直线与圆锥曲线的位置关系 课件——2027届高三数学一轮复习

直线与圆锥曲线的位置关系 1.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与圆锥曲线的位置关系有　　　　　、　　　　　、　　　　　;相交有两个交点(特殊情况除外),相切有一个交点,相离无交点.  (2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0代入圆锥曲线C的方程.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0). ①当a≠0时,可考虑一元二次方程的判别式Δ,Δ>0时,直线l与曲线C　　　　;Δ=0时,直线l与曲线C　　　　　;Δ<0时,直线l与曲线C　　　　　.  ②当a=0时,即得到一个一次方程,则l与C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则直线l与双曲线的　　　　　　平行;若C为抛物线,则直线l与抛物线的 　　　　　平行或重合.  相交 相切 相离 相交 相切 相离 渐近线 对称轴 2.圆锥曲线的弦长公式 设斜率为k(k≠0)的直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|=_______________________　　　　　　　　　　 或|AB|=|y1-y2|=　　　　 　　　　　　.  3.中点弦问题 (1)利用根与系数的关系:将直线方程与圆锥曲线的方程联立,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解,注意不能忽视对判别式的讨论. (2)点差法:若直线l与圆锥曲线有两个交点A,B,一般地,首先设出A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x0,y0),直线AB的斜率k,将点A,B代入圆锥曲线的方程,两式相减,整理得(分别以=1(a>b>0),=1(a>0,b>0), y2=2px(p>0)为例),椭圆中k=-;双曲线中k=;抛物线中k=. [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线与圆锥曲线的三种位置关系:相离、相切、相交.(　　) (2)过点(1,)的直线一定与椭圆+y2=1相交.(　　) (3)“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C只有一个公共点”.(　　) (4)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.(　　) √ √ × 解析 当“直线l与双曲线C只有一个公共点”成立时,则与渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点或者直线l与双曲线相切有一个交点. × 解析 直线与抛物线的对称轴平行或重合时也只有一个交点. 2.(苏教选一教材习题改编)直线y=kx+2与椭圆=1有且只有一个交点,则k的值是(　　) A. B.- C.± D.± C 解析 由得(2+3k2)x2+12kx+6=0, 由题意知Δ=(12k)2-4×6×(2+3k2)=0,解得k=±故选C. 3.已知直线l:y=x-1与抛物线y2=4x交于A,B两点,则线段AB的长是(　　) A.2 B.4 C.8 D.16 C 解析 联立消去y并整理得x2-6x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1x2=1,所以|AB|==8. 4.(人A选一教材习题改编)已知点A,B是双曲线C:=1上的两点,线段AB的中点是M(3,2),则直线AB的斜率为(　　) A. B. C. D. D 解析(方法一)设A(x1,y1),B(x2,y2),∵点A,B是双曲线C上的两点,=1, =1,两式相减得M(3,2)是线段AB的中点,∴x1+x2=6,y1+y2=4,,∴kAB=故选D. (方法二)由kAB·kOM=,得kAB=故选D. 5.已知抛物线C:y2=4x,经过点P的任意一条直线与C均有公共点,则点P的坐标可以为(　　) A.(0,1) B.(1,-3) C.(3,4) D.(2,-2) D 解析 将选项中的点及抛物线分别在直角坐标系中画出来,只有点D(2,-2)在抛物线内部,故当点P位于点D(2,-2)时经过点P的任意一条直线与C均相交,即与C均有公共点.故选D. 6.抛物线C:y2=4x的准线为l,l与x轴交于点A,过点A作抛物线的一条切线,切点为B,则△OAB的面积为(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 A 解析 由题得,准线l的方程为x=-1,A(-1,0),结合抛物线的对称性,不妨设过点A作抛物线的一条切线为x=my-1,m>0,由得y2-4my+4=0,所以Δ=(-4m)2-4×4=0,解得m=1,所以y2-4y+4=0,解得y=2,即yB=2,所以△OAB的面积为1×2=1.故选A. 研考点•精准突破 考点一　直线与圆锥曲线的位置关系 例1　(1)(2025·江西期末)直线=1与椭圆=1(a>b>0)的位置关系为(　　) A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 C 解析 因为直线=1过点(a,0),(0,b),而(a,0),(0,b)为椭圆=1(a>b>0)的右端点和上端点,故直线=1与椭圆=1(a>b>0)相交.故选C. 考点一 考点二 考点三 考点四 教材衍展 (2)(2024·北京,13)若直线y=k(x-3)与双曲线-y2=1只有一个公共点,则k的一个取值为　　 　　.  (或-) 解析 由题意,知该双曲线的渐近线方程为y=±x,直线y=k(x-3)过定点(3,0).因为点(3,0)在双曲线内,所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点,则该直线与双曲线的渐近线平行,所以k=±(任答一个即可). 考点一 考点二 考点三 考点四 教材衍展 教考衔接 (人A选一教材习题)已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点,求k的取值范围. 解 消去y得(1-k2)x2+2kx-5=0. 由题知此方程无解. 当1-k2=0时,即k=±1,此时有解,不符合题意,所以1-k2≠0. 由解得k>或k<- 所以k的取值范围为(-∞,-)∪(,+∞). 考点一 考点二 考点三 考点四 教材衍展 点评:这两道题相似度极高,是源于教材的典型的高考题,均考查直线与双曲线的位置关系问题. 考点一 考点二 考点三 考点四 教材衍展 规律方法　直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法 考点一 考点二 考点三 考点四 教材衍展 [对点训练1](2025·天津二模)“k=”是“直线y=kx+1与抛物线y2=2x只有一个公共点”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A 解析 若直线y=kx+1与抛物线y2=2x只有一个公共点,则方程(kx+1)2=2x只有一个解,即方程k2x2+(2k-2)x+1=0只有一个解, 当k=0时,-2x+1=0恒有一个解; 当k≠0时,(2k-2)2-4k2=0,得k=,此时方程只有一个解.即直线y=kx+1与抛物线y2=2x只有一个公共点,可得k=0或k=故“k=是“直线y=kx+1与抛物线y2=2x只有一个公共点”的充分不必要条件,故选A. 考点一 考点二 考点三 考点四 教材衍展 考点二　弦长问题 例2　(1)(2025·福建泉州期末)过椭圆C:=1的一个焦点作x轴的垂线l,若l交C于A,B两点,则|AB|=(　　) A. B. C. D. D 解析 由题意,线段AB为椭圆C的通径,所以|AB|=故选D. 考点一 考点二 考点三 考点四 教材衍展 (2)(2025·重庆期末)已知椭圆C:+x2=1的一个焦点是F,过原点的直线与C相交于点A,B,△ABF的面积是,则|AB|=(　　) A. B. C. D. D 考点一 考点二 考点三 考点四 教材衍展 解析 如图.由题意,不妨设F(0,2),直线AB斜率存在,设直线AB方程为y=kx,A(x1,y1),B(x2,y2),联立(k2+9)x2-9=0,Δ=36(k2+9)>0, x1+x2=0,x1x2=, S△ABF=|OF|·|x1-x2|=22,解得k=±6,故|AB|=|x1-x2|=故选D. 考点一 考点二 考点三 考点四 教材衍展 规律方法　1.弦长公式不仅适用于圆锥曲线,任何两点的弦长都可以用距离公式求(过两点的直线的斜率存在且不等于0). 2.抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|=x1+x2+p. 3.设直线方程时应注意讨论是否存在斜率. 考点一 考点二 考点三 考点四 教材衍展 [对点训练2](2025·广东深圳一模)已知双曲线C:x2-y2=1,左、右焦点分别为F1,F2,过F2作倾斜角为60°的直线与双曲线C交于M,N两点,则△MNF1的周长为　　　　　.  12 考点一 考点二 考点三 考点四 教材衍展 解析 因为F1(-,0),F2(,0), 所以直线MN的方程为y=tan(x-)=(x-), 设M(x1,y1),N(x2,y2),由得2x2-6x+7=0, 则x1+x2=3,x1x2=,所以|MN|==2=4. 因为|MF1|=|MF2|+2,|NF1|=|NF2|+2,所以|MF1|+|NF1|=|MF2|+|NF2|+4=|MN|+4=8,所以|MF1|+|NF1|+|MN|=12. 考点一 考点二 考点三 考点四 教材衍展 考点三　中点弦问题 例3　已知P(1,1)为椭圆=1内一定点,经过P引一条弦,使此弦被P点平分,则此弦所在的直线方程为　　　　　.  x+2y-3=0 考点一 考点二 考点三 考点四 教材衍展 解析 (方法一)易知此弦所在直线的斜率存在,所以设其方程为y-1=k(x-1),弦所在的直线与椭圆相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2).由消去y得,(2k2+1)x2-4k(k-1)x+2(k2-2k-1)=0,所以x1+x2=,又因为x1+x2=2,所以=2,解得k=-经检验,k=-满足题意.故此弦所在的直线方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0. 考点一 考点二 考点三 考点四 教材衍展 (方法二)易知此弦所在直线的斜率存在,所以设斜率为k,弦所在的直线与椭圆相交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,① =1,② ①-②得=0,因为x1+x2=2,y1+y2=2,所以+y1-y2=0,又x2-x1≠0,所以k==-经检验,k=-满足题意.所以此弦所在的直线方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0. 考点一 考点二 考点三 考点四 教材衍展 规律方法　处理中点弦问题常用的求解方法 考点一 考点二 考点三 考点四 教材衍展 [对点训练3](2025·广东梅州模拟)已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F(,0),直线y=x-1与其相交于M,N两点,若MN中点的横坐标为-,则此双曲线的方程是(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 D 考点一 考点二 考点三 考点四 教材衍展 解析 由题可设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),且a2+b2=7,则方程可化为=1. 由得(7-2a2)x2+2a2x-8a2+a4=0. 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2==-,=-,解得a2=2, ∴双曲线的方程是=1.故选D. 考点一 考点二 考点三 考点四 教材衍展 考点四　直线与圆锥曲线的综合 例4　(2025·福建三明模拟)已知椭圆=1(a>b>0)的左顶点为A,上顶点为B,离心率为,△AOB的面积为. (1)求椭圆的方程; (2)直线y=kx(k存在且不等于0)与椭圆交于P,Q两点,直线PA与y轴交于点M,直线QA与直线y=b交于点N,判断kPB-kMN是否为定值并证明. 考点一 考点二 考点三 考点四 教材衍展 解 (1)由题意解得故椭圆的方程为=1. (2)kPB-kMN是定值.证明如下: 设P(x1,y1),由对称性可知,P,Q两点关于原点对称, 即Q(-x1,-y1), 由(1)可知,A(-2,0),B(0,), 联立得(3+4k2)x2-12=0,所以, 考点一 考点二 考点三 考点四 教材衍展 直线AP的斜率存在,其方程为y=(x+2),令x=0得yM=,即M(0,),直线AQ的斜率存在,其方程为y=(x+2),令y=得xN=,即N(),所以kPB-kMN== ==0, 所以kPB-kMN=0为定值. 考点一 考点二 考点三 考点四 教材衍展 规律方法　解决直线与圆锥曲线的综合问题的策略与方法 (1)策略是“直曲联立、根与系数关系”. (2)常用方法是“设而不求法”,即联立直线和圆锥曲线的方程,消去y(或x)得一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件,建立有关参变量的等量关系求解. (3)涉及直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在的特殊情形. 考点一 考点二 考点三 考点四 教材衍展 [对点训练4](2025·宁夏三模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为2,其右焦点F到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程; (2)若直线l:y=kx+m(k>0,m>0)与双曲线C交于不同的两点A,B,且以线段AB为直径的圆经过点P(1,0),证明:直线l过定点. (1)解 因为双曲线C的右焦点为F(c,0),渐近线方程为bx±ay=0,所以右焦点为F(c,0)到渐近线的距离为=b=因为双曲线的离心率为2,所以=2,又c2=a2+b2,解得a=1,c=2,所以双曲线C的方程为x2-=1. 考点一 考点二 考点三 考点四 教材衍展 (2)证明 如图. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0, 则x1+x2=,x1x2=, 所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=, y1+y2=kx1+m+kx2+m=k(x1+x2)+2m= 考点一 考点二 考点三 考点四 教材衍展 因为以线段AB为直径的圆经过点P(1,0),所以PA⊥PB, 所以=(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=0, 所以+1+=0,化简得m2-km-2k2=0,即(m-2k)(m+k)=0.因为k>0,m>0,所以m=2k,所以直线l的方程为y=kx+m=kx+2k=k(x+2),所以直线l过定点(-2,0). 考点一 考点二 考点三 考点四 教材衍展 教材衍展　圆锥曲线中的切线与切点弦问题 1.圆锥曲线的切线和切点弦 (1)切线方程: 过圆锥曲线Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A,C不全为0)上的点M(x0,y0)的切线的方程为Axx0+Cyy0+D+E+F=0. 考点一 考点二 考点三 考点四 教材衍展 (2)切点弦方程: 当M(x0,y0)在曲线外时,过M可引该二次曲线的两条切线,过这两个切点的弦所在直线的方程为Axx0+Cyy0+D+E+F=0. 上述两条为一般结论.特别地: ①对于椭圆=1(a>b>0),其上有一点M(x0,y0),则过该点作切线得到的切线方程=1. 当M在椭圆外时,过M引两条切线得到两个切点,则过这两个切点的直线方程为=1. 考点一 考点二 考点三 考点四 教材衍展 ②更为一般地,当二次曲线有交叉项时,即圆锥曲线形式为Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(B≠0)时,过点M(x0,y0)有对应的一条直线为Axx0+x0y+xy0+Cyy0+D+E+F=0;当M在原圆锥曲线上时,这条直线为过M的切线;当M在曲线外时,过M可引该二次曲线的两条切线,这条直线为过这两个切点的弦的直线. 2.圆锥曲线的切线和切点弦的相关结论 (1)过椭圆=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)的切线方程为=1; (2)过双曲线=1(a>0,b>0)上一点P(x0,y0)的切线方程为=1; (3)过抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)的切线方程为y0y=p(x+x0). 考点一 考点二 考点三 考点四 教材衍展 典例(1)(2025·河南许昌模拟)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,过F的直线与C交于M,N两点,C在M,N两点处的切线相交于点P,则下列四个点中,可以为线段PF中点的是(　　) A.(,0) B.() C.() D.(,-) A 考点一 考点二 考点三 考点四 教材衍展 解析 不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0), 由x2=4y可得y=x2,则y'=x,于是C在点M处的切线方程为y-y1=x1(x-x1), 又=4y1,化简方程得x1x=2(y+y1),同理得C在点N处的切线方程为x2x=2(y+y2),又两切线交于点P(x0,y0),故得即点M,N都在直线x0x-2y-2y0=0上,也即直线MN的方程为x0x-2y-2y0=0, 因为点F(0,1)在直线MN上,代入得y0=-1,得P(x0,-1), 故线段PF的中点为(,0), 故选项中可以为线段PF中点的是(,0). 故选A. 考点一 考点二 考点三 考点四 教材衍展 (2)已知P(1,1)是双曲线外一点,过P引双曲线x2-=1的两条切线PA,PB,A,B为切点,求直线AB的方程. 解 设切点A(x1,y1),B(x2,y2),则直线PA:xx1-=1,直线PB:xx2-=1,又点P(1,1)在直线上,代入可得x1-=1,x2-=1,所以点A(x1,y1),B(x2,y2)均在直线x-=1上,所以直线AB的方程为x-=1,即2x-y-2=0. 考点一 考点二 考点三 考点四 教材衍展 [对点训练]设P为圆O:x2+y2=5上任意一点,过点P作椭圆=1的两条切线,切点分别为A,B,点O,P到直线AB的距离分别为d1,d2,则d1·d2的值为　　　　　.  　 考点一 考点二 考点三 考点四 教材衍展 解析 如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0), 由题意,得椭圆=1在点A(x1,y1)处的切线方程为 =1,在点B(x2,y2)处的切线方程为=1, 两条切线均过点P(x0,y0),则=1,=1, 所以直线AB的方程为=1,即2x0x+3y0y-6=0.所以d1=,d2=所以d1·d2= 因为=5,所以=5-所以d1·d2= 因为5,所以d1·d2= 考点一 考点二 考点三 考点四 教材衍展 $