1.4 线段的垂直平分线&1.5 角平分线（课堂训练）-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 √知识梳理 性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 判定 到一条线段两个端点距离 的点，在这条线段的垂直平分线上 针对训练 1.如图，已知CD是AB的垂直平分线， 20°，∠B=45°，则∠A的度数是( AC=4cm,则BC的长是 A.609 B.65° A.8 cm C.70° D.75° B.6 cm C.4 cm D.2 cm E 2.如图，在△ABC中，DE垂直平分AC,交 (第4题图) (第5题图) AB于点E,∠A=30°，∠ACB=80°，则 5.如图，D是△ABC的边BC延长线上一点， ∠BCE的度数为 ( BD=BC+AC,则点C在线段 的 A.40° B.70° 垂直平分线上. C.60° D.50° 6.如图，在△ABC中，D为BC上一点，连 接AD,点E在线段AD上，且∠1= ∠2，∠3=∠4，求证：AD垂直平分BC. (第2题图) (第3题图) 3.一个风筝的骨架示意图如图所示，AC⊥ BD,垂足为E,且E是BD的中点.若 AB=2cm,四边形ABCD的周长为16cm, 则CD的长为 A.2 cm B.6 cm C.7 cm D.14 cm 4.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别 交AB,BC于点D,E,连接CD,∠ACD= ·9 第2课时三角形三边的垂直平分线 针对训练 1.甲、乙、丙三人玩抢凳子游戏，他们站在一 已知：如图，在△ABC中，分别作AB, 个三角形的三个顶点位置上，在他们中间 BC的垂直平分线，交于点P,分别交 放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜.为使游 AB,BC于点E,F 戏公平，则凳子应放在三角形的( 求证：AB,BC,AC的垂直平分线相交于 A.三边中线的交点上 点P,且PA=PC=PB. B.三条角平分线的交点上 证明：，PE垂直平分AB, C.三边垂直平分线的交点上 ∴.PB=PA D.三边上高的交点上 同理可得 2.如图，∠A=35°，根据图中尺规作图的痕 ∴.PA=PC=PB. 迹，可得∠ABD的度数为 ( ) .P是AC边垂直平分线上的一点( A.35° B.45° C.55° D.60° ). ∴.AB,BC,AC的垂直平分线相交于点P, 且PA=PC=PB. 6.如图，已知△ABC,求作：AB边上的高CH. (第2题图) (第3题图) (不写作法，保留作图痕迹) 3.如图，△ABC三边的垂直平分线相交于 点P,则下列结论正确的是 ( A.AB=PB B.BC=AC C.AC=PA D.PA=PB=PC 4.如图，在△ABC中，边AB,AC的垂直平分 7.如图，已知线段a,求作以线段a为底边，以 线交于点P,连接AP,BP,CP.若∠BAC= 20为高的等腰三角形.（不写作法，保留作 50°，则∠PBC的度数为 A.40° 图痕迹) B.50° C.80° D.100° 5.求证：三角形三条边的垂直平分线相交于 一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 请把下面的说理过程补充完整. ·10· 5角平分线 第1课时角平分线的性质与判定 针对训练 1.如图，∠B=∠D=90°，根据角平分线的性3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分 质填空： ∠CAB,DE⊥AB于点E.若CD=3, (1)若∠1=∠2，则 BD=5,则BE的长为 4.如图，BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点 (2)若∠3=∠4，则 E,BF和CE交于点D,且BE=CF,连 接AD,求证：AD平分∠BAC. 2.如图，PM⊥OA于点M,PN⊥OB于点 N,PM=PN,∠BOC=20°，则∠AOB 的度数为 B (第2题图) (第3题图) 第2课时」 三角形的三条角平分线 √针对训练 1.如图，在△ABC中，BO与CO分别是3.如图，有一块由三条马路围成的三角形 ∠ABC与∠ACB的平分线.若∠BAC= 绿地，现准备在其中建一小亭供人们小 52°，则∠BAO的度数为 ( 憩，使小亭中心到三条马路的距离相等， A.25°B.26° C.30° D.32 试确定小亭中心的位置.（尺规作图，不 写作法，保留作图痕迹) (第1题图) (第2题图) 2.如图，O是△ABC内一点，且点O到三 边AB,BC,CA的距离OF=OD=OE, ∠A=70°，连接BO,CO,则∠BOC的度 数为 ·116.CAD CAD BAD CAE∠BAD=∠CAE SAS全等三角形的对应角相等 第2课时三角形内角和定理的推论 知识梳理 反向延长线 针对训练 1.B2.B3.C4.>5.75°6.60° 7.证明：(1)·∠AEC=∠B+∠EOB,∠ADB=∠C+∠DOC,且∠B=∠C,∠EOB= ∠DOC,.∠AEC=∠ADB.(2).∠BEC=∠C+∠A>∠C,∠B=∠C,.∠BEC >∠B. 第3课时多边形的内角和 针对训练 1.D2.C3.174.60° 5.解：(1)由题意，得1260°=(n一2)×180°，解得n=9.(2)小红的说法不对.理由如下： 当0取800时，80°=(a一2)×180°，解得m-53.:n为正整数，0不能取800 第4课时多边形的外角和 针对训练 1.A2.D3.72°4.290° 5.解：设这个多边形的边数为n.根据题意，得180°·(n一2)=540°+360°，解得n=7. 540°+360°=900°.答：这个多边形的边数是7，内角和是900°. 2等腰三角形 第1课时等腰三角形与等边三角形的性质 知识梳理 相等中线高相等60° 针对训练 1.C2.C3.A4.50°5.240°6.36°7.15 8.证明：.'DE∥AC,.∠ADE=∠CAD.,AE=DE,.∠EAD=∠ADE..∠EAD= ∠CAD.AB=AC,.AD⊥BC 第2课时等腰三角形的判定与反证法 知识梳理 两等角对等边 针对训练 1.B2.C3.B4.35.10 6.证明：AB=AC,∠A=36,∠ABC=∠C=号(180°-∠A)=72.:BD平分 ∠ABC,∠1=∠2=2∠ABC=36.∴∠1=∠A,∠BDC=∠1+∠A=72°=∠C .AD=BD,BC=BD..'.AD=BC. 7.证明：假设AB=AC.,AB=AC,.∠B=∠ACB..∠DAC=∠B十∠ACB=2 ∠ACB.AE平分∠DAC,∴∠DAC=2∠CAE..∠ACB=∠CAE..AE∥BC.这与 ∠DAC的平分线与BC的延长线交于点E相矛盾，.AB=AC不成立，.AB≠AC. 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 知识梳理 相等60°一半 针对训练 1.D2.B3.C4.A5.48 6.证明：'AD=CD,.∠A=∠ACD=30°..∠BDC=∠A十∠ACD=60°..∠ACB =90°，∠DCB=∠ACB-∠ACD=60°，∠B=90°-∠A=60°..△BCD是等边三 角形. 40 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 知识梳理 互余平方和互余平方和 针对训练 1.B2.C3.A4.②5.2√3 6.(1)证明：AB=13,AD=12,BD=5,.AD2+BD2=169,AB2=169..AB2=AD2 十BD2.△ABD为直角三角形，且∠ADB=90°.∴AD⊥BC.(2)解：：AD⊥BC, .∠ADC=90°.在Rt△ADC中，CD=√AC-AD=9.∴.BC=CD+BD=14. :.Se=专BC·AD-专×14X12=84 第2课时直角三角形全等的判定 知识梳理 斜边、直角边HL 针对训练 1.D2.A3.50 DE=EC, 4.(1)证明：：∠1=∠2，.DE=EC.在Rt△ADE和Rt△BEC中， AD=BE, .Rt△ADE≌Rt△BEC(HL).(2)解：，Rt△ADE≌Rt△BEC,.AE=BC.AD= BE,,∴，AB=AE+BE=BC+AD=7. 5.解：(1)△ABD≌△ACD,△ADE≌△ADF,△BDE≌△CDF.(2)答案不唯一，如：选 △BDE≌△CDF.证明如下：，DE⊥AB,DF⊥AC,∴.∠BED=∠CFD=90°.D是 BD=CD, BC的中点，∴.BD=CD.在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∴.Rt△BDE≌ BE=CF, Rt△CDF(HL) 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 知识梳理 相等相等 针对训练 1.C2.D3.B4.C5.AD 6.证明：∠1=∠2，∠3=∠4，∴.EB=EC,∠1+∠3=∠2十∠4，即∠ABC=∠ACB. ∴.点E在BC的垂直平分线上，AB=AC..点A在BC的垂直平分线上..AD垂直平 分BC. 第2课时三角形三边的垂直平分线 针对训练 1.C2.C3.D4.A 5.PB=PC到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 6.解：如图，线段CH即为所求. 7.解：如图，△ABC即为所求. 5角平分线 第1课时角平分线的性质与判定 针对训练 1.(1)BCDC(2)ABAD2.40°3.4 4.证明：：BF⊥AC,CE⊥AB,∴·∠BED=∠CFD=90°.在△BDE和△CDF中， ∠BED=∠CFD, ∠BDE=∠CDF,.△BDE≌△CDF(AAS)..DF=DE.∴.AD平分∠BAC BE=CF. 第2课时三角形的三条角平分线 针对训练 1.B2.1259 3.解：如图，点P即为所求 第二章不等式与不等式组 1不等式及其性质 第1课时不等关系 针对训练 1.D2.C3.G>80N 4.解：(1)2y+1>3.(2)(a+b)2≥3. 第2课时不等式的解与解集 针对训练 1.D2.A3.x一1<2（答案不唯一）4.无数3 5.解：(1)如图所示. -3-2-1012→ (2)如图所示. -3-2.5-2-10 12 第3课时不等式的基本性质 知识梳理 不变> 不变>>改变<< 针对训练 1.A2.C3.D4.> 5.解：(1)根据不等式的基本性质1，两边都加2，得x<5.这个不等式的解集在数轴上 的表示如图所示. 05 (2)根据不等式的基本性质2，两边都乘2，得x>10.这个不等式的解集在数轴上的表 示如图所示 010 (3)根据不等式的基本性质1，两边都减9x,得x≥一1.这个不等式的解集在数轴上的 表示如图所示. -10 (④)根据不等式的基本性质3，两边都除以一4，得<一号这个不等式的解集在数轴 上的表示如图所示. 42