专题06 几何作图（培优专练，趋势领航+5考点突破+压轴提速）（全国通用）2026年中考数学二轮复习高效培优系列

专题06 几何作图 趋势领航练 考点突破练 考点01 与圆有关几何作图 考点02 与三角形有关几何作图 考点03 与锐角三角函数有关几何作图 考点04 与图形相似有关几何作图 考点05 与四边形有关几何作图 压轴提速练 趋 势 领 航 练 【性定义阅读理解问题】（2026·山西朔州·一模）阅读与思考请认真阅读下面的材料，并完成相应的任务． 三角形的布洛卡点【概念理解】 定义：如图1，已知点为内部的一点，连接，若，则点叫做的布洛卡点． 【问题解决】 问题1：如图1，通过研究可以发现，与与与分别具有相同的数量关系． 问题2：如图2，在中，，点为的布洛卡点，且，求的值． 解：， ． ， …… 任务： (1)问题1中这个相同的数量关系为______． (2)将问题2的解答过程补充完整． (3)如图，为等边三角形，请作出的布洛卡点，连接，，，使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 【新情境数学文化问题】（2026·黑龙江绥化·二模）欧几里德，古希腊著名数学家．被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”． (1)尺规作图：如图1，过点作圆O的两条切线、切点分别为点，点（保留作图痕迹，痕迹要清晰）； (2)如图2，连接并延长交圆O于点，连接，已知，圆O的半径，求． 【新考法问题】（2026·河南信阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数交于、两点，一次函数分别交x轴、y轴于C、D两点，轴于点E． (1)求反比例函数及一次函数解析式； (2)请用尺规过点A向x轴作垂线，垂足为F（保留作图痕迹，不写作法）． (3)在（2）的基础上，连接，求证：． 考 点 突 破 练 考点01 与圆有关几何作图 1.（2026·河南开封·一模）数学实践课上，各小组运用尺规作图围绕“过圆外一点作已知圆的切线”进行探究．已知及外一点．求作过点的的一条切线．启智组、创新组提出的作图方案如下： 启智组：如图，连接，分别以O，P为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于C，D两点，作直线交于点．再以点为圆心，的长为半径作圆，交于点E，F，连接，则为的切线． 创新组：连接交于点，延长交于点．以为圆心，的长为半径画弧，以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，连接．则为的切线． 请判断以上两种方案的正确性，并选择一种方案进行证明． 2．（2026·河南开封·一模）如图，在中，是钝角． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作交于点D．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若是的切线．求证：． 3．（2026·河南三门峡·一模）如图，四边形的顶点都在以为直径的半圆上．． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心，并连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）中作图的基础上，若，，求的长． 4．（2026·吉林·模拟预测）如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过，，三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹） (1)在图1中的圆上找一格点，使得； (2)在图2中的圆上找一点，使平分． 5．（2026·广东深圳·二模）操作与推理 (1)利用圆规和无刻度直尺，求作的外接圆中（下方）中点；（保留作图痕迹，标明字母，不用写出作法和理由．） (2)在（1）的条件下，连接交于点，若，，连接，求的长． 6．（2026·安徽淮南·一模）如图，在一张铁皮上有一个的图案，经测量，，．在铁皮上剪下一个圆，使的三个顶点正好在这个圆上． (1)利用尺规作图找出这个圆的圆心，并画出这个圆； (2)求剪下的的半径．（参考数据：） 7．（2026·江西南昌·一模）如图，点C是的直径延长线上一点，点D在上，，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中，作，使； (2)在图2中，作一个角，使之与互余． 8．（2026·山西阳泉·一模）如图，为的直径，直线与相切于点，连接，． (1)尺规作图：过点作射线于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，判断与的数量关系，并说明理由． 9．（2026·江苏徐州·一模）作图题：要求①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)如图，已知直线l，作一个圆与之相切； (2)如图，已知，延长．作圆，使该圆与边的延长线及线段均相切． 10．（2026·江苏扬州·一模）如图，的边上有一点． (1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，用无刻度直尺和圆规在线段的延长线上求作点，使以点为圆心，长为半径的圆与相切，切点为；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的半径长． 11．（2026·广东汕头·一模）如图，已知中，． (1)求作：（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） ①在边上找一点P，以点P为圆心，为半径作，使得与相切于点D； ②过点B作的切线切于点E． (2)求证：直线为的切线． 12．（2026·河南洛阳·一模）如图1，已知中，，，以点O为圆心的圆与相切于点C，交于点D，点E为上一点，连接，． (1)求的度数． (2)若上的点E满足，请在图2中用无刻度的直尺和圆规作出线段．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)在图2中，延长交于点F，连接，，若的半径为4，求的长． 13．（2026·江苏南京·模拟预测）由图形的旋转想到的 【模型提炼】 (1)将线段绕点O旋转一定角度得到线段，分别是A、B的对应点．如图①，求作旋转中心O．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） 【提出问题】 若过平面内一点P存在直线l，分别交的两边于点C、D，使．试用尺规作图确定直线l的位置． 【分析问题】 根据点P与的位置不同，可以分成点P在边上、在内部、在外部三种情况． (2)当点P在的边上，如图②，点P在的边上，作出直线l． 【模型应用】 (3)当点P在的内部，如图③，如何作出直线l呢？小红观察图①，结合旋转的性质，想到如下作法： 第一步：在上取； 第二步：作的垂直平分线交的平分线于E； 第三步：连接，以为底边作等腰，且； 第四步：以F为圆心，以为半径作，交于点C； 第五步：过点P作直线，交于点D． 则直线就是所求的直线l． 请说明小红作图的正确性（写出主要思路即可）． (4)当点P在的外部如图④，作出直线l．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 考点02 与三角形有关几何作图 1．（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，． (1)在边上求作一点，使； (2)将分成四个等腰三角形，请给出分割方法，并简单说明理由．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 2．（2026·河北廊坊·一模）已知题目：如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，，，，，求证：．下面是小明的证明过程． 证明：∵，∴．第①步 在和中，∵∴，第②步 ∴．第③步 (1)老师批改时，告知小明在第________步中出现错误，请你写出正确的证明过程； (2)用无刻度直尺找到的中点O．（保留作图痕迹，不必写作法） 3．（2026·黑龙江绥化·二模）如图，已知，利用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)作的角平分线AD； (2)在的边AC上方作，在射线上截取，连接，直接写出和的关系． 4．（2026·浙江宁波·一模）在的方格纸中，点，，都在格点上，请按下列要求作图． (1)在图1中画出格点，使为等腰三角形（画一个点即可）． (2)在图2中画出格点，使． 5．（2026·吉林四平·二模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中，以为斜边画一个面积为5的等腰直角三角形，使点在格点上； (2)在图②中，以为边画一个面积为5的钝角三角形，使点在网格线上． 6．（2026·湖北荆州·模拟预测）在中，，作的平分线交于点，再作的垂直平分线，垂足为点． (1)请用尺规作图方法，将图形补充完整；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若点在的垂直平分线上，求证：． 7．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知中，，． (1)尺规作图：在和边上分别确定点D、E，使得，；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若的周长为16，求的长． 8．（2026·浙江衢州·一模）【实验与验证】 如图1，做一个角平分仪，其中，，将角平分仪上的顶点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线，就是的平分线． (1)请说明平分的理由． 【迁移与作图】 (2)请借鉴角平分仪的操作，利用直尺（无刻度）和圆规，在图2中作出的平分线． 9．（2026·重庆万州·一模）如图，已知中，点在边上，且，连接． (1)请用尺规作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程： 证明：平分， ① ， 在和中， ， ， ③ ， ，，， ， ④ ， ． 10．（2026·福建厦门·一模）如图，在中，． (1)在上求作一点D，使；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，在AB上存在点E满足，连接．求证：． 11．（2026·重庆丰都·模拟预测）如图，在中，过点作，且，连接． (1)用尺规完成以下基本作图：过点作，垂足为点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，若，求证：点为的中点． 证明：∵，①__________， ∴， ∵， ∴②__________， ∵③__________， ∴， 在和中． ． ∴， ∴，即点为的中点． 考点03 与锐角三角函数有关几何作图 1．（2026·山东枣庄·一模）如图，已知线段，，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线交直线于D；以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点G，H，再分别以点G，H为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点O，画射线交直线于点M． (1)求的度数 (2)求点M到射线的距离 2．（2026·山西晋中·一模）阅读与思考 小铭是个爱写数学周记的同学，下面是他的一篇周记． 这周我们开始学习《锐角三角函数》一章，我不仅知道了锐角三角函数是在直角三角形中定义的，还知道了一些特殊角，比如角的三角函数值．当然，这些特殊锐角的三角函数值也是在直角三角形中求得的．不仅如此，因为老师不断用问题启发我们思考，我们还求出了角的正切值．老师还说，我们只有学会向自己提问题，思维品质才能得到提高．上课情况是这样的： 如图1，在中，． 老师的第一个问题：你能利用这个图作出角，且这个角在直角三角形中吗？ 我们的思考：如图，用尺规作出角的平分线，交于点，则，且在中． 我们的思路：只要求出的长度，则角的正切值可求． 我们又注意到垂直于，且是角平分线，由角平分线的性质以及等面积法，可以求出的长． 老师的第二个问题：这种方法得角容易想到，但计算量较大．认真观察图形，再想与角有关的知识，你还能通过什么方法得到角，且这个角在直角三角形中？ 一阵寂静后，我的同桌自信地说：利用三角形的外角！ 我们情不自禁把掌声送给了同桌． 老师的问题真厉害！我以后也要善于向自己提出问题，并努力去解决． 请根据小铭同学的周记，回答下列问题： (1)在上述周记中提到的角平分线的性质是__________； (2)请你在老师第二个问题的启发下，依据小铭同桌的思路在图中画图，并求出角的正切值； (3)请你参考小铭同学的数学周记内容，利用图中的直角作出一个在直角三角形中的角（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出这个角的正切值． 3．（2026·上海松江·二模）如图，在中，，． (1)试用无刻度直尺和圆规，在直线上作出点，使，点、、的对应点分别是点、、．（不必写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的基础上，求线段的长． 考点04 与图形相似有关几何作图 1．（2026·江苏宿迁·一模）在中，（）． (1)如图1，点D在边上，若，则______．（用含k的代数式表示） (2)如图2，用无刻度直尺和圆规，在边上找一点E，使得，（不写作法，保留作图痕迹） 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； (2)在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． 3．（2026·山西运城·二模）阅读与思考 阅读下列材料，完成相应的任务． 三角形中的“中顶点”【概念理解】若位于三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段长的乘积等于这个点与该边所对顶点之间距离的平方，则称这个点为三角形中该边上的“中顶点”．如图1，在中，点是边上的中顶点，连接，则．    【问题解决】问题一：如图2，在的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，，，，都落在格点（小正方形的顶点）处，则点__________（填“是”或“不是”）边上的中顶点． 问题二：如图3，在中，过点作于点，已知点为边上的中顶点，求证：是直角三角形． 解：点为边上的中顶点， ∴． ∴． ∵，∴． ……    任务： (1)问题一的横线处应填__________． (2)将问题二的证明过程补充完整． (3)如图4，已知线段是上一点，，请作出，使点为中边上的中顶点（要求：尺规作图，不写作法，标明字母）． 考点05 与四边形有关几何作图 1．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数） 2．（2025·四川雅安·中考真题）如图，中，，现进行如下操作： ①以点C为圆心，任意长为半径画弧交于点E，交于点F； ②以点A为圆心，长为半径画弧交于点H； ③以点H为圆心，长为半径画弧，交前面的弧于点G； ④过点G作射线； ⑤以点A为圆心，长为半径画弧交于点D，连接得四边形． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，，求证：． 3．（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，矩形． (1)尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求的长． 4．（2026·河南平顶山·一模）如图，在四边形中，为对角线，． (1)用无刻度直尺和圆规在线段上求作一点E，使得，连接AE．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，小米在证明（1）中得到的四边形是平行四边形时，考虑先用等边对等角与等量代换，得到一组角相等，进而证明两三角形全等，再利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，得到四边形是平行四边形．请根据小米的证明思路写出证明过程． 5．（2026·河南周口·二模）如图，已知四边形是矩形． (1)请用无刻度的直尺和圆规分别在，边上作出点E，F，使得四边形是菱形（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若，，求出（1）中所作菱形的面积． 6．（2026·广东东莞·一模）如图，在Rt中，，已知为的中点． (1)求作：过点作直线的垂线； （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)延长交于点，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 7．（2026·河南濮阳·一模）如图1，四边形是平行四边形． (1)请用无刻度的直尺，在图1中作出的中点，并用一句话说明点是中点依据__________． (2)请利用无刻度的直尺和圆规，在图2中作出矩形，使得点，分别在边，上（保留作图痕迹），并说明这样作图的合理性． 8．（2026·重庆·一模）请按照题意，补全图形和证明过程． 如图，A是直线上一点，O是的中点，平分． (1)用尺规完成作图，作的角平分线，在的右侧，作．直线交于点B，交于点D，连接，． (2)求证：四边形是矩形． 证明：平分， ， 平分， ① ． ② ， （ ③ ）． ． ． 是的中点， ④ ． ． 四边形是矩形． 9．（2026·山西太原·一模）如图，在中，，为边上的一点（不与重合），连接． (1)尺规作图：以点为顶点，以为一边在的内部作，其中射线分别与边所在的直线相交于点（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)猜想证明：在（1）的条件下，判断线段与的数量关系，并说明理由． 10．（2026·江苏扬州·一模）用无刻度的直尺和圆规作图．（保留作图痕迹并写出必要的文字说明） 已知点E是矩形的边上的一个定点． (1)如图1，在边上求作点P，使； (2)如图2，若，在边上求作点Q，使，并求出的长． 11．（2026·广东佛山·一模）如图，是平行四边形的一条对角线． (1)实践与操作：用尺规作图法作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证：四边形是菱形． 12．（2026·重庆·一模）在复习正方形的相关知识后，某小组进行了更深入的探究．他们发现，如图所示的正方形，取的中点，连接，过作的垂线，交于点，交于点．则点也是线段的中点． (1)用尺规完成以下基本作图：过作的垂线，交于点，交于点（只保留作图痕迹）． (2)根据（1）中所作图形，某小组发现点也是线段的中点，并给出了证明，请补全证明过程． 证明：四边形是正方形， ． ， （①___________）， 又 ②___________ 又， ， 在与中， ， ． ③___________ 为中点， ， 又④___________， ， 点是线段的中点． 13．（2026·江苏无锡·一模）学校劳动基地有一块形状为平行四边形的菜地（如图所示），为便于灌溉，需要沿线段修建一条水渠（为边上一点），将菜地分成面积为的两部分（水渠面积忽略不计）． (1)尺规作图：在图中画出线段；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，求水渠的长度． 14．（2026·福建泉州·一模）如图，在菱形中，． (1)求作正方形，使得点E，F在对角线上，且点在点的左边；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在（1）的条件下，是的中点，连接，求的长． 15．（2026·河南周口·二模）如图，在平行四边形中，是其对角线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交于点，在边上截取线段，连接；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求证：四边形是矩形． 16．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，在矩形中，，，为矩形的对角线． (1)尺规作图：作的平分线交于点，在射线上截取（不要求写作法，但需保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上，求的长． 17．（2026·辽宁营口·一模）已知中，，，点是边上任意一点（不与点，重合），将沿所在直线翻折，点的对应点为点． (1)如图，过点的直线，当点在直线l上时，请画出点和折痕（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），判断此时四边形的形状，并说明理由； (2)连接并延长，与的延长线相交于点， 如图，若，，当时，求的长； 当点与中点不重合时，猜想，，的关系（用含有的式子表示），并说明理由． 压 轴 提 速 练 1．（2026·山西吕梁·模拟预测）阅读与思考 下面是一篇数学材料，请认真阅读并完成相应的任务． 黄金分割数一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数． 如图1，点C为线段上一点，点C把线段分成和两段，其中．若线段之间的关系满足，则点C是线段的一个黄金分割点，k为黄金分割数． 下面是求黄金分割数k的解答过程： 设，，则， …… 任务： (1)概念理解：根据材料可知，一条线段有________个黄金分割点； (2)补全材料中求黄金分割数k的解答过程； (3)拓展应用：如图2，利用无刻度的直尺和圆规，作线段的黄金分割点C，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 2．（2026·江苏扬州·一模）在“作图专题数学命题”活动中，小明同学设计出了三个作图任务，接下来请同学们来挑战一下相关任务吧！ (1)任务一：网格作图​ 如图，图均是的正方形网格，点、、均在格点上．请仅用无刻度的直尺，在图网格中作出点（也为格点），使得；在图网格中的线段上取一点，使得．（请利用网格完成作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)任务二：尺规作图 如图，在平面直角坐标系中，已知点在轴上，点在第一象限内，请用尺规作图在第一象限内作出一点，使得是以为腰的等腰直角三角形．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (3)任务三：方案设计 请设计一个用尺规作直角三角形的方案． 已知，如图，线段，（）．求作：（，），使得它的斜边长为，两直角边的差为．小明在直线上截取了（如图），请你在此基础上继续帮他完成剩下的作图．（注意保留作图痕迹，写出必要的作图步骤） 3．（2026·江苏盐城·模拟预测）【情境】 图①的正方形通过裁剪拼接可以得到图②所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片拼接不重叠，无缝隙，无剩余） 【操作】 如图③，小明将正方形沿虚线对折，再沿，裁剪后按照图④所示进行拼接．根据小明的剪拼过程，解答问题： (1)求线段的长； (2)求点到直线的距离； 【探究】 小明说：将图①所示纸片沿一条直线（裁剪线为线段）裁剪出一部分，再将剪出的部分剪成两块，还可以拼成如图⑤的铅笔头型五边形． (3)请你按照小明的说法设计一种方案：在备用图中正方形的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线的位置及完成拼接的大致图形，并直接写出的长． 4．（2026·江苏南京·模拟预测）折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； (2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 5．（2026·湖南娄底·一模）阅读与思考 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段． 【问题解决】 (1)问题1：如图1，在矩形中，若对角线与互为双关联线段，则_____． (2)问题2：如图2，在中，于点D，，点E在线段上，且，连接．求证：线段是线段的双关联线段． (3)问题3：如图3，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）． 6．（2026·江苏宿迁·二模）如图，点是线段上一点，如果满足，那么称线段被点黄金分割，点是线段的黄金分割点．完成下列问题： (1)填空：如图①，点是线段的黄金分割点，若，则__________；（用含根号的式子表示） (2)如图②，在中，，点在斜边上，，点在直角边上，，证明：点是线段的黄金分割点； (3)尺规作图：如图③，作出线段的一个黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法） 7．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在中，点C是边上的一点， (1)请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，在边上作一点D，使得（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若，． ①求证：． ②当时，求的值． 8．（2026·江苏扬州·一模）如图①，直线同侧有两点，，点在直线上，若，则称点为，在直线上的投射点． (1)如图②，在中，，为斜边的中点，为的中点．求证：点为，在直线上的投射点； (2)如图③，在正方形网格中，已知点，，三点均在格点上，请仅用没有刻度的直尺在上画出点，在上画出点，满足且点为，在上的投射点；（保留画图痕迹） (3)如图④，在中，，，在，边上是否分别存在点，，使点为，在上的投射点，点为，在上的投射点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 9．（2026·广东珠海·一模）定义：如题图1，点M，N把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． (1)已知点M，N是线段的勾股分割点，若，，求的长； (2)如图2，在菱形中，点、分别在、上，，，分别交于点．求证：是线段的勾股分割点； (3)如图3，点是线段上的一定点，．请在上画一点，使得C，D是线段的勾股分割点（请用尺规进行作图） 10．（2026·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小陈同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 年月日  星期六 利用平行线探究角平分线分线段成比例 今天，我在书店一本书上看到一个重要的补充：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例． 我和小组的同学研究了一番，写出的题目如下：如图1，在中，平分交于点，求证： 【自主探究】通过查阅资料，我们找到了方法，下面是我们的证明过程（不完整）： 证明：过点作，交的延长线于点． （依据），，． 平分，． ．． ，即． 【拓展探究】我有如下思考：如图2，在中，外角的平分线与的延长线交于点，那么能不能参照上述方法求出线段，，，之间的比例关系呢？ …… 任务： (1)【自主探究】的证明过程中的“依据”是指__________． (2)如图3，在中，，请你作出边的一个三等分点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (3)求出【拓展探究】中，线段，，，之间的比例关系． 11．（2026·吉林长春·一模）图①、图②、图③均是6×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作中线； (2)在图2中，在上找一点E，使； (3)在图3中，将点向右平移个单位，得到点，连接；并在线段上找到一点，连接，使． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 几何作图 趋势领航练 考点突破练 考点01 与圆有关几何作图 考点02 与三角形有关几何作图 考点03 与锐角三角函数有关几何作图 考点04 与图形相似有关几何作图 考点05 与四边形有关几何作图 压轴提速练 趋 势 领 航 练 【性定义阅读理解问题】（2026·山西朔州·一模）阅读与思考请认真阅读下面的材料，并完成相应的任务． 三角形的布洛卡点【概念理解】 定义：如图1，已知点为内部的一点，连接，若，则点叫做的布洛卡点． 【问题解决】 问题1：如图1，通过研究可以发现，与与与分别具有相同的数量关系． 问题2：如图2，在中，，点为的布洛卡点，且，求的值． 解：， ． ， …… 任务： (1)问题1中这个相同的数量关系为______． (2)将问题2的解答过程补充完整． (3)如图，为等边三角形，请作出的布洛卡点，连接，，，使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； 同理；； 即这个相同的数量关系为它们的和均为； （2）解：， ． ， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，点N即为所求； 理由如下： 由作法得：分别为的角平分线， ∴平分， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴，即点N为的布洛卡点． 【新情境数学文化问题】（2026·黑龙江绥化·二模）欧几里德，古希腊著名数学家．被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”． (1)尺规作图：如图1，过点作圆O的两条切线、切点分别为点，点（保留作图痕迹，痕迹要清晰）； (2)如图2，连接并延长交圆O于点，连接，已知，圆O的半径，求． 【详解】（1）解：作图： ①连接，作线段的中点A； ②以A为圆心，以为半径作圆A，与圆O交于两点Q和R； ③连接、，则、是圆O的切线． 如图即为所求； （2）解：连接交于点H，连接，如图 、是圆O的切线， ， ， 是线段的垂直平分线， ， ， 是的中位线， ， ， ， ， 圆O的半径， ， ∴． 【新考法问题】（2026·河南信阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数交于、两点，一次函数分别交x轴、y轴于C、D两点，轴于点E． (1)求反比例函数及一次函数解析式； (2)请用尺规过点A向x轴作垂线，垂足为F（保留作图痕迹，不写作法）． (3)在（2）的基础上，连接，求证：． 【详解】（1）解：∵在反比例函数图象上， ∴， ∴． ∴反比例函数解析式为 ∵在图象上， ∴． ∵经过和两点． ∴， 解得 ∴一次函数的解析式为， （2）解：如图所示： （3）解：∵轴，轴， ∴， 设的直线解析式为：， 则得， 解得： ∴直线的解析式， 又直线的解析式为， ∴， ∵,的纵坐标相等， ， ∴四边形为平行四边形， ∴ ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴ ∴ ∴． 考 点 突 破 练 考点01 与圆有关几何作图 1.（2026·河南开封·一模）数学实践课上，各小组运用尺规作图围绕“过圆外一点作已知圆的切线”进行探究．已知及外一点．求作过点的的一条切线．启智组、创新组提出的作图方案如下： 启智组：如图，连接，分别以O，P为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于C，D两点，作直线交于点．再以点为圆心，的长为半径作圆，交于点E，F，连接，则为的切线． 创新组：连接交于点，延长交于点．以为圆心，的长为半径画弧，以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，连接．则为的切线． 请判断以上两种方案的正确性，并选择一种方案进行证明． 【详解】解：启智组和创新组的方案都正确， 启智组证明过程如下： 证明：由作图过程可知：垂直平分，是的半径， 如图： ∵是的直径， ∴，即， ∵是的半径， ∴为的切线． 创新组证明过程如下： 证明：由作图过程可知:， ∴, ∵是的半径， ∴为的切线． 2．（2026·河南开封·一模）如图，在中，是钝角． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作交于点D．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若是的切线．求证：． 【详解】（1）解：如图所示； （2）证明：连接． 的垂直平分线交于点O， ， C是上一点， 是的切线． ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ． 3．（2026·河南三门峡·一模）如图，四边形的顶点都在以为直径的半圆上．． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心，并连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）中作图的基础上，若，，求的长． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：连接，交于点E．由题意知， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴点E为的中点， 又∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 设半圆的半径为r，则． 由勾股定理知，， 即， 解得，（舍去）． ∴． 4．（2026·吉林·模拟预测）如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过，，三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹） (1)在图1中的圆上找一格点，使得； (2)在图2中的圆上找一点，使平分． 【详解】（1）解：根据圆内接四边形对角互补，找到圆与格点的交点即可， 如图所示，点即为所求． （2）解：如图，记与格线的交点为，连接，延长后与圆交于点，则点即为所求． 5．（2026·广东深圳·二模）操作与推理 (1)利用圆规和无刻度直尺，求作的外接圆中（下方）中点；（保留作图痕迹，标明字母，不用写出作法和理由．） (2)在（1）的条件下，连接交于点，若，，连接，求的长． 【详解】（1）解：如图，作的角平分线交的外接圆于点， ∴， ∴， ∴点为的外接圆中（下方）的中点， 故点即为所作； （2）解：如图， 由（1）知：， 又∵所对的圆周角为、， ∴， ∴，即， 又∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 6．（2026·安徽淮南·一模）如图，在一张铁皮上有一个的图案，经测量，，．在铁皮上剪下一个圆，使的三个顶点正好在这个圆上． (1)利用尺规作图找出这个圆的圆心，并画出这个圆； (2)求剪下的的半径．（参考数据：） 【详解】（1）解：作的线段垂直平分线，交于点，再以点为圆心、长为半径画圆；则点和即为所求． （2）解：如图，作的直径，连接． 是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴剪下的的半径为． 7．（2026·江西南昌·一模）如图，点C是的直径延长线上一点，点D在上，，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中，作，使； (2)在图2中，作一个角，使之与互余． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为所求． （2）方法一：如图， ∵为直径， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴为所求． 方法二：如图， ∵为直径， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴为所求． 8．（2026·山西阳泉·一模）如图，为的直径，直线与相切于点，连接，． (1)尺规作图：过点作射线于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，判断与的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）解： 即为所求作的射线； （2）解：，理由如下， 如图所示，连接， 与相切于点， ， 又， ． ， ． ， ， ． 9．（2026·江苏徐州·一模）作图题：要求①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)如图，已知直线l，作一个圆与之相切； (2)如图，已知，延长．作圆，使该圆与边的延长线及线段均相切． 【详解】（1）解：①选点：在直线上任取两点，作线段的垂线平分线，交直线于点， ②定半径：在这条垂线上任取异于的点， ③画圆：以为圆心、长为半径作圆， 所得圆即为所求（作法不唯一，只要满足圆心到直线的距离等于半径即可）； 原理：且是圆的半径，满足切线的判定条件，因此圆与相切； （2）解：①延长边：延长（过端向外延伸）、延长（过端向外延伸）； ②作角平分线：分别作的外角平分线、的外角平分线，两条平分线交于点； ③以为圆心、长为半径作圆， 所得圆即为所求； 原理：角平分线上的点到角两边距离相等， 因此点到延长线、延长线、的距离都等于， 因此该圆与三条线都相切；（作图时保留角平分线、垂线、圆弧的作图痕迹即可）； 10．（2026·江苏扬州·一模）如图，的边上有一点． (1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，用无刻度直尺和圆规在线段的延长线上求作点，使以点为圆心，长为半径的圆与相切，切点为；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的半径长． 【详解】（1）解：如图，过点作的垂线，垂足点即为所求； （2）解：如图，作的角平分线交于点，再以为圆心，为半径作圆，与相切于点，即为所求； 点在的角平分线上，，， ， 为半径， 是的切线，切点为； （3）解：中，，， ，， ， ， 设，则， 在中，， ，解得， 即的半径长为． 11．（2026·广东汕头·一模）如图，已知中，． (1)求作：（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） ①在边上找一点P，以点P为圆心，为半径作，使得与相切于点D； ②过点B作的切线切于点E． (2)求证：直线为的切线． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求； ②如图所示，即为所求； 证明：平分， ， 、， ， ， ， ， ， 与相切； （2）证明：连接， 与相切， ， 由作法可知：， 在和中， ， ， ， ， 为的半径， 直线为的切线． 12．（2026·河南洛阳·一模）如图1，已知中，，，以点O为圆心的圆与相切于点C，交于点D，点E为上一点，连接，． (1)求的度数． (2)若上的点E满足，请在图2中用无刻度的直尺和圆规作出线段．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)在图2中，延长交于点F，连接，，若的半径为4，求的长． 【详解】（1）解：连接， 与相切， ， ，， ， ； （2）解：如图所示，点E即为所求； （3）解：设与交点为点M． ， ， 又由①知：， ， 的半径为4， 直径， ， 的长为． 13．（2026·江苏南京·模拟预测）由图形的旋转想到的 【模型提炼】 (1)将线段绕点O旋转一定角度得到线段，分别是A、B的对应点．如图①，求作旋转中心O．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） 【提出问题】 若过平面内一点P存在直线l，分别交的两边于点C、D，使．试用尺规作图确定直线l的位置． 【分析问题】 根据点P与的位置不同，可以分成点P在边上、在内部、在外部三种情况． (2)当点P在的边上，如图②，点P在的边上，作出直线l． 【模型应用】 (3)当点P在的内部，如图③，如何作出直线l呢？小红观察图①，结合旋转的性质，想到如下作法： 第一步：在上取； 第二步：作的垂直平分线交的平分线于E； 第三步：连接，以为底边作等腰，且； 第四步：以F为圆心，以为半径作，交于点C； 第五步：过点P作直线，交于点D． 则直线就是所求的直线l． 请说明小红作图的正确性（写出主要思路即可）． (4)当点P在的外部如图④，作出直线l．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【详解】（1）解：如图①，连接，，作和的垂直平分线，交于点O，则点O即是所求作的旋转中心； （2）解：如图，直线l即为所求； （3）解：如图③， 理由：∵的垂直平分线交的平分线于E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴点O，C，E，D共圆， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）解：第一步：在上取； 第二步：作的垂直平分线交的平分线于E； 第三步：连接，以为底边作等腰，且； 第四步：以F为圆心，以为半径作，交于点C； 第五步：过点P作直线，交于点D． 则直线就是所求的直线l． 理由：连接， ∵的垂直平分线交的平分线于E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴点O，C，E，D共圆， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 考点02 与三角形有关几何作图 1．（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，． (1)在边上求作一点，使； (2)将分成四个等腰三角形，请给出分割方法，并简单说明理由．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【详解】（1）解：如图即为． （2）解：如图，过点作，取中点为，中点为，连接，． ， ，， ，，，为等腰三角形． 2．（2026·河北廊坊·一模）已知题目：如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，，，，，求证：．下面是小明的证明过程． 证明：∵，∴．第①步 在和中，∵∴，第②步 ∴．第③步 (1)老师批改时，告知小明在第________步中出现错误，请你写出正确的证明过程； (2)用无刻度直尺找到的中点O．（保留作图痕迹，不必写作法） 【详解】（1）解：②； 证明：， ． ， ， ， ． 在和中， ， ， ． （2）解：如图， 连接交于，即为中点， ∵， ∴， ∴． 3．（2026·黑龙江绥化·二模）如图，已知，利用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)作的角平分线AD； (2)在的边AC上方作，在射线上截取，连接，直接写出和的关系． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，和即为所求； 连接， 四边形是平行四边形 且． 4．（2026·浙江宁波·一模）在的方格纸中，点，，都在格点上，请按下列要求作图． (1)在图1中画出格点，使为等腰三角形（画一个点即可）． (2)在图2中画出格点，使． 【详解】（1）解：根据题意，画图如下： 则点D即为所求； （2）解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，画图如下： 则点E即为所求； 5．（2026·吉林四平·二模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中，以为斜边画一个面积为5的等腰直角三角形，使点在格点上； (2)在图②中，以为边画一个面积为5的钝角三角形，使点在网格线上． 【详解】（1）解：如图①，即为所求； （2）解：如图②，即为所求． 6．（2026·湖北荆州·模拟预测）在中，，作的平分线交于点，再作的垂直平分线，垂足为点． (1)请用尺规作图方法，将图形补充完整；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若点在的垂直平分线上，求证：． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）证明：垂直平分， ，， ，平分，， ， 在和中，， ， ， ． 7．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知中，，． (1)尺规作图：在和边上分别确定点D、E，使得，；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若的周长为16，求的长． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：由作图知， ∵的周长为16， ∴， ∵， ∴． 8．（2026·浙江衢州·一模）【实验与验证】 如图1，做一个角平分仪，其中，，将角平分仪上的顶点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线，就是的平分线． (1)请说明平分的理由． 【迁移与作图】 (2)请借鉴角平分仪的操作，利用直尺（无刻度）和圆规，在图2中作出的平分线． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴, ∴, 即平分； （2）解：如图，是的平分线． 9．（2026·重庆万州·一模）如图，已知中，点在边上，且，连接． (1)请用尺规作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程： 证明：平分， ① ， 在和中， ， ， ③ ， ，，， ， ④ ， ． 【详解】（1）解：如图为的角平分线和点． （2）证明：平分， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， ． 故答案为：①，，③，④． 10．（2026·福建厦门·一模）如图，在中，． (1)在上求作一点D，使；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，在AB上存在点E满足，连接．求证：． 【详解】（1）解：如图：点D即为所求． （2）证明：由（1）作图可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 11．（2026·重庆丰都·模拟预测）如图，在中，过点作，且，连接． (1)用尺规完成以下基本作图：过点作，垂足为点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，若，求证：点为的中点． 证明：∵，①__________， ∴， ∵， ∴②__________， ∵③__________， ∴， 在和中． ． ∴， ∴，即点为的中点． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中． ． ∴， ∴，即点为的中点． 考点03 与锐角三角函数有关几何作图 1．（2026·山东枣庄·一模）如图，已知线段，，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线交直线于D；以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点G，H，再分别以点G，H为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点O，画射线交直线于点M． (1)求的度数 (2)求点M到射线的距离 【详解】（1）解：如图所示： 根据题意可知：是线段的垂直平分线，是的平分线， ∵， ∴，， ∴； （2）根据题意可知：是线段的垂直平分线，是的平分线， ∵，， ∴，， ∴， ∵是的平分线，， ∴点M到射线的距离为． 2．（2026·山西晋中·一模）阅读与思考 小铭是个爱写数学周记的同学，下面是他的一篇周记． 这周我们开始学习《锐角三角函数》一章，我不仅知道了锐角三角函数是在直角三角形中定义的，还知道了一些特殊角，比如角的三角函数值．当然，这些特殊锐角的三角函数值也是在直角三角形中求得的．不仅如此，因为老师不断用问题启发我们思考，我们还求出了角的正切值．老师还说，我们只有学会向自己提问题，思维品质才能得到提高．上课情况是这样的： 如图1，在中，． 老师的第一个问题：你能利用这个图作出角，且这个角在直角三角形中吗？ 我们的思考：如图，用尺规作出角的平分线，交于点，则，且在中． 我们的思路：只要求出的长度，则角的正切值可求． 我们又注意到垂直于，且是角平分线，由角平分线的性质以及等面积法，可以求出的长． 老师的第二个问题：这种方法得角容易想到，但计算量较大．认真观察图形，再想与角有关的知识，你还能通过什么方法得到角，且这个角在直角三角形中？ 一阵寂静后，我的同桌自信地说：利用三角形的外角！ 我们情不自禁把掌声送给了同桌． 老师的问题真厉害！我以后也要善于向自己提出问题，并努力去解决． 请根据小铭同学的周记，回答下列问题： (1)在上述周记中提到的角平分线的性质是__________； (2)请你在老师第二个问题的启发下，依据小铭同桌的思路在图中画图，并求出角的正切值； (3)请你参考小铭同学的数学周记内容，利用图中的直角作出一个在直角三角形中的角（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出这个角的正切值． 【详解】（1）解：∵垂直于，且是角平分线， ∵根据角平分线的性质利用等面积法，求出的长， 即点到和的距离相等，利用计算得出的长， ∴周记中提到的角平分线的性质是角平分线上的点到角两边的距离相等； （2）解：如图，延长到，使，连接，则， 在中，， ， ， ， ∴在中，， ； （3）解：如图，以点为圆心，一定长度为半径作圆，交已知两直角边于点和点，连接，则，延长到，使，连接，则， ，即为所求． 设，则， ∴，， ∴， ∴． 3．（2026·上海松江·二模）如图，在中，，． (1)试用无刻度直尺和圆规，在直线上作出点，使，点、、的对应点分别是点、、．（不必写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的基础上，求线段的长． 【详解】（1）解：如图所示，作，与延长线交于点，即为所求； ，， ； （2）解：如图所示，过点作于， ， ， 设， 在中，， ， 根据勾股定理得，， 即， 解得或（负值，舍去）， 即， ， ， ，即， 解得， ． 考点04 与图形相似有关几何作图 1．（2026·江苏宿迁·一模）在中，（）． (1)如图1，点D在边上，若，则______．（用含k的代数式表示） (2)如图2，用无刻度直尺和圆规，在边上找一点E，使得，（不写作法，保留作图痕迹） 【详解】（1）解∶∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图：点E即为所求． ∵， ∴， ∴， ∴，即． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； (2)在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：点如图所示： 作，则， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·山西运城·二模）阅读与思考 阅读下列材料，完成相应的任务． 三角形中的“中顶点”【概念理解】若位于三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段长的乘积等于这个点与该边所对顶点之间距离的平方，则称这个点为三角形中该边上的“中顶点”．如图1，在中，点是边上的中顶点，连接，则．    【问题解决】问题一：如图2，在的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，，，，都落在格点（小正方形的顶点）处，则点__________（填“是”或“不是”）边上的中顶点． 问题二：如图3，在中，过点作于点，已知点为边上的中顶点，求证：是直角三角形． 解：点为边上的中顶点， ∴． ∴． ∵，∴． ……    任务： (1)问题一的横线处应填__________． (2)将问题二的证明过程补充完整． (3)如图4，已知线段是上一点，，请作出，使点为中边上的中顶点（要求：尺规作图，不写作法，标明字母）． 【详解】（1）解：∵，， ， ∴点是边上的中顶点． （2）解：补充证明如下： ， ， ， ， ， ， 是直角三角形． （3）解：答案不唯一，如答图，即为所求， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点05 与四边形有关几何作图 1．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数） 【详解】（1）解：如图，直线，点即为所求. （2）解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵平分， ∴， ∵直线，即， ∴， ∴． 2．（2025·四川雅安·中考真题）如图，中，，现进行如下操作： ①以点C为圆心，任意长为半径画弧交于点E，交于点F； ②以点A为圆心，长为半径画弧交于点H； ③以点H为圆心，长为半径画弧，交前面的弧于点G； ④过点G作射线； ⑤以点A为圆心，长为半径画弧交于点D，连接得四边形． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，，求证：． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 由作图得，， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形 ∴， ∴ 由作图得， ∴ ∴． 3．（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，矩形． (1)尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求的长． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵由折叠可得， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴． 4．（2026·河南平顶山·一模）如图，在四边形中，为对角线，． (1)用无刻度直尺和圆规在线段上求作一点E，使得，连接AE．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，小米在证明（1）中得到的四边形是平行四边形时，考虑先用等边对等角与等量代换，得到一组角相等，进而证明两三角形全等，再利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，得到四边形是平行四边形．请根据小米的证明思路写出证明过程． 【详解】（1）（1）如图，点E即为所求作． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形AECD是平行四边形． 5．（2026·河南周口·二模）如图，已知四边形是矩形． (1)请用无刻度的直尺和圆规分别在，边上作出点E，F，使得四边形是菱形（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若，，求出（1）中所作菱形的面积． 【详解】（1）解：点，为所求．如图， （2） 解：设菱形的边长为， 在中，，， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ∴菱形的边长为， ∴． 6．（2026·广东东莞·一模）如图，在Rt中，，已知为的中点． (1)求作：过点作直线的垂线； （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)延长交于点，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 【详解】（1）解：如图，图形即为所求； （2）解：结论：四边形是矩形． 理由：，， ， ，， 在和中 ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 7．（2026·河南濮阳·一模）如图1，四边形是平行四边形． (1)请用无刻度的直尺，在图1中作出的中点，并用一句话说明点是中点依据__________． (2)请利用无刻度的直尺和圆规，在图2中作出矩形，使得点，分别在边，上（保留作图痕迹），并说明这样作图的合理性． 【详解】（1）解：如图所示，点O即为所求，依据是平行四边形的对角线互相平分； （2）解：如图所示，即为所求；由平行四边形的性质得到，由作图可得，则四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是矩形． 8．（2026·重庆·一模）请按照题意，补全图形和证明过程． 如图，A是直线上一点，O是的中点，平分． (1)用尺规完成作图，作的角平分线，在的右侧，作．直线交于点B，交于点D，连接，． (2)求证：四边形是矩形． 证明：平分， ， 平分， ① ． ② ， （ ③ ）． ． ． 是的中点， ④ ． ． 四边形是矩形． 【详解】（1）解：如图， （2）解：证明：平分， ， 平分， ， ∵， （同位角相等，两直线平行）， ∴， ． 是的中点， ， ． 四边形是矩形． 9．（2026·山西太原·一模）如图，在中，，为边上的一点（不与重合），连接． (1)尺规作图：以点为顶点，以为一边在的内部作，其中射线分别与边所在的直线相交于点（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)猜想证明：在（1）的条件下，判断线段与的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（2026·江苏扬州·一模）用无刻度的直尺和圆规作图．（保留作图痕迹并写出必要的文字说明） 已知点E是矩形的边上的一个定点． (1)如图1，在边上求作点P，使； (2)如图2，若，在边上求作点Q，使，并求出的长． 【详解】（1）解：作点关于直线的对称点，连接，交于点，则点即为所求． 理由：由对称性， ∵， ； （2）解：∵四边形为矩形，， ∴，， 分两种情况讨论： ①在线段上取点，使得，如下图， 则此时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即点符合题意，此时； ②在线段上取点，使得，如下图， 则， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即点符合题意，此时． 综上所述，的长为1或6． 11．（2026·广东佛山·一模）如图，是平行四边形的一条对角线． (1)实践与操作：用尺规作图法作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证：四边形是菱形． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：由作法得：垂直平分， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 12．（2026·重庆·一模）在复习正方形的相关知识后，某小组进行了更深入的探究．他们发现，如图所示的正方形，取的中点，连接，过作的垂线，交于点，交于点．则点也是线段的中点． (1)用尺规完成以下基本作图：过作的垂线，交于点，交于点（只保留作图痕迹）． (2)根据（1）中所作图形，某小组发现点也是线段的中点，并给出了证明，请补全证明过程． 证明：四边形是正方形， ． ， （①___________）， 又 ②___________ 又， ， 在与中， ， ． ③___________ 为中点， ， 又④___________， ， 点是线段的中点． 【详解】（1）解：垂线如下： （2）证明：四边形是正方形， ． ， （①垂线的定义）， 又， ②， 又， ， 在与中， ， ， ③， 为中点， ， 又④， ， 点是线段的中点． 13．（2026·江苏无锡·一模）学校劳动基地有一块形状为平行四边形的菜地（如图所示），为便于灌溉，需要沿线段修建一条水渠（为边上一点），将菜地分成面积为的两部分（水渠面积忽略不计）． (1)尺规作图：在图中画出线段；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，求水渠的长度． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； 理由：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由作法得：点E为的中点， ∴， ∴； （2）解：过点A作于点F， 在中，，， ∴，， 由作法得：点E为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．（2026·福建泉州·一模）如图，在菱形中，． (1)求作正方形，使得点E，F在对角线上，且点在点的左边；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在（1）的条件下，是的中点，连接，求的长． 【详解】（1）解：如下图所示，正方形即为所求作的正方形， （2）解：取的中点N，连接， 由作图可知： ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 又∵点N是的中点，是的中点， ∴，， ∴ ∴，． 15．（2026·河南周口·二模）如图，在平行四边形中，是其对角线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交于点，在边上截取线段，连接；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求证：四边形是矩形． 【详解】（1）解：如图所示，： （2）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ，即， ∴四边形是平行四边形， ，平分， ， ∴， ∴四边形是矩形． 16．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，在矩形中，，，为矩形的对角线． (1)尺规作图：作的平分线交于点，在射线上截取（不要求写作法，但需保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上，求的长． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：如图，过点作于点， 在矩形中，，，为矩形的对角线 ∴，， 又∵是的平分线 ∴， 设，则 ∵ ∴ 解得： ∴ 在中， 又∵ ∴ 17．（2026·辽宁营口·一模）已知中，，，点是边上任意一点（不与点，重合），将沿所在直线翻折，点的对应点为点． (1)如图，过点的直线，当点在直线l上时，请画出点和折痕（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），判断此时四边形的形状，并说明理由； (2)连接并延长，与的延长线相交于点， 如图，若，，当时，求的长； 当点与中点不重合时，猜想，，的关系（用含有的式子表示），并说明理由． 【详解】（1）解：如图，点，即为所求， 证明：由翻折可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：作于点， ∵， ∴，， ∴， 由翻折可知：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由翻折可知，，， ∴，， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， 又，， ∴， 又， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； ，，的关系为或，理由如下， 当点在中点右侧时，作， 由可知，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 当点在中点左侧时， 延长与相交于点， 由翻折可知，，， ∴，，， 又， ∴，即， 又，， ∴， 又，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； 综上可得：，，的关系为或． 压 轴 提 速 练 1．（2026·山西吕梁·模拟预测）阅读与思考 下面是一篇数学材料，请认真阅读并完成相应的任务． 黄金分割数一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数． 如图1，点C为线段上一点，点C把线段分成和两段，其中．若线段之间的关系满足，则点C是线段的一个黄金分割点，k为黄金分割数． 下面是求黄金分割数k的解答过程： 设，，则， …… 任务： (1)概念理解：根据材料可知，一条线段有________个黄金分割点； (2)补全材料中求黄金分割数k的解答过程； (3)拓展应用：如图2，利用无刻度的直尺和圆规，作线段的黄金分割点C，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【详解】（1）解：∵一条线段上有两个不同的点可以将线段分成不相等的两条线段，且满足较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比， ∴一条线段有2个黄金分割点； （2）解：设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴． （3）解：如图所示，点即为所求．（答案不唯一） 证明：设的长度为， ∵为的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·江苏扬州·一模）在“作图专题数学命题”活动中，小明同学设计出了三个作图任务，接下来请同学们来挑战一下相关任务吧！ (1)任务一：网格作图​ 如图，图均是的正方形网格，点、、均在格点上．请仅用无刻度的直尺，在图网格中作出点（也为格点），使得；在图网格中的线段上取一点，使得．（请利用网格完成作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)任务二：尺规作图 如图，在平面直角坐标系中，已知点在轴上，点在第一象限内，请用尺规作图在第一象限内作出一点，使得是以为腰的等腰直角三角形．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (3)任务三：方案设计 请设计一个用尺规作直角三角形的方案． 已知，如图，线段，（）．求作：（，），使得它的斜边长为，两直角边的差为．小明在直线上截取了（如图），请你在此基础上继续帮他完成剩下的作图．（注意保留作图痕迹，写出必要的作图步骤） 【详解】（1）解：如图，点即为所求，如图，点即为所求． 图中，，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 图中，同理可得是等腰直角三角形， ∴， 由网格特征可知，， ∴． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，即为所求． ∵，平分， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴即为所求． 3．（2026·江苏盐城·模拟预测）【情境】 图①的正方形通过裁剪拼接可以得到图②所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片拼接不重叠，无缝隙，无剩余） 【操作】 如图③，小明将正方形沿虚线对折，再沿，裁剪后按照图④所示进行拼接．根据小明的剪拼过程，解答问题： (1)求线段的长； (2)求点到直线的距离； 【探究】 小明说：将图①所示纸片沿一条直线（裁剪线为线段）裁剪出一部分，再将剪出的部分剪成两块，还可以拼成如图⑤的铅笔头型五边形． (3)请你按照小明的说法设计一种方案：在备用图中正方形的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线的位置及完成拼接的大致图形，并直接写出的长． 【详解】（1）解：由题意，可知：，， ∴，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， ∴，即； （2）解：作， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知：，，， ∴， ∴，即点到直线的距离为； （3）解：由题意，作图如下： 或 由作图可知：或． 4．（2026·江苏南京·模拟预测）折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； (2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 【详解】（1）解：如图，作，的角平分线即可， ∵，， ∴， ∵，分别是，的角平分线， ∴， ∴； （2）解：如图，延长，交于T，作的角平分线即可． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ∴点G是的中点， ∴点G在边、的垂直平分线上； （3）解：如图，作的角平分线交于E，连接， ∵是折痕， ∴且垂直平分， ∴， ∵为定值即， ∴当A、M、E三点共线时，最小，最小值即为的长， 故的最小值为， 此时E和B重合，将向上平移使得M与A重合，如下图： ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 5．（2026·湖南娄底·一模）阅读与思考 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段． 【问题解决】 (1)问题1：如图1，在矩形中，若对角线与互为双关联线段，则_____． (2)问题2：如图2，在中，于点D，，点E在线段上，且，连接．求证：线段是线段的双关联线段． (3)问题3：如图3，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）． 【详解】（1）解：与互为双关联线段， ，且， 矩形是正方形， 、， ； （2）解：， ， 在中，， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 延长交于点， 在中，， ， ， ， ， 线段是线段的双关联线段； （3）解：如图，即为所求． 6．（2026·江苏宿迁·二模）如图，点是线段上一点，如果满足，那么称线段被点黄金分割，点是线段的黄金分割点．完成下列问题： (1)填空：如图①，点是线段的黄金分割点，若，则__________；（用含根号的式子表示） (2)如图②，在中，，点在斜边上，，点在直角边上，，证明：点是线段的黄金分割点； (3)尺规作图：如图③，作出线段的一个黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法） 【详解】（1）解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（已检验）或（舍去）； （2）证明：∵在中，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点是线段的黄金分割点； （3）解：如图所示，即为所求． 7．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在中，点C是边上的一点， (1)请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，在边上作一点D，使得（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若，． ①求证：． ②当时，求的值． 【详解】（1）解：如图所示，作，交于点D，即为所求； ∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过点A作，如图所示， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．（2026·江苏扬州·一模）如图①，直线同侧有两点，，点在直线上，若，则称点为，在直线上的投射点． (1)如图②，在中，，为斜边的中点，为的中点．求证：点为，在直线上的投射点； (2)如图③，在正方形网格中，已知点，，三点均在格点上，请仅用没有刻度的直尺在上画出点，在上画出点，满足且点为，在上的投射点；（保留画图痕迹） (3)如图④，在中，，，在，边上是否分别存在点，，使点为，在上的投射点，点为，在上的投射点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）证明：在中，为斜边的中点， ， ， ． ，分别为，的中点， ， ， ， 点为，在直线上的投射点． （2）解：如图③， 作法：1、在格点上取点，点，连接交于点，则；（理由：，，，．） 2、作点关于的对称点，连接并延长交于点，即点就是所求作的点．（理由：由对称得，，又，，即点为，在上的投射点．） （3）解：存在， 如图， 作点关于的对称点，连接，，则四边形为正方形， 作点关于的对称点，连接交于点，交于点， ，，，在同一直线上，，，，， 又， ， ， ． ， ， ， ． 9．（2026·广东珠海·一模）定义：如题图1，点M，N把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． (1)已知点M，N是线段的勾股分割点，若，，求的长； (2)如图2，在菱形中，点、分别在、上，，，分别交于点．求证：是线段的勾股分割点； (3)如图3，点是线段上的一定点，．请在上画一点，使得C，D是线段的勾股分割点（请用尺规进行作图） 【详解】（1）解：∵， ∴， 设，则， 当是斜边时，， ∴，整理得， ∵， ∴原方程无解，即不是斜边； 当是斜边时，， ∴， 解得，， ∴； 当是斜边时，， ∴， 解得，， ∴； ∴的长为或； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴，即， ∴，则， ∵， ∴，即， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴是线段的勾股分割点； （3）解：如图所示， 以点为圆心，以为半径画弧交于点， 分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，则为线段的垂直平分线，垂足为点，则， 在上取， 连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，交于点，则， 在中，，即， ∴点即为所求点的位置． 10．（2026·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小陈同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 年月日  星期六 利用平行线探究角平分线分线段成比例 今天，我在书店一本书上看到一个重要的补充：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例． 我和小组的同学研究了一番，写出的题目如下：如图1，在中，平分交于点，求证： 【自主探究】通过查阅资料，我们找到了方法，下面是我们的证明过程（不完整）： 证明：过点作，交的延长线于点． （依据），，． 平分，． ．． ，即． 【拓展探究】我有如下思考：如图2，在中，外角的平分线与的延长线交于点，那么能不能参照上述方法求出线段，，，之间的比例关系呢？ …… 任务： (1)【自主探究】的证明过程中的“依据”是指__________． (2)如图3，在中，，请你作出边的一个三等分点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (3)求出【拓展探究】中，线段，，，之间的比例关系． 【详解】（1）解：平行线分线段成比例的推论（或平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）； （2）答案不唯一，如答图1，点即为所求.         （3）如答图2，过点作，交于点.     ，，.     平分， .             . .             . 11．（2026·吉林长春·一模）图①、图②、图③均是6×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作中线； (2)在图2中，在上找一点E，使； (3)在图3中，将点向右平移个单位，得到点，连接；并在线段上找到一点，连接，使． 【详解】（1）解：如图所示，在网格上取点E，连接交于点D，即为所求； 理由如下： ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴为的中线； （2）解：如图所示，取点M、N，连接交于点E，则点E即为所求； 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，取点H，连接交于点Q，则点Q即为所求； 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $