22.1 函数的概念 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十二章 函数 22.1 函数的概念 学习目标 1.了解变量与常量的意义. 2.了解函数的相关概念，会判断两个变量是否具有函数关系. 3.能根据简单的实际问题写出函数解析式，并确定自变量的取值范围． 4.会根据函数解析式求函数值． 重点：函数的相关概念 难点：确定自变量的取值范围 情景导入 早穿皮袄午穿纱， 围着火炉吃西瓜. 谚语 高处不胜寒 苏轼 情景导入 早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜. 说明__________随______的变化而变化. 高处不胜寒，说明 ____________随____________的变化而变化. 天气温度 时间 高山气温 海拔高度 探究新知 知识点1 常量与变量 汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为 s 千米，行驶时间为 t 小时，填下面的表: 等量关系： 60 120 180 240 300 问题一 速度×时间 路程 =____________ 1．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是_____________． 2．试用含t的式子表示s．s=_______. 时间t、 速度60千米/时 60 t 路程s 时间t 反映了匀速行驶的汽车所行驶的________随行驶________的变化过程. 路程s 探究新知 知识点1 常量与变量 问题二 每张电影票的售价为40元，如果第一场售出票80张，第二场售出105张，第三场售出180张，三场电影票的票房收入各多少元？若设一场电影售出票 x 张，票房收入为 y 元，怎样用含 x 的式子表示 y ？ 第一场票房收入 = 第二场票房收入 = 第三场票房收入 = 等量关系： 票房收入 = 40×105 = 4200 （元） 40×80 = 3200（元） 40×180 = 7200 （元） 售价×售票张数 1．在以上这个过程中，变化的量是________________________．不变化的量是_________． 2．试用含x的式子表示y：y=_________. 40x 售票张数x、票房收入y 售价10元 收入y 张数x 反映了________随___________的变化过程． 探究新知 知识点1 常量与变量 问题三 如图所示，圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径R 分别为10 cm，20cm，30 cm 时，圆的面积S 分别为多少？怎样用半径r来表示面积S? S= πR2 圆面积S与圆的半径R之间的 关系式是————————； 其中变化的量是—————； 不变化的量是————————. π S， R 圆的面积S 半径R 这个问题反映了_________随________的变化过程． 数值发生 变化的量 变量 数值始终 不变的量 常量 问：变化过程中的量怎样分类？ 探究新知 知识点1 常量与变量 S = 60t y = 40x 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量. y=5–x S=πR2 关键词：①同一个变化中 ②发生了变化和始终不变. 请指出上面等式中的常量、变量. 典例解析 题型1 常量与变量 例1.指出下列问题中的常量和变量： (1) 某市居民生活用水的价格为 5 元/t. 记某户的月用水量为 x t，月应缴水费为 y 元. (2) 在某地乘坐公交车，刷公交卡每次收费 1 元，李明在公交卡中存入 30 元，记此后他乘坐公交车 n 次，公交卡中的金额为 w 元. (3) 用 20 m 长的绳子围一个矩形，记矩形的一边长为x m，矩形的面积为 S m². 解：(1) 生活用水的价格是常量，某户的月用水量 x 和月应缴水费 y 是变量. (2) 刷公交卡每次收费和存人的钱数是常量，乘坐公交车的次数 n 和公卡中的余额 w 是变量. (3) 绳的长度是常量，矩形的一边长和面积 S 是变量. 针对训练 1.阅读并完成下面一段叙述： (1)某运动员持续以最快速度a米／分的速度用t分钟时间跑了s米，其中常量是 ,变量是 . (2)s米的跑道上，不同的运动员以不同的速度a米／分各需跑的时间为t分，其中常量是 ,变量是 . (3)根据上面的叙述，写出一句关于常量与变量的结论： .　　　　　　　　　　　 在不同的条件下，常量与变量是相对的 a t，s s a，t 探究新知 知识点2 函数的概念 问题四，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？ 下图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系. t/min 0 1 2 3 4 5 … h/m … (1)根据左图填表： (2)对于给定的时间t ，相应的高度h能确定吗？ 11 37 45 37 3 10 能 t和h是常量还是变量？ 探究新知 知识点2 函数的概念 问题五瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？ 填写下表： 1 2 3 4 5 … … 1 3 6 10 15 对于给定任一层数n，相应的物体总数y确定吗？有几个y值和它对应？ 层数 n 物体总数y 唯一一个y值 探究新知 知识点2 函数的概念 问题六一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到 -273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273，T≥0. (1)当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温度T是多少？ (2)给定任一个大于-273 ℃的摄氏温度t值，相应的热力学温度T确定吗？有几个T值和它对应？ 230K、246K 、273K、291K 唯一一个T值 解：当t=-43时， T=-43+273 =230（K） 探究新知 知识点2 函数的概念 思考：上面的三个问题中，各变量之间有什么共同特点？ ①时间 t 、相应的高度 h ； ②层数n、物体总数y； ③摄氏温度t 、热力学温度T. 共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值. 一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 注：如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值. （函数本质是关系式，即函数关系） 针对训练 2.填表并回答问题： （1）对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应吗？答： . （2）y是x的函数吗？为什么？ x 1 4 9 16 y=+2x 2和－2 8和－8 18和－18 32和－32 不是 答：不是，因为y的值不是唯一的. 关键词：两个变量，给一个x，得一个y. 易错点： 顺序不要反. 典例解析 题型2 函数的概念 例2 下列关于变量x ，y 的关系式：y =2x+3；y =x2+3； y =2|x|；④ ；⑤y2-3x=10，其中表示y 是x 的函数的是 ．  【点睛】关键是看当一个变量确定时，另一个变量有唯一确定的值与它对应. 一个x值有两个y 值与它对应 典例解析 题型3 函数值 例3 已知函数 (1)求当x=2，3，-3时，函数的值； (2)求当x取什么值时，函数的值为0. 把自变量x的值带入关系式中，即可求出函数的值. 解：（1）当x=2时，y= ; 当x=3时，y= ; 当x=-3时，y=7. （2）令 解得x= 即当x= 时，y=0. 探究新知 知识点3 函数自变量的取值范围 问题七：请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系： 　 （1）汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为 t（单位：h），行驶的路程为 s（单位：km）； 　 （2）多边形的边数为 n，内角和的度数为 y． 问题（1）中，t 取-2 有实际意义吗？ 问题（2）中，n 取2 有意义吗？ 　　根据刚才问题的思考，你认为函数的自变量可以取任意值吗？ 　　在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围． 典例解析 题型4 函数自变量的取值范围 例4 求下列函数中自变量x的取值范围: (1)y=2x-3; (2)y=; (3)y=; 解:(1)一切实数. (2)由题意,得x+2≠0,即x≠-2,∴x的取值范围为x≠-2. (3)由题意,得2x-3≥0,解得x≥,∴x的取值范围为x≥. 针对训练 3.求下列函数中自变量x的取值范围: (1)y=; (2)y=; (3)y=+(x-1)0. 解: (1)由题意,得x+3>0,解得x>-3,∴x的取值范围为x>-3. (2)由题意,得x+2≥0且x-1≠0,解得x≥-2且x≠1,∴x的取值范围为x≥-2且x≠1. (3)由题意,得2x-1≥0且x-1≠0,解得x≥且x≠1,∴x的取值范围为x≥且x≠1. 典例解析 知识点4 函数解析式 例5 汽车的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km. （1）写出表示y与x的函数关系的式子. 解:(1) 函数关系式为: y = 50－0.1x 0.1x表示的意义是什么？ 叫做函数的解析式 （2）指出自变量x的取值范围； (2) 由x≥0及50－0.1x ≥0　 得　0 ≤ x ≤ 500 ∴自变量的取值范围是 0 ≤ x ≤ 500 汽车行驶里程，油箱中的油量均不能为负数！ 【点睛】确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义. 用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法,这种式子叫作函数的解析式. 典例解析 知识点4 函数解析式 例5 汽车的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km. （3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？ (3)当 x = 200时,函数 y 的值为y=50－0.1×200=30. 因此,当汽车行驶200 km时,油箱中还有油30L. y = 50－0.1x 针对训练 4.某农贸公司销售一批玉米种子,若一次购买不超过5 kg,则种子价格为20元/kg;若一次购买超过5 kg,则超过5 kg部分的种子价格打8折.设一次购买量为x kg,付款金额为y元. (1)求y关于x的函数解析式; (2)某农户一次购买玉米种子30 kg,需付款多少元? 解:(1)根据题意,得 ①当0≤x≤5时,y=20x;②当x>5时,y=20×0.8(x-5)+20×5=16x+20. (2)把x=30代入y=16x+20,得y=16×30+20=500. 答:一次购买玉米种子30 kg,需付款500元. 针对训练 5.根据以下程序,当输入x值为-时,输出函数值y等于(　　) A.+1 B.-1 C.--1 D.-+1 D 针对训练 6.拖拉机工作时,油箱中的余油量Q(L)与工作时间t(h)之间的关系式为Q=40-5t.当t=4时,Q=　 　,从关系式可知道这台拖拉机最多可工作　 　h. 20 8 归纳总结 (1)当函数解析式是整式时,自变量的取值范围是　 ; (2)当函数解析式是分式时,自变量的取值范围要使分母不为　 　; (3)当函数解析式是偶次根式时,自变量的取值范围要使被开方数是　 ; (4)在实际问题中,自变量的取值范围除使函数解析式有意义外,还要使实际问题有意义. 全体实数　 零 非负数　 作业布置 课堂作业:P95习题22.1的勾选做在课堂作业本上;(写清页码和题号，不抄题目) 家庭作业:打印的习题，完成对应内容到课后作业本上； (写清日期和题号，不抄题目) $