专题03 复数（高效培优期中专项训练）数学苏教版高一必修第二册

专题03 复数 考点01 复数相等 考点02复数混合运算 考点03复数的模 考点04复数与几何意义 考点05复数域解方程 考点06复数运算的三角表示 考点07新定义 考点01 复数相等 1．被称为欧拉公式.我们运用欧拉公式，可以推导出倍角公式.如：.类比方法，我们可以得到____（用含有的式子表示） 【答案】 【分析】根据已知可推得，根据二项式定理展开，结合复数相等的条件以及，整理即可得出答案. 【详解】由题意可知，. 根据二项式定理展开可得， . 根据复数相等的条件可知，. 因为， 所以. 故答案为： . 【点睛】关键点睛：根据已知可推得. 2．已知设复数满足使得关于的方程有实根，其中为的共轭复数，求满足条件的构成的集合. 【答案】. 【分析】设z=a+bi（a，b∈R，a2+b2=1），代入原方程化简，实部和虚部都等于0，解方程组即可求得. 【详解】设z=a+bi（a，b∈R，a2+b2=1）. 将原方程改为（a+bi）x2+2（a-bi）x+2=0，分离实部与虚部后等价于： …… ① …… ② 若b=0，则a2=1，但当a=1时，①无实数解，从而，此时存在实数满足①、②，故z=-1满足条件. 若b≠0，则由②知x∈{0，2}，但显然x=0不满足①，故只能是x=2，代入①解得，进而，相应有 综上，满足条件的所有复数构成的集合为. 考点02 复数混合运算 3．已知复数z满足4且，则的值为 A．﹣1 B．﹣2 2019 C．1 D．2 2019 【答案】D 【解析】首先设复数z=a+bi（a，b∈R），根据z4和z|z|0得出方程组，求解可得： z，通过计算可得：，代入即可得解. 【详解】设z=a+bi（a，b∈R）， 由z4且z|z|=0，得 ，解得a=﹣1，b. ∴z， 而1， . ∴. 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的计算，考查了共轭复数，要求较高的计算能力，属于较难题. 4．欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，将复数表示成（为虚数单位）的形式___________；若，则，这里，称为1的一个n次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，则的值是___________． 【答案】 【分析】根据欧拉公式直接可得求出第一空；根据单位根的概念，代入化简即可求出第二空. 【详解】，， 所以， 由题意可得， 所以， 又因为，所以， 则 . 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对欧拉公式的使用和复数四则运算法则的熟练运用. 5．已知为虚数，若，且. (1)求的实部的取值范围； (2)设，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设复数，根据复数的四则运算化简可得，进而可得的取值范围； （2）根据复数的四则运算，结合基本不等式可得最小值. 【详解】（1）设， 则， 又，则， 所以， 所以，即， 解得； （2）， 由（1）得， 所以， 所以， 又， 所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以， 即的最小值为. 考点03 复数的模 6．已知复数，和满足，若，则的最大值为（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】先利用复数的模与加减法的几何意义，及三角形两边之和大于第三边得到，再将时各复数的取值取出，即可得到的最大值. 【详解】根据题意，得， 当，，时，，此时， 所以. 故选：B. 7．复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（    ）个. A．9 B．10 C．11 D．无数 【答案】C 【分析】先根据复数的模为1及复数模的运算公式，求得即，接下来分与两种情况进行求解，结合，求出的个数. 【详解】，其中，所以，即，，当时，①，，所以，，因为，所以或；②，，所以，，因为，所以，，，，或；当时，①，，即，，因为，所以，②，，即，，因为，所以，，，，，综上：，，一共有11个. 故选：C 8．已知复数，且，则______. 【答案】或3 【分析】先求出，再利用复数模的公式列出a的方程，求解即得. 【详解】复数， 可得，则 整理得，，即 因为，所以且， 又因，故，解得，或. 故答案为：或3. 【点睛】思路点睛：在根据题意推得方程后，要根据条件,将看成整体，对右式进行相应分解，才能顺利求得值. 9．已知复数z，，，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，则的最小值为1 【答案】ACD 【分析】结合复数的四则运算，共轭复数的定义及复数模长的公式可判断A；结合特殊值法可判断B；结合复数模长的性质可判断C；结合复数的几何意义可判断D. 【详解】对于A，设，则，故A正确； 对于B，令，满足，故B错误； 对于C，设，，则 ，所以，故C正确； 对于D，设，则， 即，表示以为圆心，半径为1的圆， 表示圆上的点到的距离，故的最小值为，故D正确. 故选：ACD 10．在中，，为的中点，过点的直线分别交直线、于不同的两点、．设，，复数，则取到的最小值为__． 【答案】/ 【分析】先利用平面向量基本定理及M、E、N三点共线，判断出，对消去n后利用二次函数判断出的最小值. 【详解】 在中，因为， 所以. 又，，所以. 因为E为的中点，所以. 因为M、E、N三点共线，所以，即， 复数，所以， 令， 故当，取最小值. 故答案为： 考点04 复数与几何意义 11．已知个两两互不相等的复数，满足，且，其中；，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】设从而可得即对应平面内距离为的点，从而利用数学结合求解即可. 【详解】设 ,, 即 化为 故对应平面内距离为的点，如下图中,   , 与对应点的距离为或 构成了点共个点， 故的最大值为 故选： 【点睛】方法点睛：(1)本题是复数的综合应用，考查的主要是复数的模的几何意义的应用． (2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，利用复数的模的几何意义进行求解． 12．设复数在复平面上对应向量，将向量绕原点O按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把复数化为三角形式，再根据题中的条件求出复数，利用复数相等的条件得到和的值，求出. 【详解】因为， 所以， 设，，， 则， ， 即，，， 故 . 故选：A. 【点睛】本题考查复数的几何意义及复数的综合运算，较难. 解答时要注意将、化为三角形式然后再计算. 13．下列四个命题正确的是（    ） A．若，则的最大值为3 B．若复数满足，则 C．若，则点的轨迹经过的重心 D．在中，为所在平面内一点，且，则 【答案】ABC 【分析】A根据复数模的几何意义及圆的性质判断；B利用复数的运算和模的运算求解即可；C结合重心的性质进行判断；D利用平面向量基本定理，判断出D点位置，进而可求. 【详解】对A，由的几何意义，知复数对应的动点到定点的距离为1，即动点的轨迹以为圆心，1为半径的圆，表示动点点的轨迹以的距离，由圆的性质知： ，A正确； 对B，设，因为， 所以，， 所以，所以，B正确； 对C，由正弦定理的，即， ，设中点为， 如图：    则，则，由平面向量的共线定理得三点共线，即点在边的中线上，故点的轨迹经过的重心,C正确； 对D，如图由已知点在中与平行的中位线上，且靠近的三等分点处，故有，所以，D错误.    故选：ABC 14．设复数，且,其中为确定的复数，下列说法正确的是（    ）. A．若，则是实数 B．若，则存在唯一实数对使得 C．若 ，则 在复平面内对应的点的轨迹是射线 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据复数的概念及运算性质，以及共轭复数的性质和复数模的性质，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，若，因为，则，可得， 设，则，所以A正确； 对于B中，由A得，设，若， 则， 只要或，选项B就不正确； 例如：，此时， 可表示为或， 所以表示方法不唯一，所以B错误. 对于C中，若，则，可得， 则，所以且， 设，则，其中， 则复数对应的向量与复数对应的向量方向共线，且长度是倍， 故在复平面内对应的点的轨迹是射线（且与方向共线），所以C正确. 对于D中，若，可得，同理， 由，即，可得， 即， 即，即， 即， 因为，所以成立， 所以成立，所以D正确. 故选：ACD. 15．在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为___________. 【答案】 【分析】根据复数的几何意义，由，分析得关于原点对称，所以确定，再利用平面向量的三角形法则与数量积的运算性质，将所求问题转化为平面向量数量积的最值问题. 【详解】解：因为复数对应的点为 且则可确定点在以O为圆心，2为半径的圆上 又，所以为圆的直径，即关于原点对称 所以 因为 所以 又，， 则 所以 即的最大值为，所以的最大值为. 故答案为：. 16．已知为复数，且，则的最大值为____________. 【答案】 【分析】由题意，设，得到，则，利用复数的模的几何意义，即可得解. 【详解】由题意设，则 ，，即， 即的模的轨迹可理解为以为圆心，半径为2的圆. 则，可理解为求点到点之间的距离， 数形结合可知，的最大值为4． 故答案为： 17．已知复数的三角形式为. (1)若复数对应的向量为，把按逆时针方向旋转15°，得到向量恰好在轴正半轴上，求复数（用代数形式表示）. (2)若的实部为，是否存在正整数，使得对于任意实数，只有最小值而无最大值？若存在这样的的值，则求出此时使取得最小值的的值；若不存在这样的的值，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，时. 【分析】（1）根据复数三角形式的运算及几何意义得出，再由的实部为，即可得出答案. （2）由题表示出，令，分析，进而判断的最值问题，即可得出答案. 【详解】（1）把按逆时针方向旋转15°， 所得向量， 因， ， 因为向量恰好在轴正半轴上， 则， 解得， ， 故复数. （2）存在，时，理由如下： 由题知， ， 因的实部为，则， 令，则， 易得在上单调递减，又为正整数，故在上单调递增， 因，则， 则要使得只有最小值而无最大值， 只需要即可，即，即， 当时，，，不符合只有最小值无最大值； 当时，， 因，则，又为正整数，则， 所以， 此时，当取得最小时，易得， 即，解得. 【点睛】关键点睛：本题主要考察复数及其三角形式，计算复数的模和辐角主值是解答的关键，特别注意：中，为的模，是的辐角，中的辐角，叫做的辐角主值，记作，显然. 18．已知i是虚数单位，a，，设复数，，，且. (1)若为纯虚数，求； (2)若复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面的坐标原点. ①是否存在实数a，b，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由； ②若O，A，B三点不共线，记的面积为，求及其最大值. 【答案】(1)或 (2)①存在，；②，最大值为2 【分析】（1）计算，然后使其实部为零，虚部不为零，再结合可求出的值，从而可求出求； （2）①方法一：由题意可得，然后解关于的方程组可得结果，方法二：设则，再由题意得，从而可求得结果， ②设向量的夹角为θ，，设复数所对应的向量为则，化简后再利用可求得其最大值. 【详解】（1）因为复数， 所以， 而为纯虚数，因此，即. 又因为，且，所以， 由，解得或， 所以或. （2）①存在，理由如下： 法一：由题意知：，得， 解得或 ， 因为OB逆时针旋转后与OA重合，所以； 法二：设是以x轴正半轴为始边，OB为终边的角，则， 所以即， 所以，所以 ， 且时，满足. 所以. ②因为复数，对应的向量分别是为坐标原点），且O，A，B三点不共线， 所以设向量的夹角为θ，，设复数所对应的向量为 则且， 因此的面积， ， 设，则， 当且仅当且，即或时等号成立， 所以，其最大值为2. 【点睛】关键点点睛：此题考查复数的运算，考查复数的有关概念的应用，考查复数的几何意义的综合应用，解题的关键是对复数的几何意义的正确理解，考查数学计算能力，属于较难题. 19．已知复数． (1)若复数在复平面内的对应点落在第一象限，求实数a的取值范围； (2)若虚数是方程的一个根，求实数m的值． 【答案】(1) (2)13 【分析】（1）根据复数的减法，确定实部与虚部，根据其几何意义，可得实部与虚部的取值范围，可得答案； （2）根据复数与一元二次方程的关系，再由韦达定理，可得答案. 【详解】（1）．因为在复平面内的对应点落在第一象限，所以即解得．因此，实数a的取值范围是． （2）因为虚数是方程的一个根，所以也是方程的一个根，于是，解得．把代入，得，，所以． 20．已知z为复数，为实数. (1)当时，求复数z在复平面内对应的点Z的集合； (2)当时，若（）为纯虚数，求的值和的取值范围. 【答案】(1)或 (2)，. 【分析】（1）设，x，，将用x，y表示.由复数满足题中所给的不等式可知，复数必为实数（虚数不能比较大小）.可求出x，y所满足的关系式，再结合它们的范围，即可得到复数z在复平面内对应的点的集合； （2）在（1）的基础上，结合本小问所给的不等式，求出实数x的范围.因为，且u为纯虚数，所以且.从而求出实数 的值为3.再结合，可以将写成关于实数x的函数，求出该函数的值域即可. 【详解】（1）设，x，， 则为实数， ∴，∴或.     当时，. ∵，∴， 当时，解得；当时，不等式的解集为空集. ∴点Z的集合为.     当时，.∵，∴，解得. 又，∴. ∴点Z的集合为.     综上，复数z在复平面内对应的点Z的集合为或. （2）由（1）可得当时，. ∵，∴， ∵当时，；当时，， ∴不等式的解集为空集. 故不存在满足条件的.     当时，. ∵，∴，解得. ∵为纯虚数， ∴且， ∵，∴，，∴.     ∵，∴. ∴，. 考点05 复数域解方程 21．意大利数学家卡尔达诺（Cardano.Girolamo，1501-1576）发明了三次方程的代数解法.17世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四个步骤： 第一步，把方程中的用来替换，得到方程； 第二步，利用公式将因式分解； 第三步，求得，的一组值，得到方程的三个根：，，（其中，为虚数单位）； 第四步，写出方程的根：，，. 某同学利用上述方法解方程时，得到的一个值：，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据三次方程的代数解法对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】 依题意可知是次项系数，所以，A选项正确. 第一步，把方程中的，用来替换， 得， 第二步，对比与， 可得，解得，B选项正确. 所以，C选项正确. ，D选项错误. 故选：ABC 22．已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．若方程有一根为0，则且 B．方程可能有两个实数根 C．时，方程可能有纯虚数根 D．若方程存在实数根，则或 【答案】ACD 【分析】将方程进行等价变形为，利用复数的定义，若复数为0，则实部为0，虚部也为0，判断AB选项；结合基本不等式求解实根的范围判断D选项；举例当且时，有纯虚根判断C. 【详解】解：A选项：若方程有一根为0，则代入方程有，则有，，即且，故A正确； B选项：方程可变形为：， 即，则，只有一解，故B错误； C选项：当且时，方程为，是该方程的一个纯虚根，故C正确； D选项：若方程存在实数根，则，代入方程可得：，即，即，解得：或，即或，故D正确 故选：ACD 23．代数基本定理是数学中最重要的定理之一，其内容为：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根．由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积．进而，一元次复系数多项式方程有个复数根（重根按重数计）． 如对于一元二次实系数方程，在时的求根公式为在时的求根公式为．所以由代数基本定理，任意一个一元二次实系数多项式可以因式分解为． (1)在复数集中解方程：； (2)（i）在复数集中解方程：； （ii）写出一个以、、、为根的一元六次实系数多项式方程；（不需要写证明过程）； (3)已知一元十次实系数多项式满足，求的值． 【答案】(1)， (2)（i），，，；（ii）（答案不唯一） (3) 【分析】（1）按照实系数一元二次方程的解法计算可得； （2）（i）将方程左边因式分解，变形为，即可得解； （ii）根据虚根成对原理，可知、也为方程的根，从而得到一个符合题意的一元六次实系数多项式方程； （3）依题意可得，则，令，即可求出，从而求出，再令，即可得解. 【详解】（1）方程，则， 所以、， 即原方程在复数集中解为，； （2）（i）因为， 所以， 即， 即， 所以，，、， 即原方程在复数集中解为，，，； （ii）因为为该方程（实系数）为根，则也为方程的根， 为该方程（实系数）为根，则也为方程的根， 又与可为方程的两个虚根； 与可为方程的两个虚根； 所以以、、、为根的一元六次实系数多项式方程可以为. （3）依题意可得， 令， 因为十一次多项式方程有个根， 令， 所以， 令，可得，所以， 所以， ， 则，又， 所以，则. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是令，从而得到有个根，再令，利用赋值法求出. 24．（1）已知关于的实系数方程，若是方程的一个复数根，求出，的值； （2）已知，，均为实数，且复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）把代入方程即可求解； （2）设，计算出，均为实数，即虚部为0，求出x,y的值，，根据所在象限列不等式组得解. 【详解】（1）由题得， 解得 （2）设，为实数，.为实数，，.， 由已知得解得，即的取值范围是. 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于根据复数的运算法则准确计算求解. 考点06 复数运算的三角表示 25．已知复数z满足，则中不同的数有（    ） A．4个 B．6个 C．2019个 D．以上答案都不正确 【答案】B 【分析】根据复数的三角形式可求，从而可判断出不同的数的个数. 【详解】根据题意，有， 于是中有6个不同的数． 故选：B. 26．我们知道复数有三角形式，，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知圆半径为1，圆的内接正方形的四个顶点均在圆上运动，建立如图所示坐标系，设点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为. (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作等边，且在上方. （ⅰ）求线段长度的最小值； （ⅱ）若（，），求的取值范围. 【答案】(1)， (2)①1；② 【分析】（1）由题意，根据复数的乘法运算即可求解； （2）（ⅰ）解法一：设，根据三角恒等变换化简和复数的乘法计算求出，进而表示的坐标，结合模长公式计算即可；解法二：连接，设，，求出，进而，利用换元法化简计算即可求解； （ⅱ）设，则D，利用向量的线性运算和三角恒等变换化简可得，进而求解. 【详解】（1）， . （2）（ⅰ）解法一：设，， 所表示的复数为，所表示的复数为 有， ， 故， 得 ， 其中，故线段长度的最小值为1. 解法二：连接，设，， 由可得，则， 当时， 化简得，令，. 则 . 同理可得：当时， （ⅱ）设，则，即点坐标为， 此时，，. 由（，）得： ， 即，解得， 故， ，其中， 可得. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 27．如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作叫做复数的三角形式．复数三角形式的乘法公式：．棣莫佛提出了公式：，其中. (1)已知，求的三角形式； (2)已知为定值，，将复数化为三角形式； (3)设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为，求复数所对应不同点的个数． 【答案】(1)； (2)； (3)5 【分析】（1）根据复数的乘法运算律计算即可； （2）结合二倍角余弦及正弦公式计算化简即可； （3）应用正二十边形得出中心角为，再设，再应用复数乘方定义结合周期性，共有5个不同的值. 【详解】（1） . （2）. （3）正二十边形每边所对的中心角为，设（为常数）， 则， 所以 ， 由周期性可知，共有5个不同的值， 故复数所对应不同点的个数为5． 【点睛】关键点点睛：应用正二十边形得出中心角为，再设，再应用复数乘方定义结合周期性，共有5个不同的值. 28．（1）设为虚数单位，求的实部； （2）计算：. 【答案】（1）；（2）. 【解析】利用数学归纳法证明出. （1）可计算得出，由此可得出结果； （2）由已知条件可得出为复数的实部，计算得出，由此可求得所求代数式的值. 【详解】先证明出. 当时，等式成立； 当时，，等式成立； 假设当时，. 当时， ， 这说明，当时，等式也成立， 因此，对任意的，. （1）， 所以，， 因此，复数的实部为； （2）的展开式通项为， 当为偶数时，为实数；当为奇数时，为纯虚数. 所以，为复数的实部， ， 所以， ， 所以，. 【点睛】关键点点睛：本题考查与复数、二项式定理的综合应用，求解的关键就是证明出，进而将复数利用三角形式转化求解. 考点07 新定义 29．在复数域内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面轴上方的复数为正，在轴下方的复数为负，在轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示，我们用来表示复数的“大小”，例如：，则下列说法正确的是（    ） A．在复平面内表示一个圆 B．若，则方程无解 C．若为虚数，且，则 D．复数满足，则的取值范围为 【答案】BCD 【分析】根据已知条件，理解的意义，结合复数的几何意义，模长计算，逐一判断即可. 【详解】A：根据已知条件表示模长为1，在复平面位于轴上方的复数，所以并不是一个圆，故A错误； B：若，则方程为一个实数，所以无解，故B正确； C：若为虚数，且，设，则， 若,;若,, 均有，故C正确； D：设， 根据复数的新定义有， 所以，且， 所以， 所以是， 所以，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于对的理解. 30．对于一组复数（且），如果存在，使得，其中，那么称是该复数组的“长复数”. (1)设，，若是复数组，，的“长复数”，求实数的取值范围； (2)若，，复数组是否存在“长复数”?给出你的结论并说明理由； (3)若，，是否，对于，都能满足复数组，，中的每一个复数均为“长复数”?若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在“长复数”，且“长复数”为 (3)或 【分析】（1），，，是复数组，，的“长复数”，从而，由此能求出结果； （2）由，存在“长复数”，只需要， 列不等式组求出结果； （3）由题意，得，，则可得，同理得，结合二倍角公式可求得的值． 【详解】（1）由题意可得：，又， 故，，， 故， 解得； （2）存在“长复数”，且“长复数”为，理由如下： 由题意可得， 若存在“长复数”，只需要， 又， 故，即，， 当或时，符合要求，故存在“长复数”，且“长复数”为； （3）由题意，得，， 即， 即，解得， 同理，所以，解得， 故， 因为，所以或. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解不等式，结合复数的模长公式，不等式的性质，三角函数的恒等变换等求解. 31．通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则： ①；    ②； ③；        ④. (1)设，，求和. (2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论： ① ②    ③. 试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明. (3)若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立. 根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）. 【答案】(1)， (2)①③错误，②正确，证明见解析 (3)证明见解析，答案见解析 【分析】（1）根据所给定义计算可得； （2）根据所给定义及复数代数形式的运算法则计算可得； （3）设满足条件的，，、，根据所给条件求出，再证明对任意的，不等式恒成立，则只需计算的最小值，不妨令，表示出，即可得到，根据完全平方数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以， （2）设，，，、、、、、、， 则，，故①不成立， ，， ， 因为，， 所以 ，故②正确； ，， ，， 设，，， 则，， ， 所以，故，即③错误； （3）设满足条件的，，、， 则，， 因为为任意的复数，不妨设且， 由定义可得，即，则， 所以，则， 以下证明对任意的，不等式恒成立，只需计算的最小值， 不妨令，则， 则 ， 当，时取得最小值，此时与之前得到的相同，结论得证； 推广结论：对于任意复向量，，若对于任意的，当且仅当时，取到最小值. 【点睛】关键点睛：对于新定义问题，关键是理解所给定义，再结合所学相应知识解决问题. 32．设是一个关于复数z的表达式，若（其中x，y，，为虚数单位），就称f将点“f对应”到点．例如将点“f对应”到点． (1)若点“f对应”到点，点“f对应”到点，求点、的坐标； (2)设常数，，若直线l：，，是否存在一个有序实数对，使得直线l上的任意一点“对应”到点后，点Q仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由； (3)设常数，，集合且和且，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有；②对于集合A中的任意一个元素，都存在集合D中的元素z使得．请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题中的新定义求解即可； （2）由题意可得，进而由条件得出关于的方程组，求解即可； （3）满足条件的一个有序实数对为，即，，结合复数模的求法及复数的运算证明即可. 【详解】（1）由知，则，故； 设，则， 由知，则，即. （2）直线l上的任意一点“对应”到点， ，且， ，即， 由题意，点仍在直线上，则，又， 则， 展开整理得， 则，解得， 所以，所求的有序实数对为. （3）满足条件的一个有序实数对为，即，，证明如下： 设，则，， ∵，∴， ，即，满足条件①； 设，且，即，得， 由得， 则 ， 则，满足条件②， 综上，满足条件的一个有序实数对为. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 复数 考点01 复数相等 考点02复数混合运算 考点03复数的模 考点04复数与几何意义 考点05复数域解方程 考点06复数运算的三角表示 考点07新定义 考点01 复数相等 1．被称为欧拉公式.我们运用欧拉公式，可以推导出倍角公式.如：.类比方法，我们可以得到____（用含有的式子表示） 2．已知设复数满足使得关于的方程有实根，其中为的共轭复数，求满足条件的构成的集合. 考点02 复数混合运算 3．已知复数z满足4且，则的值为 A．﹣1 B．﹣2 2019 C．1 D．2 2019 4．欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，将复数表示成（为虚数单位）的形式___________；若，则，这里，称为1的一个n次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，则的值是___________． 5．已知为虚数，若，且. (1)求的实部的取值范围； (2)设，求的最小值. 考点03 复数的模 6．已知复数，和满足，若，则的最大值为（    ） A． B．3 C． D．1 7．复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（    ）个. A．9 B．10 C．11 D．无数 8．已知复数，且，则______. 9．（多选）已知复数z，，，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，则的最小值为1 10．在中，，为的中点，过点的直线分别交直线、于不同的两点、．设，，复数，则取到的最小值为__． 考点04 复数与几何意义 11．已知个两两互不相等的复数，满足，且，其中；，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．设复数在复平面上对应向量，将向量绕原点O按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数，则（    ） A． B． C． D． 13．（多选）下列四个命题正确的是（    ） A．若，则的最大值为3 B．若复数满足，则 C．若，则点的轨迹经过的重心 D．在中，为所在平面内一点，且，则 14．（多选）设复数，且,其中为确定的复数，下列说法正确的是（    ）. A．若，则是实数 B．若，则存在唯一实数对使得 C．若 ，则 在复平面内对应的点的轨迹是射线 D．若，则 15．在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为___________. 16．已知为复数，且，则的最大值为____________. 17．已知复数的三角形式为. (1)若复数对应的向量为，把按逆时针方向旋转15°，得到向量恰好在轴正半轴上，求复数（用代数形式表示）. (2)若的实部为，是否存在正整数，使得对于任意实数，只有最小值而无最大值？若存在这样的的值，则求出此时使取得最小值的的值；若不存在这样的的值，请说明理由. 18．已知i是虚数单位，a，，设复数，，，且. (1)若为纯虚数，求； (2)若复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面的坐标原点. ①是否存在实数a，b，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由； ②若O，A，B三点不共线，记的面积为，求及其最大值. 19．已知复数． (1)若复数在复平面内的对应点落在第一象限，求实数a的取值范围； (2)若虚数是方程的一个根，求实数m的值． 20．已知z为复数，为实数. (1)当时，求复数z在复平面内对应的点Z的集合； (2)当时，若（）为纯虚数，求的值和的取值范围. 考点05 复数域解方程 21．（多选）意大利数学家卡尔达诺（Cardano.Girolamo，1501-1576）发明了三次方程的代数解法.17世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四个步骤： 第一步，把方程中的用来替换，得到方程； 第二步，利用公式将因式分解； 第三步，求得，的一组值，得到方程的三个根：，，（其中，为虚数单位）； 第四步，写出方程的根：，，. 某同学利用上述方法解方程时，得到的一个值：，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（多选）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．若方程有一根为0，则且 B．方程可能有两个实数根 C．时，方程可能有纯虚数根 D．若方程存在实数根，则或 23．代数基本定理是数学中最重要的定理之一，其内容为：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根．由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积．进而，一元次复系数多项式方程有个复数根（重根按重数计）． 如对于一元二次实系数方程，在时的求根公式为在时的求根公式为．所以由代数基本定理，任意一个一元二次实系数多项式可以因式分解为． (1)在复数集中解方程：； (2)（i）在复数集中解方程：； （ii）写出一个以、、、为根的一元六次实系数多项式方程；（不需要写证明过程）； (3)已知一元十次实系数多项式满足，求的值． 24．（1）已知关于的实系数方程，若是方程的一个复数根，求出，的值； （2）已知，，均为实数，且复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 考点06 复数运算的三角表示 25．已知复数z满足，则中不同的数有（    ） A．4个 B．6个 C．2019个 D．以上答案都不正确 26．我们知道复数有三角形式，，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知圆半径为1，圆的内接正方形的四个顶点均在圆上运动，建立如图所示坐标系，设点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为. (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作等边，且在上方. （ⅰ）求线段长度的最小值； （ⅱ）若（，），求的取值范围. 27．如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作叫做复数的三角形式．复数三角形式的乘法公式：．棣莫佛提出了公式：，其中. (1)已知，求的三角形式； (2)已知为定值，，将复数化为三角形式； (3)设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为，求复数所对应不同点的个数． 28．（1）设为虚数单位，求的实部； （2）计算：. 考点07 新定义 29．（多选）在复数域内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面轴上方的复数为正，在轴下方的复数为负，在轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示，我们用来表示复数的“大小”，例如：，则下列说法正确的是（    ） A．在复平面内表示一个圆 B．若，则方程无解 C．若为虚数，且，则 D．复数满足，则的取值范围为 30．对于一组复数（且），如果存在，使得，其中，那么称是该复数组的“长复数”. (1)设，，若是复数组，，的“长复数”，求实数的取值范围； (2)若，，复数组是否存在“长复数”?给出你的结论并说明理由； (3)若，，是否，对于，都能满足复数组，，中的每一个复数均为“长复数”?若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由. 31．通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则： ①；    ②； ③；        ④. (1)设，，求和. (2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论： ① ②    ③. 试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明. (3)若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立. 根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）. 32．设是一个关于复数z的表达式，若（其中x，y，，为虚数单位），就称f将点“f对应”到点．例如将点“f对应”到点． (1)若点“f对应”到点，点“f对应”到点，求点、的坐标； (2)设常数，，若直线l：，，是否存在一个有序实数对，使得直线l上的任意一点“对应”到点后，点Q仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由； (3)设常数，，集合且和且，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有；②对于集合A中的任意一个元素，都存在集合D中的元素z使得．请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $