精品解析：江苏扬州市扬州大学附属中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷

扬大附中2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，，所以. 2. 从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2幅，分别挂在书房和客厅，则不同的挂法有（ ）种． A. 6 B. 8 C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【详解】从4幅不同的画中选出2幅，按顺序挂在书房和客厅，共有种挂法. 3. 已知，，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可设，即， 所以，解得， 所以. 4. 已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理的推论逐项判断即得. 【详解】平面外的任一点O，点共面的充要条件是，且， 对于A，由，得，点不共面，A不是； 对于B，由，得，点不共面，B不是； 对于C，由，得，点不共面，C不是； 对于D，由，得，点共面，D是. 故选：D 5. 在的展开式中，含的项的系数为（ ） A. 6 B. 10 C. 24 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】分四个因式中有一个因式选常数相乘时，则剩余三个因式都选x相乘求解. 【详解】解：当 选1相乘时，都选x相乘，此时的项的系数为1； 当 选2相乘时，都选x相乘，此时的项的系数为2； 当 选3相乘时，都选x相乘，此时的项的系数为3； 当 选4相乘时，都选x相乘，此时的项的系数为4； 综上：的项的系数为1+2+3+4=10. 故选：B 6. 已知函数在处取得极值，则在的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数在处取得极值可得，求得a的值，继而判断函数在上的单调性得到最值即可． 【详解】因为，所以， 由题意可得，解得，经检验满足题意. 则，， 令，可得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以． 7. 《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､龟算､珠算和计数.某学习小组有甲､乙､丙､丁四人，该小组要收集九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､珠算6种算法的相关资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数有（ ） A. 1560种 B. 2160种 C. 2640种 D. 4140种 【答案】A 【解析】 【分析】先分组，再分配，注意部分平均分组需要除以组数（平均的组数）的全排列. 【详解】依题意分两种情况讨论： ①将种算法分成、、、四组，再分配给人，则有种； ②将种算法分成、、、四组，再分配给人，则有种； 综上一共有种不同的分配方案. 故选：A 8. 若存在，使不等式成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】等价变形给定的不等式，并令，构造函数，将问题转化为存在，使得成立，再借助导数求解即得. 【详解】依题意，等价于 ， 令，即，由，得， 令，则原问题等价于存在，使得成立， 求导得， 由，得，由，得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 而， 又，则当时，， 若存在，使得成立， 只需且，解得， 所以的取值范围为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 展开式各项二项式系数和为64 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，令等式中，代入计算得到的值；选项B，利用二项式展开式的通项公式，确定对应的项，计算其系数；选项C，令等式中，代入计算该和的值；选项D，利用二项式系数和定理，即（为二项式的次数）进行计算. 【详解】选项A，令代入等式，得，因此A错误； 选项B，的展开式通项为，是的系数， 令得，所以，B正确； 选项C，令代入等式，右侧即为所有系数和，左侧为， 因此，C正确； 选项D，次二项展开式的二项式系数和为，又，因此二项式系数和为，D正确. 10. 身高各不相同的五位同学A、B、C、D、E站成一排照相，则说法正确的是（ ） A. A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有20种站法 B. A与C同学不相邻，共有72种站法 C. A不在排头，B不在排尾，共有78种站法 D. A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有24种站法 【答案】ABC 【解析】 【分析】A利用定序法解；B利用插空法求解；C分A在排尾、A不在排尾两种情况求解；D利用捆绑法求解. 【详解】A选项，所有同学排列有种，其中A、C、D三位同学的相对顺序固定， 故站法共有种，故A正确； B选项，B、D、E同学有种站法，再将A与C同学排在个空位置中， 故站法共有种，故B正确； C选项，若A在排尾，则共有种站法； 若A不在排尾，则A有种站法，B有种站法，共有种站法， 故共有种站法，故C正确； D选项，由题意知，A、C、D三位同学有种站法，再将其当作整体与其余两位同学排列， 共有种站法，故D错误. 11. 如图，设正方体的棱长为2，E为线段的中点，F为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当F为的中点时，点到平面AEF的距离为 B. 当F为的中点时，记与平面AEF的交点为M，则 C. 存在F，使得异面直线与BF所成的角为45° D. 存在F，使得点F到直线AE的距离为3 【答案】AB 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量公式判断A，利用共线向量与共面向量基本定理判断B，利用异面直线夹角的向量公式判断C，利用点到直线距离的向量公式判断D. 【详解】如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，，.    当为的中点时，，，， 设平面的法向量为，则， 令得，又， 则点到平面的距离为，故A正确； 设，则， 又点M在平面内，则，所以，解得， 所以，，所以，所以B正确； 设，，则，， 若异面直线与所成的角为，则， 平方化简得，解得，又，所以方程无解， 故点不存在，所以C错误； ，，，所以， 则点到直线的距离为，平方化简得， 解得或，又，所以方程无解，故点不存在，故D错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中二项式系数的最大值是______．（用数字作答） 【答案】70 【解析】 【详解】由二项式系数及组合数的性质知， 的展开式中二项式系数的最大值为. 13. 已知能够被8整除，其中，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】利用二项式定理将转化为，分析其除以8的余数，再结合能够被8整除的条件，即可求出的值. 【详解】因为， 根据二项式定理：， 展开式中，前1013项都含有因数8，都能被8整除， 只有最后一项不能被8整除， 因为能够被8整除，所以就需要能被8整除， 又因为，即，所以，则. 14. 在正方体中，为侧面内的一个动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用线线垂直确定动点的轨迹，再结合线面角的定义与向量法，将转化为动点坐标的函数，最后求出的最大值，进而得到的的最大值. 【详解】设正方体的棱长为1，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 已知点是侧面内的一个动点，可设， 因为， 由，得，即，所以， 又因为， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得， 又因为，设直线与平面所成的角为， 所以， 因为，所以当达到最大值时，也达到最大值， 所以，当时，，此时， 所以. 四、解答题（本题共5小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 计算（写出计算过程，结果用数字作答）： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据排列数公式计算即可； （2）根据组合数公式和性质计算即可. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 原式=. 16. 如图，在平行六面体中，，，，，为与的交点．若，，． （1）用，，表示，并求BM的长； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行六面体的性质，先找到的位置，再用向量加法表示，最后通过向量模长公式计算长度即可； （2）先确定和的方向向量，再通过向量数量积公式计算两向量夹角的余弦值，即可得到两异面直线所成角的余弦值. 【小问1详解】 由题意可知，， 因为， 所以， 因为为与的交点，即为的中点， 所以， 所以， 即 ， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 所以 ， 设异面直线与所成的角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 17. 已知的展开式中，第7项为常数项． （1）求n的值； （2）求展开式中所有的有理项． 【答案】（1）； （2）和. 【解析】 【分析】（1）结合二项式展开式中第项为常数可列式求得； （2）结合二项式展开式的通项公式，求得展开式中所有有理项即可 【小问1详解】 已知在的展开式中的第7项为， 所以，解得； 【小问2详解】 因为展开式的通项公式为， 展开式中的有理项的指数为整数，令，， 所以，因为，且为整数，所以或时，满足条件，即或， 所以有理项为和. 18. 如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，， ，平面，． （1）设钝二面角大小为，求的值； （2）在棱上是否存在一点（不与端点重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；如不存在，试说明理由； （3）在上，在上，求最小值． 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量，再结合二面角为钝角的条件计算即可； （2）通过设参数表示点的坐标，利用向量法计算线面角，即可判断存在性并求线段比例； （3）用参数表示的坐标，将转化为二次函数求最值即可求解. 【小问1详解】 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则可得； 令平面的法向量为，则，即， 令，则可得， 所以， 因为二面角为钝二面角，所以. 【小问2详解】 若存在，设，, 则，故，所以， 设与平面所成角为， 所以， 即，所以或（舍去）， 所以存在点，且. 【小问3详解】 设， 则， 这是关于的二次函数，最小值在时取得， 即， 所以当时，，故. 19. 已知为实数，函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数在区间上存在极值点，求的取值范围； （3）若对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）代入参数后求导，得到切线斜率和切点坐标，写出切线方程； （2）极值点存在等价于导函数在区间内有零点，分离参数转化为函数值域问题，利用函数的单调性确定参数范围； （3）构造函数，利用端点值为零及二阶导数的符号判断单调性，通过分类讨论得出参数需满足的条件. 【小问1详解】 当时，，所以， 所以，又， 所以切线方程为，即； 【小问2详解】 ，函数在区间上存在极值点， 则在有解，即方程在有解， 令，， 当时，， 所以函数在单调递增，，， 所以，所以，即的取值范围为； 【小问3详解】 原不等式整理为， 即对恒成立， 令，所以， 令，所以， 因为，所以， 当时，，所以， 所以在单调递增，所以，所以， 即在单调递增，所以，符合题意； 当时，存在，使得， 因为，所以在存在区间，其中，使得， 即在单调递减，所以存在区间使得，即， 所以即在单调递减，所以，不符合题意. 综上所述，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬大附中2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2幅，分别挂在书房和客厅，则不同的挂法有（ ）种． A. 6 B. 8 C. 12 D. 24 3. 已知，，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（ ） A. B. C. D. 5. 在的展开式中，含的项的系数为（ ） A. 6 B. 10 C. 24 D. 35 6. 已知函数在处取得极值，则在的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､龟算､珠算和计数.某学习小组有甲､乙､丙､丁四人，该小组要收集九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､珠算6种算法的相关资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数有（ ） A. 1560种 B. 2160种 C. 2640种 D. 4140种 8. 若存在，使不等式成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 展开式各项二项式系数和为64 10. 身高各不相同的五位同学A、B、C、D、E站成一排照相，则说法正确的是（ ） A. A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有20种站法 B. A与C同学不相邻，共有72种站法 C. A不在排头，B不在排尾，共有78种站法 D. A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有24种站法 11. 如图，设正方体的棱长为2，E为线段的中点，F为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当F为的中点时，点到平面AEF的距离为 B. 当F为的中点时，记与平面AEF的交点为M，则 C. 存在F，使得异面直线与BF所成的角为45° D. 存在F，使得点F到直线AE的距离为3 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中二项式系数的最大值是______．（用数字作答） 13. 已知能够被8整除，其中，则______． 14. 在正方体中，为侧面内的一个动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为______． 四、解答题（本题共5小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 计算（写出计算过程，结果用数字作答）： （1）； （2）． 16. 如图，在平行六面体中，，，，，为与的交点．若，，． （1）用，，表示，并求BM的长； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 17. 已知的展开式中，第7项为常数项． （1）求n的值； （2）求展开式中所有的有理项． 18. 如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，， ，平面，． （1）设钝二面角大小为，求的值； （2）在棱上是否存在一点（不与端点重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；如不存在，试说明理由； （3）在上，在上，求最小值． 19. 已知为实数，函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数在区间上存在极值点，求的取值范围； （3）若对恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $