专题02 三角函数与解三角形（高效培优期中专项训练）数学苏教版高一必修第二册

专题02 三角函数与解三角形 考点01 三角恒等变换求最值 考点02三角恒等变换与图像变换 考点03三角形中三角函数最值 考点04三角形三线四心 考点05三角形周长或面积范围与最值 考点06探究性问题求参数 考点07实际应用 考点08新定义 考点01 三角恒等变换求最值 1．已知，，则________，的最小值是________． 【答案】 1 2 【分析】先拆角，，再利用和差角公式化简可得，利用基本不等式可求的最小值. 【详解】因为， 所以 ， 所以，于是有． 又 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是2． 故答案为：1   2 考点02 三角恒等变换与图像变换 2．已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于y轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换化简，根据图象变换求出的解析式，进而根据即可代入化简得求解. 【详解】因为 ， 所以， 因为与关于y轴对称，则，， ，得，， 所以的最小值为. 故选：C. 3．已知函数的两条相邻对称轴的距离为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象． ①若，且，求的值； ②若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式对解析式进行化简，结合函数图象的对称性求出的值，即得函数解析式； （2）根据三角函数图象的平移伸缩变换得到的解析式，①由题求得，结合的范围，求得，通过凑角后利用和角的正弦公式求解即得；②先将问题转化为函数和函数的图象在区间上有且只有2个交点，通过数形结合即可求得参数范围. 【详解】（1）因 ， 由函数的相邻两条对称轴的距离为，所以函数的周期． 则．∴． （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得． 再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到． ①∵，∴． ∵则，则， ∴ ． ②由题知，方程在上恰有两个不同的实数解， 可转化为函数和函数的图象在区间上有且只有2个交点． 由可得，作出函数在上的图象如图： 当时，； 当时， ；当时，.    由图可知：实数的取值范围是． 考点03 三角形内三角函数最值 4．关于函数和，则下列说法中正确的是（   ） A．函数和有相同的最小值 B．存在直线l，使函数和的图象都关于直线l对称 C．存在点P，使函数和的图象都关于点P对称 D．函数，有6个零点 【答案】ABD 【分析】由三角函数的值域可判断A；求出和的对称轴和对称中心可判断BC；令，利用三角恒等变换得到方程，解得或1，，则，分和两种情况，求出零点个数可判断D. 【详解】对于A，由题知，与的最小值为，故A正确； 对于B，函数的对称轴为，， 所以，， 的对称轴为， 所以，，可知时，是函数和的对称轴， 所以存在直线，使函数和的图象都关于直线l对称，故B正确； 对于C，函数的对称中心为，， 所以，， 的对称中心为， 所以，，令，则， 不存在时成立，故C错误； 对于D，令，即， 即，即， ，解得或1， ，则， 当时，或或或， 解得或或或， 当时，或， 解得或， 所以函数，有6个零点，故D正确. 故选：ABD. 5．在中，若，则的最大值是____________． 【答案】 【分析】由向量垂直可得，利用数量积的运算律及正余弦定理化简可得，再由余弦定理及基本不等式求出的最小值，从而求出的最大值. 【详解】由题意，，则， ，即， ，所以， 化简可得：， ， 当且仅当，即时等号成立， 在中，为锐角，要使最大，则取最小值， ， ， 的最大值为. 故答案为：. 6．已知不是直角三角形，且，则的最小值是__________. 【答案】/ 【分析】根据三角恒等变换和差化积公式及二倍角公式解三角形. 【详解】已知，根据和差化积公式得， 即，可化为，由题意得，所以，， 可得，则当时，取得最大值1，此时取得最小值. 故答案为：. 7．已知函数，函数，设. (1)求证：是函数的一个周期； (2)当时，求：在区间上的最大值； (3)若函数在区间内恰好有奇数个零点，请直接写出所有满足条件的实数k的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3)或或. 【分析】（1）求证即可得证； （2）利用换元法结合二次函数性质进行求解即可； （3）根据绝对值性质，利用分类讨论思想、换元法，结合正弦函数性质进行求解即可. 【详解】（1）证明：函数， 则， 所以是函数的一个周期； （2）当，时，， 令，因为， 所以，所以， 又，故， 所以， 所以当，单调递增， 所以有. （3）当时， 由可得：， 令，因为，所以， 因此，即，因为， 所以， 因此，该二次函数的对称轴为：， 因此当时，该二次函数单调递减， 所以当时，即时，有一解， 当时，即时，有一解， 当时，即时，有二解， 当时， 由可得：， 令，因为，所以， 因此，即，因为， 所以， 因此，该二次函数的对称轴为：， 因此当时，该二次函数单调递增， 所以当时，即时，有一解， 当时，即时，有一解， 当时，即时，有二解， 综上所述：当函数F（x）在区间内恰好有奇数个零点，或或. 考点04 三角形三线四心 8．三角形中，角对的边分别为，，若，则边上的高为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理和已知条件得到，再利用辅助角公式及基本不等式可得到，此时且，结合余弦定理可求出，最后利用等面积法即可求解. 【详解】由余弦定理得，，代入， 可得， 化简得， 两边同时除以得，， 一方面，， 其中，，当时等号成立； 另一方面，由均值不等式，有，当且仅当时等号成立， 依题可得：，此时且， ，，，， ，， 由余弦定理，，又，， 联立解得，， 设边上的高为，则， 故，即边上的高为. 故选：B. 9．已知的面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用线段长度的关系，设其中一条线段，就可以表示相关线段，再引入，利用面积关系找到一个等式，然后由余弦定理求边，最后转化为角的函数来求最值即可. 【详解】 取，根据已知条件可知为的重心， 由，设，，则，， 由， 又因为， 所以， 由余弦定理可知， 令，则， 即， 因为，所以，即， 因为，所以的最小值为. 10．已知的面积为分别是的中点，若，则BC长度的最小值为__________. 【答案】 【分析】利用余弦定理结合辅助角公式得到，再结合正弦函数的有界性求解即可. 【详解】连接相交于点，则为的重心，连接并延长交于点， 则由重心的性质得为的中点，则， 而，且，得到， 设，则， 由三角形面积公式得， 则，解得， 由余弦定理得， 解得，化简可得， 由辅助角公式得， 则，解得，即长度的最小值为. 故答案为： 11．已知点是边长为3的正三角形所在平面内的一点，满足，过点的动直线分别交线段，于点，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点为，设，，，则根据向量的线性运算可得，再根据三角形的面积公式及向量的数乘运算可得的面积为，再结合对勾函数的性质即可求解． 【详解】取的中点为， 由， 则， 所以，① 设，，，，， 则，② 所以结合①和②可得，整理得， 又，，则，得，且，解得， 又因为是边长为3的正三角形，则，， 则的面积为， 令，，则，， ，， 根据对勾函数的性质，当时，取得最大值，且最大值为， 所以面积的最大值为． 故选：C． 12．如图，为内任意一点，内角所对的边分别为的面积分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下命题是真命题的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若，则 C．若为的内心，，则 D．若是的外心，，则 【答案】AC 【分析】对于A：利用重心的性质，代入即可；对于B：利用将表示出来，代入，化简即可表示出的关系式，用将表示出来即可得处其比值.对于C：利用“奔驰定理”可得出的值，结合勾股定理可判断；对于D：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合的取值范围可得出答案. 【详解】对于A：如图所示：因为分别为的中点， 所以，， 同理可得、， 所以， 又因为， 所以.正确； 对于B：因为， 所以，所以， 所以， 所以， 化简得：， 又因为不共线， 所以，所以， 所以，错误； 对于C，若为的内心，，则.， 又（为内切圆半径）， 所以，，故，正确； 对于D：因为是的外心，，所以，， 所以， 因为，则， 化简得：，由题意知同时为负， 记，，则， 因为，所以， 所以， 所以，正确. 故选：AC. 13．如图，在中，，点，分别在边，上，线段和的长均不超过9，点在线段上，且平分，，则长度的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由可得，从而化简可得到，令，利用对勾函数的性质即可求解. 【详解】设，，，由题意可得，且， 因为，所以， 可得，.因为，，所以解得， 所以. 令，因为函数，当且仅当时取等号， 所以由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，则. 由余弦定理可得 ，故， 即长度的取值范围是. 故答案为：. 14．某学习小组在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）．如图，已知锐角△ABC的三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P．若AB＝3，且△ABC外接圆的半径为2，则______；若，且，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】第一空，由正弦定理求得，可得，利用三角形垂心性质结合三角形诱导公式推得，即得答案；第二空，设，由余弦定理求得它们的余弦值，然后由垂心性质结合正弦定理表示出，利用和差角以及二倍角公式，结合三角函数的性质即可求得答案. 【详解】设外接圆半径为，则， 由正弦定理，可知， 即，由于是锐角，故， 又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即,故， 所以； 设， 则， 在中，， 同理在中可得， 所以 ， 由于三角形为锐角三角形，所以，解得， 故，，所以， 进而，故，所以 故答案为：；. 考点05 三角形周长或面积范围与最值 15．的内角，，的对边分别为，，，是平面任意一点，满足，，且.若，则的最小值为________. 【答案】/ 【分析】首先得三角形是边长为1的等边三角形，然后建立坐标系，，，根据题目条件可得，进一步通过三角换元即可求解. 【详解】因为，所以，又，，所以三角形是边长为1的等边三角形， 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意，设， 所以， 因为，所以，即， 设， ， 所以，等号成立当且仅当时取得， 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 16．在中，为AC边上的动点，若AC边足够长，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题设结合余弦定理求出，接着将所求进行转化得到，再构造，过作，垂足为，过作，垂足为，数形结合即可分析求解. 【详解】因为，所以， 则， 由余弦定理，， 又，所以， 则. 如图，设，过作，垂足为，则， 过作，垂足为， 则. 故选：C 17．在中，是边上一点，且，，，则的最小值为______ 【答案】4 【分析】根据题意利用正弦定理将边表示成关于角的形式，再利用倍角公式、两角和的余弦公式、诱导公式将表达式化简得出，再根据角的范围利用换元法和二次函数性质求出其最小值即可. 【详解】依题意，记，则，又，如下图 根据三角形内角和可得，所以， 由可得， 记，由正弦定理可得； 由可得，因此， 所以， 代入可得; 又因为 ; 所以; ; 因，所以，令 则， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4. 即的最小值为4. 故答案为：4 18．锐角的角，，的对边分别为，，满足，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】将题设方程化简整理后，利用正弦定理化边为角。根据和角的公式得到，结合三角形内角性质，推出或，分析讨论，排除，依题求得，最后利用正弦定理和二倍角公式将所求式化简整理成余弦性函数，利用其图象性质即可求得. 【详解】由可得，即， 由正弦定理，， 因，故得， 因是锐角三角形，，故或. 当时，，由，可得，符合题意； 当时，，即，此时.不满足题设条件，舍去. 故有，， 则由正弦定理，， 因函数在上单调递减，故， 即的取值范围为 故答案为：. 19．的内角，，的对边分别为，，，，则角的大小为______．若角为钝角，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】第一空：利用正弦定理边化角，进而根据三角恒等变可求得，可求；第二空：利用边化角，结合的范围，可求的取值范围. 【详解】第一空：由，可得， 所以，所以， 因为，所以，所以，又，所以； 第二空：因为角为钝角，所以，所以， 所以, 所以的取值范围. 故答案为：①；②. 20．某小区拟在一个圆形的空地上，规划一个形状为四边形的花园，如图，四边形内接于圆，为草坪区，为花卉区，根据规划已知米，米，． (1)当时，求边的长； (2)取的中点，连接，求小径的长； (3)若小径从点直通点，当线段最长时，求花卉区的面积． 【答案】(1)米； (2)米； (3)平方米. 【分析】（1）利用圆内接四边形的性质得到，根据余弦定理求出，再使用正弦定理求解即得. （2），两边平方，利用向量数量积的运算律求解. （3）当为圆的直径时，最长，在中，由正弦定理求出直径长，并在和中，利用勾股定理求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】（1）由四边形内接于圆，，得， 在中，由余弦定理得， 则，在中，由正弦定理得， 所以（米）. （2）由为的中点，得， 所以 （米）. （3）当为圆的直径时，最长，在中，， 由正弦定理得， 在中，， 在中，， ， 所以花卉区的面积为平方米. 21．为锐角三角形，内角的对边分别为.已知为的外心，为上一点，且，. (1)求角； (2)若，求面积的取值范围； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式即可求解； （2）由三角形的面积公式得，利用正弦定理得，又，由为锐角三角形得的范围，进而求解； （3）设为外接圆的半径，由正弦定理求，即，先求，，，又，即，利用三角函数先求的范围，即可求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理得：， 又， 所以，又，所以， 即，由， 所以； （2）由题意有， 由正弦定理有：，所以， 由（1）由，所以，所以， 又为锐角三角形，所以，所以，所以， 所以，，所以， 所以面积的取值范围为； （3）设为外接圆的半径，由正弦定理有，即， 所以，由余弦定理有， 所以， 同理， 又 ， 所以，所以 ， 又由正弦定理得， 所以 ， 又，所以，所以，所以， 所以，即， 所以的取值范围为. 22．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】根据题意，利用三角形面积相等，推得，再利用“乘1”法和基本不等式即可求得的最小值. 【详解】 如图，因，则可得， 即，化简得， 因，则， 当且仅当时，即时，取等号， 故的最小值为. 故答案为：. 23．在锐角中，角的对边分别为，记的面积为，若，则以下说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用面积公式和正余弦定理化简条件，得到角的关系，再结合锐角三角形定义确定的范围，最后将转化为关于的函数求值域. 【详解】已知在锐角中，，其中面积， ，因为，所以，即，选项A正确； 由余弦定理，，代入得：， 由正弦定理，，，代入得：， 继续化简得， 因为是锐角三角形，所以，，故，即，选项B正确； 因为是锐角三角形，且，所以：，解得：，选项C错误； ，而，代入得： ，因为，所以， 令，则，该函数是开口向上，对称轴为的二次函数， 因为区间在对称轴右侧，所以函数在该区间上单调递增， 而，，所以，选项D正确. 考点06 探究性问题求参数 24．在中，内角所对的边分别为. (1)若的面积为1， ①，求的值； ②求的最小值. (2)若为锐角三角形，其外接圆半径，是否存在实数，使得恒成立，若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)①2② (2) 【分析】（1）①由三角形面积公式、数量积的定义列式，两式相比即可求解；②由余弦定理、基本不等式可得，再结合乘1法即可求解最小值； （2）由正弦定理、余弦定理以及基本不等式可得，故只需求得的最小值即可. 【详解】（1）①若的面积为1，则，若，则， 两式相比，可得； ②,由余弦定理： , 所以 ， 等号成立当且仅当且， 即当且仅当且， 即当且仅当且， 即当且仅当且， 所以的最小值为； （2）由题意恒成立， 只需，所以， 由余弦定理，由正弦定理， ， 在锐角中，，令， 则表示四分之一单位圆上的动点与定点连线斜率， 如图所示， 由图可知，当与圆弧相切时，最小，此时， 而， 所以， 所以， 解得，而，所以， 所以， 所以式子，所以，等号成立当且仅当且， 所以存在满足题意，且. 考点07 实际应用 25．巴张高速公路（巴东至张家界）于2025年1月开工，计划于2030年正式建成． 该高速公路在巴东境内横跨长江，需要重新修建一座桥梁，称为巴东长江二桥（以下简称二桥），目前二桥的起点和终点已经确定．如图1所示，设二桥起点为C，终点为D，为了测量二桥CD的长度（南北走向），小明同学选择了长江南岸的A，B两个观测点，AB相距2千米． 在A处测得二桥北岸D位于其北偏东60°的方向，二桥南岸C位于其南偏东75°的方向，观测点B位于其南偏东60°．在观测点B处测得南岸C处位于其北偏东60°，北岸D位于其北偏东15°的方向． (1)求二桥CD的长度． (2)为了优化二桥周边环境，政府部门将对扇形区域CBH进行改造．如图2所示，点P、Q在弧上，点M、N分别在BH、BC上，且PQ∥CH，四边形MNPQ为矩形．拟将矩形MNPQ所在区域建成一所主题公园，求公园面积的最大值． 【答案】(1)2千米 (2)平方千米 【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理解三角形，求出边长可得结果. （2）利用三角恒等变换表示出面积和之间的关系，根据角度的变化范围可求面积的最大值. 【详解】（1） 如图所示，过点作，过点作， 点在点的正北方向，点在点的正南方向，点在点的正北方向. 根据题意可知，所以, 由题意得，， 所以，故， 在中，由正弦定理得，即 ，故， 因为， 所以. 在中，， 由正弦定理可得，，解得． 在中，， 由余弦定理可得，解得， 所以二桥的长度是2千米. （2） 由（1）知扇形所在区域半径，圆心角. 如图，取线段的中点，连接交于，连接． 设. 根据垂径定理可知，故． 在中，由得，， 所以， 则矩形的面积， 由得， 所以当，即时，公园面积的最大值为平方千米． 考点08 新定义 26．由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个（）次多项式（），使得，这些多项式称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff)多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】通过求，来判断出正确选项. 【详解】 ， 所以，A错误. ， 所以，B正确. . 所以， 由于，所以， 由于，所以， 所以由解得， 所以，C正确. ，所以D错误. 故选：BC 【点睛】三角函数化简求值问题，关键是根据题意，利用三角恒等变换的公式进行化简. 27．正等角中心（positive isogonal centre）亦称费马点，是三角形的巧合点之一．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，， (1)若，（）是关于的方程两根，其中， ①求A； ②若，设点为的费马点，求； (2)若，设点为的费马点，，求实数的最小值． 【答案】(1)①；②； (2)． 【分析】（1）①根据一元二次方程根与系数关系，结合消元法、配方法、辅助角公式进行求解即可； ②根据费马点的性质，结合平面向量数量积的定义、三角形面积公式进行求解即可； （2）根据二倍角的余弦公式、两角和差的正弦公式化简已知三角等式，再结合费马点的性质、余弦定理、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）①由题意得： ，是关于方程的方程的两个不等实根， ， ，由于，，故，均为锐角，，  ， 因为均为锐角，所以，而也为锐角， ， ； ②由①知，，则的三个角都小于，由费马点定义知：， 设，，，由得：   ，整理得， 所以． （2）由，得， 即，又，，则， 于是，整理得，即， 又，，有，则， ， 由点为的费马点，得， 设，，， （，，）， 由，得， 由余弦定理得， ， ， 相加得得， 整理得，于是，当且仅当，即时取等号， 又，因此，而，解得，所以实数的最小值为． 28．定义：对于非零向量，若函数，则称为向量的“伴生函数”，向量为函数的“源向量”．    (1)若函数的“源向量”为，且以O为圆心，为半径的圆内切于正△ABC（顶点C恰好在y轴的正半轴上），求证：为定值； (2)已知向量为函数的“源向量”，若方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数k的取值范围； (3)已知向量为函数的“源向量”，在时的取值为．设P是△ABC外心，若，且，求实数λ的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）法一，根据所给定义，先找到的“源向量”，再结合正三角形的性质得到，，根据向量的减法转化，再根据向量数量积的运算法则计算即可求出定值；法二，先求出四点的坐标，再得到的向量坐标，再根据坐标分别计算出，再求和即可求出定值； （2）先求出伴生函数，将，转化成在上有且仅有四个不相等的实数根，然后根据在上的正负去掉绝对值符号，将写成分段函数的形式，并将其化简，作出其图象，数形结合即可求出实数k的取值范围； （3）法一，先求出角，设P是△ABC外心，可得 ，设，，则，，利用向量的减法转化中的，再将其两边同时乘以，再利用向量的数量积，二倍角及和差角公式变形化简即可求出；法二，将的两边同时乘以，利用向量的数量积及正弦定理将其转化为，再化简求值即可. 【详解】（1）法一：因为函数， 所以其“源向量”，显然， 即M轨迹为单位圆， 由正三角形的性质可知，， 所以 ， 是定值； 法二：由题意可知，，，， 所以，，， 所以， ， 所以，是定值； （2）因为向量为函数的“源向量”，所以， 则方程在上有且仅有四个不相等的实数根， 所以在上有且仅有四个不相等的实数根， 令，， ①当时， ； ②当时，， 所以. 其图象为：    结合，，， 故当在上有且仅有四个不相等的实数根时， k的取值范围为； （3）法一：由题意得，，则， 在三角形ABC中，，因此， 因为设P是△ABC外心，所以， ，， 设，，则，， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 又，因为， 所以． 法二：由 可得， 由向量的数量积公式可得， 即， 由正弦定理可得， 即， 所以. 29．A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与点P，Q任一点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记；若点M在线段PQ外，记．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D在射线BC上． (1)若三角形ABC为等边三角形，点D在BC延长线上，满足，则A点对BC施以视角运算，求（B，C；D）的值； (2)若，，由A点对BC施以视角运算，，求的最小值； (3)若，，由A点对BC施以视角运算，，求AD的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题目所给信息结合题目条件可得答案； （2）由题目条件可得，然后利用，可得，最后利用基本不等式可得答案； （3）由题目条件可得，结合向量知识可得， 又，可得，然后结合正弦定理与和差化积，积化和差公式可得答案. 【详解】（1）由题目所给信息，又D在线段BC外，则， 如图，因三角形ABC为等边三角形，， 则， 从而，， 则； （2）因，则D在线段BC内， 则， 因，则. 则， 则， 从而， 当且仅当时取等号； （3）因，则D在线段BC内. 则 又，则均为锐角，如图过B，C做AD所在射线的垂线， 垂足分别为E，F，则， 则，又注意到，则， 从而，则， 从而， 则， 又，则. 则， 由正弦定理得， 由和差化积公式：， 则. 由积化和差公式：. 注意到，则，则当时， ，即， 则. 30．定义：函数为向量的“跟随函数”，向量为函数的“原向量”． (1)设函数，的“原向量”分别为，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围． (2)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，AD平分∠BAC并与BC交于点D，向量的“跟随函数”为，且． （ⅰ）若，求AD的长； （ⅱ）求AD长度的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）利用两角差的余弦公式化简，即可求出，再得到，依题意，且，不同向，即可得到不等式组，解得即可； （2）（ⅰ）首先得到解析式，即可求出，再由正弦定理求出，再由等面积法计算可得；（ⅱ）由得到，从而转化为的三角函数，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以．由，得． 因为，的夹角为锐角，所以，且，不同向， 则，解得且， 故实数的取值范围为． （2）因为向量的“跟随函数”为， 所以． 又，所以，因为，则， 所以，所以． 又，所以由正弦定理可得， 则，． （ⅰ）因为，所以． 由余弦定理得， 即，则． 所以， ． 由，可得，则． （ⅱ）由，可得， 则． 因为，所以， 则． 令，则，由，得， 则． 由，可得，显然函数在上单调递增， 故长度的取值范围为． 31．设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种新运算“”：. (1)已知向量，求； (2)设向量，且，证明：； (3)已知向量，若，求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由向量夹角公式求出，再得出，根据新定义求解； （2）类比（1）求出，得出，利用新定义证明即可； （3）根据（2）代入求解推出，再由三角恒等变换求解. 【详解】（1）设的夹角为，则， 所以， 所以， 故. （2）设的夹角为， 则， 所以 ， 则， 于是，. （3）由题意，， 则由（2）的公式可得：， 又，则得， 故. 32．如图，若内一点满足，则称为的布洛卡点，为布洛卡角．某同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索并得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题： (1)若，求； (2)已知角所对的边分别为，且，求证：； (3)在（2）的条件下，若的周长为6，试把表示为的函数，并求的值域． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）设，由余弦定理得，表达出其他各角，在两个三角形中分别由正弦定理得，，得到方程，解得； （2）在和中，分别使用正弦定理得到方程组，两边相乘得； （3）由题意有，利用向量数量积公式和余弦定理得到，结合基本不等式和三角形边的关系，求出，单调递减，从而求出的值域. 【详解】（1）设，由时，得， 由余弦定理得， 所以， 又，所以， 在中，由正弦定理得， 解得， 又由题干知，在中，由正弦定理得， 解得， 所以，即， 即，解得． （2）由，则，， 在中，由正弦定理得，解得①， 在中，， ， 由正弦定理得，，得②， 联立①②得，即． 在中，由正弦定理有， 与两边相乘得； （3）由题意有， 则 ， 所以， 又因为，（当且仅当时，等号成立），解得， 又由三角形边的关系知，则，即， ，整理得，解得，即， 而时，单调递减， ， 所以的值域为． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角函数与解三角形 考点01 三角恒等变换求最值 考点02三角恒等变换与图像变换 考点03三角形中三角函数最值 考点04三角形三线四心 考点05三角形周长或面积范围与最值 考点06探究性问题求参数 考点07实际应用 考点08新定义 考点01 三角恒等变换求最值 1．已知，，则________，的最小值是________． 考点02 三角恒等变换与图像变换 2．已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于y轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的两条相邻对称轴的距离为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象． ①若，且，求的值； ②若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 考点03 三角形内三角函数最值 4．（多选）关于函数和，则下列说法中正确的是（   ） A．函数和有相同的最小值 B．存在直线l，使函数和的图象都关于直线l对称 C．存在点P，使函数和的图象都关于点P对称 D．函数，有6个零点 5．在中，若，则的最大值是____________． 6．已知不是直角三角形，且，则的最小值是__________. 7．已知函数，函数，设. (1)求证：是函数的一个周期； (2)当时，求：在区间上的最大值； (3)若函数在区间内恰好有奇数个零点，请直接写出所有满足条件的实数k的值. 考点04 三角形三线四心 8．三角形中，角对的边分别为，，若，则边上的高为（   ）. A． B． C． D． 9．已知的面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．已知的面积为分别是的中点，若，则BC长度的最小值为__________. 11．已知点是边长为3的正三角形所在平面内的一点，满足，过点的动直线分别交线段，于点，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 12．（多选）如图，为内任意一点，内角所对的边分别为的面积分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下命题是真命题的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若，则 C．若为的内心，，则 D．若是的外心，，则 13．如图，在中，，点，分别在边，上，线段和的长均不超过9，点在线段上，且平分，，则长度的取值范围是__________. 14．某学习小组在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）．如图，已知锐角△ABC的三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P．若AB＝3，且△ABC外接圆的半径为2，则______；若，且，则的取值范围是______． 考点05 三角形周长或面积范围与最值 15．的内角，，的对边分别为，，，是平面任意一点，满足，，且.若，则的最小值为________. 16．在中，为AC边上的动点，若AC边足够长，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 17．在中，是边上一点，且，，，则的最小值为______ 18．锐角的角，，的对边分别为，，满足，则的取值范围为__________. 19．的内角，，的对边分别为，，，，则角的大小为______．若角为钝角，则的取值范围为______． 20．某小区拟在一个圆形的空地上，规划一个形状为四边形的花园，如图，四边形内接于圆，为草坪区，为花卉区，根据规划已知米，米，． (1)当时，求边的长； (2)取的中点，连接，求小径的长； (3)若小径从点直通点，当线段最长时，求花卉区的面积． 21．为锐角三角形，内角的对边分别为.已知为的外心，为上一点，且，. (1)求角； (2)若，求面积的取值范围； (3)若，求的取值范围. 22．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为_________． 23．（多选）在锐角中，角的对边分别为，记的面积为，若，则以下说法正确的有（    ） A． B． C． D． 考点06 探究性问题求参数 24．在中，内角所对的边分别为. (1)若的面积为1， ①，求的值； ②求的最小值. (2)若为锐角三角形，其外接圆半径，是否存在实数，使得恒成立，若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由. 考点07 实际应用 25．巴张高速公路（巴东至张家界）于2025年1月开工，计划于2030年正式建成． 该高速公路在巴东境内横跨长江，需要重新修建一座桥梁，称为巴东长江二桥（以下简称二桥），目前二桥的起点和终点已经确定．如图1所示，设二桥起点为C，终点为D，为了测量二桥CD的长度（南北走向），小明同学选择了长江南岸的A，B两个观测点，AB相距2千米． 在A处测得二桥北岸D位于其北偏东60°的方向，二桥南岸C位于其南偏东75°的方向，观测点B位于其南偏东60°．在观测点B处测得南岸C处位于其北偏东60°，北岸D位于其北偏东15°的方向． (1)求二桥CD的长度． (2)为了优化二桥周边环境，政府部门将对扇形区域CBH进行改造．如图2所示，点P、Q在弧上，点M、N分别在BH、BC上，且PQ∥CH，四边形MNPQ为矩形．拟将矩形MNPQ所在区域建成一所主题公园，求公园面积的最大值． 考点08 新定义 26．（多选）由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个（）次多项式（），使得，这些多项式称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff)多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（    ） A． B． C． D． 27．正等角中心（positive isogonal centre）亦称费马点，是三角形的巧合点之一．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，， (1)若，（）是关于的方程两根，其中， ①求A； ②若，设点为的费马点，求； (2)若，设点为的费马点，，求实数的最小值． 28．定义：对于非零向量，若函数，则称为向量的“伴生函数”，向量为函数的“源向量”．    (1)若函数的“源向量”为，且以O为圆心，为半径的圆内切于正△ABC（顶点C恰好在y轴的正半轴上），求证：为定值； (2)已知向量为函数的“源向量”，若方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数k的取值范围； (3)已知向量为函数的“源向量”，在时的取值为．设P是△ABC外心，若，且，求实数λ的值． 29．A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与点P，Q任一点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记；若点M在线段PQ外，记．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D在射线BC上． (1)若三角形ABC为等边三角形，点D在BC延长线上，满足，则A点对BC施以视角运算，求（B，C；D）的值； (2)若，，由A点对BC施以视角运算，，求的最小值； (3)若，，由A点对BC施以视角运算，，求AD的最大值. 30．定义：函数为向量的“跟随函数”，向量为函数的“原向量”． (1)设函数，的“原向量”分别为，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围． (2)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，AD平分∠BAC并与BC交于点D，向量的“跟随函数”为，且． （ⅰ）若，求AD的长； （ⅱ）求AD长度的取值范围． 31．设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种新运算“”：. (1)已知向量，求； (2)设向量，且，证明：； (3)已知向量，若，求的值. 32．如图，若内一点满足，则称为的布洛卡点，为布洛卡角．某同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索并得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题： (1)若，求； (2)已知角所对的边分别为，且，求证：； (3)在（2）的条件下，若的周长为6，试把表示为的函数，并求的值域． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $