1.1 三角形内角和定理（课堂训练）-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

第一章三角形的证明及其应用 1三角形内角和定理 第1课时三角形内角和与全等三角形的性质与判定 √知识梳理 三角形内 三角形三个内角的和等于 角和定理 两角分别相等且其中一组等角的 相等的两个三角形全等(AAS).判定 全等 判定 两个三角形全等的其他方法有SSS,SAS,ASA 三角形 性质 全等三角形的对应边 、对应角 针对训练 1.如图，这是撕去了一个角后的三角形纸 5.如图，∠BAC=70°，∠BCD=80°，CA平 片，其中∠A=30°，∠B=70°，则撕去的 分∠BCD,则∠B的度数为 角的度数是 6.如图，已知∠1=∠2，AB=AC,AD=AE, A.100° B.80° C.70° D.90° 且B,C,D三点在同一直线上.求证：∠B= ∠ACE.把以下证明过程补充完整. 证明：∠1=∠2， (第1题图) (第2题图) ∴.∠1+∠ 2.如图，AB,CD相交于点O,△OCA≌ ∠2+∠ △OBD,AO=6,BO=4,则CD的长为 ( ) .∠ = A.9 B.10 C.11 D.12 在△ABD和△ACE中， 3.△ABC的三个内角的度数分别为x°， AB=AC, x°，3x°，则x的值为 ( ) A.24 B.30 C.36 D.40 AD=AE, 4.如图，已知AB=AC,在不添加辅助线的 .△ABD≌△ACE( 前提下请再添加一个条件： ∴∠B=∠ACE( ,使△ABE≌△ACD B (第4题图) （第5题图) 第2课时三角形内角和定理的推论 √知识梳理 三角形 △ABC内角的一条边与另一条边的 组成的角，称为 的外角 △ABC的外角.如图，∠1是△ABC的一个外角 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 推论 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 针对训练 1.如图，下列各角是△ACD的外角的是 45> ( A.∠B B.∠ACB 30 C.∠BAC D.∠DAE (第5题图) (第6题图) 6.如图，已知∠1=98°，∠2=142°，那么∠3 的度数为 7.如图，点D,E分别在AC,AB上，BD, (第1题图) (第2题图) CE交于点O,且∠B=∠C. 2.如图，在△ABC中，∠A=33°，∠B=75°， (1)求证：∠AEC=∠ADB; 则∠BCD的度数为 ( (2)求证：∠BEC>∠B. A.147° B.108° C.105° D.以上都不对 3.如图，将三角形纸板的直角顶点放在直 尺的一边上，∠1=20°，∠2=40°，则∠3 的度数为 ( A.50° B.30° C.20° D.15° (第3题图) (第4题图) 4.如图，∠1 ∠2.（填“>“<”或“=”） 5.一次数学活动课上，小聪将一副三角尺按 如图所示的方式叠放，则∠α的度数为 ·2 第3课时多边形的内角和 √针对训练 1.内角和为720°的多边形是 5.已知n边形的内角和0=(n一2)×180°. (1)当0=1260°时，求边数n. (2)小红说：“0能取800°.”小红的说法 D 对吗？若对，求出边数n;若不对，请 2.图中x的值为 ( 说明理由， A.45 B.55 C.65 D.75 140° （第2题图) (第4题图) 3.若一个多边形的内角和为2700°，则这 个多边形的边数是 4.把边长相等的正六边形和等边三角形按 如图所示的方式叠放在一起，则∠1的 度数为 第4课时 多边形的外角和 √针对训练 1.八边形的外角和为 )5.如果一个多边形的内角和比外角和多 A.360° B.720° C.900° D.1080° 540°，求这个多边形的边数和内角和. 2.已知正多边形的一个外角是30°，则这个 正多边形的边数是 ( A.6 B.9 C.10 D.12 3.一个正多边形的内角和为540°，则这个正 多边形的每一个外角的度数为 4.如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五 3入D 边形ABCDE的4个外角，E ∠A=110°，则∠1+∠2+ ∠3+∠4的度数为 ·3·3.∴.a+b+c=-2-2+3=-1. 第五章质量评估 1.A2.A3.B4.D5.C6.D7.D8.A9.A10.D11.512.2x+3 13.214合 15解，1)原式=十·如片1少-京-片-京-兴京（2公)方程的两边都乘 (x十1)(x一1)，得(x一1)2一2=x2一1，解这个方程，得x=0.经检验，x=0是原分式方 程的解. 6:原式[南]芸.投-崇 x+1 -2≤x<1且x为整数，∴x=-2,-1,0.当x=-1,-2时，原式无意义.x=0. 当x=0时，原式=0+22 0+11 17.解：设3月份购进x件T恤衫，则4月份购进2x件T恤衫.根据题意，得18000+ 10=39,000,解得x=150.经检验，x=150是所列方程的根，且符合题意.2x=2× 2x 150=300.答：4月份购进300件T恤衫， 18.解：(1)A= [”罗]尘-()生=· 士=号当2=3时，原式--2(2②)A的值不能是-1，理由如下：若A的值 是一1，即岩-1，部得-0，：当x=0时，A的原式无意文，A的值不能是-1 19.解：(1)方程的两边都乘x一2，得5十3(x一2)=一1.解这个方程，得x=0.经检验，x =0是原方程的根.(2)设“？”为m.方程的两边都乘x一2，得m十3(x一2)=一1.x= 2是原分式方程的增根，∴.把x=2代人，得m十3×(2-2)=一1，解这个方程，得m= 一1..原分式方程中“？”代表的数是一1. 20.解：(1)设乙组每分钟采摘xkg的蔬菜，则甲组每分钟采摘2xkg的蔬菜.根据题 意，得500-500=10，解得工=25.经检验，x=25是所列方程的根，且符合题意.2x- x 2x 2×25=50.答：甲组每分钟采摘50kg的蔬菜，乙组每分钟采摘25kg的蔬菜.(2)A类 蔬菜的单位面积产量大，理由如下：由题意知A类蔬菜的单位面积产量为99k如/m,B 类蔬菜的单位面积产量为。2002)kg/m2,300200七300a-600-2000 a2a(a-2) a2(a-2) 228a>6a-6>0,a-2>0>0g288>0.小2029>22 .A类蔬菜的单位面积产量大. 2L解，0是A+8+岛马+绩可号+点 2x二，2=2，“A与B互为“和整分式，“和整数值=2.(2)①C+D=3二+，P x一2 x-2十x2-4 +》》++,-=十C与D互为和维分式”，且 =(3x-4)(x+2)+ P 和整数值=32若号=3，即3+2-8+P=3(+2-2.P 3(x+2)(x-2)-(3x+2x-8)=-2x-4.②由(1)知P=-2x-4,D=P x2-4 x+2(x-2万(x+2)(z2=二2·分式D的值为正整数，.x-2=-1或x -2x-4 -2(x+2) 2 -2=一2，解得x=1或x=0.:x为正整数，x=1. 第六章质量评估 1.D2.D3.C4.C5.C6.C7.D8.B9.C10.A11.65°12.413.4 14号 37 15.解：(1)D,E是AB,BC的中点，AC=2DE=6.∠A=90°，∠B=30°，.BC= 2AC=12.(2):四边形ABCD是平行四边形，.∠C=∠A=70°，DC=DB, .∠DBC=∠C=70°..∠CDB=180°-∠C-∠DBC=40°. 16.证明：：D,E分别是AB,AC的中点，.DE是△ABC的中位线.∴.DE∥BC,DE= BC.∴∠DB0=∠FO0.:CF=合BC,∴DE=CR.:∠DOE=∠FOC,ADOE≌ △FOC(AAS).∴.OC=OE. 17.证明：：四边形ADEF为平行四边形，∴.AD=EF,AD∥EF.∴.∠ACB=∠FEB. AB=AC,∴∠ACB=∠B.∴∠FEB=∠B..EF=BF.AD=BF. 18.证明：：四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC,AD∥BC.DF∥BE,.四边形 BEDF是平行四边形..DE=BF.AD-DE=BC-BF,即AE=CF.:AE∥CF, .四边形AFCE是平行四边形.∴MF∥NE.:DF∥BE,四边形MFNE是平行四 边形. 19.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，∴.AB=CD,AB∥CD.∴.∠ABE= ∠BFC,∠BAE=∠FDE.E是AD的中点，.AE=DE.△ABE≌△DFE(AAS). BE=FE.四边形ABDF是平行四边形.(2)解：四边形ABCD是平行四边形， .OA=OC,AB=CD.,AE=DE,.OE是△ABD的中位线..AB=2OE=4.:四边 形ABDF是平行四边形，∴.AB=DF.∴.CF=CD+DF=2AB=8. 20.(1)证明：BD∥CE∥GF,∠ABD=118°，∠F=62°，∴.∠ACE=∠ABD=118°， ∠DEC=∠F=62°.∴∠ACE+∠DEC=180°.∴.BC∥DE.∴.四边形BCED是平行四 边形.(2)解：，四边形BCED是平行四边形，.CE=BD=20cm.连接AG,延长AC, 交GF于点H,由(1)可知，CH∥EF,CE∥HF,∴四边形CHFE是平行四边形..CH =EF=50 cm,HF=CE=20 cm...AH=AC+CH=100 cm,GH=GF-HF=60 cm. ,∠CHG=∠F=62°，CH=CG,.∠CGH=∠CHG=62°.∴.∠GCH=180°- (∠CGH+∠CHG)=56.:AC=CG,∴∠A=号∠GCH=28.·∠A+∠AHG= 90°.∴∠AGF=90°.∴.AG=√AH-GH=80cm..钓鱼椅最高点A到地面GF的 距离为80cm. 21.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC,AB∥CD,∠B=∠ADC.由 折叠的性质，得∠B=∠ABE,∴.∠ABE=∠ADC.∴.BE∥CD..AB∥BE.又 AB∥BE,.四边形ABEB是平行四边形.(2)解：过点D作DH⊥BC,交BC的延 长线于点H.·AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB.由折叠的性质，得∠AED=∠AEB,BE =B'E.∴∠DAE=∠AED.∴.DE=AD=BC=9.∴B'D=DE-BE=BC-BE=CE. AB∥CD,∠B=60°，∴∠DCH=∠B=60°.∠CDH=90°-∠DCH=30°..CH= 合CD=AB=3.∴DH=VCD-CF=3.EH=VDE-DF=36.BD =CE=EH-CH=36-3. 期未质量评估 1.D2.D3.C4.B5.D6.B7.A8.A9.D10.B11.912.100°13.15 14.-16 15.解：(1)原式=2x(y2-6y十9)=2x(y-3)2.(2)解不等式①，得x≤5.解不等式②， 得x>2.原不等式组的解集为2<x≤5.将不等式组的解集表示在数轴上如图所示. 10124 2,3.当a=4时，原式=2X号3=号（答案不唯-a≠-2,01即可） 2 2 17.解：(1)①如图，△A1B:C即为所求.②如图，△A2B2C2即为所求.(2)旋转中心的 坐标为(0，一3). 38 B、 18.(1)证明：AB=AC,D是BC的中点，∴AD平分∠BAC.,DE⊥AB,DF⊥AC, .DE=DF.(2)解：DE⊥AB,∠BED=90°.∠B=90°-∠BDE=35°.：AB= AC,∠C=∠B=35°..∠BAC=180°-∠B-∠C=110°. 19.解：(1)设每台A型电机的进价是x元，则每台B型电机的进价是(x十400)元.根据 题痘，得00-0器，解得=200经检验，=20是原方程的根，且符合题 意.∴.x十400=2000十400=2400.答：每台A型电机的进价是2000元，每台B型电 机的进价是2400元.(2)设购进a台A型电机.根据题意，得2000a+2400(30一a)≤ 70000,解得a≥5.答：至少需要购进5台A型电机. 20.(1)解：，四边形ABCD是平行四边形，.∠BCD=∠BAE=70°，AD∥BC ∴∠DEC=∠BCE.∠DCE=20°，∴.∠BCE=∠BCD-∠DCE=50.∴.∠DEC= 50°.(2)证明：，四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC,AD∥BC.,BF=BE,CG= CE,BC是△EFG的中位线.·BC∥FG,BC=2FG.∴AD∥FG,H为FG的中 点，FH=之FG.BC=FH.∴AD=FH.四边形AFHD是平行四边形. 21.解：(1)由旋转的性质，得∠BAD=40,AB=AD,∠ABD=∠D=号×(180°- ∠BAD)=70.:BC平分∠ABD,∴∠ABC=号∠ABD=35.:∠MAN=90, ∠ACB=90°-∠ABC=55.(2)△ABD是等边三角形.理由如下：：BC平分 ∠ABD,·∠ABE=∠DBE.:AD⊥BC,∠BEA=∠BED=9O°.在△ABE和 I∠ABE=∠DBE, △DBE中，BE=BE,.△ABE≌△DBE(ASA).∴.AB=DB.由旋转的性质， ∠BEA=∠BED, 得AB=AD,.AB=BD=AD.∴.△ABD是等边三角形.(3)过点F作FH⊥AC于点 H.由(2)知△ABD是等边三角形，.∠ABD=60°.，BC平分∠ABD,∴.∠ABC= 合∠ABD=30“∠MAN=90,.ABLAC..FH/AR∴∠CFH=∠ABC=30 ∴CH=CF=2.FH=CF-CF=2VB.:AF平分∠CAB,∠CAF= 合∠CAB=45.∴∠AFH=90-∠CAF=45.∠AFH=∠CAR.AH=FH= 2√3.AC=CH+AH=2+2√3..BC=2AC=4+4√3. 课堂训练 第一章三角形的证明及其应用 1三角形内角和定理 第1课时三角形内角和与全等三角形的性质与判定 知识梳理 180°对边相等相等 针对训练 1.B2.B3.C4.AD=AE(答案不唯一)5.70° -39 6.CAD CAD BAD CAE∠BAD=∠CAE SAS全等三角形的对应角相等 第2课时三角形内角和定理的推论 知识梳理 反向延长线 针对训练 1.B2.B3.C4.>5.75°6.60° 7.证明：(1)·∠AEC=∠B+∠EOB,∠ADB=∠C+∠DOC,且∠B=∠C,∠EOB= ∠DOC,.∠AEC=∠ADB.(2).∠BEC=∠C+∠A>∠C,∠B=∠C,.∠BEC >∠B. 第3课时多边形的内角和 针对训练 1.D2.C3.174.60° 5.解：(1)由题意，得1260°=(n一2)×180°，解得n=9.(2)小红的说法不对.理由如下： 当0取800时，80°=(a一2)×180°，解得m-53.:n为正整数，0不能取800 第4课时多边形的外角和 针对训练 1.A2.D3.72°4.290° 5.解：设这个多边形的边数为n.根据题意，得180°·(n一2)=540°+360°，解得n=7. 540°+360°=900°.答：这个多边形的边数是7，内角和是900°. 2等腰三角形 第1课时等腰三角形与等边三角形的性质 知识梳理 相等中线高相等60° 针对训练 1.C2.C3.A4.50°5.240°6.36°7.15 8.证明：.'DE∥AC,.∠ADE=∠CAD.,AE=DE,.∠EAD=∠ADE..∠EAD= ∠CAD.AB=AC,.AD⊥BC 第2课时等腰三角形的判定与反证法 知识梳理 两等角对等边 针对训练 1.B2.C3.B4.35.10 6.证明：AB=AC,∠A=36,∠ABC=∠C=号(180°-∠A)=72.:BD平分 ∠ABC,∠1=∠2=2∠ABC=36.∴∠1=∠A,∠BDC=∠1+∠A=72°=∠C .AD=BD,BC=BD..'.AD=BC. 7.证明：假设AB=AC.,AB=AC,.∠B=∠ACB..∠DAC=∠B十∠ACB=2 ∠ACB.AE平分∠DAC,∴∠DAC=2∠CAE..∠ACB=∠CAE..AE∥BC.这与 ∠DAC的平分线与BC的延长线交于点E相矛盾，.AB=AC不成立，.AB≠AC. 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 知识梳理 相等60°一半 针对训练 1.D2.B3.C4.A5.48 6.证明：'AD=CD,.∠A=∠ACD=30°..∠BDC=∠A十∠ACD=60°..∠ACB =90°，∠DCB=∠ACB-∠ACD=60°，∠B=90°-∠A=60°..△BCD是等边三 角形. 40 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 知识梳理 互余平方和互余平方和 针对训练 1.B2.C3.A4.②5.2√3 6.(1)证明：AB=13,AD=12,BD=5,.AD2+BD2=169,AB2=169..AB2=AD2 十BD2.△ABD为直角三角形，且∠ADB=90°.∴AD⊥BC.(2)解：：AD⊥BC, .∠ADC=90°.在Rt△ADC中，CD=√AC-AD=9.∴.BC=CD+BD=14. :.Se=专BC·AD-专×14X12=84 第2课时直角三角形全等的判定 知识梳理 斜边、直角边HL 针对训练 1.D2.A3.50 DE=EC, 4.(1)证明：：∠1=∠2，.DE=EC.在Rt△ADE和Rt△BEC中， AD=BE, .Rt△ADE≌Rt△BEC(HL).(2)解：，Rt△ADE≌Rt△BEC,.AE=BC.AD= BE,,∴，AB=AE+BE=BC+AD=7. 5.解：(1)△ABD≌△ACD,△ADE≌△ADF,△BDE≌△CDF.(2)答案不唯一，如：选 △BDE≌△CDF.证明如下：，DE⊥AB,DF⊥AC,∴.∠BED=∠CFD=90°.D是 BD=CD, BC的中点，∴.BD=CD.在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∴.Rt△BDE≌ BE=CF, Rt△CDF(HL) 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 知识梳理 相等相等 针对训练 1.C2.D3.B4.C5.AD 6.证明：∠1=∠2，∠3=∠4，∴.EB=EC,∠1+∠3=∠2十∠4，即∠ABC=∠ACB. ∴.点E在BC的垂直平分线上，AB=AC..点A在BC的垂直平分线上..AD垂直平 分BC. 第2课时三角形三边的垂直平分线 针对训练 1.C2.C3.D4.A 5.PB=PC到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 6.解：如图，线段CH即为所求. 7.解：如图，△ABC即为所求. 5角平分线 第1课时角平分线的性质与判定 针对训练 1.(1)BCDC(2)ABAD2.40°3.4 4.证明：：BF⊥AC,CE⊥AB,∴·∠BED=∠CFD=90°.在△BDE和△CDF中， ∠BED=∠CFD, ∠BDE=∠CDF,.△BDE≌△CDF(AAS)..DF=DE.∴.AD平分∠BAC BE=CF. 第2课时三角形的三条角平分线 针对训练 1.B2.1259 3.解：如图，点P即为所求 第二章不等式与不等式组 1不等式及其性质 第1课时不等关系 针对训练 1.D2.C3.G>80N 4.解：(1)2y+1>3.(2)(a+b)2≥3. 第2课时不等式的解与解集 针对训练 1.D2.A3.x一1<2（答案不唯一）4.无数3 5.解：(1)如图所示. -3-2-1012→ (2)如图所示. -3-2.5-2-10 12 第3课时不等式的基本性质 知识梳理 不变> 不变>>改变<< 针对训练 1.A2.C3.D4.> 5.解：(1)根据不等式的基本性质1，两边都加2，得x<5.这个不等式的解集在数轴上 的表示如图所示. 05 (2)根据不等式的基本性质2，两边都乘2，得x>10.这个不等式的解集在数轴上的表 示如图所示 010 (3)根据不等式的基本性质1，两边都减9x,得x≥一1.这个不等式的解集在数轴上的 表示如图所示. -10 (④)根据不等式的基本性质3，两边都除以一4，得<一号这个不等式的解集在数轴 上的表示如图所示. 42