专题02 四边形与几何动点综合（选择压轴题）（北京专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题02 四边形与几何动点综合（选择压轴题） 命题预测 依托平行四边形、菱形、矩形、正方形，搭配点动、线动，融合全等、相似、勾股定理，侧重数形结合与动态分析，设问分层，从基础证明到最值、存在性逐级拔高。 高频考法 1.特殊四边形判定与性质综合 2.动点产生的边角关系 3.四边形背景下相似证明 4.动态图形面积变化 5.特殊点存在性分类讨论 典例·靶向·突破 题型01 正方形/长方形综合证明与计算 1．（2026·北京·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在线段上运动（含两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．利用全等三角形的性质证明，推出，推出点Q在射线上运动，求出，可得结论． 【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H． ∵四边形是矩形， ∴， ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴点Q在与过点F且与垂直的射线上运动， ∵， ∴， ∵，， ∴点Q在射线上运动， ∵， ∴， ∵， ∴． 根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为3． 故选D． 【点睛】本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点Q的在射线上运动． 2．（2026·北京海淀·模拟预测）如图，将正方形折叠，使顶点与边上的一点重合（不与端点，重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】设正方形ABCD的边长为a，CH=x，DE=y，则m=4a，根据折叠的性质可得∠EHG=∠A=90°，EH=AE，可得EH=a-y，DH=a-x，根据直角三角形两锐角互余的关系可得∠DEH=∠CHG，可证明△DEH∽△CHG，根据相似三角形的性质可用a、x、y表示出CG、HG的长，在Rt△DEH中利用勾股定理可得x2=2a(x-y)，表示出△CHG的周长，进而可得答案． 【详解】设正方形ABCD的边长为a，CH=x，DE=y，则m=4a， ∵将正方形折叠，使顶点与边上的一点重合， ∴∠EHG=∠A=90°，EH=AE， ∴DH=a-x，EH=a-y， ∵∠CHG+∠DHE=90°，∠DEH+∠DHE=90°， ∴∠CHG=∠DEH， ∵∠D=∠C=90°， ∴△DEH∽△CHG， ∴，即：， ∴CG=，HG=， 在Rt△DEH中，EH2=DE2+DH2，即(a-y)2=y2+(a-x)2， ∴x2=2a(x-y)， ∴n=CH+HG+CG=x++==2a， ∴==2， 故选：D． 【点睛】本题考查翻折变换及正方形的性质及相似三角形的判定与性质，正方形的有些题目有时用代数的计算证明比用几何方法简单，甚至几何方法不能解决的用代数方法可以解决．本题综合考查了相似三角形的应用和正方形性质的应用． 题型02 双动点背景下四边形动态探究 1．（2026·北京·一模）如图，边长为1的正方形中，、为线段、上的动点，且，小明用信息技术软件开展研究，当拖动点时，发现线段与线段、、和之间存在相互变化关系，设长度为，、、和的长度分别为、、、，在平面直角坐标系中画出点、、和的轨迹，则平面直角坐标系中这四个轨迹分别对应的图象是（   ）． A．④③①② B．③④①② C．③④②① D．④③②① 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得出，，设长度为，则，分别求出，，，，然后再进行判断即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 设长度为，则， ∵、、和的长度分别为、、、， ∴， ∴当时，取最大值，当时，取最小值， ∴图象③为点的轨迹； ∵， 当时，取最小值1，当时，取最大值， 延长，取，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴当时，，当时，， ∴图象④为点的轨迹； ∵， ∴当时，取最小值1，当时，取最大值， ∵，， ∴ ， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，点的轨迹在点的轨迹上面， ∴图象②为点的轨迹；图象①为点的轨迹； 综上分析可知：在平面直角坐标系中，点、、和的轨迹分别对应的图象是③④②①． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 2．（2026·北京·一模）如图所示，在矩形纸片中，，点分别是矩形的边上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在处，连接与交于点．则下列结论成立的是（    ） ①； ②当点与点重合时； ③的面积的取值范围是； ④当时，． A．①③ B．③④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】①根据题意可知四边形BFGE为菱形，所以EF⊥BG且BN=GN，若BN=AB，则BG=2AB=6，又因为点E是AD边上的动点，所以3<BG<．从而判断①不正确； ②如图，过点E作EH⊥BC于点H，再利用勾股定理求解即可； ③当点E与点A重合时，的面积有最小值，当点G与点D重合时的面积有最大值．故<<． ④因为，则EG=BF=6-=．根据勾股定理可得ME= ，从而可求出△MEG的面积． 【详解】解：①根据题意可知四边形BFGE为菱形， ∴EF⊥BG且BN=GN， 若BN=AB，则BG=2AB=6， 又∵点E是AD边上的动点， ∴3<BG<． 故①错误； ②如图，过点E作EH⊥BC于点H，则EH=AB=3， 在Rt△ABE中 即 解得：AE=， ∴BF=DE=6-=． ∴HF=-=． 在Rt△EFH中 =； 故②正确； ③当点E与点A重合时，如图所示，的面积有最小值= =， 当点G与点D重合时的面积有最大值==． 故<<． 故③错误． ④因为，则EG=BF=6-=．根据勾股定理可得ME= ， ∴． 故④正确． 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质等知识，掌握相关知识找到临界点是解题的关键． 题型03 四边形与直角三角形结合压轴 1．（2025·北京顺义·一模）如图，在菱形中，，连接，将绕点A逆时针旋转得到，与菱形的交点为E，F，G，H，将绕点C逆时针旋转得到，与菱形的交点为K，L，M，N．对于八边形给出下面四个结论：①该八边形是轴对称图形；②该八边形各内角都相等；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，轴对称的判定和性质，解直角三角形等，熟练掌握旋转的性质，菱形的性质，是解题的关键． 根据四边形是菱形，菱形本身就是轴对称图形，绕点逆时针旋转，绕点逆时针旋转，可判断①；求出， ，得该八边形各内角不都相等，可判断结论②；根据与关于直线对称，与关于直线对称，得，同理，进而得，可判断结论③正确；设，分别求出、可判断④即可得解。 【详解】解：四边形是菱形，菱形本身就是轴对称图形． 又绕点逆时针旋转，绕点逆时针旋转，旋转后的图形与原菱形的组合八边形依然保持轴对称性．该八边形是轴对称图形，结论①正确． 与关于直线对称， ， 四边形是菱形，， ， ， ， ， 是对称点， ， 是等边三角形， ， ，该八边形各内角不都相等，结论②不正确； 与关于直线对称，与关于直线对称， ，同理， ，结论③正确； 设， 都是等边三角形，， ， ，， ，， ， ，， 同理，不正确，结论④不正确； 综上所述，正确的有①③， 故答案为：A． 2．（24-25·北京·三模）如图，菱形的边长为2，，E是边的中点，F是边上的一个动点，将线段绕着点E逆时针旋转得到，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接、、，连接，证明，连接构造，在，证明，求出的长度即可，过点作的延长线于，在中，由菱形的性质可知，由此即可求出的长度，在中即可求出的长，于是就可以求出的最小值． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接、、，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点是中点，点是的中点， ，， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∵，， ， ， ， ， ， ∵， ， ∴，则， 在中，， 如下图所示，过点作的延长线于， 在中，，由菱形可知， ∴，则，且， ∴， 则， 在中，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查菱形的性质与全等三角形，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，解直角三角形的综合运用，将线段的长度的最小是转换到三角形中，根据三角形边长的关系求解是解题的关键． 题型04 动点面积最值与取值范围问题 1．（24-25·北京·二模）如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为（  ） A．30 B．32 C．35 D．38 【答案】D 【分析】首先连接，，证明在以为圆心，2为半径的圆弧上，过作于，当G在上时，面积取最小值，此时四边形面积取最小值，再进一步解答即可． 【详解】解：连接，， ∵矩形， ∴，， ∵，为的中点， ∴， ∴在以为圆心，2为半径的圆弧上， 过作于， 当G在上时，面积取最小值，此时四边形面积取最小值， 四边形面积=三角形面积+三角形面积， 即四边形面积=三角形面积+24． 设圆弧交于，此时四边形面积取最小值， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 即四边形面积的最小值=． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，圆的确定，解题的关键是利用直角三角形斜边的直线等于斜边的一半确定出点的运动轨迹． 2．（2026·北京·一模）如图，在矩形中，，．点O为矩形的对称中心，点E为边上的动点，连接并延长交于点F．将四边形沿着翻折，得到四边形，边交边于点G，连接，则的面积的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在上截取，连接，证明，所以，即可得最短时，也就最短，而当时，最短，且，再过点作，得，又因为，就可以根据勾股定理计算、的长，从而计算出最小面积． 【详解】解：在上截取，连接，    由折叠得：， 又， ， ， 最短时，也就最短， 而当时，最短， 此时，点为矩形的对称中心， ， 即的最小值是4， 在中，点为矩形的对称中心， 长度是矩形对角线长度的一半，即是5，定值，度数也不变，是定值， 当最小值时，面积最小． 过点作， 点为矩形的对称中心，   ， 中，， 中，， ， 面积的最小值是． 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及垂线段最短等知识，解题关键是找到的最小值． 1．（25-26·北京·一模）已知：如图，在正方形外取一点E，连接，，．过点A作的垂线交于点P，若，．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】由正方形的性质可得，，再证明，即可得出，从而判断①正确；先证明是等腰直角三角形，则，求出的度数，再结合全等三角形的性质即可判断②正确；由勾股定理可得，证明是直角三角形，再结合勾股定理即可判断③正确；由全等三角形的性质可得，再结合三角形的面积公式即可判断④正确；过点作，交的延长线于点，先证明是等腰直角三角形，再结合勾股定理计算即可判断⑤正确． 【详解】解：①∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ②在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴，故③正确； ④∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确； ⑤过点作，交的延长线于点，如图： ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②③④⑤，共个． 2．（2026·北京·一模）如图，已知矩形中，，点是对角线上一个动点（不与，重合），于点，于点，连接，，点是的中点，连接，给出下列结论中，其中正确的是（   ） A．四边形的周长是定值 B．的最小值为 C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题是矩形对角线动点多结论题，统一设某边为参数，利用平行线出相似的特点用参数表示所有相关线段，再逐个验证结论：选项A：证四边形是矩形，代入周长公式发现其随动点变化非定值；选项B：利用矩形对角线相等将转化为，由垂线段最短和等积法求最小值；选项C：计算对应线段比，结合直角用两边成比例且夹角相等证相似；选项D：由垂直加对顶角得相似，转化为对应角正切相等列方程求． 【详解】解：已知矩形中，，则，，对角线，， 选项A：设，则， ∵，，， ∴四边形是矩形，周长， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长，随变化而变化，不是定值， ∴A错误； 选项B：∵四边形是矩形， ∴， 根据垂线段最短，当时，最小，如图， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为， ∴B错误； 选项C：当时，由得， 即，解得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，且，， ∴， ∴， ∴C正确； 选项D：若，设垂足为，如图，的延长线交于点， 在和中， ， ∴， 设，则：，，，， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，， 在中，​， ∵， ∴， ∴， ∵（若，则与重合）， ∴两边同时除以，得： ​， 解得， ∴​​， ∴选项D错误； 综上，正确答案为C． 【点睛】解题时需注意三个易错点，切勿凭直觉认为动点题中周长或面积一定是定值，必须通过代数推导验证；相似三角形的对应边切勿写反，两边成比例时需严格对应夹角；解方程时必须验证公因式是否为零，避免增根导致结果错误． 3．（2026·北京海淀·一模）如图，在四边形中，，，，，，点P在直线上方，且的面积为4，则下列结论错误的是（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】先推导出点P在平行于且与的距离为1的直线上运动，过P作直线交于，过点D作于，根据垂线段最短，结合含30度角的直角三角形的性质和矩形的性质可判断选项A、B；在上取点，使 ，则点B与点关于直线l对称，根据轴对称性质结合勾股定理判断选项C、D，进而可得答案． 【详解】解：过点作于， ∵， ∴，则点P在平行于且与的距离为1的直线上运动， 如图，过P作直线交于，过点D作于， 则， 当时，最小，最小值为，故选项A正确，不符合题意； 当时，最小，最小值为的长， 过D作延长线于K，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，则， ∴， ∴，即的最小值为，故选项B正确，不符合题意； 在上取点，使 ，则点B与点关于直线l对称，连接交直线l于点，此时的值最小，最小值为的长， ∵， ∴的最小值为，故选项D正确，不符合题意； 连接并延长交直线l于点，此时最大，最大值为的长， ∵，， ∴， ∴的最大值为，故选项C错误，符合题意． 4．（25-26·北京·一模）如图，矩形中，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，是的中点，是的中点，连接，．则下列结论错误的是（    ） A． B．当旋转角为时， C．当点落在上时， D．的最大值是4 【答案】D 【分析】由，，可得，，可得A不符合题意；当旋转角为时，则，可得，可得B不符合题意，如图，连接，证明是等边三角形，可得C不符合题意；由，当三点共线且在之间时，的最大值为，可得D符合题意；从而可得答案. 【详解】解：∵矩形，， ∴，，， ∴，， 由旋转可得：，故A不符合题意； 当旋转角为时，则， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意， 如图，连接， ∵，， ∴， 由旋转可得：，， ∴是等边三角形， ∴，故C不符合题意； ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴， 当三点共线且在之间时，的最大值为，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，旋转的性质，锐角三角函数的应用，三角形的三边关系的应用，等边三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 5．（25-26·北京·一模）如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，P是对角线上的动点，且．若，，则的最小值是（    ）    A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质和平行线的性质可得，过作于，则，，当、、三点共线且与垂直时最小，最小值为菱形的高，求解即可． 【详解】过作于，过作于，    ∵菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴当、、三点共线且与垂直时最小，最小值为菱形的高， ∵，， ∴, ∵，， ∴ ∴， 即 ∴的最小值是， 故选：C． 6．（25-26·北京大兴·一模）如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形与三角形综合．熟练掌握菱形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，勾股定理，是解题的关键． 作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接，则，可得，根据，得，得,得,根据菱形性质和，可得，得，得，得取得最小值为17 ． 【详解】作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接， 则，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，，且， ∴， ∴， ∴， ∴当点E在线段上时，取得最小值17． 故选：C． 7．（2026·北京·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形OACD的边OD、AC上的动点，且，过原点O作，垂足为H，连接HA、HB，则面积的最大值为（    ） A． B．12 C． D． 【答案】D 【分析】先证明ON=CN，再证点H在以ON直径的圆上运动，则当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大，由相似三角形的性质可求MK，KQ的长，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：如下图，连接AD，交EF于N，连接OC，取ON的中点M，连接MH，过点M作MQ⊥AB于Q，交AO于点K，作MP⊥OA与点P， ∵直线y=x−3分别与x轴、y轴相交于点A、B， ∴点A（4，0），点B（0，-3）， ∴OB=3，OA=4， ∴， ∵四边形ACDO是正方形， ∴OD//AC，AO=AC=OD=4，OC=4，∠COA=45°， ∴∠EDN=∠NAF，∠DEN=∠AFN， 又∵DE=AF， ∴△DEN≌△AFN（ASA）， ∴DN=AN，EN=NF， ∴点N是AD的中点，即点N是OC的中点， ∴ON=NC=2， ∵OH⊥EF， ∴∠OHN=90°， ∴点H在以ON直径的圆上运动， ∴当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大， ∵点M是ON的中点， ∴OM=MN=， ∵MP⊥OP，∠COA=45°， ∴OP=MP=1， ∴AP=3， ∵∠OAB+∠OBA=90°=∠OAB+∠AKQ， ∴∠AKQ=∠ABO=∠MKP， 又∵∠AOB=∠MPK=90°， ∴△MPK∽△AOB， ∴， ∴， ∴MK=，PK=， ∴AK=， ∵∠AKQ=∠ABO，∠OAB=∠KAQ， ∴△AKQ∽△ABO， ∴， ∴， ∴KQ=， ∴QM=KQ+MK=+=， ∴点H到AB的最大距离为+， ∴△HAB面积的最大值=×5×(+)=， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用，圆等知识，解题的关键是求出MQ的长． 8．（25-26·北京·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、，点、分别是正方形的边、上的动点，且，过原点作，垂足为，连接、，则面积的最大值为（    ） A． B．12 C． D． 【答案】D 【分析】先证明ON=CN，再证点H在以ON直径的圆上运动，则当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大，由相似三角形的性质可求MK，KQ的长，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：如图，连接AD，交EF于N，连接OC，取ON的中点M，连接MH，过点M作MQ⊥AB于Q，交AO于点K，作MP⊥OA与点P， ∵直线分别与x轴、y轴相交于点A、B， ∴点A（4，0），点B（0，-3）， ∴OB=3，OA=4， ∴， ∵四边形ACDO是正方形， ∴OD//AC，AO=AC=OD=4，OC=4，∠COA=45°， ∴∠EDN=∠NAF，∠DEN=∠AFN， 又∵DE=AF， ∴△DEN≌△AFN（ASA）， ∴DN=AN，EN=NF， ∴点N是AD的中点，即点N是OC的中点， ∴ON=NC=2， ∵OH⊥EF， ∴∠OHN=90°， ∴点H在以ON直径的圆上运动， ∴当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大， ∵点M是ON的中点， ∴OM=MN=， ∵MP⊥OP，∠COA=45°， ∴OP=MP=1， ∴AP=3， ∵∠OAB+∠OBA=90°=∠OAB+∠AKQ， ∴∠AKQ=∠ABO=∠MKP， 又∵∠AOB=∠MPK=90°， ∴△MPK∽△AOB， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵∠AKQ=∠ABO，∠OAB=∠KAQ， ∴△AKQ∽△ABO， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点H到AB的最大距离为， ∴△HAB面积的最大值， 故选：D． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用等知识，求出MQ的长是解题的关键． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 四边形与几何动点综合（选择压轴题） 命题预测 依托平行四边形、菱形、矩形、正方形，搭配点动、线动，融合全等、相似、勾股定理，侧重数形结合与动态分析，设问分层，从基础证明到最值、存在性逐级拔高。 高频考法 1.特殊四边形判定与性质综合 2.动点产生的边角关系 3.四边形背景下相似证明 4.动态图形面积变化 5.特殊点存在性分类讨论 典例·靶向·突破 题型01 正方形/长方形综合证明与计算 1．（2026·北京·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在线段上运动（含两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D．3 2．（2026·北京海淀·模拟预测）如图，将正方形折叠，使顶点与边上的一点重合（不与端点，重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 题型02 双动点背景下四边形动态探究 1．（2026·北京·一模）如图，边长为1的正方形中，、为线段、上的动点，且，小明用信息技术软件开展研究，当拖动点时，发现线段与线段、、和之间存在相互变化关系，设长度为，、、和的长度分别为、、、，在平面直角坐标系中画出点、、和的轨迹，则平面直角坐标系中这四个轨迹分别对应的图象是（   ）． A．④③①② B．③④①② C．③④②① D．④③②① 2．（2026·北京·一模）如图所示，在矩形纸片中，，点分别是矩形的边上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在处，连接与交于点．则下列结论成立的是（    ） ①； ②当点与点重合时； ③的面积的取值范围是； ④当时，． A．①③ B．③④ C．②③ D．②④ 题型03 四边形与直角三角形结合压轴 1．（2025·北京顺义·一模）如图，在菱形中，，连接，将绕点A逆时针旋转得到，与菱形的交点为E，F，G，H，将绕点C逆时针旋转得到，与菱形的交点为K，L，M，N．对于八边形给出下面四个结论：①该八边形是轴对称图形；②该八边形各内角都相等；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 题型04 动点面积最值与取值范围问题 1．（24-25·北京·二模）如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为（  ） A．30 B．32 C．35 D．38 2．（2026·北京·一模）如图，在矩形中，，．点O为矩形的对称中心，点E为边上的动点，连接并延长交于点F．将四边形沿着翻折，得到四边形，边交边于点G，连接，则的面积的最小值为（    ）    A． B． C． D． 1．（25-26·北京·一模）已知：如图，在正方形外取一点E，连接，，．过点A作的垂线交于点P，若，．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2026·北京·一模）如图，已知矩形中，，点是对角线上一个动点（不与，重合），于点，于点，连接，，点是的中点，连接，给出下列结论中，其中正确的是（   ） A．四边形的周长是定值 B．的最小值为 C．当时， D．当时， 3．（2026·北京海淀·一模）如图，在四边形中，，，，，，点P在直线上方，且的面积为4，则下列结论错误的是（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 4．（25-26·北京·一模）如图，矩形中，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，是的中点，是的中点，连接，．则下列结论错误的是（    ） A． B．当旋转角为时， C．当点落在上时， D．的最大值是4 5．（25-26·北京·一模）如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，P是对角线上的动点，且．若，，则的最小值是（    ）    A．2 B．3 C．4 D． 6．（25-26·北京大兴·一模）如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 7．（2026·北京·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形OACD的边OD、AC上的动点，且，过原点O作，垂足为H，连接HA、HB，则面积的最大值为（    ） A． B．12 C． D． 8．（25-26·北京·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、，点、分别是正方形的边、上的动点，且，过原点作，垂足为，连接、，则面积的最大值为（    ） A． B．12 C． D． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $