专题02 方程（组）与不等式及其应用5大题型（大题专练）（北京专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 以建模思想为主线，通过“典例建模-技法提炼-变式突破”三阶训练，系统构建方程与不等式应用的解题体系，强化模型观念与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解不等式组|5题|“去分母-移项-数轴表示”步骤口诀+整数解枚举法|从基础解法到解集应用，衔接方案选择| |行程问题|5题|线段图可视化+相遇/追及等量关系模型|融合传统文化与现代科技情境，强化抽象能力| |销售利润|5题|利润公式+“降价/补贴”销量影响模型|结合政策与生活实际，培养数据意识| |几何问题|5题|几何公式转化+图标注未知量法|从图形分析到方程构建，发展空间观念| |工程问题|5题|总量设“1”+效率-时间-工作量表格法|联系科技与环保任务，提升推理能力|

专题02 方程（组）与不等式及其应用 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 2024年和2025年的第18题均为5分的中档题，学生需要熟练掌握去分母、移项等步骤，并能在数轴上准确表示解集。· 第21题（2024）：从环保真实数据中提炼模型，考查二元/多元方程组在实际中的应用，提升了难度。 · 第22题（2025）：融合对工艺制作的深入分析、传统文化的理解（风筝制作）和体育健康数据的解读，全方位考查同一题中多个知识点的综合运用。 命题趋势：从"纯工具解法"到"真实问题解决"的深刻转变。解方程与不等式作为基本技能必须牢牢掌握，但其价值最终要在解决"方程与不等式的实际应用"题中兑现，后者将全面考查大家的抽象能力、模型观念和应用意识。 2026年预测：不再仅要求"解不等式组"，可能新增根据给定范围进行方案选择或最值判断。解不等式组（融合最值/方案选择） ⬅ 关键变动点 方程与不等式综合应用题（最优化设计） ⬅ 新增融合点突破融合："用不等式划定范围，用方程精准求解" 题型01解不等式组 析典例·建模型 1．（24-25九下·北京理工附中·月考）解不等式组： 【答案】 【来源】北京市海淀区北京理工大学附属中学2024~2025学年下学期3月月考九年级数学试卷 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握和运用解一元一次不等式组的步骤是解决本题的关键．首先解每一个不等式，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：原不等式组为， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 研考点·通技法 去分母，去括号，移项合并要仔细； 除以负数反向记，数轴画准不费力； 大大取大小小取小，大小小大中间找； 整数组解需枚举，融合应用别心焦。 破类题·提能力 2．（2026·北京人大附中·一模）解不等式组：． 【答案】 【详解】解：， ①去括号得，， 移项合并同类项得，， 解得，， ②去分母得，， 移项合并同类项得，， 解得，， ∴不等式组的解集为：． 3．（2025·北京海淀·人大附中零模）解不等式组： 【答案】 【来源】北京市海淀区中国人民大学附属中2025年九年级中考数学零模试题 【分析】根据大大取大，小小取小，小大大小中间找，大大小小无解找，解不等式组解答即可． 本题考查了求不等式组的解集，掌握解集求解是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得，解不等式②得， 故不等式的解集为． 4．（25-26九下·北京北师大附中·月考）解不等式组： 【答案】 【详解】解：解不等式组： ， 由①去括号得： ， 移项、合并同类项得： ， 系数化为1得： ； 由②去分母得： ， 解得： ， ∴不等式组的解集为 ． 5．（25-26九下·北京四中·学情自测）解不等式组：． 【答案】 【来源】北京市第四中学2025-2026学年九年级下学期4月学情自测数学试题 【分析】先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 由不等式①得：， 由不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 题型02 应用题行程问题 析典例·建模型 6．（2024·北京丰台·一模）小刚对诗仙李白的诗作《早发白帝城》中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的说法产生疑问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗?小刚经过查阅资料得知，白帝城是现今的重庆奉节，而江陵是现今的湖北荆州．假设李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度约为，从宜昌到荆州的速度约为．从奉节到荆州的水上距离约为．经过分析资料，小刚发现从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多．根据小刚的假设，回答下列问题： (1)奉节到宜昌的水上距离是多少？ (2)李白能在一日（）之内从白帝城到达江陵吗？说明理由． 【答案】(1)奉节到宜昌的水上距离为 (2)李白不能在一日之内从白帝城到达江陵，见解析． 【来源】2024年北京市丰台区九年级中考一模数学试题 【分析】本题考查一元一次方程应用题，找到等量关系列方程是解题关键． （1）奉节到宜昌的水上距离为千米，根据李白从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多列出方程，解方程即可; （2）用两段时间之和计算即可. 【详解】（1）解：（1）设奉节到宜昌的水上距离是． 根据题意得：，解得． 答：奉节到宜昌的水上距离为． （2）∵， ∴李白不能在一日之内从白帝城到达江陵． 研考点·通技法 1. 画线段图：将运动过程可视化，标注已知量和未知量。 2. 统一单位：速度、时间、路程单位必须一致（如km/h、h、km）。 3. 设关键量：通常设速度或时间为未知数。 4. 找等量关系： · 相遇：两者运动时间相等，路程和等于总距离。 · 追及：快者运动时间 = 慢者运动时间 + 提前时间？注意追及时两者运动时间往往相等（从开始追到追上），路程差等于初始距离。 · 环形跑道：同向追及时，路程差为圈长；反向相遇时，路程和为圈长。 5. 分式方程防增根：若出现分式，解后必须检验分母不为0且符合实际（速度、时间非负）。 破类题·提能力 7．（2024·北京平谷·一模）我国古代数学著作《九章算术》里记载了这样一个有趣的问题：“今有善行者行100步，不善行者60步．今不善行者先行100步，善行者追之，问几何步追之？”其意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走了60步，现在走路慢的人先走100步，走路快的人去追他，问走路快的人走多少步能够追上他？请你解决该问题． 【答案】250步 【来源】2024北京市平谷区中考一模数学试题 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设走路快的人走了x步追上走路慢的人，根据走路快的人走100步时，走路慢的人只走了60步，可知相同时间内走路慢的人所走路程为步，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设走路快的人走了x步追上走路慢的人． 由题意得， 解得：，     答：走路快的人250步追上走路慢的人 8．（2024·北京广渠门中学·二模）京雄高速北京段于2023年12月31日全线贯通．通车后、由西南五环至雄安新区可实现1小时通达，比原来节省了30分钟．小东爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走27．5千米，如果平均车速比原来每小时多走17千米，正好和设计相符，通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是多少？ 【答案】通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是89千米/小时 【来源】2024年北京市广渠门中学中考二模数学试题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，则通车后小东起爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，根据平均车速比原来每小时多走17千米，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题． 【详解】解：设通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，则通车后小东爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米， 由题意得：， 解得：， ， 答：通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是89千米/小时． 9．（2025·北京丰台·二模）2024年12月29日，“”动车组样车在北京发布，标志着“科技创新工程”取得重大突破．北京南站与上海虹桥站之间的铁路长约为，若“”动车投入使用后，某日上午，“”、“复兴号”两辆动车同时分别从北京南站、上海虹桥站出发，相向而行，匀速行驶，当日上午相遇．此后，“复兴号”动车的速度提升了，当日12：30到达北京南站．若“”动车的速度不变，则“”动车当日12：00前是否可以到达上海虹桥站，并说明理由． 【答案】“”动车可以在当日12:00前到达，理由见解析 【来源】2025年北京市丰台区九年级中考二模数学试卷 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算的应用，掌握速度路程时间是解题关键．设相遇前“复兴号”动车的速度为，根据题意列方程求出，进而求出“”动车的速度，得到“”动车的行驶时间，即可求解． 【详解】解：“”动车可以在当日12:00前到达，理由如下： 设相遇前“复兴号”动车的速度为． 由题意可知，．解得． 所以“”动车的速度为． 所以“”动车的行驶时间为． 所以“”动车到达上海虹桥站的时间为当日11:15，可以在当日12:00前到达． 10．（2025·北京大兴·一模）列方程解应用题 小华一家驾驶某款新能源汽车外出游玩，去时选择普通公路，返回时选择高速公路．走普通公路比高速公路的路程多60公里，这款新能源汽车在普通公路上行驶平均每百公里耗电20度，在高速公路上行驶比普通公路上行驶平均每百公里耗电增加，该车选择的充电站充电综合电费均为元/度．最终发现走普通公路的电费比高速公路的电费少15元，求返回时所走高速公路的路程． 【答案】所走高速公路的路程为550公里 【来源】2025年北京市大兴区中考数学一模试卷 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键 设所走高速公路的路程为x公里，则普通公路的路程为公里，根据题意列出方程求解即可，注意单位换算． 【详解】解：设所走高速公路的路程为x公里，则普通公路的路程为公里， 根据题意得：， 解得， ∴所走高速公路的路程为550公里． 题型03 应用题销售利润 析典例·建模型 11．（2025·北京·中考）年，为加力支持消费者购买绿色智能家电，增添绿色消费新动力，北京市商务局发布了《北京市加力支持家电以旧换新补贴实施细则》，补贴期间，对在京个人消费者购买一级和二级能效(水效)的冰箱(含冰柜)、洗衣机(含洗烘一体机)、电视、空调、电脑(含学习机)、热水器(含壁挂炉)、家用灶具(含集成灶)、吸油烟机等类家电产品予以以旧换新补贴．补贴标准：一级能效(水效)的家电产品，按照产品销售价格的给予补贴；二级能效(水效)的家电产品，按照产品销售价格的给予补贴，每位消费者每类产品可补贴件，每件补贴不超过元． 已知在补贴期间，一位顾客购买了一台一级能效的电脑和一台二级能效的洗衣机，共花费元，比补贴前便宜了元，若顾客只购买一台电脑，则花费比补贴前便宜多少元？ 【答案】若顾客只购买一台电脑，则花费比补贴前便宜元． 【来源】2025年北京市初中学业水平考试数学试卷（白卷） 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该顾客购买的电脑补贴前售价为元，则他购买的洗衣机补贴前的售价为元，根据题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设该顾客购买的电脑补贴前售价为元，则他购买的洗衣机补贴前的售价为元， 根据题意得， 解得：， ∴（元）， 答：若顾客只购买一台电脑，则花费比补贴前便宜元． 研考点·通技法 1. 分清进价、标价、售价、利润、利润率。 2. 设未知数策略：题目问什么往往设什么，也可设成本或数量。 3. 等量关系常见形式： · 总利润 = 单件利润 × 销量 · 总销售额 = 单价 × 销量 · 利润率 = 利润/进价 4. 注意“降价/涨价”对销量的影响：如“每降价1元，多卖2件” → 设降价 x 元，则新单价=原价-x，新销量=原销量+2x。 5. 分式方程：如“打折后利润率为20%”列方程，注意分母不为0。 破类题·提能力 12．（2025·北京三帆中学·三模）我校学生会正在策划一次儿童福利院的慰问活动．为了筹集到600元活动资金，学生会计划定制一批穿校服的毛绒小熊和带有校徽图案的钥匙扣，表格中有这两种商品的进价和售价．另外，若将一个小熊和一个钥匙扣组成一份套装出售，则将售价打九折． 小熊 钥匙扣 套装 进价 13 3 售价 16 4 购买意向占比 (1)出售一份套装可获得的利润是______元； (2)为了更好的制定进货方案，学生会利用抽样调查的方式统计了校内学生对商品购买意向的百分比情况（见表格），若按照这个百分比情况定制商品，至少分别定制小熊和钥匙扣各多少个，才能筹集到600元资金（即获得600元利润）？ 【答案】(1)2 (2)至少定制小熊195个，定制钥匙扣165个． 【来源】2025年6月北京市三帆中学中考三模数学试卷 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、有理数混合运算的应用等知识点，熟练掌握有关利润问题的等量关系是解题的关键． （1）根据利润、售价、折扣与进价的关系列式计算即可解答； （2）设设销售总份数为x件，根据小熊的利润，钥匙扣的利润与套装的利润和等于总利润600元，列出方程进行求解即可解答． 【详解】（1）解： ． ∴出售一份套装可获得的利润是2元． 故答案为：2． （2）解：设设销售总份数为x件， 由题意得：， 解得：， ∴单独买小熊：（个）， 单独买钥匙扣：（个）， 买套装：（套）， ∴至少定制小熊：（个），定制钥匙扣：（个）． 答：至少定制小熊195个，定制钥匙扣165个． 13．（2025·北京大兴·二模）列方程（组）解应用题： 五一期间，在“国家补贴+商场直降”双重优惠推动下，消费者家电换新需求得到充分激活．国家补贴政策是购买两款空调均可享受原价的国家补贴；商场促销规则是购买空调的原价不低于4000元时，享受国家补贴后商场再直降500元，购买空调原价低于4000元时，只享受国家补贴．已知款空调原价（高于4000元）比款空调原价（低于4000元）的2倍少300元．若按此销售规则购买一台款空调比一台款空调多花1500元，购买一台款空调和一台款空调与原价比共节省多少元？ 【答案】购买一台款空调和一台款空调与原价比共节省2120元 【来源】2025年北京市大兴区九年级中考二模数学试卷 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设一台款空调的原价为元，则一台款空调的原价为元，再根据题意建立方程求出，再计算节省的费用． 【详解】解：设一台款空调的原价为元，则一台款空调的原价为元， 由题意可知， ． 解得：， ， 所以， 答：购买一台款空调和一台款空调与原价比共节省2120元． 14．（2025·北京怀柔·二模）列方程或方程组解应用题： 周末小明和爸爸准备一起去商场购买一些茶壶和一些茶杯，了解情况后发现甲、乙两家商场都在出售两种同样品牌的茶壶和茶杯，定价相同，茶壶每把定价30元，茶杯每只定价5元，且两家都有优惠．甲商场买一送一大酬宾（买一把茶壶送一只茶杯）；乙商场全场九折优惠．小明的爸爸需茶壶5把，茶杯若干只（不少于5只）．当去两家商场付款一样时，求需要购买茶杯的数量． 【答案】20只． 【详解】解：设购买茶杯x只． 依题意：， 解得：， 答：购买茶杯20只时，两家商场付款一样． 15．（25-26九下·北京四中·学情自测）现在是互联网时代，微商小王一次购进了一种时令水果，前两天他以每千克高于进价的价格卖出，第三天他发现网上卖该种水果的商家陡增，于是他果断将剩余的该种水果在前两天的售价基础上打折全部售出，最后他卖该种水果获得元的利润，求这批水果的进价为多少元． 【答案】这批水果的进价为元 【详解】解：设这批水果的进价为元， 依题意得：， 解得， 答：这批水果的进价为元． 题型04 应用题几何问题 析典例·建模型 16．（2024·北京顺义·二模）羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛，也可以进行双打比赛，下图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为，场地的长比宽的2倍还多包含分界线宽，单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）间的距离之比是．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离． 【答案】球网同侧的单、双打后发球线间的距离是 【来源】2024年北京市顺义区中考二模数学试题 【分析】此题考查了一元一次方程的应用， 设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是，则中线同侧的单、双打边线间的距离是，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是，则中线同侧的单、双打边线间的距离是， 由题意可得． 解得 ∴， 答：球网同侧的单、双打后发球线间的距离是． 研考点·通技法 1. 画图标注：在图上标出已知边长、未知数。 2. 利用几何公式· 3. 注意单位统一。 4. 检验解的合理性：边长、距离必须为正数，且满足几何约束（如三角形两边之和大于第三边）。 破类题·提能力 17．（2024·北京房山·一模）在房山区践行“原色育人，生态发展”教育发展理念的引领下，某校为提升实践育人实效，积极组织学生建设劳动基地，参与校园种植活动．计划在校园内一块矩形的空地上开垦两块完全相同的矩形菜园，如图所示，已知空地长米，宽米，矩形菜园的长与宽的比为，并且预留的上、中、下、左、右通道的宽度相等，那么预留通道的宽度和矩形菜园的宽分别是多少米？ 【答案】预留通道的宽度是米，矩形菜园的宽是米 【来源】2024北京市房山区中考一模数学试题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设矩形菜园的宽为米，则长为，根据预留的上、中、下、左、右通道的宽度相等，可列一元一次方程，解得的值即为矩形菜园的宽，可求得预留通道的宽度． 【详解】解：设矩形菜园的宽为米，则矩形菜园的长为米． 由题意可得， ． 解得． ∴． 答：预留通道的宽度是米，矩形菜园的宽是米． 18．（2024·北京海淀·一模）下图是某房屋的平面示意图．房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖．将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费1270元．若每平方米木地板与瓷砖的价格之比是，求每平方米木地板和瓷砖的价格．    【答案】每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元． 【来源】2024年北京市海淀区九年级中考一模数学试题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设每平方米木地板的价格为元，则每平方米瓷砖的价格为元，根据花费10000元，其中包含安装费1270元列方程求解即可． 【详解】解：设每平方米木地板的价格为元，则每平方米瓷砖的价格为元． 厨房面积：， 卫生间面积：， 客厅面积：， 卧室面积：， 由题意可得，， 解得， ，． 答：每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元． 19．（2026年北京市八一教育集团九年级零模）赛龙舟是中国端午节的传统习俗，也是国家级非物质文化遗产．某校手工社团准备制作一件木制龙舟模型（如图所示），该模型由“龙头”、“船身”、“龙尾”三部分整体排成一条直线组成．已知龙头的长度与龙尾的长度之比是，船身的长度比龙尾长度的4倍还多．为了还原真实感，模型还配备了一根主桅杆和若干船桨．已知单根船桨的长度比龙尾的2倍少．在拼装时同学们发现，这艘龙舟模型的总长（龙头、船身与龙尾的长度之和．恰好比单根船桨长度的4倍多．则该龙舟模型的总长度是多少？ 【答案】 【来源】2026年北京市八一教育集团九年级零模联考试卷数学学科 【分析】根据题意设龙尾的长度为，则龙头的长度为，船身的长度为，船桨的长度为，列出方程求解x的值，再代入x的值到原方程即可求得龙舟模型的总长度． 【详解】解：设龙尾的长度为，则龙头的长度为，船身的长度为，船桨的长度为， 根据题意，可列出方程：， 解得， 将代入可得：， ∴该龙舟模型的总长度是． 20．（2024·北京昌平·二模）如图，初三年级准备制作一个长的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距，试求横幅字距是多少？ 【答案】 【来源】2024年北京市昌平区九年级中考二模数学试题 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据空宽：字宽：字距设边空宽为，字宽为，字距为.再根据长的横幅列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：因为边空宽：字宽：字距， 所以设边空宽为，字宽为，字距为. 由题意可得：， 解得. 答：横幅字距为． 题型05 应用题工程问题 析典例·建模型 21．（2025·北京西城·二模）南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 【答案】能按要求完成任务 【详解】解：设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为． 根据题意，得 解得， 答：2台清淤机和2台清淤船共同工作，能按要求完成任务． 研考点·通技法 1. 把总量设为1（若未给出具体数值）。 2. 列表格：横排按工作阶段（甲、乙、合作），竖排为效率、时间、工作量。 3. 等量关系： · 甲工作量 + 乙工作量 = 1 · 甲先做若干天，再合作完成剩余。 4. 分式方程：设时间为未知数，效率为 \frac{1}{时间}。 5. 检验：时间、效率为正，且分式方程分母不为0。 破类题·提能力 22．（25-26九下·北京师达中学·阶段学情自测）我国首台千万亿次超级计算机“天河一号”现在安装的是由我国自行设计制造的“飞腾”计算机中央处理器（CPU）芯片．据了解，安装“飞腾”芯片后，“天河一号”的运算速度将在原来的基础上提速，达到每秒1200万亿次．已知一项复杂的运算任务在安装“飞腾”芯片后比安装前使用其他芯片快10分钟，请算出“天河一号”以现在的运算速度完成这项任务需多长时间． 【答案】“天河一号”以现在的运算速度完成这项任务需50分钟时间 【详解】解：设以现在的运算速度完成这项任务需x分钟． ， 解得． 答：“天河一号”以现在的运算速度完成这项任务需50分钟时间． 23．（2025·北京海淀·二模）某公园计划设计草地与儿童乐园的占地面积比为，但在实际建设中，根据场地条件，将草地的场地分给儿童乐园，此时草地与儿童乐园的占地面积比变为． (1)该公园中草地与儿童乐园的总占地面积是多少平方米？ (2)甲队先开始工作 30 天，独自完成了儿童乐园的修建，接着甲队和乙队共同修建草地，此时甲、乙两队的工作效率比为．甲、乙两队总共需要多少天可以完成公园的全部修建工作？ 【答案】(1) (2)80 【详解】（1）解：根据草地与儿童乐园的占地面积比为， 设草地的面积为，儿童乐园的面积为， 根据题意，得， 解得， 故总面积为． （2）解：根据题意，草地的面积为，儿童乐园的面积为， 由甲队先开始工作 30 天，独自完成了儿童乐园的修建， 得到甲的工作速度为， 又甲、乙两队的工作效率比为， 故乙队的工作速度为， 根据题意，得（天）， 故（天）． 答：甲、乙两队总共需要80天可以完成公园的全部修建工作． 24．（2026·北京东直门中学·一模）列方程解决问题：故宫文物医院（故宫博物院文保科技部）传承了历史悠久的传统文物修复技艺，半个多世纪以来，许多国宝在这里得以延年益寿，文物修复师们计划用30个月完成某件文物的修复工作．如果让一名文物修复师单独修复该文物，需要720个月完成．假设每名文物修复师的工作效率相同，先由16名文物修复师一起修复了10个月，还需要增加多少名文物修复师才能按时完成修复工作？ 【答案】还需要增加12名文物修复师才能按时完成修复工作 【详解】解：设还需要增加名文物修复师才能按时完成修复工作， 由题意得：， 解得：， 答：还需要增加12名文物修复师才能按时完成修复工作． 25．（2025·北京第二十中学·模拟）宇树科技的机器人接到一项紧急任务：在4小时内处理完1000条生产数据，以确保智能工厂生产线的高效运行．有两种工作模式：常规模式每小时能处理200条数据，增强模式每小时能处理300条数据．为了优化能耗，工程师让先以常规模式工作一段时间，再切换到增强模式．最终刚好在4小时内完成了全部任务．问：机器人在常规模式和增强模式下各工作了多少小时？ 【答案】在常规模式工作了2小时，在增强模式下工作了2小时 【详解】解：设机器人在常规模式工作了小时，则在增强模式下工作了小时， 由题意得，， 解得：， 则， 答：机器人在常规模式工作了2小时，在增强模式下工作了2小时． （建议用时：45分钟） 刷模拟 1．（2026·北京朝阳·一模）解不等式组：． 【答案】 【来源】2026年北京市朝阳区中考一模考试数学试题 【分析】分别解两个不等式，再取它们解集的公共部分，就是不等式组的解集． 【详解】解：原不等式组为， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 故原不等式组的解集为． 2．（2026·北京大兴·一模）解不等式组：． 【答案】 【来源】2026年北京市大兴区中考一模考试数学试题 【分析】分别求解每个不等式，然后取它们的解集的公共部分即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 则不等式组的解集为． 3．（2026·北京顺义·一模）解不等式组：． 【答案】 【来源】2026年北京市顺义区九年级一模数学试卷 【分析】分别解两个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定该不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，可得 ， 解不等式②，可得 ， 所以，该不等式组的解集为． 4．（2026·北京丰台·一模）解不等式组： 【答案】 【来源】北京市丰台区2026年中考一模考试数学试题 【详解】解： 解不等式①，得， 解得：． 解不等式②，得， 解得：． ∴原不等式组的解集为． 5．（2026·北京石景山·一模）解不等式组：． 【答案】 【来源】北京市石景山区2026年九年级统一练习（一模）数学 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，先分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的公共解集即可． 【详解】解：, 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为． 6．（2026·北京顺义·一模）中国结是中国传统的手工编织工艺品．小明编织了一个中国结，如图所示，该中国结由挂绳、结体、流苏三部分构成，其中结体内部的形状是四边形，外侧是环状的耳翼．已知挂绳高、结体内部高、流苏高的比例是，左、右两侧的耳翼宽都是，结体内部高和结体内部宽相等，总高是总宽的1.5倍，求该中国结的总高． 【答案】 【来源】2026年北京市顺义区九年级一模数学试卷 【分析】设挂绳高、结体内部高、流苏高分别为，，，则该中国结的总高为，根据题意易得结体总宽为，再根据“总高是总宽的1.5倍”建立关于的方程，求解即可获得答案． 【详解】解：设挂绳高、结体内部高、流苏高分别为，，， 则该中国结的总高为， ∵结体内部高和结体内部宽相等，左、右两侧的耳翼宽都是， ∴结体总宽为， 又∵总高是总宽的1.5倍， ∴， 解得， ∴， 即该中国结的总高为． 7．（2026·北京丰台·一模）用一张长为，宽为的矩形纸板制作长方体包装盒（纸板厚度忽略不计）．图1为包装盒裁剪设计图，包含盒体、带有插舌的盒盖、翼盖，以及用于粘贴的粘口，其中插舌宽和粘口宽相等．沿图中实线剪开，按虚线折叠，经过粘贴制成如图2所示的包装盒，其上下底面均为正方形，高与底面边长的比为．求包装盒的高． 【答案】包装盒的高为 【来源】北京市丰台区2026年中考一模考试数学试题 【分析】根据题意可设包装盒高为，底面边长为，再根据图列出方程求解即可． 【详解】解：∵高与底面边长的比为， ∴设包装盒高为，底面边长为． 由图可得， 解得， ∴． 答：包装盒的高为． 8．（2026·北京大兴·一模）每年五月，世界级月季名园——大兴世界月季主题园迎来花海盛宴，景致怡人．某学校组织师生到该园区开展综合实践活动．经了解，园区门票原价为60元/人，网络平台购票按原价八折优惠．此次参与活动的学生人数比教师人数的10倍多4人，全体师生按原价购票比按网络平台购票多花费972元． (1)此次参加活动的教师与学生各有多少人？ (2)若网络平台另有双人票88元的优惠方式，相比全部按门票原价八折购票，最多能节省______元． 【答案】(1) 此次参加活动的教师有7人，学生有74人. (2) 320 【来源】2026年北京市大兴区中考一模考试数学试题 【分析】（1）设参加活动的教师有人，根据“全体师生按原价购票比按网络平台购票多花费972元”列方程求解即可； （2）分别计算出两种方式的费用，然后求出差额即可； 【详解】（1）解：设参加活动的教师有人，则参加活动的学生有人， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：此次参加活动的教师有7人，学生有74人； （2）解：采用双人票与单人票组合的购买方式，总费用为（元）， 全部按门票原价八折购票需要（元）， ∴网络平台另有双人票88元的优惠方式，相比全部按门票原价八折购票，最多能节省（元）． 9．（2026·北京石景山·一模）随着智慧物流的发展，全自动化的物流机器人系统大大提升了物流园区的包裹流转速度．某公司用A，B两台不同型号的机器人分拣物流仓库的包裹．已知A机器人每小时可分拣1.8万件包裹，B机器人每小时可分拣1.2万件包裹，两台机器人同时开始分拣工作，A机器人比B机器人提前1小时结束，发现B机器人分拣的包裹总量是A机器人分拣的包裹总量的2倍．求A机器人分拣的包裹总量． 【答案】0.9万件 【来源】北京市石景山区2026年九年级统一练习（一模）数学 【分析】设A机器人分拣的包裹总量为万件，则B机器人分拣的包裹总量为万件，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设A机器人分拣的包裹总量为万件，则B机器人分拣的包裹总量为万件， 由题意可得：， 解得：， ∴A机器人分拣的包裹总量为0.9万件． 10．（2026·北京昌平·一模）油纸伞制作技艺是中国国家级非物质文化遗产，凝聚着传统工匠的智慧．油纸伞的主要骨架是由短伞骨，长伞骨及伞柄构成，油纸伞完全撑开后，其示意图如图所示．已知短伞骨长度与长伞骨长度之比为，短伞骨与长伞骨连接点恰为长伞骨的三等分点，伞柄长度是长伞骨长度的倍，伞柄顶端到支撑点的距离等于，支撑点到伞柄底端的距离比短伞骨长度多．求这个油纸伞的伞柄长． 【答案】 【来源】北京市昌平区2026年九年级第一次统一练习 数学试卷 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先理解题意，结合短伞骨长度与长伞骨长度之比为，设短伞骨长度为，则长伞骨长度为，又因为伞柄长度是长伞骨长度的倍，伞柄顶端到支撑点的距离等于，支撑点到伞柄底端的距离比短伞骨长度多，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设短伞骨长度为， 则长伞骨长度为， 依题意，得， 解得， ∴． 答：这个油纸伞的伞柄长． 11．（2026·北京通州·一模）北京城市副中心日新月异、蓬勃发展，这里既有古韵悠长的燃灯古塔，也有现代气派的“三大建筑”．为更好地宣传家乡，数学课堂上，教师组织学生为家乡设计长方形旅游宣传牌．如图1所示，该宣传牌长，宽，计划在牌面均匀绘制幅大小相同的画作，内容可涵盖本地景点、美食、人文风貌等，以此展现城市魅力，讲好家乡故事．要求如下：图1中四周空白部分的宽度相等，宽度均为；为了美观，将设计部分分成大小相等的上、中、下三个长方形栏目，如图2，栏目与栏目之间的中缝间距相等，相邻中缝间距均为；在每个长方形栏目划出大小相同的正方形方格，如图3，中间有十字间隔，横向两行中间间隔和竖向中间间隔宽度比为．求图3中小正方形的边长． 【答案】小正方形的边长为 【来源】北京市通州区2026年初中学业水平模拟考试（一模）数学 【分析】先表示出图中小长方形的宽和长，再根据图中小正方形的边长列方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知，图中小长方形的宽为，长为． 横向两行中间间隔和竖向中间间隔宽度比为， 设横向两行中间间隔为，则竖向中间间隔宽度为． 根据题意，得：， 解得， ． 答：小正方形的边长为． 12．（2026·北京平谷·一模）榫卯结构体现了中国“和”的思想，一凹一凸之间达到巧妙平衡，互补对方之缺，使建筑和家具等物品拥有统一的美学特征．槽口榫（图1）是最基本、最简单的榫卯连接之一．凸出的部分叫做榫头，凹进部分叫榫槽．常用于柜子的背板与面板的连接等非承重结构．下图2为槽口榫中一部分榫身的平面图，已知榫身长榫头长，榫头长榫头宽，榫身宽榫头宽，榫身长与榫头长之和为，求此面的表面积． 【答案】 【来源】北京平谷区2026年初中学业水平考试综合练习（一）数学试卷 【分析】设榫头长为，则榫身长为，根据榫身长与榫头长之和为求出的值，进而根据比例关系求出各边长，再利用长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设榫头长为， 榫身长榫头长， 榫身长为， 榫身长与榫头长之和为， ， 解得， 榫头长为，则榫身长为， 榫头长榫头宽， 榫头宽为， 榫身宽榫头宽， 榫身宽为， 此面的表面积为：． 13．（2026·北京西城·统一测试）竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图1，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图2，已知短竹节长与长竹节长的比为，竹节人的头长与上身长的比为，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度． 【答案】这个竹节人的总高度为 【来源】2026年北京市西城区九年级统一测试试卷 数学 【分析】设竹节人的头长为，根据线段之间的数量关系，表示出相关线段的长度，列方程求解即可． 【详解】解：设竹节人的头长为，则它的上身长为，头宽为，下身长为． 依题意，得． 解得． 所以． 答：这个竹节人的总高度为． 14．（2026·北京十三中分校·零模）随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重．某汽车前轮轮胎在行驶6万公里时报废，后轮轮胎在行驶8万公里时报废，每个新轮胎报废时的总磨损量为1．（轮胎的磨损量等于汽车行驶的单位路程的磨损量乘以汽车行驶的路程） (1)若每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则安装在前轮的轮胎每行驶1万公里的磨损量为_____； (2)若在轮胎使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，请问行驶多少万公里后交换前后轮继续行驶，可使两对轮胎同时报废，并判断报废时行驶里程是否能达到万公里． 【答案】(1) (2)行驶万公里后交换，可使两对轮胎同时报废，报废时行驶里程能达到万公里． 【来源】2026年北京市第十三中学分校九年级4月模拟 九年级 数学试卷（零模） 【分析】（1）根据汽车前轮轮胎报废的里程和总磨损量可得答案； （2）设行驶x万公里后交换前后轮，两对轮胎同时报废时总行驶里程为y万公里，根据两对轮胎同时报废，且报废时两对轮胎的磨损量均为1，可列出二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵每个新轮胎报废时的总磨损量为1，且前轮轮胎在行驶6万公里时报废， ∴安装在前轮的轮胎每行驶1万公里的磨损量为； （2）解：设行驶x万公里后交换前后轮，两对轮胎同时报废时总行驶里程为y万公里， 由题意得，， 解得， ， 答：行驶万公里后交换，可使两对轮胎同时报废，报废时行驶里程能达到万公里． 15．（2026·北京汇文中学·中考模拟）某商业区内矩形停车场（平面图如图所示）有A、B、C三个矩形停车区域和南北方向，东西方向各两条行车道．停车区域的东西方向宽度相同，南北方向宽度分别为a米、米、a米，行车道宽度相同．所有停车区域进行地面刷漆施工，面积为1000平方米，在停车区域内划完全相同的矩形车位（不留间隙），车位南北方向边长为a米，东西方向边长为2.5米． (1)①求行车道的宽度； ②直接写出a的值是______：车位数量为______个； (2)在试营业期间停车场实行按天收费，调查发现，按照每个车位每天收费12元的标准实施时，车位全部被租完，当停车费每上涨1元时，出租车位的数量将减少5个．设停车费上涨x元（x为正整数），停车场当天收费总金额为w元，求停车场当天收费总金额的最大值． 【答案】(1)①5米；②5，80 (2)980元 【来源】北京市汇文中学2025-2026学年九年级下学期4月中考模拟数学试卷 【详解】（1）解：①设行车道的宽度为米， 由题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：行车道的宽度为5米． ②由题意得：， 解得， 车位数量为（个）． （2）解：由题意得：， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为980元． 答：停车场当天收费总金额的最大值为980元． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程（组）与不等式及其应用 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 2024年和2025年的第18题均为5分的中档题，学生需要熟练掌握去分母、移项等步骤，并能在数轴上准确表示解集。· 第21题（2024）：从环保真实数据中提炼模型，考查二元/多元方程组在实际中的应用，提升了难度。 · 第22题（2025）：融合对工艺制作的深入分析、传统文化的理解（风筝制作）和体育健康数据的解读，全方位考查同一题中多个知识点的综合运用。 命题趋势：从"纯工具解法"到"真实问题解决"的深刻转变。解方程与不等式作为基本技能必须牢牢掌握，但其价值最终要在解决"方程与不等式的实际应用"题中兑现，后者将全面考查大家的抽象能力、模型观念和应用意识。 2026年预测：不再仅要求"解不等式组"，可能新增根据给定范围进行方案选择或最值判断。解不等式组（融合最值/方案选择） ⬅ 关键变动点 方程与不等式综合应用题（最优化设计） ⬅ 新增融合点突破融合："用不等式划定范围，用方程精准求解" 题型01解不等式组 析典例·建模型 1．（24-25九下·北京理工附中·月考）解不等式组： 研考点·通技法 去分母，去括号，移项合并要仔细； 除以负数反向记，数轴画准不费力； 大大取大小小取小，大小小大中间找； 整数组解需枚举，融合应用别心焦。 破类题·提能力 2．（2026·北京人大附中·一模）解不等式组：． 3．（2025·北京海淀·人大附中零模）解不等式组： 4．（25-26九下·北京北师大附中·月考）解不等式组： 5．（25-26九下·北京四中·学情自测）解不等式组：． 题型02 应用题行程问题 析典例·建模型 6．（2024·北京丰台·一模）小刚对诗仙李白的诗作《早发白帝城》中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的说法产生疑问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗?小刚经过查阅资料得知，白帝城是现今的重庆奉节，而江陵是现今的湖北荆州．假设李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度约为，从宜昌到荆州的速度约为．从奉节到荆州的水上距离约为．经过分析资料，小刚发现从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多．根据小刚的假设，回答下列问题： (1)奉节到宜昌的水上距离是多少？ (2)李白能在一日（）之内从白帝城到达江陵吗？说明理由． 研考点·通技法 1. 画线段图：将运动过程可视化，标注已知量和未知量。 2. 统一单位：速度、时间、路程单位必须一致（如km/h、h、km）。 3. 设关键量：通常设速度或时间为未知数。 4. 找等量关系： · 相遇：两者运动时间相等，路程和等于总距离。 · 追及：快者运动时间 = 慢者运动时间 + 提前时间？注意追及时两者运动时间往往相等（从开始追到追上），路程差等于初始距离。 · 环形跑道：同向追及时，路程差为圈长；反向相遇时，路程和为圈长。 5. 分式方程防增根：若出现分式，解后必须检验分母不为0且符合实际（速度、时间非负）。 破类题·提能力 7．（2024·北京平谷·一模）我国古代数学著作《九章算术》里记载了这样一个有趣的问题：“今有善行者行100步，不善行者60步．今不善行者先行100步，善行者追之，问几何步追之？”其意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走了60步，现在走路慢的人先走100步，走路快的人去追他，问走路快的人走多少步能够追上他？请你解决该问题． 8．（2024·北京广渠门中学·二模）京雄高速北京段于2023年12月31日全线贯通．通车后、由西南五环至雄安新区可实现1小时通达，比原来节省了30分钟．小东爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走27．5千米，如果平均车速比原来每小时多走17千米，正好和设计相符，通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是多少？ 9．（2025·北京丰台·二模）2024年12月29日，“”动车组样车在北京发布，标志着“科技创新工程”取得重大突破．北京南站与上海虹桥站之间的铁路长约为，若“”动车投入使用后，某日上午，“”、“复兴号”两辆动车同时分别从北京南站、上海虹桥站出发，相向而行，匀速行驶，当日上午相遇．此后，“复兴号”动车的速度提升了，当日12：30到达北京南站．若“”动车的速度不变，则“”动车当日12：00前是否可以到达上海虹桥站，并说明理由． 10．（2025·北京大兴·一模）列方程解应用题 小华一家驾驶某款新能源汽车外出游玩，去时选择普通公路，返回时选择高速公路．走普通公路比高速公路的路程多60公里，这款新能源汽车在普通公路上行驶平均每百公里耗电20度，在高速公路上行驶比普通公路上行驶平均每百公里耗电增加，该车选择的充电站充电综合电费均为元/度．最终发现走普通公路的电费比高速公路的电费少15元，求返回时所走高速公路的路程． 题型03 应用题销售利润 析典例·建模型 11．（2025·北京·中考）年，为加力支持消费者购买绿色智能家电，增添绿色消费新动力，北京市商务局发布了《北京市加力支持家电以旧换新补贴实施细则》，补贴期间，对在京个人消费者购买一级和二级能效(水效)的冰箱(含冰柜)、洗衣机(含洗烘一体机)、电视、空调、电脑(含学习机)、热水器(含壁挂炉)、家用灶具(含集成灶)、吸油烟机等类家电产品予以以旧换新补贴．补贴标准：一级能效(水效)的家电产品，按照产品销售价格的给予补贴；二级能效(水效)的家电产品，按照产品销售价格的给予补贴，每位消费者每类产品可补贴件，每件补贴不超过元． 已知在补贴期间，一位顾客购买了一台一级能效的电脑和一台二级能效的洗衣机，共花费元，比补贴前便宜了元，若顾客只购买一台电脑，则花费比补贴前便宜多少元？ 研考点·通技法 1. 分清进价、标价、售价、利润、利润率。 2. 设未知数策略：题目问什么往往设什么，也可设成本或数量。 3. 等量关系常见形式： · 总利润 = 单件利润 × 销量 · 总销售额 = 单价 × 销量 · 利润率 = 利润/进价 4. 注意“降价/涨价”对销量的影响：如“每降价1元，多卖2件” → 设降价 x 元，则新单价=原价-x，新销量=原销量+2x。 5. 分式方程：如“打折后利润率为20%”列方程，注意分母不为0。 破类题·提能力 12．（2025·北京三帆中学·三模）我校学生会正在策划一次儿童福利院的慰问活动．为了筹集到600元活动资金，学生会计划定制一批穿校服的毛绒小熊和带有校徽图案的钥匙扣，表格中有这两种商品的进价和售价．另外，若将一个小熊和一个钥匙扣组成一份套装出售，则将售价打九折． 小熊 钥匙扣 套装 进价 13 3 售价 16 4 购买意向占比 (1)出售一份套装可获得的利润是______元； (2)为了更好的制定进货方案，学生会利用抽样调查的方式统计了校内学生对商品购买意向的百分比情况（见表格），若按照这个百分比情况定制商品，至少分别定制小熊和钥匙扣各多少个，才能筹集到600元资金（即获得600元利润）？ 13．（2025·北京大兴·二模）列方程（组）解应用题： 五一期间，在“国家补贴+商场直降”双重优惠推动下，消费者家电换新需求得到充分激活．国家补贴政策是购买两款空调均可享受原价的国家补贴；商场促销规则是购买空调的原价不低于4000元时，享受国家补贴后商场再直降500元，购买空调原价低于4000元时，只享受国家补贴．已知款空调原价（高于4000元）比款空调原价（低于4000元）的2倍少300元．若按此销售规则购买一台款空调比一台款空调多花1500元，购买一台款空调和一台款空调与原价比共节省多少元？ 14．（2025·北京怀柔·二模）列方程或方程组解应用题： 周末小明和爸爸准备一起去商场购买一些茶壶和一些茶杯，了解情况后发现甲、乙两家商场都在出售两种同样品牌的茶壶和茶杯，定价相同，茶壶每把定价30元，茶杯每只定价5元，且两家都有优惠．甲商场买一送一大酬宾（买一把茶壶送一只茶杯）；乙商场全场九折优惠．小明的爸爸需茶壶5把，茶杯若干只（不少于5只）．当去两家商场付款一样时，求需要购买茶杯的数量． 15．（25-26九下·北京四中·学情自测）现在是互联网时代，微商小王一次购进了一种时令水果，前两天他以每千克高于进价的价格卖出，第三天他发现网上卖该种水果的商家陡增，于是他果断将剩余的该种水果在前两天的售价基础上打折全部售出，最后他卖该种水果获得元的利润，求这批水果的进价为多少元． 题型04 应用题几何问题 析典例·建模型 16．（2024·北京顺义·二模）羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛，也可以进行双打比赛，下图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为，场地的长比宽的2倍还多包含分界线宽，单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）间的距离之比是．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离． 研考点·通技法 1. 画图标注：在图上标出已知边长、未知数。 2. 利用几何公式· 3. 注意单位统一。 4. 检验解的合理性：边长、距离必须为正数，且满足几何约束（如三角形两边之和大于第三边）。 破类题·提能力 17．（2024·北京房山·一模）在房山区践行“原色育人，生态发展”教育发展理念的引领下，某校为提升实践育人实效，积极组织学生建设劳动基地，参与校园种植活动．计划在校园内一块矩形的空地上开垦两块完全相同的矩形菜园，如图所示，已知空地长米，宽米，矩形菜园的长与宽的比为，并且预留的上、中、下、左、右通道的宽度相等，那么预留通道的宽度和矩形菜园的宽分别是多少米？ 18．（2024·北京海淀·一模）下图是某房屋的平面示意图．房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖．将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费1270元．若每平方米木地板与瓷砖的价格之比是，求每平方米木地板和瓷砖的价格．    19．（2026年北京市八一教育集团九年级零模）赛龙舟是中国端午节的传统习俗，也是国家级非物质文化遗产．某校手工社团准备制作一件木制龙舟模型（如图所示），该模型由“龙头”、“船身”、“龙尾”三部分整体排成一条直线组成．已知龙头的长度与龙尾的长度之比是，船身的长度比龙尾长度的4倍还多．为了还原真实感，模型还配备了一根主桅杆和若干船桨．已知单根船桨的长度比龙尾的2倍少．在拼装时同学们发现，这艘龙舟模型的总长（龙头、船身与龙尾的长度之和．恰好比单根船桨长度的4倍多．则该龙舟模型的总长度是多少？ 20．（2024·北京昌平·二模）如图，初三年级准备制作一个长的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距，试求横幅字距是多少？ 题型05 应用题工程问题 析典例·建模型 21．（2025·北京西城·二模）南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 研考点·通技法 1. 把总量设为1（若未给出具体数值）。 2. 列表格：横排按工作阶段（甲、乙、合作），竖排为效率、时间、工作量。 3. 等量关系： · 甲工作量 + 乙工作量 = 1 · 甲先做若干天，再合作完成剩余。 4. 分式方程：设时间为未知数，效率为 \frac{1}{时间}。 5. 检验：时间、效率为正，且分式方程分母不为0。 破类题·提能力 22．（25-26九下·北京师达中学·阶段学情自测）我国首台千万亿次超级计算机“天河一号”现在安装的是由我国自行设计制造的“飞腾”计算机中央处理器（CPU）芯片．据了解，安装“飞腾”芯片后，“天河一号”的运算速度将在原来的基础上提速，达到每秒1200万亿次．已知一项复杂的运算任务在安装“飞腾”芯片后比安装前使用其他芯片快10分钟，请算出“天河一号”以现在的运算速度完成这项任务需多长时间． 23．（2025·北京海淀·二模）某公园计划设计草地与儿童乐园的占地面积比为，但在实际建设中，根据场地条件，将草地的场地分给儿童乐园，此时草地与儿童乐园的占地面积比变为． (1)该公园中草地与儿童乐园的总占地面积是多少平方米？ (2)甲队先开始工作 30 天，独自完成了儿童乐园的修建，接着甲队和乙队共同修建草地，此时甲、乙两队的工作效率比为．甲、乙两队总共需要多少天可以完成公园的全部修建工作？ 24．（2026·北京东直门中学·一模）列方程解决问题：故宫文物医院（故宫博物院文保科技部）传承了历史悠久的传统文物修复技艺，半个多世纪以来，许多国宝在这里得以延年益寿，文物修复师们计划用30个月完成某件文物的修复工作．如果让一名文物修复师单独修复该文物，需要720个月完成．假设每名文物修复师的工作效率相同，先由16名文物修复师一起修复了10个月，还需要增加多少名文物修复师才能按时完成修复工作？ 25．（2025·北京第二十中学·模拟）宇树科技的机器人接到一项紧急任务：在4小时内处理完1000条生产数据，以确保智能工厂生产线的高效运行．有两种工作模式：常规模式每小时能处理200条数据，增强模式每小时能处理300条数据．为了优化能耗，工程师让先以常规模式工作一段时间，再切换到增强模式．最终刚好在4小时内完成了全部任务．问：机器人在常规模式和增强模式下各工作了多少小时？ （建议用时：45分钟） 刷模拟 1．（2026·北京朝阳·一模）解不等式组：． 2．（2026·北京大兴·一模）解不等式组：． 3．（2026·北京顺义·一模）解不等式组：． 4．（2026·北京丰台·一模）解不等式组： 5．（2026·北京石景山·一模）解不等式组：． 6．（2026·北京顺义·一模）中国结是中国传统的手工编织工艺品．小明编织了一个中国结，如图所示，该中国结由挂绳、结体、流苏三部分构成，其中结体内部的形状是四边形，外侧是环状的耳翼．已知挂绳高、结体内部高、流苏高的比例是，左、右两侧的耳翼宽都是，结体内部高和结体内部宽相等，总高是总宽的1.5倍，求该中国结的总高． 7．（2026·北京丰台·一模）用一张长为，宽为的矩形纸板制作长方体包装盒（纸板厚度忽略不计）．图1为包装盒裁剪设计图，包含盒体、带有插舌的盒盖、翼盖，以及用于粘贴的粘口，其中插舌宽和粘口宽相等．沿图中实线剪开，按虚线折叠，经过粘贴制成如图2所示的包装盒，其上下底面均为正方形，高与底面边长的比为．求包装盒的高． 8．（2026·北京大兴·一模）每年五月，世界级月季名园——大兴世界月季主题园迎来花海盛宴，景致怡人．某学校组织师生到该园区开展综合实践活动．经了解，园区门票原价为60元/人，网络平台购票按原价八折优惠．此次参与活动的学生人数比教师人数的10倍多4人，全体师生按原价购票比按网络平台购票多花费972元． (1)此次参加活动的教师与学生各有多少人？ (2)若网络平台另有双人票88元的优惠方式，相比全部按门票原价八折购票，最多能节省______元． 9．（2026·北京石景山·一模）随着智慧物流的发展，全自动化的物流机器人系统大大提升了物流园区的包裹流转速度．某公司用A，B两台不同型号的机器人分拣物流仓库的包裹．已知A机器人每小时可分拣1.8万件包裹，B机器人每小时可分拣1.2万件包裹，两台机器人同时开始分拣工作，A机器人比B机器人提前1小时结束，发现B机器人分拣的包裹总量是A机器人分拣的包裹总量的2倍．求A机器人分拣的包裹总量． 10．（2026·北京昌平·一模）油纸伞制作技艺是中国国家级非物质文化遗产，凝聚着传统工匠的智慧．油纸伞的主要骨架是由短伞骨，长伞骨及伞柄构成，油纸伞完全撑开后，其示意图如图所示．已知短伞骨长度与长伞骨长度之比为，短伞骨与长伞骨连接点恰为长伞骨的三等分点，伞柄长度是长伞骨长度的倍，伞柄顶端到支撑点的距离等于，支撑点到伞柄底端的距离比短伞骨长度多．求这个油纸伞的伞柄长． 11．（2026·北京通州·一模）北京城市副中心日新月异、蓬勃发展，这里既有古韵悠长的燃灯古塔，也有现代气派的“三大建筑”．为更好地宣传家乡，数学课堂上，教师组织学生为家乡设计长方形旅游宣传牌．如图1所示，该宣传牌长，宽，计划在牌面均匀绘制幅大小相同的画作，内容可涵盖本地景点、美食、人文风貌等，以此展现城市魅力，讲好家乡故事．要求如下：图1中四周空白部分的宽度相等，宽度均为；为了美观，将设计部分分成大小相等的上、中、下三个长方形栏目，如图2，栏目与栏目之间的中缝间距相等，相邻中缝间距均为；在每个长方形栏目划出大小相同的正方形方格，如图3，中间有十字间隔，横向两行中间间隔和竖向中间间隔宽度比为．求图3中小正方形的边长． 12．（2026·北京平谷·一模）榫卯结构体现了中国“和”的思想，一凹一凸之间达到巧妙平衡，互补对方之缺，使建筑和家具等物品拥有统一的美学特征．槽口榫（图1）是最基本、最简单的榫卯连接之一．凸出的部分叫做榫头，凹进部分叫榫槽．常用于柜子的背板与面板的连接等非承重结构．下图2为槽口榫中一部分榫身的平面图，已知榫身长榫头长，榫头长榫头宽，榫身宽榫头宽，榫身长与榫头长之和为，求此面的表面积． 13．（2026·北京西城·统一测试）竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图1，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图2，已知短竹节长与长竹节长的比为，竹节人的头长与上身长的比为，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度． 14．（2026·北京十三中分校·零模）随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重．某汽车前轮轮胎在行驶6万公里时报废，后轮轮胎在行驶8万公里时报废，每个新轮胎报废时的总磨损量为1．（轮胎的磨损量等于汽车行驶的单位路程的磨损量乘以汽车行驶的路程） (1)若每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则安装在前轮的轮胎每行驶1万公里的磨损量为_____； (2)若在轮胎使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，请问行驶多少万公里后交换前后轮继续行驶，可使两对轮胎同时报废，并判断报废时行驶里程是否能达到万公里． 15．（2026·北京汇文中学·中考模拟）某商业区内矩形停车场（平面图如图所示）有A、B、C三个矩形停车区域和南北方向，东西方向各两条行车道．停车区域的东西方向宽度相同，南北方向宽度分别为a米、米、a米，行车道宽度相同．所有停车区域进行地面刷漆施工，面积为1000平方米，在停车区域内划完全相同的矩形车位（不留间隙），车位南北方向边长为a米，东西方向边长为2.5米． (1)①求行车道的宽度； ②直接写出a的值是______：车位数量为______个； (2)在试营业期间停车场实行按天收费，调查发现，按照每个车位每天收费12元的标准实施时，车位全部被租完，当停车费每上涨1元时，出租车位的数量将减少5个．设停车费上涨x元（x为正整数），停车场当天收费总金额为w元，求停车场当天收费总金额的最大值． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $