10.3 实际问题与二元一次方程组-【新学期对照学】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）

Q新学期对照学数学七年级下册 10.3 实际问题与二元一次方程组 教材内容对照学 批注拓展原教材·预习听课都实用 敲黑板多 前面我们讨论了二元一次方程组的解法，并用二元一次方程组解决 了一些简单的实际问题.本节我们继续探究如何用二元一次方程组解决 方法点拨 实际问题 找相等关系的基本方法： 可探究1 (1)抓住题目中的关键 养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675kg;一 词，常见的关键词有“比” 周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940kg.饲 “是”“等于”等 (2)根据常见的数量关 养员李大叔估计每头大牛1天需饲料18~20kg,每头小牛1天需 系，如路程与时间、速度的 饲料7~8kg你能通过计算检验他的估计吗？ 关系，基本图形的计算公 式（如体积公式、面积公式 设几个未知数，就列几个方程 等)，销售问题中的数量关 分析：设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料xkg和ykg 系等 根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，列得方程组 (3)挖掘题目中的隐含 条件 30x+15y=675 (4)借助列表格、画线段 (30+12)x+(15+5)y=940. 示意图等方法找相等 关系 注意：(1)方程两边表示的是同类量 (2)同类量的单位要统一 解这个方程组，得 x= 20 Y= 5. 这就是说，每头大牛1天约需饲料20 可以先独立分析问题中 kg,每头小牛1天约需饲料5kg因此，饲 的数量关系，列出方程 养员李大叔对大牛食量的估计较准，对 组，得出问题的解答，再 小牛食量的估计偏高： 与同学交流。 凸练习 可练习答案 1.为了节能减排，一家工厂将照明灯换成了节能灯.A车间购买了3盏甲 1.5元；7元 型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费50元：B车间购买了12盏甲型节 能灯和4盏乙型节能灯，共花费88元.1盏甲型节能灯和1盏乙型节 能灯的售价各是多少元？ 106|中小学A1教辅引领者 第十章二元一次方程组 2.学校图书馆分两次购买了相同版本的《西游记》和《水浒传》供学生借 敲黑板多 阅.第一次买了2套《西游记》和3套《水浒传》，共花费151元：第二次 一练习答案 买了4套《西游记》和2套《水浒传》，共花费178元.每套《西游记》和 2.每套《西游记》的价格 《水浒传》的价格分别是多少元？ 是29元，每套《水浒传》 的价格是31元 3.某公司前两年产生的餐厨垃圾、建筑垃圾的质量都基本没变，但支付 3.8t:34t 的餐厨垃圾处理费和建筑垃圾清运费的总和由7020元上升为8520 元，原因是餐厨垃圾处理费的收费标准由240元/1上调为300元/L,建 筑垃圾清运费的收费标准由150元/：上调为180元/L.这家公司去年 @拓展提升 的餐厨垃圾和建筑垃圾各有多少吨？ 列二元一次方程组解应用 题的主要数学思想， ?可探究2 (1)转化思想：解应用题 时，无论是何种题型，都要 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2 把实际问题（应用题）转 现要把一块长200m、宽100m的长方形土地划分为两块小长方 化成数学问题，进而求解， 得出答案 形土地，分别种植这两种作物.怎样划分这块土地，才能使甲、乙 (2)类比思想：学习列二 两种作物的总产量的比是3：4？ 元一次方程组解应用题 时.可类比列一元一次方 程解应用题的思路，其解 分析：如图10.3-1，一种划分方案为：甲、D 题步骤基本相同， 乙两种作物的种植区域分别为长方 形AEFD和长方形EBCF. 此时设AE=xm,EB=ym,根据问题中 -xm→e—ym 图10.3-1 涉及长度、产量的相等关系，列得方程组 x+y=200, 100x3 100y×24· 解这个方程组，得 x=120, y=80 过长方形土地的长边上离一端120m处，作这条边的垂线，把这 块土地分为两块长方形土地.较大一块土地种植甲种作物，较小一 块土地种植乙种作物. 中小学A1教辅引领者|107 Q新学期对照学数学七年级下册 敲黑板国多 凸练习 1.对于探究2中的问题，如果按照如图的方式划分土地，分别在长方形 。练习答案 DMNC和MABN土地中种植甲、乙两种作物，那么AM的长度是多少？ 1.AM的长度是40m D 2.x=-1,y=1. 2x 3 2 3.A工程队清理了60m M x+2y -3 的河道，B工程队清理了 4y 120m的河道 (第1题) (第2题)》 2.如图，3×3的格子内填写了一些数和代数式.为了使格子的各行、各列 及对角线上的三个数之和均相等，x,y各应取什么值？ *2x+3+2=2-3+4y=2x+(x+2y)+4 3.某地为打造运河风光带，雇用A,B两个工程队共同完成一段长为180m 的河道的清理任务.已知A工程队每天清理12m,B工程队每天清理 8m,两个工程队工作天数之和为20天，A,B工程队分别清理了多长 的河道？ 的方法点拨 列二元一次方程组解应用 ?探究3 题的一般步骤： 如图10.3-2，丝路纺织厂与A,B两地由公路、铁路相连.这 (1)审：认真审题，分清题 家纺织厂从A地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往B 中的已知量、未知量，并明 地.已知长绒棉的进价为3.08万元/：，纺织面料的出厂价为 确它们之间的等量关系 425万元/L,公路运价为0.5元/(t·km),铁路运价为0.2元/(t· (2)设：恰当地设未知数. km),且这两次运输共支出公路运费5200元，铁路运费16640 (3)列：依据题中的等量 关系列出方程组 元.那么这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的 (4)解：解方程组，求出未 价格)与运输费的和多多少元？ 知数的值 图形及标注的裁据也是给出 (5)验：检验所求得的未 已知条件的一种方式 知数的值是否符合题意和 铁路120km 实际意义 公路10km (6)答：写出答案 ·丝路纺织厂 公路20km 铁路110km 图10.3-2 分析：销售额与产品数量有关，原料费与原料数量有关.设购买xt长绒 棉，制成yt纺织面料.根据题中数量关系填写表10.3-1. 108|中小学A1教辅引领者 第十章二元一次方程组 表10.3-1 敲黑板虽 xt长绒棉 yt纺织面料 合计 公路运费/元 5x 10y 5200 因方法点拨 铁路运费/元 24x 22y 16640 列表法建立方程（组）：把 价值/元 30800x 42500y 已知量和未知量通过列表 的方式呈现出来，这样容 题目所求的是 42500y-(30800x+5200+16640),为此需先解 易找出题中的数量关系， 出与y制成的纺织面科量 从而建立方程（组） 购买的长线棉数量 由表10.3-1，列得方程组 5x+10y=5200, 24x+22y=16640. 解这个方程组，得 x= 400 Y= 320. 因此，这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多1258160元. 从以上探究可以看出，方程组是解决含有多个未知数问题的重要工 具.用方程组解决问题时，要根据问题中的数量关系列出方程组，求出方 程组的解后，应进一步考虑它是否符合问题的实际意义 凸练习 1.某运输公司有大小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次可 。练习答案 以运货15.5t,5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t3辆大货车 L.3辆大货车与5辆小货 与5辆小货车一次可以运货多少吨？ 年一次可以运货24.5L 2.七年级的地质兴趣小组到一座山顶进行田野 2.他们购买了往返票 票种 票价/元 8张，单程票12张. 调查.上山之前，20名成员各买了一张缆车 往返 80 3.甲地到乙地全程是 票，共花费1180元.缆车票价如右表所示，他 单程 45 31km. 们购买了往返票和单程票各多少张？ 3.甲地到乙地由一段上坡路与一段平路组成，一位自行车越野赛运动员 在两地之间进行骑行训练.如果他保持上坡的速度为30km/h,平路的 速度为40km/h,下坡的速度为50km/h,那么他从甲地骑到乙地需 54min,从乙地骑到甲地需42min.甲地到乙地全程是多少千米？ 中小学A1教辅引领者|109 Q新学期对照学数学七年级下册 脉络梳理 梳理整合知识点·复盘沉淀更高效 审题 设未知数 三元一次 应用 列方程组 、“没”“答”两步都要写清 方程组 解方程组 单位名称并且单位要统一 检验 作答 课外提升对照练 精准聚焦训练点·巩固突破稳提分 知识对照10.3实际问题与二元一次方程组 一、列二元一次方程组解决实际问题 我和哥哥的年 两年后，妹妹年龄 龄和是16岁 的3倍与我的年龄 1.甲、乙二人分别从相距20km的A,B两地出 相加恰好等于爸爸 发，相向而行.恒恒绘制出甲、乙二人运动的 的年龄 两幅线段示意图，如图所示，设甲的速度是 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别 xkm/h,乙的速度是ykm/h,下面根据题意所 是( ) 列的方程组正确的是( A.9岁，7岁 B.10岁，6岁 甲走0.5h 的路程 乙走2h的路程 C.11岁，5岁 D.12岁，6岁 第一次A ☐B 甲走2h的路程 3.某工厂第一车间人数比第二车间人数的少 甲走1h 乙走1h 的路程 相距11km 的路程 30人，如果从第二车间抽调10人到第一车 第二次A☐ B A,B两地相距20km 间，那么第一车间人数是第二车间人数的子 2x+2.5y=2, 求这两个车间原来的人数.若设第一车间原 A. 2x+y=20 来有x人，第二车间原来有y人，则根据题意， (2.5x+y=20, 可列方程组( B. (2x+y=20 5(30), X三 5(y-30), x= x+2.5y=20, C. A. B. (2x+y=20 +10=3 410 3 (y-10) x+10 2.5x+2y=20, D. 4 4 (x+y+11=20 x= 530. x= 530. 2.一位父亲(34岁)带着他的两个孩子一同接 C D 3 x=4(y-10)+10 3 受采访，下面是两个孩子与记者的对话： x+10=4(y-10) 110|中小学Al教辅引领者 第十章二元一次方程组 4.选材新风向数学文化我国古典数学文献7.某商场销售甲、乙两种商品，其中甲商品进价 《增删算法统宗》中有一个“隔沟计算”的问 为40元/件，售价为50元/件；乙商品进价为 题：甲、乙隔沟牧放，二人暗里参详.甲说得乙 50元/件，售价为80元/件.现商场用12500 六只羊，多乙一倍之上，乙说得甲六只羊，两 元购入这两种商品并全部售出，共获得利润 家之数相当，二人闲坐恼心肠，昼地算了半 4000元.该商场购进甲、乙两种商品各多 响.其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里 少件？ 暗中数羊.如果乙给甲6只羊，那么甲牧羊的 数量为乙的2倍：如果甲给乙6只羊，那么两 人牧羊的数量相同.请问甲、乙各有多少只 羊？设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列 方程组为 5.一个长方形的长增加3cm,面积就增加 18cm:宽减少3cm,面积就减少21cm2,则 原长方形的面积是 6.重点题“绿水青山就是金山银山.”科学研究 表明，树叶能够借助叶片表面的特殊物理结 构与分泌的黏性物质，高效吸附空气中的悬 浮颗粒物，通过截留、固定颗粒物实现滞尘效 果，进而起到净化空气的生态作用.若一片银 8.甲、乙两人从相距18km的两地同时出发，相 杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一 年的平均滞尘量的2倍少4mg,一片国槐树 向而行，经兮h相遇如果甲比乙先出发子。 叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为 那么在乙出发后经？h两人相遇，求甲、乙两 62mg.请分别求出一片国槐树叶和一片银杏 树叶一年的平均滞尘量 人的速度 中小学A1教辅引领者|111 Q新学期对照学数学七年级下册 9.某工厂前年的利润（总产值-总支出）为30011.为了提高工作效率，某公司用A,B两种机器 万元，去年总产值比前年增加了20%，总支出 人来搬运货物.已知3台A机器人和2台B 比前年减少了10%，去年的利润为810万元， 机器人每天共搬运货物450t,并且▲· 前年的总产值和总支出各是多少万元？ 每台A机器人和每台B机器人每天分别搬 运货物多少吨？（其中▲表示印刷错误导致 看不清楚的条件) 老师提示说：“我看了参考答案，若设每台A 机器人每天搬运货物xt,每台B机器人每 天搬运货物yt,则根据题意可列方程 组/y25, (3x+2y=450. (1)根据老师的提示，▲表示的条件可能是： (2)求x,y的值. 10.重点题某超市进货商品均加价30%销售， 每月月底最后三天打折促销.3月29日小明 妈妈在该超市购买的A,B两种商品分别打 八折和九折，共付款260元，比两件商品的 标价总和少39元.A,B两种商品的进价分 别是多少？ 112|中小学A1教辅引领者 第十章二元一次方程组 12.A地至B地的航线长9750km,一架飞机从 七年级学生荣荣和恒恒根据题意分别列出 A地顺风飞往B地需12.5h,它逆风飞行同 了下面尚不完整的方程组： 样的航线需13h.求飞机无风时的平均速度 [x+y=29000 与风速 荣荣： 解题方案：设这架飞机无风时的平均速度为 100150 xkm/h,风速为ykm/h. x+y=260, 恒恒： (1)用含x,y的代数式表示： 100x+150y= ①顺风速度为 km/h; (1)请把荣荣和恒恒所列的方程组补充 ②逆风速度为 km/h. 完整 (2)根据题意，列出方程组并解答 (2)请分别写出荣荣和恒恒所列方程组中 未知数x,y表示的意义， 荣荣：x表示 y表示 恒恒：x表示 y表示 (3)请你从两位同学的方法中任选一种进 行解答 13.中考新角度发散性试题)呼和浩特盛乐国 际机场坐落于呼和浩特市和林格尔县巧什 营镇，是内蒙古自治区首座4F级机场.为高 效推进机场配套建设，甲、乙两个工程队接 力承担一段总长为29000m的机场快速路 修建任务.甲工程队每天修建100m,乙工程 队每天修建150m,两队接力施工，共用260 天完成.求甲、乙两个工程队各自修建机场 快速路的长度 中小学A1教辅引领者|113.不能全部加工完 10.3实际问题与二元一次方程组 1.D 2.B设哥哥的年龄是x岁，妹妹的年龄是y x+y=16, 岁.依题意，得 解得 x+2+3(y+2)=34+2, (x=10, 故哥哥的年龄是10岁，妹妹的年龄 y=6. 是6岁. 3.D (x+6=2(y-6), x-6=y+6 5.42cm2设原长方形的长为acm,宽为bcm. (b(a+3)=ab+18, (b=6, 根据题意，得 解得 所 a(b-3)=ab-21, a=1 以原长方形的面积是ab=6×7=42(cm2). 6.解：设一片国槐树叶一年的平均滯尘量为 xmg,一片银杏树叶一年的平均滞尘量为 y mg y=2x-4,① 由题意，得 x+y=62,② 把①代入②，得3x-4=62, 解得x=22. 把x=22代入①，得y=40. (x=22, 所以这个方程组的解是 (y=40. 答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为 22mg,一片银杏树叶一年的平均滞尘量为 40 mg. 7.解：设该商场购进甲种商品x件，乙种商品 y件. 2 40x+50y=12500, 由题意，得 (50-40)x+(80-50)y=4000, (x=250, 解得 (y=50. 答：该商场购进甲种商品250件，乙种商品 50件. 8.解：设甲、乙两人的速度分别为xkm/h,ykm/h. 9（x+y)=18, 由题意，得 2.3 (x+y)=18, 3x+ (x=4.5, 解得 y=5.5. 答：甲、乙两人的速度分别为4.5km/h, 5.5km/h. 9.解：设前年的总产值为x万元，总支出为 y万元 y=x-300, 根据题意，得 (1+20%)x-(1-10%)y=810, x=1800, 解得 y=1500. 答：前年的总产值和总支出分别是1800万 元，1500万元 10.解：设A种商品的进价为x元/件，B种商品 的进价为y元/件 根据题意，得 (1+30%)x+(1+30%)y=260+39, (0.8×(1+30%)x+0.9×(1+30%)y=260, x=70, 解得 (y=160. 答：A,B两种商品的进价分别是70元/件， 160元/件. 11.(1)每天每台A机器人比每台B机器人多 搬运货物25t. 提示：由“3台A机器人和2台B机器人每 天共搬运货物450t”可列得方程3x+ 2y=450. ·方程组中的另一个方程为x-y=25, ∴.▲表示的条件是每天每台A机器人比每 台B机器人多搬运货物25t x-y=25,① (2)解： 3x+2y=450,② (①×2+②)÷5，得x=100 将x=100代入①，得100-y=25, 解得y=75. 答：x的值为100，y的值为75. 12.(1)(x+y);(x-y) 12.5(x+y)=9750, (2)解：根据题意，得 13(x-y)=9750, (x=765, 解得 (y=15. 答：这架飞机无风时的平均速度为765km/h, 风速为15km/h. 13.(1)260;29000. 提示：由y=290,010可知，荣荣所 列方程组中未知数x表示甲工程队修建机 场快速路的长度，未知数y表示乙工程队修 建机场快速路的长度， “品试表示甲、乙两个工程队修继机场 快速路的总天数， 即+，=260. 100150 28 由x+y=260,100x,150y可知，恒恒所列方 程组中未知数x表示甲工程队修建机场快 速路的天数，未知数y表示乙工程队修建机 场快速路的天数， ∴.100x+150y表示甲、乙两个工程队修建机 场快速路的总长度， 即100x+150y=29000. (2)甲工程队修建机场快速路的长度；乙工 程队修建机场快速路的长度：甲工程队修建 机场快速路的天数；乙工程队修建机场快速 路的天数 (3)解：（方法不唯一，任选一种即可）选择 荣荣的方法解答.解答过程如下： 设甲工程队修建机场快速路的长度为xm, 乙工程队修建机场快速路的长度为ym. [x+y=29000, (x=20000, x y 解得 =260. 100'150 y=9000. 答：甲工程队修建机场快速路的长度为 20000m,乙工程队修建机场快速路的长度 为9000m. ·10.4三元一次方程组的解法 1.A 选项 分析 正误 A 满足三元一次方程组的定义 y+z=4,未知数的项的次数为2， × 不满足三元一次方程组的定义 x2+y=9,未知数的项的次数为2， 不满足三元一次方程组的定义 4 D =y+z,不是整式方程