19.3 二次根式的加法与减法-【新学期对照学】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

Q新学期对照学数学八年级下册RJ 19.3 二次根式的加法与减法 教材内容对照学 批注拓展原教材·预习听课都实用 前面我们学习了二次根式的乘法与除法运算，接下来研究怎样进 行二次根式的加法与减法运算. 敲黑板多 交思考 如何计算27+12？ 因方法点拨 合并被开方数相同的二 27与12的被开方数不同，无法直接相加.如果27与12能化成 次根式的方法与合并同 类项类似，将根号外 被开方数相同的形式，那么就可以类比整式运算中的合并同类项进 的因数或因式相加， 行运算.因此，先把27,12分别化简成33,23，然后利用分 根指数和被开方数不 配律将33和23合并，即 变，合并的依据是分 配律的逆向运用， 27+12=33+23 (化简) )士须加括号 如mNa+nNa=(m+ =(3+2)3 (利用分配律合并) nNa(a≥0). =55. 般地，二次根式加减时，先将二次根式化简，再将被开方数相 同的二次根式合并 二次根式的加减法的运算步骤： (1)化简：化成最简二次根式： ☒易错提醒 (2)判断：我出被开方数相同的二次根式： (1)判断两个二次根 (3)合并：合升被开方数相同的二次根 式是否可以合并，一定 式—将系数相加仍作为系数，根指数与 要先将二次根式化成最 被开方数不变 简二次根式； (2)几个二次根式是 例12计算： 否可以合并，只与被开 方数、根指数有关，而 (1)80-5；(2)a+25a;(3)22-6月+348. 与根号前的系数无关， 解：(1)80-45=45-35=5； cocccoccccceccccccccce 比较二次根 (2)9a+25a=3Ja+5Ja=8Ja; 式的加减与整式 (3)22-6+34⑧=4厚-23+12月 的加减，你能得 出什么结论？ =14/3. 例2计算： 二次根式的加减与整式 (1)12+20+2(/3-5): 的加减都遵循先化简再合并的 原则，区别在于整式合并同类 项，而二次根式合并被开方裁 (2))(3-2)-子(2-27).相同的二次根式 18|中小学AI教辅引领者 第十九章二次根式 解：（1)12+20+2(3-5)=23+25+23-25 敲黑板国图 =43; (2)2(3-2)-(2-2m)=23-32-2+￥3 代方法点拨 二次根式加减运算的 =45-2. 技巧： (1)将每个二次根 式都化成最简二次根 例3有一块长为7.5dm、宽为5dm的木 7.5dn 式.若被开方数中含有 板，能否采用如图19.3-1的方式，在这块 带分数，则要先化成 木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm 假分数；若含有小数， 则要先化成分数，进 的正方形木板？ 而化成最简二次根式. (2)原式中若有括号， 分析由图19.3-1可以看出，只要木板的 图19.3-1 要先去括号，再利用 宽大于大正方形木板的边长，木板的长大于两个正方形木板的 加法交换律、结合律 边长的和，就能截出所要求的两个正方形木板. 将被开方数相同的二 次根式进行合并. 解：大正方形木板的边长为18dm.因为18<5，所以这块木板够宽. 两个正方形木板的边长的和为(J8+18)dm,而 8+18=22+32=(2+3)2=52. 3先化为最简二次根式 由2<1.5可知52<7.5，即两个正方形木板的边长的和小于这 块木板的长，所以这块木板够长。 因此，可以用这块木板按要求截出两个面积分别是8dm2和18dm2 的正方形木板.二次根式大小的比较方法：(1)平方法：若两个二 次根式同号，则可先将两个二次根式分别平方，再 根据比较实数大小的方法比较即可；(2)作商法： 马练习 同号两裁相除，比较商与1的大小 一练习答案 1.下列计算是否正确？为什么？ L.(1)不正确，不能 (1)4+9=4+9;(2)8-3=8-3; 化简. (3)32-2=22. (2)不正确，不能 化简. 2.计算： (3)正确 (1)27-67; (2)2+27-33: 2.(1)-4N7 (2)45 (3)8+(8-27):(4)(24+05)-(日-6) (3)10W2-3W5 先将小裁化为分数 3.如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是62.8 436+5 3.5. 和141.3.求圆环的宽度d(π取3.14). (第3题) 中小学AN教辅引领者|19 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 敲黑板多 在二次根式的混合运算中，整式的乘法法则和乘法公式仍然适用. )指二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算 ☑易错提醒 例42计算： 二次根式混合运算的 (1)(8+3)×6; (2)(42-36)÷22. 要点： (1)牢记运算顺序和 解：(1)（⑧+3）×6=⑧×6+3×6 法则可确保运算正确： (2)运用运算律和乘 =/8×6+3×6 法公式可简化运算； (3)结果必须化成最 =43+32; 简二次根式或整式. (2)(4/2-36)÷22=(42-36)×22 =42×2536 1 2./2 22 233 二次根式的混合运算顺序与实戴的混合运 例4运用 算顺序一样，都是先乘方，再乘除，最后加减 了分配律 有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 例50计算： (1)(2+3)(2-5); (2)(5+3)(5-3). 解：（1)(2+3)(2-5)=（2)2-52+32-15 =2-22-15 =-13-22; (2)(5+3)(5-3)=(5)2-(3)2 =5-3 =2. 例5(1)运用了多 项式乘多项式的法则， (2)用了平方差公式 一练习答亲 1.(1)6+1o 凸练习 (2)4+22 1.计算： 注意不是平方差公式形式 (3)11+55 (1)2(3+5): (2)(80+40)÷5; (4)4 2.(1)9 (3)(/5+3)(5+2): (4)(6+2)(6-2). (2)a-b 2.计算： 平方差公式形式 3平方差公式形式 (3)7+45 (4)22-410 (1)(4+7)(4-7): (2)(a+D)(a-b); (3)(3+2)3 (4)25-2)2 …完全平方公式形式 20|中小学AI教辅引领者 第十九章二次根式 脉络梳理 梳理整合知识点·复盘沉淀更高效 。加减 先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并 次根式的 加法与减法 5混合运算 无括号的先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号里面的（或先去 掉括号)；同级运算，从左到右进行计算，与实数混合运算顺序相同 适当运用运算律和乘法公式可使运算简便 课外提升对照练 精准聚焦训练点·巩固突破稳提分 知识对照 19.3二次根式的加法与减法 一、二次根式合并的条件 5.若最简二次根式-√2a-3与a+1可以合 1.若√a能与√3合并，则a的值可以是 并，求-a的值. A.-3 B.1 c.6 D.12 2.下列各组二次根式中，不可以合并的是 6.已知4EV3x-1,B=3Vx+3,C-V7x+6y, A.√⑧与√2 A,B为最简二次根式，且A+B=C,求 B.2与√18 代数式V2y-x2的值. C.√24与V54 D.√45与√20 3.重点题化成最简二次根式后不能与 Vab(a>0,b>0)合并的是 B. ab 14 二、二次根式的加减 ci D.Vab2 7.下列计算正确的是 4.有下列二次根式： A.⑧-√2=V2 B.√2+5=V5 25,.5407丙， v0.2 C.43-4V3=1 D.3+2W2=5√2 8.估计√7+√63-√28的值应在 (1)能与√3合并的是 A.4和5之间 B.5和6之间 (2)能与√5合并的是 C.6和7之间 D.7和8之间 中小学AN教辅引领者丨21 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 9.计算： A B 52 (1)√7+28； V10 2 10 D A.√5-3 B.101o (2)√16x+V64x; C.6W2+10 D.3+3V5 12.重点题计算： a46-45+58)25: (2)(3+12-(3+7)(3-7): (4)(√48+√20)+（√12-√5）. )(s网)5+x6: 三、二次根式的混合运算 10.下列运算与(2√3+√6)×√2的结果相同 的是 ( A.4V5 B.6W5 (4)(1+√3)（√2-√6）-(25-12. C.2W3+2V6 D.4V5+2√6 11.选材新风向幻方幻方是古老的数学的 杰作之一.类比幻方，我们给出如图所示 的正方形格子，要使正方形格子中横向、 纵向及对角线方向上的实数相乘结果都 相等，则A+B+C+D的值为( 22|中小学AI教辅引领者 第十九章二次根式 13.三角形的周长为(5√5+2√10)cm,面 18.真实任务情境口袋公园)某市口袋公园 积为(10√6+4√5)cm2,已知两边的 建设成效显著，不仅可以有效改善城 长分别为√45cm和√40cm,求： 市生态环境，还能满足群众日常休闲游 (1)第三边的长； 玩需求.在打造口袋公园的过程中，选 (2)第三边上的高. 出一块形状为长方形的空闲地块ABCD (如图)，它的长AB为8V2m,宽BC为 5√2m,现要在该空闲地块上修建两个形 状、大小相同的长方形绿地（图中阴影部 分)，每块长方形绿地的长为（√13+1）m, 宽为（√3-1）m. 四、二次根式与乘法公式 (1)求长方形空闲地块ABCD的周长. 14.计算（√10+√6）x(0-√6)的结果为 (2)除去修建长方形绿地的区域，其余 ( 地方均修建成通道，通道需铺设造价为 A.2 B.±2 50元m的地砖，则铺完整个通道，购 C.±4 D.4 买地砖共需花费多少元？ 15.下列各数中，与2-√3的积是有理数的是 ( A.2+V3 B.2 C.5 D.2-5 16.下列各式计算正确的是 A35-25=1 B.(1-V2)1+√2)=-1 C.(2-√2)3+√2)=4 D.(5+√7)2=12 17.先化简，再求值： ava √a+b 其中a=V2,b=2. 中小学AN教辅引领者|23(分×子×3到×5=5， (3)原式=[房×(-)×引· (瓜·√8=() 1 b Va8=-b匠.尽硒=-6· ab√ab=-a√ab. (4)由题意可知，12ab≥0,6b≥0， .a≥0，b≥0， 原赋=-号×3p山⑥=-2v后 √0·√2a=-12ab√2a 19.3二次根式的加法与减法 1.DA.a=-3时，√a无意义，不符合题意； B.当a=1时，WT=1,与3的被开方数不同， 不能合并，不符合题意；C.当a=6时，√6与 √3的被开方数不同，不能合并，不符合题意； D.当a=12时，√12=23，与√5的被开方数 相同，可以合并，符合题意 2.BA.√⑧=2√2，可以与√2合并，不符合题意； B.√12=23，√18=3√2，不可以合并，符合 题意；C.√24=2√6，√54=3√6，可以合并， 不符合题意：D.√45=3√5，√/20=25，可以 合并，不符合题意。 .D1瓜，-画，5-画都 √/ab-ab’V4=2’Wa 能与√ab合并，选项A,B,C不符合题意； √ab2=ab,不能与√ab合并，选项D符合 题意 4.(1)40.75 (2)3V80,70.2 5.解：：最简二次根式-√2a-3与9a+1可 以合并， ∴.b=2,2a-3=a+1, 解得b=2,a=4, ∴.-a°=-42=-16. 6.解：因为A=√3x-1,B=3√x+3为最简二 次根式，且A+B=C, 所以3x-1=x+3,解得x=2. 因为A=3x-1,B=3x+3, 所以A=√5，B=35, 则A+B=4√5=√80. 因为A+B=C,C=7x+6y, 所以7x+6y=80,即14+6y=80, 解得y=11. 所以原式=√2×11-22=√/18=3√2. 7.AA.√⑧-√2=2√2-√2=√2，故选项A符 合题意；B.√2与√3的被开方数不同，不能合 并，故选项B不符合题意；C.4√3-4√3=0， 故选项C不符合题意；D.3与2√2不能合并， 故选项D不符合题意. 8.B7+√3-28=√7+37-27=27= √/28..√25<√28<√36，.√7+63-√28 的值在5和6之间， 9.解：(1)原式=7+27=37. (2)原式=4√x+8√x=12√x. (3)原式=125-9×月+65=125-33+ 65=153. (4)原式=√48+/20+√12-√5=43+ 25+23-W5=4V3+23+2W5-5= 65+√5. 10.C 11.D正方形格子中横向、纵向及对角线方 向上的实数相乘的结果都相等，其值为√2× √10×5，√2=5×2×√2×√10=10√10， A=10D=25,B=100=1,C= 5×2 10×√/10 10=2,D=100=5,A+B+ 5×√10 10×2 C+D=2V5+1+2+V5=3+35. 12.解：(1)原式=46÷22-4×÷22+ 102÷22 =23-1+5 =23+4. (2)原式=3+25+1-[32-(7)2] =4+23-9+7 =2+25 (3)原武=(-3,6)+5+25×6 =-46:5+62 3 -4g5+62 3 =142 3 (4)原式=2(1+3)(1-3)-[(25)2 2×25×1+12] =2[12-(3)2]-(13-43) =-22-13+43 13.解：(1)三角形周长为(5√5+2√10)cm, 两边长分别为√45cm和√40cm, ∴.第三边的长为(5W5+2√10)-√45 √40=5W5+2√10-35-2√/10=25(cm). (2).三角形的面积为(10√6+4√5)cm2, ·第三边上的高为2(106+45)=(2√30+ 25 4)cm. 14.D(√10+6)×(10-6)=（√10）2- (6)2=10-6=4. 15.A(2-√3)×(2+√3)=1，故A选项符合 题意；(2-√3)×2=4-23，故B选项不符 合题意；(2-√3)×√3=2√3-3，故C选项 不符合题意；(2-3)×(2-3)=7-45，故 D选项不符合题意. 16.BA.3√5-2√5=√5，原计算错误.B.（1 2)(1+√2)=12-(2)=1-2=-1，原 计算正确.C.(2-√2)(3+√2)=6+2√2- 32-2=4-2,原计算错误D.(5+7)2= (5)2+25×7+(7)2=5+2V35+7= 12+2√35，原计算错误 17.解：原式=a-6+ √a √a+√b a(a+√b) 6 x√b B(b-a)] (√a-√6)2 (√a+√b)(√a-√6) +（a+万 1 b-√a ×√B -a-2a+b+a-6+(,a+b)×,6 a-b a-b =a-2Vab+b2/ab a-b a-b =atb a-b' 当a=2,6=2时，原式=2+2= √2-2 (2+2)2 _6+42=-3-22. (2-2)(2+2) 2 18.解：(1)，长方形的空闲地块ABCD的长AB 为8√2m,宽BC为52m, ∴.长方形空闲地块ABCD的周长为2× (8√2+5√2)=26W2(m). 答：长方形空闲地块ABCD的周长为26√2m. (2)通道的面积为8√2×52-2×（√13+ 1)×(13-1)=8×5×(2)2-2× [(√13)2-12]=80-2×12=56(m2), ∴.购买地砖的花费为56×50=2800（元） 答：若铺完整个通道，购买地砖共需花费 2800元. 第二十章勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第1课时勾股定理及其实际应用 1.B2.C 3.C设“矩尺”的较长的直角边长为x尺.根