专题05 新定义综合（选择压轴题）（北京专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 聚焦新定义综合选择压轴，通过平面几何、坐标系、函数等模块分类训练，培养抽象能力与推理意识，构建新定义问题的解题逻辑。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面几何类新概念|2题|定义新数串、运算规则，考查阅读理解与分类讨论|从新定义生成到规则应用，衔接数与式运算| |坐标系新定义距离|2题|定义“鹊桥”函数、奇异三角形，结合图像与几何性质|坐标系概念延伸，融合函数图像与几何判定| |实数运算综合|2题|定义“顶峰”函数、伴随点，涉及函数性质与方程求解|新运算规则构建，关联函数最值与方程思想| |函数复合压轴|4题|定义“坐标”“方内点”等，综合一次、二次函数与几何|函数与几何概念复合，体现模型意识与应用拓展|

专题05 新定义综合（选择压轴题） 命题预测 全新定义几何、点、线段、图形规则，结合坐标系、函数、几何图形，考查阅读理解、知识迁移、多情况分类讨论，命题灵活、原创性强。 高频考法 1.平面图形新定义 2.坐标系点/线段新定义 3.新定义下距离与范围 4.新定义结合函数 5.复合规则类分类探究。 典例·靶向·突破 题型01 平面几何类新概念定义探究 1．（25-26·北京·一模）定义：我们把互不相等的三个正整数，3，5放在一起（排列不分顺序），组成一个数串称为特征数串，现操作如下：用一个特征数串三个数中最大的数减去其它两个数之积的差的绝对值去替换这三个数中最大的数得到一个新数串，若这个新数串仍为特征数串时，就可进行再次操作，否则停止，下列说法： ①特征数串17，3，5经过操作后可以得到新数串1，2，3； ②若特征数串，3，5经过一次操作后得到的新数串为1，2，3，则或2； ③若特征数串，3，5经过两次操作后得到的新数串为1，2，3，则共有6种不同的取值． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查新定义，数字的变化规律，根据其定义进行分析判断是解决该类问题的关键． 根据题中的操作将一个有效数串三个数中最大的数减去其它两个数积的差的绝对值去替换这三个数中最大的数得到一个新数串，再根据定义进行检验判断新得到有效数串是否为有效数串即可求出结论． 【详解】解：①若特征数串17，3，5， ∵ ∴第一次替换后新数串为2，3，5， ∵ ∴第二次替换后新数串为1，2，3， 故①正确； ②若特征数串，3，5， ∵经过一次操作后得到的新数串为1，2，3， ∴5被替换，即5为最大数， ∴或， ∵x为正整数， ∴或， 故②正确； ③若特征数串，3，5， 分两种情况：（1）当为最大数时，则第一次替换后新特征数串为：、3、5， 经过第二次变换后，新数串为1、2、3， 则可知，第二次操作，5被替换， ∴，解得： 新数串为：、3、或， ∵特征数串，3，5经过两次操作后得到的新数串为1，2，3， ∴当，或， ∴或， 特征数串为16，3，5；或14，3，5； 当，或， ∴或； 特征数串为13，3，5；或17，3，5； （2）当5为最大数时，则第一次替换后新特征数串为：x、3、， ∵经过第二次变换后，新数串为1、2、3， 则可知，第二次操作，x或被替换， 当x最大时，则，解得：， ∴新数串为：，3， 当， 时 ∴（舍去） 当，时， ∴无解； 当最大时，则，解得：， ∴新数串为：，3，x， 当， 时 解得：（舍去）； 当， 时 无解； 综上，若特征数串，3，5经过两次操作后得到的新数串为1，2，3，则共有4种不同的取值． 故③错误； ∴有①②正确，共2个． 故选：C． 2．（25-26·北京海淀·一模）定义一种新运算： ①若，则或； ②若，则； ③若，则的最小值为14； ④若关于的二元一次方程组的解为，则关于的方程组 的解满足：． 以上说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】①分类讨论当时和当时，结合新定义的运算法则计算即可判断；②由绝对值的非负性可知．再分类讨论当时和当时，化简绝对值求解即可；③解不等式得：，即得出，，，结合新定义的运算法则可求出 ．再分类讨论当时，即时和当时，即时，化简绝对值求解即可；④由二元一次方程组的解的定义可求出a和b的值，结合完全平方公式可将原方程组改为，再根据平方的非负性结合新定义的运算法则计算即可． 【详解】解：①当时，即， ∴， 解得：； 当时，即， ∴， 解得：，不符合题意， 综上可知若，则，故①错误； ②∵， ∴， ∴． 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：， 综上可知若，则或，故②错误； ③∵， ∴，或，， 解得：． ∴，，， ∴， ∴． 当时，即时，， ∴此时当时有最小值，为； 当时，即时，． 综上可知若，则的最小值为14，故③正确； ④将代入，得：， ∴原方程组为， ∴． ∵，，，，，，， ∴， ， ， ， ∴原方程为， 解得：， ∴，故④错误． 综上可知正确的只有③． 故选A． 【点睛】本题考查新定义运算，化简绝对值，解不等式和不等式组，二元一次方程组的解和解二元一次方程组，完全平方公式的应用，分类讨论思想的运用．理解题意，掌握新定义的运算法则是解题关键． 题型02 ：平面直角坐标系新定义距离与范围 1．（25-26·北京·一模）我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列结论：①图象与坐标轴的交点为（，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线；③当或时，函数值y随x值的增大而增大；④当或时，函数的最小值是0；⑤当时，函数的最大值是4，⑥若点P（a，b）在该图像上，则当b＝2时，可以找到4个不同的点P．其中正确结论的个数是（       ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】观察图象，分别计算出对称轴、函数图象与x轴的交点坐标，结合图象逐个选项分析判断即可． 【详解】令|x2-2x-3|=0可得x2-2x-3=0， ∴（x+1）（x-3）=0， ∴x1=-1，x2=3， ∴（-1，0）和（3，0）是函数图象与x轴的交点坐标， 令x=0可得y=3， ∴与y轴的交点坐标为（0,3），，故①正确； 观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线x=1，故②正确； 又对称轴是直线x=1， ∴当或时，，函数值y随x值的增大而增大，故③正确； 由图象可知（-1，0）和（3，0）是函数图象的最低点，则当x=-1或x=3时，函数最小值是0，故④正确； 由图象可知，函数图像向两边无限延伸，没有最大值，故⑤错误； 由图象可知，函数图像与直线y=2有四个交点，即当b＝2时，可以找到4个不同的点P．故⑥正确； 综上，正确的有5个． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数在新定义函数中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．（25-26·北京朝阳·一模）我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据定义：①等边三角形一定是奇异三角形；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，则a：b：c＝1：：2；③如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．则△ACE是奇异三角形；④在③的条件下，当△ACE是直角三角形时，∠AOC＝120°，其中，说法正确的有（  ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】①设等边三角形的边长为a，代入检验即可；②在中，由勾股定理可得，因为是奇异三角形，且，所以，然后可得，，代入可求；③要证明△ACE是奇异三角形，只需证即可；④由③可得ΔACE是奇异三角形，所以，当ΔACE是直角三角形时，由②可得或，然后分两种情况讨论． 【详解】解：设等边三角形的边长为a， 则，满足奇异三角形的定义， 等边三角形一定是奇异三角形， 故①正确； 在中，， ∵， ∴，， 若是奇异三角形，一定有， ∴， ∴，得． ∵， ∴， ∴， 故②错误； 在中，， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°， 在中，； 在中，． ∵D是半圆的中点， ∴， ∴AD=BD，   ∴， 又∵，， ∴． ∴ΔACE是奇异三角形， 故③正确； 由③可得ΔACE是奇异三角形， ∴． 当ΔACE是直角三角形时， 由②可得或， （Ⅰ）当时， ，即， ∵， ∴， ∴． （Ⅱ）当时， ，即， ∵∠ACB=90°， ∴∠ABC=60°， ∴∠AOC=2∠ABC=120°， ∴∠AOC的度数为60°或120°， 故④错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了：1．命题；2．勾股定理；3．圆周角定理及推论；4．直角三角形的性质．能牢固掌握以上知识点并综合运用是做出本题的关键． 题型03 新定义下的实数运算综合题 1．（25-26·北京·一模）定义：（1）是的函数：（2）对于在自变量取值范围之内的任意对应的函数值，始终有（为实数），则是的“顶峰”函数．其中所有满足条件的最小值称为这个函数的“巅峰”值．下列说法正确的有（    ） ①函数是“顶峰”函数； ②函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1； ③函数的“巅峰”值为3，则的值为－2或： ④若函数的最小值不超过，“巅峰”值是，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题根据新定义可知，“巅峰值”就是函数在自变量范围内的最大值，“顶峰函数”就是函数在自变量范围内存在最大值，结合一次函数的性质，逐个判断即可得到结果 【详解】解： ①对于， ∵随增大而减小， ∴当时，取得最大值，即恒成立， ∴函数是“顶峰”函数，①正确； ②对于， ∵，随增大而增大， ∴当时，取得最大值，即恒成立， ∴函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为，②正确； ③对于，巅峰值为，即最大值为，分情况讨论： 当时，随增大而增大，最大值在处， ∴，解得，与矛盾，舍去； 当时，随增大而减小，最大值在处， ∴，解得，与矛盾，舍去； 当时，，最大值为，不符合题意， ∴不存在满足条件的，③错误； ④对于， ∵，随增大而减小， ∴函数最大值为，最小值为， ∵巅峰值是，∴， ∵最小值不超过，∴， 将代入不等式得， 化简得，解得， 又，即，解得， ∴， ④错误； 综上，①②正确，共个正确说法，故选B 2．（25·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，对点和点给出如下定义： 若则称点是点的伴随点． 如：点的伴随点是，的伴随点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其伴随点的纵坐标的值不可能是（    ） A． B． C．10 D．11 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，先根据二次函数的性质求出当时，，当时，，进而根据定义得到当时，，即，当时，，即，由此即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数对称轴为直线，且开口向上， 当时，， 当时， 当时，， ∴当时，，当时，， ∴当时，，即； 当时，，即， 综上所述，， ∴四个选项中，只有D选项中的值符合题意， 故选D． 题型04 新定义与一次、二次函数复合压轴 1．（25-26·北京·一模）等腰三角形中，，记，周长为，定义为这个三角形的坐标．如图所示，直线，，将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，所有正确结论的序号是（    ） ①对于任意等腰三角形，其坐标不可能位于区域I中； ②对于任意等腰三角形，其坐标可能位于区域IV中； ③若三角形是等腰直角三角形，其坐标位于区域III中；    A．①③ B．①②③ C．②③ D．① 【答案】A 【分析】设，则，根据，利用不等式的性质得出，即可判断①；根据三角形任意两边之和大于第三边得出，利用不等式的性质得到，即可判断②；根据等腰直角三角形的性质、不等式的性质得出，即可判断③，从而得到答案． 【详解】解：如图，在等腰三角形中，，记，周长为，   ， 设，则，，， ， ， 对于任意等腰三角形，其坐标位于直线的上方，不可能位于区域I中，故①说法正确，符合题意； 三角形任意两边之和大于第三边， ，即， ， 对于任意等腰三角形，其坐标位于直线的下方，不可能位于区域IV中，故②说法错误，不符合题意； 若三角形是等腰直角三角形，则， ，， ， ，即， 若三角形是等腰直角三角形，其坐标位于区域III中，故③说法正确，符合题意； 综上所述，正确的有①③， 故选：A． 【点睛】本题是一次函数综合题，涉及到一次函数的图象与性质，三角形三边关系定理、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、不等式的性质，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键． 2．（2025·北京房山·二模）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“方内点”． 对于下列四个结论： ①点是一次函数图象的“2方内点”； ②函数图象上不存在“2方内点”； ③若直线的“方内点”有两个，则； ④当函数的“方内点”恰有3个时，符合条件的的值也有3个．其中正确的序号为（    ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题为新定义题型，考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，函数图象上点的坐标特征．根据“a方内点”的定义，逐一判断即可． 【详解】解：①点到x轴距离为2，到y轴的距离等于1，不大于2， 故是一次函数图像的“2方内点”；故①正确； ②当时，，则点到y轴的距离为2，到x轴的距离为，不大于2，即点是函数图像上的“2方内点”；故②错误； ③若直线的“方内点”有两个， 由题意知，函数图象的“方内点”是指函数图象上点落在以原点为中心，边长为1且相邻两边分别与x轴、y轴平行的正方形边上， 如图，当时，，即直线过定点， 当时，直线与有无数个“方内点”， 对于直线，把点代入中，， 解得：， 当时，直线与正方形的边有两个交点，表明有两个“方内点”，故③正确； ④抛物线的“方内点”是函数图象上落在以原点为中心，边长为且相邻两边分别平行于x轴与y轴的正方形上的点，如下图； 当抛物线顶点在直线上时，抛物线恰有三个“方内点”， 此时：，解得：（舍去）； 当抛物线经过点时，抛物线恰有三个“方内点”， 此时，整理得：， 解得：（舍去）； 当抛物线经过点时，抛物线恰有三个“方内点”， 此时，整理得：， 解得：（舍去）； 综上，a的值恰有三个，分别为， 故④正确； 故正确的有①③④， 故选：C． 1．（25-26·北京东城·一模）对于代数式M、N定义一种新运算：． ①若，则； ②若是一元二次方程的两个根，则； ③的函数图象与直线（b为常数）有三个交点时，则b的值为或． 以上结论正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据新定义的概念，利用一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，逐一对选项进行判断即可解答． 【详解】解：当时，，故①正确； 由题意可得， 根据，可得，， 原式，故②错误； ， 当时，解得， 存在两种情况，使得直线与有三个交点， ①当经过点时，直线与有三个交点， 把代入，可得， 解得； ②当与只有一个交点时，直线与有三个交点， 可得， 经整理可得， ， 解得， 综上所述，的函数图象与直线（b为常数）有三个交点时，则b的值为或，故③正确， 故正确的有2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义的概念，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，根据新定义得到正确的函数，且能准确理解题意是解题的关键． 2．（24-25·北京丰台·二模）对实数定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．若，，则下列结论正确的个数为（    ） （）； （）若，则； （）若，则有且仅有组正整数解； （）如果，那么或； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了实数的新定义运算，根据新定义运算法则逐项判断即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 解得，故（）正确； ∴， 若， 则， ∴， ∴， ∴，故（）正确； 若， 则， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或或，即或或， 此时或或， ∴有且仅有组正整数解，故（）正确； 如果， 则， ∴， ∴， ∴或， 即或，故（）正确； 综上，结论正确的个数有个， 故选：． 3．（2026·北京·一模）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点的限变点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，当时，的图象向下平移4个单位，当时，，的图象关于轴对称，据此即可求得其限变点的纵坐标的取值范围，作出函数图像，直观的观察可得到的取值范围 【详解】点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的图像即为图中虚线部分，如图， 当时，的图象向下平移4个单位，当时，的图象关于轴对称， 从图可知函数的最大值是当时，取得最大值3， 最小值是当时，取得最小值， ． 故选D． 【点睛】本题考查了新定义，二次函数的最值问题，分段讨论函数的最值，可以通过函数图像辅助求解，理解新定义，画出函数图像是解题的关键． 4．（24-25·北京·二模）现定义对于一个数a，我们把称为a的“邻一数”；若，则；若，则．例如：，．下列说法，其中正确结论有（    ）个 ①若，则； ②当，时，，那么代数式值为4； ③方程的解为或或； ④若函数，当时，x的取值范围是． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查新定义，代数式求值，解一元一次方程，利用函数图象求不等式解集．理解并运用新定义是解题的关键． 当，时，根据“邻一数”定义，可得，可判定①；当，时，根据“邻一数”定义，可得，代入计算即可判定②；当时，可解得，当时，可解得，当时，解得，舍去，可判定③；根据“邻一数”定义，得，画出函数图象，根据图象求出x的取值范围，即可判定④． 【详解】解：①当，时，则，， ∴， ∴若，则错误，故①错误； ②当，时， ∵， ∴，即， ∴，故②正确； ③∵， 当时， ，解得； 当时， ，解得； 当时， ，解得，舍去； ∴方程的解为或，故 ③错误； ④∵， 其图象为： 由图象可得：当时，，故④正确． 综上，正确的有②④，共2个， 故选：B． 5．（2025·北京·二模）定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”．已知点，下列结论错误的是（    ） A．点，都是点的“倍增点” B．若直线上的点A是点的“倍增点”，则点A的坐标为 C．抛物线上存在两个点是点的“倍增点” D．若点B是点的“倍增点”，则的最小值是 【答案】C 【分析】此题考查了新定义，解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，根据题中新定义假设参数，利用一元一次方程，一元二次方程代入即可求解，解题的关键是正确理解题目所给“倍增点”定义，根据定义列出方程求解． 【详解】解：A、∵，， ∴，， ∴， 则是的“倍增点”， ∵，， ∴，， 则是的“倍增点”，故A正确； B、由题意设“倍增点”， ∴，解得：， ∴点，故B正确； C、设抛物线的“倍增点”为， ∴，整理得：， ∴方程有两个相等的实数根，即存在1个点是点的“倍增点”，故C错误； D、设， ∴， 则， ， ， ， 当时，有最小值， ∴的最小值，故D正确； 故选：C． 6．（25-26·北京·一模）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“成双点”．例如：如图，点到x轴、y轴的距离分别为，距离和为2，则点B是“成双点”，点也是“成双点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“成双点”，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取点，连接，在取点P作轴，轴，垂直分别为M，N，则，可得到均为等腰直角三角形，从而得到为等腰直角三角形，进而得到，继而得到线段上的点为“成双点”，线段上的点为“成双点”，可得到当一次函数的图象与线段或线段有交点时，一次函数的图象上存在“成双点”， 再分别求出当一次函数的图象经过点E时，当一次函数的图象经过点G时，k的值，即可求解． 【详解】解：如图，取点，连接，在取点P作轴，轴，垂直分别为M，N，则， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点P是“成双点”， 即线段上的点为“成双点”， 同理线段上的点为“成双点”， ∴当一次函数的图象与线段或线段有交点时，一次函数的图象上存在“成双点”， ∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 当一次函数的图象经过点E时， ，解得：， 当一次函数的图象经过点G时， ，解得：， ∴k的取值范围为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的性质，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题． 7．（24-25·北京·二模）定义，图象与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于直线x＝m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B例如：如图：直线l：x＝1，关于直线l的对称函数y＝与该直线l交于点C，当直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点时，则m的取值范围是（   ） A．0≤m≤ B．－2＜m≤ C．－2＜m≤2 D．－4＜m＜0 【答案】B 【分析】根据定义轴上存在即可求得，根据题意联立即可求得的范围，结合定义所求范围即可求解 【详解】∵一次函数图象与x轴最多只有一个交点，且关于m的对称函数与x轴有两个交点， ∴组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x轴有交点． ∵ 解得或 ∴． ∵直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点， ∴直线y=x分别与直线和各有一个交点． 对于直线y=x与直线， 联立可得解得 ∴直线y=x与直线必有一交点． 对于直线y=x与直线， 联立可得解得 ∵， ∴必须在的范围之内才能保证直线y=x与直线有交点． ∴． ∴． ∴m的取值范围是． 故选B 【点睛】本题考查了新定义，两直线交点问题，一次函数的性质，掌握一次函数的性质，数形结合是解题的关键． 8．（2026·北京·一模）定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作sadA，即sadA＝底边：腰．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝4∠B．则cosB•sadA＝（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可以求得∠B的度数，然后根据锐角三角函数可以表示出AB和BC的值，从而可以求得sadA和cosA的值，进而求得cosB•sadA的值． 【详解】 ∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝4∠B， ∴∠B＝∠C， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴6∠B＝180°， 解得，∠B＝30°， 作AD⊥BC于点D，设AD＝a， 则AB＝2a，BD＝a， ∵BC＝2BD， ∴BC＝2a， ∴sadA＝，cosB＝， ∴cosB•sadA＝， 故选B． 【点睛】本题考查新定义、解直角三角形、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找到sadA的计算，利用数形结合的思想解答． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 新定义综合（选择压轴题） 命题预测 全新定义几何、点、线段、图形规则，结合坐标系、函数、几何图形，考查阅读理解、知识迁移、多情况分类讨论，命题灵活、原创性强。 高频考法 1.平面图形新定义 2.坐标系点/线段新定义 3.新定义下距离与范围 4.新定义结合函数 5.复合规则类分类探究。 典例·靶向·突破 题型01 平面几何类新概念定义探究 1．（25-26·北京·一模）定义：我们把互不相等的三个正整数，3，5放在一起（排列不分顺序），组成一个数串称为特征数串，现操作如下：用一个特征数串三个数中最大的数减去其它两个数之积的差的绝对值去替换这三个数中最大的数得到一个新数串，若这个新数串仍为特征数串时，就可进行再次操作，否则停止，下列说法： ①特征数串17，3，5经过操作后可以得到新数串1，2，3； ②若特征数串，3，5经过一次操作后得到的新数串为1，2，3，则或2； ③若特征数串，3，5经过两次操作后得到的新数串为1，2，3，则共有6种不同的取值． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26·北京海淀·一模）定义一种新运算： ①若，则或； ②若，则； ③若，则的最小值为14； ④若关于的二元一次方程组的解为，则关于的方程组 的解满足：． 以上说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 ：平面直角坐标系新定义距离与范围 1．（25-26·北京·一模）我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列结论：①图象与坐标轴的交点为（，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线；③当或时，函数值y随x值的增大而增大；④当或时，函数的最小值是0；⑤当时，函数的最大值是4，⑥若点P（a，b）在该图像上，则当b＝2时，可以找到4个不同的点P．其中正确结论的个数是（       ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（25-26·北京朝阳·一模）我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据定义：①等边三角形一定是奇异三角形；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，则a：b：c＝1：：2；③如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．则△ACE是奇异三角形；④在③的条件下，当△ACE是直角三角形时，∠AOC＝120°，其中，说法正确的有（  ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 题型03 新定义下的实数运算综合题 1．（25-26·北京·一模）定义：（1）是的函数：（2）对于在自变量取值范围之内的任意对应的函数值，始终有（为实数），则是的“顶峰”函数．其中所有满足条件的最小值称为这个函数的“巅峰”值．下列说法正确的有（    ） ①函数是“顶峰”函数； ②函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1； ③函数的“巅峰”值为3，则的值为－2或： ④若函数的最小值不超过，“巅峰”值是，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，对点和点给出如下定义： 若则称点是点的伴随点． 如：点的伴随点是，的伴随点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其伴随点的纵坐标的值不可能是（    ） A． B． C．10 D．11 题型04 新定义与一次、二次函数复合压轴 1．（25-26·北京·一模）等腰三角形中，，记，周长为，定义为这个三角形的坐标．如图所示，直线，，将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，所有正确结论的序号是（    ） ①对于任意等腰三角形，其坐标不可能位于区域I中； ②对于任意等腰三角形，其坐标可能位于区域IV中； ③若三角形是等腰直角三角形，其坐标位于区域III中；    A．①③ B．①②③ C．②③ D．① 2．（2025·北京房山·二模）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“方内点”． 对于下列四个结论： ①点是一次函数图象的“2方内点”； ②函数图象上不存在“2方内点”； ③若直线的“方内点”有两个，则； ④当函数的“方内点”恰有3个时，符合条件的的值也有3个．其中正确的序号为（    ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 1．（25-26·北京东城·一模）对于代数式M、N定义一种新运算：． ①若，则； ②若是一元二次方程的两个根，则； ③的函数图象与直线（b为常数）有三个交点时，则b的值为或． 以上结论正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25·北京丰台·二模）对实数定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．若，，则下列结论正确的个数为（    ） （）； （）若，则； （）若，则有且仅有组正整数解； （）如果，那么或； A．个 B．个 C．个 D．个 3．（2026·北京·一模）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点的限变点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25·北京·二模）现定义对于一个数a，我们把称为a的“邻一数”；若，则；若，则．例如：，．下列说法，其中正确结论有（    ）个 ①若，则； ②当，时，，那么代数式值为4； ③方程的解为或或； ④若函数，当时，x的取值范围是． A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025·北京·二模）定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”．已知点，下列结论错误的是（    ） A．点，都是点的“倍增点” B．若直线上的点A是点的“倍增点”，则点A的坐标为 C．抛物线上存在两个点是点的“倍增点” D．若点B是点的“倍增点”，则的最小值是 6．（25-26·北京·一模）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“成双点”．例如：如图，点到x轴、y轴的距离分别为，距离和为2，则点B是“成双点”，点也是“成双点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“成双点”，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25·北京·二模）定义，图象与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于直线x＝m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B例如：如图：直线l：x＝1，关于直线l的对称函数y＝与该直线l交于点C，当直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点时，则m的取值范围是（   ） A．0≤m≤ B．－2＜m≤ C．－2＜m≤2 D．－4＜m＜0 8．（2026·北京·一模）定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作sadA，即sadA＝底边：腰．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝4∠B．则cosB•sadA＝（　　） A．1 B． C． D． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $