江苏淮安市涟水县第一中学2025-2026学年第二学期高三年级4月调研测试数学试卷

**基本信息** 高三4月调研数学试卷，覆盖集合、复数、概率、立体几何等核心知识，以智能设备芯片概率、椭圆内切圆等问题设计，突出数学思维与应用，适配期中复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、复数运算、抛物线焦点|基础概念辨析，如集合元素个数、充分必要条件判断| |多选|3/18|函数图像性质、概率统计、立体几何|多维度能力考查，如函数单调性与图像平移（数学眼光）| |填空|3/15|二项式系数、等比数列求和、函数零点|运算能力与抽象思维，如等比数列前n项和公式应用| |解答题|5/77|解三角形、概率应用、立体几何证明与夹角、双曲线方程与切线、导数切线与范围|综合性强，如智能设备芯片概率（数学应用）、立体几何二面角（空间观念）、导数范围讨论（逻辑推理），贴合高考命题趋势|

涟水县第一中学2025-2026学年度第二学期高三年级4月调研测试 数学 试卷 1、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分. 1. 设全集，集合，则集合中的元素的个数为（A ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 16 2. 若，则复数（ B ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数运算法则可得答案. 【详解】.故选：B 3. 抛物线的焦点坐标是（ D ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】变形为标准形式，得到焦点坐标. 【详解】，焦点在轴上，故焦点坐标为. 4. 设等差数列的前项和为,且公差不为0，则“”是“”的（ C ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5．已知事件的概率均不为0，下列说法正确的是（  B  ） A．若，则事件与为对立事件 B．若，则 C．若，则 D．若，则事件与为相互独立事件 6．若关于x的方程＝t有2个不相等的实数根，则实数t的取值范围为（ B ） （ D ） 8.已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l与椭圆C交于A，B两点，则△AF1F2的内切圆半径最大值为(　C　) A. B. C. D. 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 函数的部分图象如图所示，则（ ACD ） A. B. 的图象关于轴对称 C. 在内不单调递增 D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 10. 下列说法中正确的是（ACD ） A. 一组数据1，1，2，3，5，8，，的第百分位数为5 B. 两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数的绝对值越接近于0 C.把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有6种 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 11. 已知平行六面体中，，，则下列说法正确的是（ BC  ） A． B． C．二面角的正弦值为 D．该平行六面体的体积为 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. (1－3x)(x＋2)3的系数为 -30 13. 已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝9，则S12＝ 120 14. 已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围为__________． 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在△ABC中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，且△ABC的面积为2，求△ABC的周长. 【小问1详解】 由及正弦定理，得. 因为， 所以， 整理得.。。。。。。。。。。。。。。。。。3分 因为，所以，即. 又，所以...........................................6分 【小问2详解】 由，且，得ac=8.。。。。。。。。。。。8分 由余弦定理，及， 得. 所以a+c=6（负值舍去）.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分 故的周长为..。。。。。。。。。。。。。。。。。13分 16．某智能设备装有3个独立运行的芯片A，B，C，设备正常工作的条件是至少有2个芯片正常运行，其中A，B正常运行的概率均为，C正常运行的概率为． (1)若，在恰有2个芯片正常运行的条件下，求C的运行不正常的概率； (2)若该设备正常工作的概率大于，求p的取值范围． 16．【详解】（1）设事件M为恰有2个芯片正常运行，事件N为C的运行不正常． 由题可知，..................3分 ．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分 所以， 即在恰有2个芯片正常运行的条件下，C的运行不正常的概率为．。。。。。。。。。。。。。8分 （2）该设备正常工作，即有2个或3个芯片正常运行， 所以该设备正常工作的 ．。。。。。。。。。12分 由，得，所以p的取值范围为．。。。。。。。。。。。。。15分 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，． （1）求证：平面； （2）若，，点E在线段上，且平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 连接，交于点，连接，则为的中点， 因为四边形为菱形， 所以， 因为， 所以， 又因为与相交于点，平面， 所以平面..。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分 【小问2详解】 因为，为的中点， 所以，所以、、两两相互垂直， 以点为原点建立空间直角坐标系如图， 因为为菱形，， 所以为等边三角形， ，， 在中，. 所以。。。。。。。。。。。8分 ，设， 则，， 因为平面， 所以，则， ， 解得，故，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，10分 因为平面， 所以取平面的法向量， 因为，设平面的法向量， 则，即， 可设，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。13分 设平面与平面的夹角为， 则. ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，15分 18. 已知双曲线的左焦点为，右顶点为，渐近线方程为，点在直线上. （1）求的方程； （2）过点的直线与相切于点（异于点），证明：. 【小问1详解】 因为点在直线上，所以. 因为的渐近线方程为，所以，故.。。。。。3分 所以的方程为..。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分 【小问2详解】 设，由，得，则. 易知直线的斜率存在（另一条过点的切线为）， 设其方程为，即.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分 由消去，得.。。。。。。。10分 因为直线与相切， 所以，且，得， 所以直线的方程为，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。13分 方程的根为，所以， 所以直线的方程为.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。15分 又因为点到直线的距离，等于点到轴的距离， 又点在内部，所以.。。。。。。。。。17分 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用导数的几何意义、导数的应用等基础知识求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为，． 当时，因为所以，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分 又，所以曲线在点处的切线方程为，。。。。。。。。。。。。。。6分 （2）解法一：(i)当时，，在单调递增，此时存在，使， 不符合题意，舍去；。。。。。。。。。。10分 (ii)当时，显然成立；。。。。。。。。。12分 (iii)当时，令，得，令，得； 所以在单调递减，在单调递增． 所以，解得．-------------16分 综上所述，的取值范围为．。。。。。。。。。。。17分 解法二：由已知，得． (i)当时，可得．因为，所以，又因为时，， 所以； (ii)当时，恒成立，所以； (iii)当时，可得． 令，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以，所以． 综上所述，的取值范围为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 涟水县第一中学2025-2026学年度第二学期高三年级4月调研测试 数学 试卷 1、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分. 1. 设全集，集合，则集合中的元素的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 16 2. 若，则复数（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 设等差数列的前项和为,且公差不为0，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5．已知事件的概率均不为0，下列说法正确的是（    ） A．若，则事件与为对立事件 B．若，则 C．若，则 D．若，则事件与为相互独立事件 6．若关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数t的取值范围为（ ） 7. （ ） 8.已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l与椭圆C交于A，B两点，则△AF1F2的内切圆半径最大值为(　　) A. B. C. D. 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 图象关于轴对称 C. 在内不单调递增 D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 一组数据1，1，2，3，5，8，，的第百分位数为5 B. 两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数的绝对值越接近于0 C.把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有6种 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 11. 已知平行六面体中，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．二面角的正弦值为 D．该平行六面体的体积为 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. (1－3x)(x＋2)3的系数为 13. 已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝9，则S12＝ 14. 已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在△ABC中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，且△ABC的面积为2，求△ABC的周长. 16．某智能设备装有3个独立运行的芯片A，B，C，设备正常工作的条件是至少有2个芯片正常运行，其中A，B正常运行的概率均为，C正常运行的概率为． (1)若，在恰有2个芯片正常运行的条件下，求C的运行不正常的概率； (2)若该设备正常工作的概率大于，求p的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，． （1）求证：平面； （2）若，，点E在线段上，且平面，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知双曲线的左焦点为，右顶点为，渐近线方程为，点在直线上. （1）求的方程； （2）过点的直线与相切于点（异于点），证明：. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $