2026年学科素养评价练习数学(五)-【衡水金卷·先享题·信息卷】2026年高考数学学科素养评价练习（B卷）

2026年学科素养评价练习 答题纸·数学（五） 学校 班级： 姓名： 正确填涂 填 准考证号 考场号： ■ 涂范 错误填涂 0I0I①四I0四0)①四0I 座位号： 以X 语 IDDD卫TIDI 刀刀刀2刀刃2刃刀2刃刃2 姓名XXX 考号XXXXXXXXX 3I33333I3I3I3I3 4四4④4四4④4四4四④4I4四 贴条形码区 5]555515]55515 616616161661616161 77 00 7 17 07 777 考场号XX 座位号XX 8I88I8I8I888I8I8 99991919191999 缺考 标记 格装蔬程整青发差由华保 选择题 1AIB图MDD 6AB☑D 2IB图CMDD 7 A BI CD 3AB图CM团 8 ABIC四DI 4AB图CD 5IB图CMD 选择题 9AIB图ID 日 10AIB图CMDI 11 A B CD 非选择题 12. 13. 14 请勿在此区域作答 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题纸·数学（五）第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题纸·数学（五）第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 B 答题纸·数学（五）第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(15分) Ci B E C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题纸·数学（五）第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题纸·数学（五）第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 B 答题纸·数学（五）第6页（共6页）2026年学科素养评价练习 数学（五） 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。建议用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在 试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.如图是2024年10月至2025年10月社会消费品零售总额同比增长速度统计折线图， 则折线图中这组数据的中位数为 (%) 社会消费品零售总额同比增长速度 10 A.3.7 59 6.4 B.3.85 4.8 5.1 3.03.74.0 4837343029 C.4.0 D.4.4 2024年11月12月2025年3月4月5月6月7月8月9月10月 10月 1-2月 2.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={4,5,m3,6},若CuA={1,2,3,7},则m的 值为 A.1 B.2 C.2√2 D.√6 3.某药企研发的一种新药物对某种疾病的治愈率为子，现有甲，乙、丙3名患有该疾病 的患者服用了这种药物，则恰有2名患者被治愈的概率为 A号 B是 C品 D. 27 4.已知a9∈（受r小，sina=0s=手则o2的值为 5 sin 28 55 A.104 55 B.一104 c出 数学（五）第1页（共4页) 5.如图，一条东西方向的河流两岸平行，河宽AB=300,河水自西向东而流，一艘小 船从河的一边的码头A处出发，以3√3km/h的速度要航行到位于河对岸的码头C 处卸货，其中BC=100√3m.若水流速度与小船航行速度的合速度的大小为 4km/h,则当小船的航程最短时，水流的速度大小为 →东 A.4 km/h B.√/15km/h C.2 km/h D.(√J15-2)km/h 6.已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),f(1)=2,若函数g(x)=xf(x)在 [0,十o)上单调递增，则不等式(x一2)f(x一2)<2的解集为 A.（-∞，3) B.(-1,1) C.(2,3) D.(-∞，-1)U(1,+o∞) 7.已知双曲线C:若-若=1(a>0,6>0)的左、右焦点分别为F,F,过点F,的直线1 与C的右支交于A,B两点，且AF+BF,=3(AF2+BF2),则C的离心率 的取值范围为 A.（√3,2 B.(2,+∞) C.(1,√2] D.（23,+oo) 8.若曲线C:y=2lnx与C2:y=x2一ax(x<0)存在公切线，则a的取值范围为 A.(-0,-8)B(-2) c.(2,+∞) [o, 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知i是虚数单位，之是复数，则测下列说法正确的是 A.若|之-1|+|之+1=4，则之在复平面内对应的点Z的集合为椭圆 B.若|之一2|一之十2=2，则之在复平面内对应的点Z的集合为双曲线 C.若之一i=之+i,则x在复平面内对应的点Z的集合为实轴 D.若x≤1，则之在复平面内对应的点Z的集合确定的图形的面积为π 10.在棱长为4的正方体ABCD一A1B1CD1中，E,F分别为AB,BC的中点，则 A.异面直线DF与AA,所成角的余弦值为号 D 1 B.平面D1EF截正方体ABCD一A,B,C,D1所得的截面图形 4 为正五边形 C.三棱锥B1一A1BD外接球的表面积为48π D D.平面D,EF与平面ABCD夹角的余弦值为2Y34 17 1已知两数)=时1,8：则 A.f(x)在R上为增函数 B.函数g(x)=f(x)+2f(x)一3有三个零点 C.若关于x的方程f(f(x)=m有三个不同的实根，则m∈(0,1] D.若关于x的方程2f(x)+(6a一1)f(x)一3a=0有四个不同的实根，则a的取值 范围为-3，-6)U(-6,0》 数学（五）第2页（共4页） ® 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(x+2-y） 的展开式中，x2y2的系数是 .(用数字作答) 13.已知函数f(x)=tan(2wx+)(w>0)在区间（贺，于）上单调递增，则w的最大值 为 14.某科幻主题乐园“星际弹射”项目的轨道为抛物线形，且抛物线所在平面α与水平地 面3垂直，设α∩B=1,以l所在直线为x轴在α内建立平面直角坐标系，已知轨道起 点为A(一50,0)，轨道上“星际加速区”的两个端点B(一10,60)，C(90,60)关于抛物 线的对称轴对称，弹射舱沿抛物线轨道飞行（弹射舱视为质点，运动轨迹即该抛物 线).若在轨道正下方地面上设置“矩形能量障碍区”，该障碍区高25米，水平跨度 10米，且关于抛物线对称轴对称，则弹射舱 (填“会”或“不会”)与障碍区发 生碰撞.若在轨道上设置“失重体验点”，要求该点处抛物线的切线斜率为1，则该体 验点的横坐标约为 (精确到0.1).（本题第一空3分，第二空2分） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 记数列{a}的前n项和为S,a=3,S,=a,-n(n-1),数列{h,}满足bn=,1 anan+l 2n am+1一am (1)证明：数列{am}是等差数列； (2)求数列{bn}的前n项和T 16.(本小题满分15分)》 某社交平台的热点话题分为“娱乐类”和“时事类”，已知用户浏览的第一个话题为 娱乐类的概率是0.6，为时事类的概率是0.4.若某一个话题是娱乐类，则下一个话题仍 为娱乐类的概率是0.3，转为时事类的概率是0.7；若某一个话题是时事类，则下一个话 题转为娱乐类的概率是0.5，仍为时事类的概率是0.5. (1)记随机变量X为用户浏览的前两个话题中时事类话题的个数，求X的分布列 与数学期望E(X); (2)若用户浏览前两个话题后，继续浏览第三个话题，求第三个话题为时事类的 概率。 数学（五）第3页（共4页） 17.(本小题满分15分) 如图，球O中有一底面边长为2，高为3的内接正三棱柱ABC一ABC,D1为 B,C1的中点，连接A,D1并延长交球O的表面于点E. (1)证明：BC⊥OE; (2)求点E到平面AB,C的距离； (3)点P为线段A,E上一动点，当直线CP与平面ABC所成角的正弦值为3y 10 时，求二的值 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=xe一ae十x. (1)若f(x)在R上单调递增，求a的取值范围； (2)若a=3,记f(x)的导函数为f(x). (i)求f(x)的极小值； (i)若关于x的方程f(x)=x一3e+m恰有两个不同的实根x1,x2,证明：x1十x2 <-2. 19.(本小题满分17分) 已知椭圆C芳+芳=1a>6>0)的左、右焦点分别为F,F,离心率e=号P是C 上一动点，△PFF2的周长为6. (1)求C的方程； (2)若△PFF2为直角三角形，求点P的纵坐标； (③)设直线1过点B:且与C交于A,B两点，若△ABE,的面积为2，求1的 方程. 数学（五）第4页（共4页）评价练习 数学（五） 2026年学科素养评价练习 数学（五） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模 ④直规想象⑤数学运算 ⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) I Ⅲ ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 1 选择题 5 数据的中位数 易 0.82 由集合的补集运算 2 选择题 0.75 求参 3 选择题 二项分布 中 0.68 4 选择题 5 三角恒等变换 中 0.58 与平面向量有关的 5 选择题 5 中 0.50 情境题 由函数的奇偶性和 6 选择题 5 中 0.45 单调性解不等式 求双曲线离心率的 选择题 中 0.30 取值范围 P 利用导数研究两曲 选择题 难 0.28 线的公切线 9 与复数的模有关的 选择题 6 中 0.68 轨迹问题 立体几何中的空间 10 选择题 6 中 0.50 角及外接球 11 选择题 函数的零点问题 难 0.28 三项展开式的特定 12 填空题 5 中 0.65 项的系数 13 填空题 5 正切型函数的性质 中 0.55 14 填空题 5 抛物线的实际应用 中 0.35 证明数列是等差数 15 解答题 13 中 0.65 列，裂项相消求和 社会热点题，涉及全 16 解答题 15 概率公式，求分布列 中 0.50 和期望 ·1 评价练习 数学（五） 证明线线垂直，求点 17 解答题 15 到平面的距离，由线 中 0.40 面角的正弦值求参 以指数型函数为载 18 解答题 17 体，研究函数的极 难 0.25 值，极值点偏移问题 椭圆与解三角形的 19 解答题 17 难 0.22 综合 ·2 >芳回 评价练习 数学（五） 参考答案及解析 数学（五） 一、选择题 、 6.A【解析】因为f(-x)=∫(x),所以f(x)为偶函 1.B【解析】由图可知12个数据从小到大排序为： 数，因为g(x)=xf(x),所以g(-x)=-xf(-x) 2.9,3.0,3.0,3.4,3.7,3.7,4.0,4.8,4.8,5.1,5.9, =-xf(x)=-g(x),所以g(x)为奇函数，因为g(x) 6.4,所以这组数据的中位数为3.7十4.0=3.85，故 在[0，十o∞)上单调递增，所以g(x)在（一∞，0）上单 2 调递增，所以g(x)在R上单调递增.因为f(1)=2, 选B. 所以g(1)=f(1)=2,则不等式(x-2)f(x-2)<2 2.B【解析】因为U={1,2,3,4,5,6,7,8},CA={1, 等价于g(x一2)<g(1),因为g(x)在R上单调递增， 2,3,7},所以A={4,5,6,8},又A={4,5,m3,6}, 所以x-2<1,解得x<3,所以原不等式的解集为 所以m3=8,解得m=2.故选B. （-o0,3).故选A. 3.D【解标】由题可得所求概率为P-C()'×日 7.C【解析】由题可得|AF|-|AF,|=2a, |BF|-IBF:|=2a,所以|AF|+IBF| =品故选D (|AF2|+|BF2|)=4a,因为|AFI+|BFI 4.B【解析】因为a,e(受元)，所以由sina=品，得 3(AF2|+1BF2|),设|AF2|+|BF2|=m,所以 |AF1+|BF1|=3,所以3m-m=2m=4a,则m cos a=- 是，所以 =2a,所以|AB|=|AF2|+|BF2|=m=2a.由几 oasa十g)=o-sin asin=(-号)× 何性质易知1ABl≥2，所以a≥：，即a≥6，所 a ()品×是-器 5 sin 28-2sin pcos B=2x3 以e≥-d,所以后<2，即c≤2.又e>1,所以1 5 33 <e≤√2，故选C. ×()=芳所以2- 65 55 sin 28 24 104 8.A【解析】由)=21nx,得y=兰由)=2-ar,得 25 y=2x-a,设公切线与C切于点P(x,2lnx1) 故选B (x1>0),与C切于点Q(x2,x-ax2),x2<0,所 5.D【解析】由题可知AB=300m,BC=100√5m,所 以m∠CAB-S-10-号所以∠CAB=30 以受=2a,则a=2二当公切线过点P时， 切线方程为y=2(x-1)+2hx-2x+2n西 则∠CAD=90°+30°=120°，当小船的航程最短时，合 速度方向为AC的方向，所以合速度的方向与水流的 一2；当公切线过点Q时，切线方程为y=(2x2一a)(x 方向成120°，设小船的航行速度为y1,合速度为，水 -x)十xi-ax2=(2x2-a)x-x2,所以2lnx1-2 流速度为v,则有=v十v,则v=v2一v,所以y =-,则x=2-21nx1,因为x>0,所以2 2lnx1>0,解得0<x1<e.令t=x1∈(0，e),则x2= √(-v)F=√T+v-2v·12cos120, 即3√3=√16+v+4v可，解得|v=√I5-2.故 -√2-2h7,所以a=-2V2-2n7-兰，令g() 选D. =-22-2n7-是，0<1<e,易知g()在 R (0,e)上单调递增所以g()<g(e)=一名，且当： V2 0时，g)→-0，所以g()∈(-0，-名），所 D 以a的取值范围为(-©，一名)，故选A 数学（五） 参考答案及解析 二、选择题 9.ACD【解析】对于A,由椭圆的定义可知A正确；对 于B,由双曲线的定义可知点Z的集合为双曲线的一 支，故B错误；对于C,由垂直平分线的定义易知点Z B 的集合为实轴，故C正确；对于D,因为|：≤1，所以 之在复平面内对应的点Z的集合确定的图形为以 D (0,0)为圆心，1为半径的圆，以及圆的内部，其面积 为π×12=π，故D正确.故选ACD. 10.AC【解析】对于A,连接DF,因为AA∥DD1,所 以异面直线DF与AA!所成的角为∠DDF(或其 11.BCD 【解析】作出f(x)的图象如图所示， 补角)，由题得DD:=4,DF=2√5，则在Rt△DDF 中，DF=√DD十DF=6,所以cos∠DDF 2-音-号故A正确：对于B设直线EF分别 交DA,DC的延长线于点H,G,连接DH,D1G分 别交AA1,CC于点I,J,连接EI,FJ,得到截面图 形为五边形D IEFI,易知DI≠EI,所以五边形 D1IEFJ不是正五边形，故B错误； 由图易知A错误；对于B,令g(x)=P(x)十2f(x) -3=0,即(f(x)十3)(f(x)-1)=0,则f(x)=-3 或f(x)=1,结合图象易知直线y=-3,y=1与 f(x)的图象共有3个交点，所以g(x)有三个零点， 故B正确；对于C,令t=f(x),则f(t)=,若关于 x的方程f(f(x)=m有三个不同的实根，则f(t) =m有两个不同的实根t1,t,设t1<t2,结合图象可 知A≤0，是<≤1，则0<m<1,放C正确：对于 H D,由2f(x)+(6a-1)f(x)-3a=0,得(2f(x) 对于C,三棱锥B一ABD的外接球即为正方体 -1)(f(x)+3a)=0,则f(x)=-3a或f(x)= ABCD一A1BCD1的外接球，设外接球的半径为 合，由(x)的图象可知，f(x)=之有两个不同的 R,则2R=DB=√/4十4+4=4√5，所以R= 实根，若要使关于x的方程2f(x)十(6a一1)f(x) 2W3,所以外接球的表面积为4πR=4π×（2√) -3a=0有四个不同的实根，则f(x)=一3a有两 =48π，故C正确；对于D,设BD∩EF=O,连接 [0<-3a1 DO,AC,因为E,F分别为AB,BC的中点，所以 个不同的实根，所以 解得-子<a< EF∥AC,DE=DF,因为AC⊥BD,所以EF⊥ BD,易知O为EF的中点，所以DO⊥EF,因为平 面D1EF∩平面ABCD=EF,所以∠DOD即为平 一合或-合<a<0,故D正确.故选BCD 面D,EF与平面ABCD的夹角，易得DO=子BD- 三、填空题 32,则在Rt△DD1O中，DO=√/DD+DO= 12.一40【解析】法-：(x十兰y)'的酒项为工 V,所以os∠D,0D-品-39，故D销误 =C(x+2)）(-y),k=0.1,…,5,令=1，得 故选AC. 工=-c(x+2)'y=-5(+2)八y, (+2)的通项为T1=C·(2)- 2C1x-2,r=0,1,…,4,令4-2r=2,得r=1,则T2 ·2 评价练习 数学（五） =2Cx2=8x2,.x2y2的系数为-40. 又a1=3, 法二：由组合公式可知x2y2的系数为-2CC= 所以数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列. -40. (6分) 13.号【解析】因为f(x)=tam(2ax+)(w>0)在 (2)由(1)可得am=2n+1, 所以1 1 区间（，于)上单调递增，所以 amam+1(2n十1)(2n十3) =2(2n+2m+3》 1/1 1 ,keZ,解得-8+4h≤u≤ 2”= 3 a=02-2 (9分) 号+26，∈Z,当k=0时-号≤≤子，又。>0， 所以0<w<号，当k=1时，号<w≤号当k>1 所以=[（日吉）+（哈）+…十 时，不等式一 十≤w≤号十2，k∈7无解.综 8 + 2n+1 2(分-2n十)+2-1=32+20-1. n 上m的最大值为号 (13分) 14.不会一6.7【解析】由题可得抛物线的对称轴为 16.解：(1)由题可得X的取值可能为0,1,2， 直线工=一10，+90=40，所以设抛物线的方程为y 所以P(X=0)=0.6×0.3=0.18, a(x-40)2+k,代入A(-50,0),得8100a十k=0 P(X=1)=0.6×0.7十0.4×0.5=0.42+0.2= ①，代入B(-10,60),得2500a+k=60②，由 0.62, P(X=2)=0.4×0.5=0.2, (4分) ①②，解得a=一 k=1件，故抛物线的方程为 3 因此X的分布列为 y=高一40)+1，由a=高<0，知抛 3 3 0 1 物线开口向下，顶点为最高点，因为障碍区的水平跨 P 0.18 0.62 0.2 度为10米，所以横坐标的范围为[35,45]，关于对 所以E(X)=0×0.18+1×0.62+2×0.2=1.02. 陈箱=40对称将=35代人y=一意红一40 (7分) (2)记事件A:第三个话题为时事类， +120,得=嘉×(35-40)2+120≈86.52 事件B。:前两个话题均为娱乐类， >25,所以弹射舱不会与障碍区发生碰撞，由y= 事件B:前两个话题第一个为娱乐类，第二个为时 事类， 嘉：-40)+1，得=品红-0)，令 3 事件B2:前两个话题第一个为时事类，第二个为娱 品-40)=1，得=40-190≈-67，所以该 3 乐类， 事件B:前两个话题均为时事类， 体验点的横坐标约为一6.7. 由(1)可得P(B。)=0.18,P(B)=0.42,P(B2) 四、解答题 =0.2,P(B)=0.2, 15.解：(1)因为S=na4-n(n-1), P(A|B。)=0.7,P(A|B1)=0.5,P(A|B2)= 所以当n≥2时，S-1=(n-1)a-1-(n-1)(n-2), 0.7,P(AB3)=0.5, (11分) 所以am=Sa-Sa-1 所以P(A)=P(B。)P(A|B)+P(B)P(A|B,)+ =[nam-n(n-1)]-[(n-1)am-1-(n-1)(n-2)] P(B2)P(A B2)+P(B3)P(A B3) =nam-(n-1)an-1-2(n-1), =0.18×0.7+0.42×0.5+0.2×0.7+0.2×0.5= 化简得(n-1)am-(n-1)a-1=2(n-1),n≥2， 0.576. (15分) (4分) 17.解：(1)取BC的中点D,连接AD,AD, 因为n≥2，所以n一1≠0， 因为三棱柱ABC一A1BC为正三棱柱， 所以a,一am-1=2, 所以BC⊥AD,AA,⊥平面ABC, ·3· 数学（五） 参考答案及解析 因为BCC平面ABC, 所以AA⊥BC, (3)由(2)得A(0,-5,3),E(0,3小 又AA∩AD=A,AA,ADC平面AAD, AP 所以BC⊥平面AA1D, 设P(0,t3),AE=(0≤≤1)， (2分) 由球的对称性及正三棱柱的几何性质可知O 则AP=AA1E, ∈AD, 所以(0，+5,0)=x(0,450小 又E∈A1D,AD∥AD, 所以OEC平面AA,D, 所以BC⊥OE. (4分) 则马- (2)连接DD, 所以p(o,4-,3小： 由(1)可知AD⊥BC,且DD,⊥平面ABC, 所以AD,BC,DD两两垂直， 所以-(1,4-，3） (12分) 以D为原点，DB,DA,DD所在直线分别为x,y,x 易知平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1), 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设直线CP与平面ABC所成的角为0， 则sin9=|cos(m,C2)1=,m·C |m·|cp 3 310 10 V+(:-)+ 解得入=4： 3 所以哈的值为子 (15分) 由题可得BD=CD=1,AD=AD1=√3， 18.解：(1)由题可知f(x)=(x+1)e-ae+1 设△A:BC所在圆的半径为R, =(x+1-a)e+1, 2 4W3 令g(x)=(x十1-a)e+1, 所以由正弦定理得2R=sin60= 31 则g'(x)=(x十2-a)e, 所以D,E=2R-AD,=4y-5= 令g'(x)=0,得x=a-2, 3 31 所以当x<a-2时，g'(x)<0,g(x)单调递减； 则A(0,-√3,0)，C(-1,0,0),B(1,0,3), 当x>a-2时，g(x)>0,g(x)单调递增， (o,9 所以g(x)mm=g(a-2)=(a-2+1-a)e-2+1=1 -e-2 (3分) 所以AC=(-1,5,0),AB=(13,3),AE= 因为f(x)在R上单调递增， 所以f(x)≥0即g(x)≥0在R上恒成立， (o.a (6分) 所以g(x)mim=1-e-≥0，解得a≤2， 设平面ABC的法向量为n=(x,y,x), 所以a的取值范围为(-一∞，2]. (5分) 所以n·A亡、-x+5=0 (2)(1)当a=3时，f(x)=xe-3e+x, f'(x)=(x-2)e+1, n·AB1=x十√5y+3x=0 由(1)可知g(x)=(x-2)e十1， 取y=3,得x=3,x=-2, g(x)在（一∞，1）上单调递减，在(1，十∞)上单调 所以n=(3,√3，-2). (8分) 递增， 设点E到平面AB,C的距离为d, 即(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，十o∞)上单 则d=n,A-l0+4-6=是 调递增， n √/9+3+4 2 所以f(x)的极小值为f(1)=1-e (7分) 1 (i)由f(x)=x一3ex十n,得m=xe, 所以点E到平面ABC的距离为 (10分) 令9(x)=xe,则p'(x)=(x十1)e, 章4 评价练习 数学（五） 令9'(x)=0,得x=-1, 由对称性可知直角顶点为E,时=士号，(6分) 所以当x<-1时，9'(x)<0,p(x)单调递减； 当x>-1时，9(x)>0,9(x)单调递增， 若直角顶点为P, 当x趋向-∞时，9(x)趋向0； 由勾股定理得|PF|2+|PF2|2=|FF2|=4, 当x趋向十o∞时，(x)趋向十∞， 因为|PF|十|PF2|=4, 且(0)=0. (10分) 所以|PF|2+2|PF|PF2|+|PF2|2=16, 因为关于x的方程f(x)=x一3e十m恰有两个不 即4+2|PF1|PF2I=16,则|PFI|PF:|=6, 同的实根x1,2, 由Sam,=专PF.IIPF,=F.F:lyel, 所以直线y=m与曲线g(x)=xe有两个交点， 所以x1<-1<x2<0,则-2-x1>-1.(11分) 得2X6=号×21w, 令h(x)=g(x)-9(-2-x),x<-1, 解得yp|=3, 则h'(x)=9(x)十(-2-x) 但|y|≤√3，故无解 =(x+1)e+(-1-x)ex =z+1)(c-1>0. 综上，点P的纵坐标为士2 (9分) e+2 (3)当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1, 所以h(x)在(-o,-1)上单调递增， 所以h(x)<h(-1)=0, 由(2)可知此时|AB|=3,则△ABF的面积为 则g(x)<g(-2-x), 即(x1)<p(-2-x1), X3×2=3≠122， 7 又9(x1）=9(x2), 故直线（的斜率存在， (10分) 所以(x2)<g(-2-x), (15分) 设直线1：y=k(x-1),A(x1,y),B(x2为)， 因为-1<x2<0,-2-x1>-1,且9(x)在 (y=k(x-1) (-1,十o∞)上单调递增， 所以x2<-2-x1, 所以x1十x2<-2. (17分) 得(3十4k)x2-8kx十4k2-12=0, 19.解：(1)由题可知△PFF2的周长为PF|+|PF2|+ 则△=64k-4(3十4k2)(4k2-12)=144(k2+1) |FF2|=2a十2c=6,即a十c=3, >0, 因为=子=宁，所以c=宁 +=-提 8k2 则a十2a=3,解得a=2c=1, 所以|AB|=√1十k|x-x2|=√1十· 所以b2=a2-c2=4-1=3, √(+)P-4=12(1+) 3十4k2 (13分) 所以C的方程为宁+芳=1 (4分) 因为点F到直线1的距离d=一2L=2kL /1+ √/1+ (2)由(1)可得F(-1,0),F2(1,0),|FF2|=2c =2, 所以△ABF的面积S=|AB·d 设p(9)则产+普=l 12|k√1+k_12W2 3+4k 7 若直角顶点为F,则PF⊥FF2, 化简得17k十k2-18=0, 所以=一1，代入椭圆方程得子+学-1， 解得2=1，则k=士1， 所以直线（的方程为x一y-1=0或x十y-1=0. 解得坊=号 (17分) 所以如=士多， ·5 回