1.3 专题特训 共顶点的等腰三角形——手拉手模型-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

BE=DE,∴.CD=DE 14.证明：(1)：AD⊥BC,.∠BDA=∠CDA=90°.∴.∠B+∠BAD=90°，∠C+ ∠CAD=90°.AD平分∠BAC,∠BAD=∠CAD..∠B=∠C..AB=AC.(2)延 DA=DE, 长AD到点E,使DE=DA,连接CE.在△ADB和△EDC中，∠ADB=∠EDC, BD=CD, .△ADB≌△EDC(SAS)..∠BAD=∠E,AB=CE..AD平分∠BAC,'.∠BAD= ∠CAD.∴∠E=∠CAD.∴AC=CE.AB=AC. 专题特训利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线 1.证明：过点A作AF⊥BC于点F..AB=AC,AD=AE,'.BF=CF,DF=EF.∴.BF -DF=CF-EF.∴.BD=CE. 2.证明：连接BD.·△ABC是等边三角形，∠ABC=∠ACB=60°.，D是AC的中 点，∠DBE=号∠ABC=30:CE=CD,∴∠CDE=∠E.:∠ACB=∠E+∠CDE =60°，.∠E=30°=∠DBE..BD=DE.DF⊥BE,.BF=EF. 3.证明：过点A作AE⊥BC于点E,∠AEB=90°.∴∠BAE十∠B=90°.CD⊥ AB,∠DCB+∠B=90°..∠DCB=∠BAE.AB=AC,∴.∠BAC=2∠BAE. .∠BAC=2∠DCB. 4.2【变式题】D 5.证明：连接BC.D是AB的中点，.AD=BD.CD⊥AB,.∠CDA=∠CDB= 90°.又，CD=CD,∴.△ACD≌△BCD(SAS).∴.AC=BC.同理可证BC=AB,,AC =AB. 专题特训等腰三角形中易漏解或多解的问题【易错】 1.102.103.94【变式题1150或65°【变式题2】50或65°或80°4.号或号 5.120°或75或30°6.34°或28°或22°7.75°或15°8.35°或55°9.D10.C 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 1.B2.∠BCE=∠B(答案不唯一)3.55 4.证明：AB=AC,∠BAC=120,∠B=∠C=(180°-∠BAC)=30.AD1 AB,AE⊥AC,∠BAD=∠CAE=90°.∴∠ADB=∠AEC=60°.∴.∠EAD=180°- ∠ADB-∠AEC=60°.∴.∠ADE=∠AED=∠EAD.△ADE是等边三角形. 5.B6.1.27.5 8.解：AB=AC,∠BAC-120,∠B=∠C=号(180°-∠BAC)=30.:ADLAB, ∴∠BAD=90°..BD=2AD=12,∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°.∴.∠CAD=∠C. ∴.CD=AD=6.∴.BC=BD+CD=18. 9.D10.B11.212.√3-1 13.解：(1)，△ABC为等边三角形，∠B=60°.DE∥AB,∴∠EDF=∠B=60. ,EF⊥DE,∴∠DEF=90°.∴.∠F=90°-∠EDF=30°.(2)：△ABC为等边三角形， ∴∠A=∠B=∠ACB=60°.DE∥AB,∴.∠DEC=∠A=60°，∠EDC=∠B=60°. ∴∠DEC=∠EDC=∠ECD.∴.△CDE为等边三角形..DE=CD=2.由(I)知∠F= 30°，∠DEF=90°，.DF=2DE=4. 14.(1)证明：：△ABC是等边三角形，.∠B=60°.DQ⊥AB,RQ⊥BC,.∠B十 ∠BQD=∠BQD十∠PQR=90°.，∠PQR=∠B=60°.同理可得∠PRQ=60°，∴.∠P =180°-∠PQR-∠PRQ=60°=∠PQR=∠PRQ..△PQR是等边三角形.(2)解： 2.4(3)解：，△ABC是等边三角形.∴·∠A=∠B=60°.与(1)同理可得△DQR是等 边三角形，.DQ=DR.又，∠BDQ=∠ARD=90°，.△BDQ≌△ARD(AAS).∴.BD =AR.,∠ADR=90°-∠A=30°，'，AD=2AR=2BD..AB=BD+AD=3BD= 4emBD=专em 4 专题特训利用平行线巧构等腰三角形解题【通性通法】 1.D2.A3.22 4.(1)证明：：BF,CF分别平分∠ABC,∠ACG,∴∠DBF=∠CBF,∠FCE=∠FCG. ,DF∥BC,∴.∠DFB=∠CBF,∠EFC=∠FCG..∠DBF=∠DFB,∠FCE= ∠EFC..BD=DF,CE=EF.(2)解：BD-CE=DE 5.解：(1)△ODE是等边三角形.理由如下：：△ABC是等边三角形，∴.∠ABC= ∠ACB=60°.OD∥AB,OE∥AC,∴.∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°. ∴.∠DOE=180°-∠ODE-∠OED=60°.∴.∠ODE=∠OED=∠DOE=60. ∴.△ODE是等边三角形.(2)：BO平分∠ABC,OD∥AB,·∠ABO=∠DBO,∠ABO =∠DOB.∴∠DOB=∠DBO.BD=OD.同理可证CE=OE,.△ODE的周长为 OD+DE+OE=BD++DE+CE=BC=10. 6.证法一：证明：AC=BC,.∠A=∠B.DM∥AB,∴.∠CDM=∠A,∠M=∠B. ∴∠CDM=∠M.,CD=CE,∴.∠CDE=∠CED.,∠CDM+∠M+∠CDE+∠CED =180°，∴.∠CDM+∠CDE=90°，即∠EDM=90°..DE⊥DM.:DM∥AB,.DE⊥AB. 证法二：证明：CD=CE,.∠CDE=∠CED.,BN∥DE,∴∠N=∠CDE,∠CBN= ∠CED..∠N=∠CBN.:AC=BC,.∠A=∠ABC.:∠A+∠ABC+∠CBN+ ∠N=180°，.∠ABC+∠CBN=90°，即∠ABN=90°..BN⊥AB.BN∥DE,.DE ⊥AB. 7.(1)证明：：△ABC是等边三角形，∴.∠ABC=∠ACB=60°.：E是AB的中点， :AE=BE,CE平分∠ACB.∠BCE=∠ACB=30.:CE=DE,∠D=∠BCE =30°.∠BED=∠ABC-∠D=30°=∠D.∴.BD=BE..BD=AE.(2)解：成立.理 由如下：过点E作EF∥BC,交AC于点F.:△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC= ∠ACB=60°..∠DBE=180°-∠ABC=120.EF∥BC,∴.∠AEF=∠ABC=60°， ∠AFE=∠ACB=60°，∠CEF=∠ECD.,△AEF是等边三角形，∠EFC=180°- ∠AFE=l20°=∠DBE.∴.AE=EF.,CE=DE,∴.∠ECD=∠D.∠D=∠CEF.在 ∠D=∠CEF, △DEB和△ECF中，∠DBE=∠EFC,∴.△DEB≌△ECF(AAS)..BD=EF.∴.BD=AE. DE=EC, 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 1.A2.A3.84.D5.D 6.解：在Rt△ABD中，BD2=AD2-AB2=902-602=4500,在△BCD中，BC+CD2 =302+602=4500,.BC+CD2=BD2.∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°. BC⊥CD.∴该车符合安全标准. 7.C 8.解：(1)逆命题：如果a=b,那么a2=b2.原命题是假命题，逆命题是真命题.(2)逆命 题：如果两个角有公共顶点且相等，那么这两个角是对顶角.原命题是真命题，逆命题 是假命题.(3)逆命题：如果一条线段是一个三角形的中线，那么这条线段把这个三角 形分成两个面积相等的三角形.原命题是假命题，逆命题是真命题. 9.D10.B11.12 12.解：(1)是.理由如下：在△BCH中，CH+BH=2.25,BC=2.25,.CH+ BH=BC.∴.△BCH是直角三角形，且∠CHB=90°.∴CH是从村庄C到河边的最 短路线.(2)设AC=AB=xkm,则AH=(x一0.9)km.在Rt△ACH中，由勾股定理， 得AC2=AH+CH,即x2=(x-0.9)2十1.22，解得x=1.25..原来的路线AC的长 为1.25km. 13.解：逆命题：如果一个三角形的两个角的平分线所夹的锐角是45°，那么这个三角是 直角三角形.逆命题是真命题，证明过程如下：已知：如图， △ABC的两条角平分线AD,BE交于点O,且∠AOE= 45°.求证：△ABC是直角三角形.证明：：AD是∠CAB的 5 平分线，BE是∠ABC的平分线，∠OAB=号∠CAB,∠OBA=号∠ABC.:∠QAB +∠OBA=号（∠CAB+∠ABC.:∠AOE=∠OAB+∠OBA=45,∴∠CAB+ ∠ABC=90°.∴.△ABC是直角三角形. 14.8 第2课时直角三角形全等的判定 1.D2.D3.40° 4.证明：(1).BE⊥AC,DF⊥AC,∴.∠AEB=∠CFD=90°.AF=CE,.AF-EF= CE-EF,即AE=CF.在Rt△ABE和Rt△CDF中， (AB=CD, AE=CF, .Rt△ABE≌ Rt△CDF(HL).(2).△ABE≌△CDF,∴.∠A=∠C..AB∥CD. 5.D 6.解：(I)二(2)：∠ADC=∠AEB=90°，∴.∠BDC=∠CEB=90°.在△DOB和 ∠BDO=∠CEO, △EOC中，∠DOB=∠EOC,∴.△DOB≌△EOC(AAS)..OD=OE.在Rt△ADO和 OB=OC, Rt△AEO中， (0A=OA:R△AD02R△AEO(HD.∠I=∠2 OD-OE, 7.C8.79.5或10 10.(1)证明：.'AM⊥BC,DN⊥BC,.∠AMB=∠DNC=90°..BN=CM,.BN+ MN=CM+MN,即BM=CN.又，'AB=DC,,Rt△ABM≌Rt△DCN(HL).(2)解： 由(1)知Rt△ABM≌Rt△DCN,∴.AM=DN.:'∠AMO=∠DNO=90°，∠AOM= ∠DON,∴△AOM≌△DON(AAS.OM=ON.:BN=CM=4,OM=MN= 号(Bc-BN-C0=4 ∠B=∠D, 11.解：(1)在△ABC和△EDC中，BC=DC, .△ABC≌△EDC(ASA).,.AB ∠ACB=∠ECD, =DE.∴D,E两点间的距离就是路灯A,B之间的距离.(2)在过点B且与AB垂直的 方向上取一点C,用测角仪测得∠ACB=∠BCD,且点D在AB的延长线上，那么B,D 两点间的距离就是路灯A,B之间的距离.理由如下：在△ABC与△DBC中， ∠ABC=∠DBC, BC=BC, .△ABC≌△DBC(ASA)..AB=BD. ∠ACB=∠DCB, 专题特训共顶点的等腰三角形一手拉手模型 1.证明：BA=BC,BD=BE,∠BAC=∠BCA,∠BDE=∠BED.∴∠ABC=180 -∠BAC-∠BCA=180°-2∠BAC,∠DBE=180°-∠BDE-∠BED=180°- 2∠BDE.:∠BAC=∠BDE,∴.∠ABC=∠DBE..∠ABC+∠CBD=∠DBE+ BA=BC, ∠CBD,即∠ABD=∠CBE.在△ABD和△CBE中，J∠ABD=∠CBE,∴.△ABD≌ BD=BE, △CBE(SAS)..∴.∠BAD=∠BCE. 2.(1)证明：，△ABC和△ADE都是等边三角形，∴.AB=AC,AD=AE,∠BAC= ∠DAE=60°.∴，∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.在△ABD AB=AC, 和△ACE中，∠BAD=∠CAE,∴.△ABD≌△ACE(SAS).(2)解：由(1)知△ABD≌ AD-AE, △ACE,.BD=CE=3.△ADE是等边三角形，..DE=AE=2..BE=BD十DE =5. —6— 3.证明：(1)，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC,AD=AE.:∠BAC =∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,即∠BAE=∠CAD.在△ABE AB=AC, 和△ACD中，∠BAE=∠CAD,∴.△ABE≌△ACD(SAS).(2)由(1)知△ABE≌ AE-AD, △ACD,∴∠B=∠ACD.∠BAC=90°，∠B+∠ACB=90°.∴∠ACD+∠ACB= 90°，即∠BCD=90°..CD⊥BE. 4.证明：：△ABC和△CDE都是等边三角形，.CA=CB,CD=CE,∠BCA=∠ECD =60°.∴.∠BCD=180°-∠BCA-∠ECD=60°，∠ACD=∠BCE=120°.在△ACD和 CA=CB, △BCE中，J∠ACD=∠BCE,.△ACD≌△BCE(SAS).∴.∠DAC=∠EBC.在 CD=CE, ∠MAC=∠NBC, △ACM和△BCN中，JCA=CB, ∴.△ACM≌△BCN(ASA).∴.CM= ∠ACM=∠BCN=60°， CN.∠MCN=60°，.△CMN是等边三角形. 5.解：(1)①120°②AE=BD(2)①：△ABC和△DCE都是等腰直角三角形， ∠ACB=∠DCE=90°，∴.CA=CB,CE=CD,∠DCE-∠ACD=∠ACB-∠ACD,即 ∠ACE=∠BCD.∴∠CDE=∠CED=45.∴∠CDB=180°-∠CDE=135°.在△ACE CE=CD, 和△BCD中，∠ACE=∠BCD,∴.△ACE≌△BCD(SAS)..∠CEA=∠CDB= CA=CB, 135°.∠AEB=∠CEA-∠CED=90°.②CM+AE=BM理由如下：·CM为△DCE 中DE边上的高，.∠CMD=90°..∠DCM=90°-∠CDE=45.∴∠CDE=∠DCM. .CM=DM.由①知△ACE≌△BCD,∴.AE=BD.∴.CM十AE=DM+BD=BM. 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 1.D2.C3.C【变式题】D 4.解：AB=AC,∠ABC=∠C=号×(180°-∠A)=70.:MN垂直平分AB, ∴.AD=BD..∠ABD=∠A=40°.∴.∠DBC=∠ABC-∠ABD=30°. 5.D6.2 7.证明：AD垂直平分BC,.BD=CD,AB=AC.AB+BD=DE,∴AC+CD= DE.,DE=CD十CE,∴AC=CE..点C在线段AE的垂直平分线上. 8c941og5 11.(1)证明：EF垂直平分AC,∴AE=CE.AD⊥BC,BD=DE,AD垂直平分 BE..AB=AE..AB=CE.(2)解：：△ABC的周长为18cm,AB+BC+AC= 18 cm..'AC=8 cm,.'AB+BC=10 cm.'AB=CE,BD=DE,.'CD=DE+CE= 合(AB+BC)-5cm 12.证明：ED⊥AB,.∠EDB=∠ECB=90.在Rt△BDE和Rt△BCE中， (BE=BE:R△BDE≌R△BCE(HL.ED=EC.点E在线段CD的垂直平分 BD=BC, 线上.：BD=BC,∴点B在线段CD的垂直平分线上.∴BE垂直平分CD. 13.(1)证明：连接AC.:E是BC的中点，AE⊥BC,∴.AE垂直平分BC.∴.AB=AC.同 理可得AC=AD,.AB=AD.(2)解：∠EAF=∠BAE+∠DAF.证明如下：由(1)知 AB=AC=AD.,AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠BAE=∠EAC,∠CAF=∠DAF..∠EAF =∠EAC+∠CAF=∠BAE+∠DAF. 第2课时三角形三边的垂直平分线 1.C 2.解：如图，点P即为所求。 3.B4.24 5.解：，D是线段AC,AB的垂直平分线的交点，.DA=DB=DC..∠DCA=∠DAC =32,∠DAB=∠DBA=28,∠DBC=∠DCB.·∠DCB=合(180-∠DCA- ∠DAC-∠DAB-∠DBA)=30° 6.B 7.解：如图，点Q即为所求. 8.C9.2√7 10.(1)解：如图，点N即为所求.(2)证明：：AB=AC,∠C=∠B=30°.∠BAC= 180°-∠B-∠C=120°.：AN=BN,.∠NAB=∠B=30°.∴.∠NAC=∠BAC ∠NAB=90°..CN=2AN=2BN. 11.解：(1)DM,EN分别垂直平分AB,AC,∴AD=BD,AE=CE.:△ADE的周长 为6，∴.AD+DE+AE=6..BD+DE+CE=6,即BC=6.(2)由(1)知AD=BD,AE =CE,∴.∠B=∠BAD,∠C=∠CAE.在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=80°， .∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=80°.∴.∠DAE=∠BAC-(∠BAD十∠CAE)=20°. 12.解：小星的作法如答图①所示，方法正确.理由如下：点P在AB的垂直平分线 上，.PA=PB.∴∠PAB=∠B..∠APC=∠PAB十∠B=2∠B.小红的作法如答图 ②所示，方法错误.理由如下：PA≠PB,∴.∠PAB≠∠B..∠APC=∠B十∠PAB, .∠APC≠2∠B.(任选一种即可) 米P 答图① 答图② 5角平分线 第1课时角平分线的性质与判定 1.C2.C3.1 4.证明：：AC平分∠BAD,CE⊥AB,CD⊥AD,∴.∠CEB=∠D=90°，CE=CD.在 RIACBER和R△CFD中，/CB=CF:R△CBE≌RIACFD(HL.BE=FD. CE-CD, 5.36.C7.A 8.证明，DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90°.D是BC的中点，∴.BD= CD.在R△BDE和RACDF中，/BD-CD:RABDES2R△CDF(H.:DE= BE=CF, DF..点D在∠BAC的平分线上，即AD是△ABC的角平分线. 9.C10.D11.56° 12.证明：过点E作EF⊥AD于点F.∠C=90°，DE平分∠ADC,.CE=EF.E是 —8 BC的中点，∴.BE=CE.∴BE=EF.∠B=90°，EF⊥AD,AE平分∠BAD 13.解：(1)DE垂直平分AB,AE=BE.∴.∠BAE=∠B=30°.AE平分∠BAC, ∠BAC=2∠BAE=60°..∠C=180°-∠BAC-∠B=90°.(2)AE平分∠BAC, ∠C=90°，DE⊥AB,.CE=DE=2.,DE垂直平分AB,∠BDE=90°.在Rt△BDE 中，∠B=30°，.BE=2DE=4..BC=BE+CE=6. 14.(1)证明：过点C作CF⊥AB,交AB的延长线于点F.,CE⊥AD,∴∠DEC=∠F =90°.：∠D+∠ABC=180°，∠CBF+∠ABC=180°，.∠D=∠CBF.在△CDE和 ∠D=∠CBF, △CBF中，∠DEC=∠F,∴△CDE≌△CBF(AAS)..CE=CF.AC平分∠DAB. CD=CB, (AC=AC, (2)解：：△CDE≌△CBF,.BF=DE=4.在Rt△ACE和Rt△ACF中， CE=CF, .Rt△ACE≌Rt△ACF(HL)..AF=AE=10.AB=AF-BF=6. 第2课时三角形的三条角平分线 1.B2.D3.3 4.证明：：AP平分∠BAC,PF⊥AD,PG⊥AE,.PF=PG.:BP平分∠CBD,PF⊥ AD,PH⊥BC,.PF=PH.∴.PG=PH.PG⊥AE,PH⊥BC,CP平分∠BCE. 5.解：：点D到△ABC三边的距离相等，∴BD,AD分别为∠CBA,∠CAB的平分线. ∴.∠CBA=2∠DBA,∠CAB=2∠DAB.,∠ADE=∠DBA+∠DAB=50°，∴.∠CBA +∠CAB=2(∠DBA+∠DAB)=100°.∴.∠C=180°-（∠CBA+∠CAB)=80°. 6.A 7.解：如图，点P即为所求. 8.A9.D10.32 11.(1)证明：过点O作OM⊥AB于点M.:BD平分∠ABC,OE⊥BC,OM⊥AB,∴.OE =OM.OE=OF,.OF=OM.OF⊥AC,.点O在∠BAC的平分线上.(2)解：连接 0C.由(I)知0E=OF=OM在Rt△ABC中，：AC=5,BC=12,S=号AC·BC -30B-13.SAA-SAM++x+x 50E+号×130E=30.÷0E=2. 12.证明：(1)过点D作DN⊥BE于点N.:∠BAO=∠ODC,∠AOB=∠DOC, .∠ABO=∠DCO.DM⊥AC,DN⊥AB,.∠DNB=∠DMC=90°.，DB=DC, ∴.△DNB≌△DMC(AAS).∴DN=DM..AD平分△ABC的外角∠CAE.(2)易证 Rt△DNA≌Rt△DMA,∴.AN=AM.由(1)，得△DNB≌△DMC,∴.BN=CM..AC- AB=AM+CM-(BN-AN)=2AM. 专题特训利用角平分线构造全等三角形解题【通性通法】 1.证明：过点C作CF⊥AB于点F,则∠AFC=90°.，∠D=90°，∴.CD⊥AD.AC平 分∠BAD,∴.CD=CF.在Rt△ADC和Rt△AFC中， CD=CR,R:△ADC≌ (AC=AC, Rt△AFC(HL).∴.AD=AF.同理，得BF=BE,.AB=AF+BF=AD+BE. BC=FC, 【变式题】证法一：证明：在△BCE和△FCE中，∠BCE=∠FCE,.△BCE≌△FCE CE=CE, (SAS)..∠B=∠CFE.AD∥BC,.∠A+∠B=180°.：∠CFE+∠DFE=180°， ∠A=∠DFE, ∠A=∠DFE.在△ADE和△FDE中，∠ADE=∠FDE,.△ADE≌△FDE(AAS). DE=DE, —9专题特训 共顶点的等腰三角形一手拉手模型 背景：两个共顶点、等项角的等腰三角形所组成的图形 B右手 左手E 模型解读 已知：如图，CA=CB,CE=CD,∠ACB=∠ECD. 结论：左拉左，右拉右，围成的两个三角形全等，即△ACE≌△BCD 左手 右手 (1)等边三角形手拉手： ☆△ 常见 模型 (2)等腰三角形手拉手： 呈现 等腰直角三角形 一般等腰三角形 1.如图，△ABC与△BDE都是等腰三角形，2.如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点 BA=BC,BD=BE,∠BAC=∠BDE,连接 B在ED的延长线上，连接CE. AD,CE.求证：∠BAD=∠BCE. (1)求证：△ABD≌△ACE; (2)若AE=2,CE=3,求BE的长. 23 数学八年级下册北师大版 3.如图，已知△ABC与△ADE都是等腰直角5.(1)问题发现：如图①，△ABC和△DCE都 三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，点E在 是等边三角形，点B,D,E在同一条直线 BC的延长线上，连接CD 上，连接AE (1)求证：△ABE≌△ACD: ①∠AEC的度数为 (2)求证：CD⊥BE. ②线段AE,BD之间的数量关系为 (2)拓展探究：如图②，△ABC和△DCE都 是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE= 90°，点B,D,E在同一条直线上，CM为 △DCE中DE边上的高，连接AE. ①求∠AEB的度数， ②判断线段CM,AE,BM之间的数量关 系，并说明理由. 图① 图② 4.如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且 点A,C,E在同一条直线上，AD与BC交于 点M,BE与CD交于点N,连接MN.求证： △CMN是等边三角形. 第一章三角形的证明及其应用24