2, 100cm2,125cm时，高h分别为多少？h的值随S的值的变化而变化吗？ 、.->h=1000 S 上述问题反映了不同事物的变化过程.问题(1)）反映了汽车行驶 的路程s随行驶时间t的变化而变化的过程.在这个过程中，行驶速度 的值是始终不变的，行驶时间t和行驶路程s的值是变化的.问题(2) 反映了电影票房收入y随售出票数x的变化而变化的过程.在这个过程 中，电影票的售价是始终不变的，售出票数x和票房收入y的值是变化的 中小学A教辅引领者「91 )新学期对照学数学八年级下册RJ 敲黑板 可以是戴宇，或者是数值始终不变的，)前提茶件 字母一般地，在一个变化过程中，我们称 oooooooeeeoeeeeceeec 数值始终不变的量为常量，数值发生变化 问题(3)和 区易错提醒 的量为变量.例如，在问题(1)和(2)中， 问题（4)反映了 汽车行驶的速度、电影票的售价是常量；汽 什么变化过程？其 (1)变量和常量 车行驶的时间t、路程s,售出的电影票数x 中的常量和变量分 是相对而言的，判 断的前提是“在 别是什么？ 票房收入y是变量 一个变化过程 中”.当变化过程改 例1罗指出下列问题中的常量和问题(3)反映了圆的面积S随半径 变时，同一个量的身 ?的变化而变化的过程，其中的常量 变量： 份也可能随之改变. 是π，变量是半径r和面积S:问题 (2)“常量”是 (1)某市居民生活用水的价(4)反映了长方体的高h随底面积S 已知数，是指在整 的变化而变化的过程，其中的常量是长 个变化过程中保持 格为5元/L.记某户的月用水量为方体的体积，变量是高h和底面积S 不变的量，不能 xt,月应缴水费为y元；=5 认为式中出现的字母 (2)在某地乘坐公交车，刷公交卡每次收费1元.李明在公交卡 就是变量，如在一个 匀速运动中的速度v 中存入30元，记此后他乘坐公交车n次，公交卡中的余额为心元 就是一个常量 (3)用20m长的绳子围一个矩形，记矩形的一边长为xm,矩 (3)判断一个量是不 是变量，关键是看在 形的面积为Sm2.S=x(10-龙) 变化过程中其数值是 解：(1)生活用水的价格是常量，某户的月用水量x和月应缴水费y 否发生变化 是变量 国方法点拨 (2)刷公交卡每次收费和存入的钱数是常量，乘坐公交车的次数 变量、常量与字母的 n和公交卡中的余额w是变量. 指数没有关系，如y= (3)绳的长度是常量，矩形的一边长x和面积S是变量. 2x2中，x是变量，而 不能说x2是变量 练习 1.指出下列问题中的常量和变量： 一练习答亲 (1)向一个水池注水，注水速度为0.1m3/min.记注水时间为 L.(1)常量：注水速 x min, 注水量为ym3 度；变量：注水时 间x和注水量y (2)我国“十三五” 期间每年的国内生产总值如下表所示. (2)常量：无：变 年份x 2016 2017 2018 2019 2020 量：年份x和国内 生产总值 国内生产总 746395.1 832035.9 919281.1 986515.2 1013567.0 (3)常量：底边 值y/亿元 长；变量：高h和 面积S 3) 一个平行四边形的底边长为5，高h可以任意改变，面积为S. 2.略 2.举两个运动变化的例子，并分别指出其中的常量和变量 92 丨中小学AI教辅引领者 第二十二章函数 匀思孝 敲黑板多 第91页“思考”的问题(1)~(4)中各有两个变量，每个问题 中的两个变量之间有什么关系？如何表示这种关系？ 在问题（1)中，两个变量是t和s,s随t的变化而变化.每当 取定一个值时，s就有唯一确定的值与其对应.其中，当t=1时，s 60;当t=2时，s=120;当t=5时，s=300.它们之间的关系可 以用s=60t表示. 在问题(2)中，两个变量是x和y,y随x 的变化而变化.每当x取定一个值时，y就有唯 类似地，请你 分别指出问题(3)(4) 一确定的值与其对应.其中，当x=80时，y= 中两个变量之间的 3200;当x=105时，y=4200;当x=180时，关系，并写出关系式 y=7200.它们之间的关系可以用y=40x表示. 问题(3)中，圆的面积S随半径「的变化而变化，它们之间的关系可以 用S=πr2表示；问题(4)中，长方体的高h随底面积S的变化而变化 它们之间的关系可以用h=1000表示 9归纳 上面每个问题中的两个变量，当其中一个变量取定一个值时，另 一个变量就有唯一确定的值与其对应. 些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量之间有上面那 样的关系. 匀思孝 (1)潮汐是指海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现 网拓展提升 象.我国某港口潮水的高度（简称潮高）在某时段的变化如图22.1-2所示， 白天的海水涨落称 时间与潮高分别记作变量t与h.这两个变量之间有什么关系？ 为潮，夜晚的海水 涨落称为汐。 h/cm 350 300 250 200 150 100 0 :002:004:006:008:0010:0012:0014:0016:0018:0020:0022:0024:00t 图22.1-2 中小学A教辅引领者|93 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 敲黑板多 (2)某年某银行整存整取的存款期限与对应的年利率如表 22.1-1所示，存款期限与年利率分别记作变量x和y.这两个变量之间 有什么关系？ 因方法点拨 表22.1-1 判断函数关系的方法： 存款期限x/月 6 12 24 36 60 第一要看是不是一个变 年利率y/% 1.15 1.35 1.45 1.65 1.95 2.00 化过程；第二要看在 这个变化过程中是不 是有两个变量；第三 要看其中一个变量每 般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x 取一个确定的值，另 )包括存在性与唯一性两重意思 一个变量是否有唯 的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 确定的值与它对应 如果满足以上三个条 是自变量，y是x的函数(function).如果当x=a时y=b,那么b叫 ?研究的是两个变量之间的关系 件，那么这个关系是函 作当自变量的值为a时的函数值 数关系. 可以认为：在第91页“思考”的问题(1)中，时间t是自变量， 路程s是t的函数，当t=1时，函数值s=60,当t=2时，函数值s 120:在图22.1-2中，时间t是自变量，潮高h是t的函数，当t=18时， 函数值h=158;在表22.1-1中，存款期限x是自变量，年利率y是x 的函数，当x=12时，函数值y=1.45% 。练习答案 凸练习 1.(1)是函数关系， 1.判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系.如果是，指出其 其中正方形的边长 x是自变量，面积S 中的自变量与函数· )发生变化 是x的函数。 (1)改变正方形的边长x,正方形的面积S随x的变化而变化； (2)是函数关系， (2)乘坐摩天轮时，游客离地面的高度h随时间t的变化而变化； 其中时间1是自变 量，游客离地面的 (3)某天不同时刻的气温如图所示，气温T随时间的变化而变化： 高度h是t的函数 发生变化下 (3)是函数关系， T/℃A 其中时间1是自变 最，不同时刻的气 27 温T是1的函数 24 (4)是函数关系， 21 其中月份x是自变 18 量，降水量y是x 15 的函数」 12 :002:004:006:008:0010:0012:0014:0016:0018:0020:0022:0024:00t (第1(3)题) (4)某地一年不同月份的降水量如下表所示，降水量y随月份x 的变化而变化. 发生变化← 94|中小学AI教辅引领者 第二十二章函数 月份x 10 11 12 敲黑板函 降水量 20 2343 95146 193186 138 106 86 48 24 y/mm 2.举出一个函数例子，说明其中的函数关系，并指出其中的自变量与 。练习答案 函数 2.略 从上面的内容可知，函数是刻画变量之间对应关系的数学模型， 许多问题中变量之间的关系都可以用函数来表示 例22汽车油箱中有汽油50L.如果不再加油，那么油箱中剩余的 油量y（单位：L)随行驶路程x(单位：km)的增加而减少，已知该 因方法点拨 汽车平均每千米耗油0.1L. 确定函数解析式的 (1)写出表示y与x的函数关系的式子； 一般步骤如下. (2)指出自变量x的取值范围； (1)定：确定包含 变量和常量的等量 (3)汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？ 关系； 解：（1)行驶路程x是自变量，油箱中剩余 00000000000000000080 (2)列：根据等量 的油量y是x的函数，它们的关系为 0.1x表示的实 关系列出方程； 际意义是什么？ (3)变：将方程变 y=50-0.1x. 形，写成用含有一个 变量的式子表示另 (2)仅从式子y=50-0.1x看，x可以 0.1x表示这辆汽车行驶 xkm时的耗油量为0.1xL 一个变量的形式，得 取任意实数.但是考虑到x代表的实际 出函数解析式. 意义为行驶路程，因此x不能取负数.行 确定自变量的取 驶中的耗油量为0.1xL,它不能超过油箱 值范围时，不仅要考 虑使函数关系式有意 中现有汽油量50L,即 确定义的取值的上限 义，而且要注意问题 0.1x≤50. 的实际意义 因此，自变量x的取值范围是0≤x≤500， (3)汽车行驶200km时，油箱中剩余 的汽油量是函数y=50-0.1x在x=200时 的函数值.将x=200代入y=50-0.1x,得 y=50-0.1×200=30. 通常等式右边的变 因此，汽车行驶200km时，油箱中还有 量是自变量，等式 30L汽油 左边的变量是自变 量的函数 像y=50-0.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变 量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式 中小学AI教辅引领者|95 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 敲黑板多 练习 1.判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系.如果是，指出其 一练习答亲 中的自变量与函数，并写出函数解析式. 1.(1)是函数关系，其 中t是自变量，V是 (1)水箱中原有水10L,漏水速度为0.05Lh,水箱中剩余的水 t的函数，V=10 量V(单位：L)随时间t（单位：h)的变化而变化； 0.05t. (2)是函数关系，其 (2)绿水村的耕地面积是106m2,这个村的人均耕地面积y(单位： 中n是自变量，y是 m2)随人数n的变化而变化 n的函数，y=1 n 25=3+ 2<r≤5. 2.梯形的上底长为2cm,高为3cm,下底长x(单位：cm)大于上 3.略 底长但不超过5cm,写出梯形面积S(单位：cm2)关于x的函数 解析式，并指出自变量x的取值范围. 3.举出一个函数例子，要求其中的函数关系能用解析式表示，并指出 自变量的取值范围· 96|中小学AI教辅引领者 第二十二章函数 脉络梳理 梳理整合知识点·复盘沉淀更高效 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量 常量和变量 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量 在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x 。自变量和函数 的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，则x是自变 量，y是x的函数 函数的 。函数值 如果当x=a时y=b,那么b叫作当自变量的值为a时的函数值 概念 用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是 6函数的解析式 表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式 自变量的取值范围 使函数关系有意义的自变量取值的全体 课外提升对照练 精准聚焦训练点·巩固突破稳提分 知识对照 22.1函数的概念 一、变量和常量 三、函数自变量的取值范围 1.关于常量和变量的表述不正确的是( 3.重点题在函数y= x+2 ,中，自变量x的 A.矩形的面积是3cm2,宽为xcm,长为 2x-2 ycm,其中3cm2为常量 取值范围是 B.在圆的周长公式C=2πr中，2和π为 四、函数解析式的应用 常量，周长C和半径r为变量 4.选材新风向乡村振兴为了推动农业耕种 C.在匀速运动公式s=t中，速度v、路程 现代化，甲市有某型号智能农业耕种机器 s和时间t均为变量 12台，现决定支援给A村和B村.已知从 D.a比b的2倍多1，其中2和1是常量， 甲市调运一台机器到A村、B村的运费分 a和b是变量 别为400元和600元.设甲市运往A村的 二、函数的有关概念 机器为x台，则总运费y关于x的函数解 2.下列关系式：①y=2:②y=:③ 析式为 x(x≥0)；④y=x(x≥0)；⑤1= A.y=4800-200x x(x≥0)；⑥y=x.其中y是x的函数 的有 B.y=7200+200x A.3个 B.4个 C.y=4800+200x C.5个 D.6个 D.y=7200-200x 中小学AI教辅引领者|97 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 5.选材新风向传统文化如图（1)，漏刻 6.在一次实验中，小强把一根弹簧的上端固 是我国古代的一种计时工具，据史书记载， 定，在其下端悬挂物体.他测得弹簧长度y 西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古 (单位：cm)与所挂物体质量x(单位：kg) 代人们对函数思想的创造性应用.恒恒同 之间的关系如下： 学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻 所挂物体质量 3 4 计时工具模型，如图（2)所示，研究中 x/kg 发现水位h（单位：cm)与时间t(单位： 弹簧长度 20 22 24 26 28 y/cm min)满足某种确定的关系.下表是恒恒记 录的部分数据，当现有水位为9cm时，对 (1)指出其中的自变量与函数. 应的时间为多少？ (2)不挂重物时，弹簧长度是多少？ (3)请求出y与x之间的关系式，并求当 t/min … 1 2 5 弹簧长度为35cm时，所挂物体质量是 h/cm 1.4 1.8 2.2 多少？ 日 万 分 壶夜天壶 海 (1) (2) 98丨中小学A1教辅引领者 第二十二章函数 五、函数解析式与规律探索 六、函数解析式与动点问题 7.中考新角度规律探索某广场用如图(1) 8.如图，直线EF是线段BC的垂直平分线， 所示的同一种地砖拼图案，第1次拼成的图 交BC于点D,A是直线EF上一动点， 案如图(2)所示，共用地砖4块；第2次 它从点D出发沿射线DE方向运动.当 拼成的图案如图（3)所示，共用地砖4+ ∠ABC的度数增加x,∠BAC的度数减少 2×4=12(块)；第3次拼成的图案如图 y时，y与x之间的函数解析式是( (4)所示，共用地砖4+2×4+2×6= 24(块). B D F (1) (2) (3) (1)第4次拼成的图案共用 块 A-方 B.y=x 地砖； C.y=2x D.y=4x (2)按照这样的规律，设第n次拼成的图 9.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB= 案共用地砖y块，求y与n之间的函数解 8,BC=6,AC=10,P是线段AC上的一 析式. 个动点，它从点A向点C运动，运动到点 C停止.设AP=x,△PBC的面积为y,求 y与x之间的函数解析式 中小学AI教辅引领者|99.BC=GH .·∠MGD+∠MED=180°，∠MED+ ∠BEC=180°， ∴.∠MGD=∠BEC,∴.∠BEC=∠GFH. 在△BCE和△GHF中， ,∠C=∠GHF=90°， ∠BEC=∠GFH, BC GH, ∴.△BCE≌△GHF(AAS),∴.BE=FG. 、M t:P (1) (2) (2)解：如图(2)，分别连接EF,BF,BG,GE 的中点P,Q,R,S, ∴.PQ,QR,RS,PS分别是△BEF,△BFG, △BEG,△EFG的中位线， .PQ-7BE.QR-7FC.RS-7BE,PS- 2FG,PQ∥BE,Ps∥FG, +.PQ-RS-]BE.QR-PS-jFG. .四边形PQRS是平行四边形 由(1)可知，△BCE≌△GHF, ∴.BE=FG,∠CBE=∠HGF. .'∠HGF+∠GFH=90°，∴.∠CBE+∠GFH= 90°，.∠BMF=90°，∴.BE⊥FG ∴.PQ=RS=QR=PS,PQ⊥PS, ∴.四边形PQRS是正方形 11.解：.四边形ABCD是正方形，.AB=AD= BC=CD=6,∠B=∠C=∠D=90° :E是BC的中点，BE=CE=BC=3. 由折叠的性质，可得AF=AB=6,EF=BE= 3,∠AFE=∠B=90°，∴.∠AFG=90°= ∠D,AF=AD. 27 又AG=AG,∴.Rt△AFG≌Rt△ADG(HL), ∴.DG=FG. 设DG=FG=x,则EG=x+3,CG=6-x. 在Rt△CEG中，由勾股定理，得EG=CE2+ CG2,∴.(x+3)2=32+(6-x)2,即18x=36, 解得x=2,.DG=2. 在Rt△ADG中，由勾股定理，得AG= WJAD2+DG=2√/10. 12.解：如图，在边AB的延长线上截取BH= BG,连接FH. 四边形ABCD是正方形， ∴.AD=AB,∠DAB=∠ABC=90°. 又AE=BF,∴.△ADE≌△BAF(SAS), ∴.∠ADE=∠BAF,∴.∠DOF=∠ADO+ ∠DAO=∠BAF+∠DAO=∠DAB=90°. :M是DF的中点，OM=2DE ,∠FBG=∠FBH=90°，BH=BG,∴.FH= FG..M+GDF+(DF+ HF),∴.当H,D,F三点共线时，DF+HF有 最小值，即此时OM+FC有最小值，最小 值为DH的长的一半. .AG=2GB,AB=6, ∴.BH=BG=2,∴.AH=8. 在Rt△ADH中，由勾股定理，得DH= √AD2+AM=10,0M+2FC的最小值 为5. 第二十二章函数 22.1函数的概念 1.C在匀速运动公式s=t中，速度v是常量， 路程s和时间t是变量. 2.B①=2x,②y=,④y=(x≥0)， ⑥y=|x|,在这几个关系式中，对于x的每一 个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应 故它们都是函数.由③y2=x(x≥0)可知y三 ±√x,由⑤1y1=x(x≥0)可知y=±x,在这 两个关系式中，当x≠0时，x取一个值，y有 两个值与之对应，故③⑤不是函数.综上，y 是x的函数的有4个 x+2≥0， 3.x≥-2且x≠1由题意，得 解得 2x-2≠0， x≥-2且x≠1. 4.D由题设甲市调运到A村的机器为x台 知，调运到B村的机器为(12-x)台，甲市调 运到A村的运费为400x元，调运到B村的运 费为600(12-x)元，故总运费y=400x+ 600(12-x)=7200-200x(元). 5.解：由题意可得，时间每增加1min,水位增加 0.4cm,则水位h与时间t的函数解析式为 h=1.4+0.4(t-1),即h=0.4t+1.将h=9 代入h=0.4t+1,可得9=0.4t+1,解得 t=20. 6.解：(1)由题意可知，弹簧长度随所挂物体质 量的变化而变化，因此所挂物体质量x是自 变量，弹簧长度y是x的函数 (2)观察题中表格数据发现，所挂物体质量 每增加1kg,弹簧长度增加2cm.因为当所挂 物体质量为1kg时，弹簧长度为20cm,所以 不挂重物(x=0)时，弹簧长度为20- 2=18(cm). (3)由(2)可知，不挂重物时弹簧长度为 18cm,且所挂物体质量每增加1kg,弹簧长 度增加2cm,因此y与x之间的关系式为y= 2x+18. 当y=35时，35=2x+18,解得x=8.5, 故当弹簧长度为35cm时，所挂物体质量是 2 8.5kg 7.(1)40. 提示：由题意可知，第4次拼成的图案共用地 砖4+2×4+2×6+2×8=40（块）. (2)解：第1次拼成的图案共用4块地砖，即 4=2×(1×2), 第2次拼成的图案共用12块地砖，即12= 2×(2×3), 第3次拼成的图案共用24块地砖，即24= 2×(3×4), 第4次拼成的图案共用40块地砖，即40= 2×(4×5), 第n次拼成的图案共用地砖的块数为y= 2n(n+1), 即y与n之间的函数解析式为y=2n(n+1). 8.C.EF是BC的垂直平分线，∴.AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB.,·∠BAC+∠ABC+ ∠ACB=180°，∠ABC的度数增加x,∠BAC 的度数减少y,∴.∠BAC-y+∠ABC+x+ ∠ACB+x=180°，∴.2x-y=0,即y=2x. 9.解：：∠ABC=90°，AB=8,BC=6,AC=10, Sac=7AB·BC=7x8x6=24 如图，过点B作BD⊥AC于点D,则SAABC= 74C·BD=24,故BD-4 .AP=x,AC=10,∴.PC=10-x,∴.SP8c= 2PBD=2(10-)×24-24-号 22.2函数的表示 1.D将常温状态下的温度计插人一杯恒温为 60℃的牛奶中，温度计的读数会随时间的增 8