专题01 分式及其性质（8大题型）（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01分式及其基本性质 目录 A题型建模·专项突破 题型一、分式和最简分式的识别..】 题型二、分式有无意义的条件。 .3 题型三、分式值为零的条件… .4 题型四、根据分式的基本性质判断分式的变形和分式值的变化 .5 题型五、求使分式值为整数时未知数的整数值… .7 题型六、分式求值… .9 题型七、分式的约分化简… .10 题型八、分式的规律性问题.… .12 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、分式和最简分式的识别 1.(25-26八年级上·河南周口期末)下列式子中，属于分式的是() A月 我点 c D.x+1 2.(25-26八年级上河北邢台期末)下列各式中是最简分式的是() A月 B. 3y C. D.x+y y x-y 2425八年级下西吉安期末)在下列路式中：、之、之、中少、，分式有 5 a+2b x+y x+y 4Q425八年级上山东泰安期末)在分式心之y+23 2x中，最简分式有 入 题型二、分式有无意义的条件 5.（25-26八年级上新疆和田期末)若分式-4无意义，则x的值是() x-2 A.x=0 B.x=2 C.x=-2 D.x=±2 6.(2526八年级上江苏泰州期末)若分式1。有意义，则x的值不可以是() x-2 A.√2 B.π C.-2 D.2 7.(25-26九年级上湖南长沙期末)若式子-6 8 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 1/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8.(25.26八年级上北京石景山期末)已知分式5x+”(m,n为常数)满足表格中的信息，则m+n的值 x+m 为 x的值 -2 1 分式的值 不存在 0 题型三、分式值为零的条件 (226八年级上贵州避义期末)若分式2的值为零，则*的值为(】 A.-2 B.0 C.-2或2 D.2 D,(25.26八年级上潮南邵阳期末)若分式， -的值为0，则x的取值为0 A.x=-1 B.x=1 C.x=2 D.x=±l 1.(25-26八年级上湖南岳阳期末)分式-4的值为0时，的值是 x-2 12.(25-26八年级上山东临沂期末)若分式 3的值为0，则x的值为 2+x-6 题型四、根据分式的基本性质判断分式的变形和分式值的变化 13.(25-26八年级上河北邢台期末)根据分式的基本性质，下列变形一定正确的是（) A.y=ay B.= C.上=y+1 D.y x ax x x2 xx+l x2 14.(2526八年级上山东淄博期末)分式-+少中字母x,y的符号如图所示，任意改变其中的两个符 +x 号，分式的值不变的是() ①② ↓ 一x+y tx 个 ③④ A.①② B.②③ C.①③ D.③④ 15.(2526八年级上山东聊城期末)将分式y中的x和y都扩大10倍，那么分式的值变为原来的 x+v 25-26八年级上重肤合川期末)填空：若=2，则等式右边的分子为 2/7 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型五、求使分式值为整数时未知数的整数值 17.(2425八年级上辽宁鞍山期末)若分式，1的值是正数，则x的值可能是（). 1-2x A.0 B.1 C. D.2 2x2-4x+2 18.(25-26八年级上黑龙江牡丹江·期末)能使分式 (x-13 的值为整数的整数x的值有个() A.5 B.4 C.3 D.2 19.(25:26九年级上山东烟台期末)当整数m时，分式6m+3 的值也为整数. 2m-1 025-26八年级上重庆潼南期未若分式的值为正，则x的取值范更鼎 题型六、分式求值 21.(2526九年级上消北保定期末)若号则“。少框为() a B.3 c.4 D.4 2.2526九年级上江苏扬州期末)如果号，则9-（) p A. B D.2 5 23.〈2526八年级上江苏南通期未)已知2a-b=0b:0,则分式欲的值为 24.(25-26八年级上北京期末)已知ū+2b-3=0,求代数式。4竹4物的值。 题型七、分式的约分化简 25.(25-26八年级上河南商丘·期末)下列等式成立的是() A.x+y=x+y B.x-31 2 2 x2-9x-3 xy一= C.x-xy x-y D. -29y+y=x-y x-y 26.(25-26八年级上江西南昌·期末)约分： 27xy2 9xy 27.(23-24八年级上吉林白城期末)化简：。- a2-ab 28.(25-26八年级上山东滨州期末)(1)计算：x÷x+x2); (2)计算： x2y3-3xy2） 6x3y2 3/7 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型八、分式的规律性问题 26 5,3 29.(25-26八年级上·湖北武汉期末)观察下列各等式：224+642,524+34 =2, 9 )4+42,依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为()一 A.t7+x=2 B.x+8-x=2 -x-33-x x-44-x C.x+x+4=2 D.+++5=2 x-4 x-3x+1 级上云南怒江期末按一规律排列的代数式：一2， ,则第 n个代数式是() A器B广 c-r器 D. 31.(2526年级上全蛋期未)观察下面一列数：日子}音音则第10个致为 32.(25-26七年级上·新疆吐鲁番·期末)若a是不等于2的有理数，则我们把 2称为a的友好数”.例如： 2- 3的友好数是，2-2.已知a,=3,4,是。的友好数，4是4，的友好数，4，是4，的友好数…以 2-3 此类推，则a2o26的值是 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26八年级上·安徽铜陵期末)下列分式中，最简分式是() A鳄 B. x2-1 C.x2+1 D. 6 1+x x-1 3x-9 2.(25-26八年级上江西南昌·期末)无论x取何值，下列分式总有意义的是() A.1 C.x2+1 x2 x2 D. (x+32 3.(25-26八年级上河南周口期末)如果把分式+中的a,b都缩小到原来的；，那么分式的值（） 2ab A.缩小到原来的 B.不变 C.扩大2倍D.缩小到原来的} 4.（25-26八年级上·福建福州·期末)下列各式从左到右的变形，一定正确的是() 4/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A. x+1= B.-x=x y+l y x-y y-x C.x D.2- y2 y -=x-y x-y 玉.(2526八年级上海北武汉期未)已知6=1，测”2%的的值为0 2026 2025 A.2025 B. C.2026 D. 2025 2026 二、填空题 625-26八年级上江苏连云港期末)若式子"有意义，则m的攻值范制是 7.(2526八年级上河南周口期末)已知分式二m,当x=5时，分式的值为0：当r=3时，分式无意义， x+n 则m+n= 8.(2425八年级上北京期末)分式-3有意义，x的取值范围是 :分式-3的值为0，则x 的值为 9.(2526八年级上云南昆明期末)若分式，4的值为整数，则符合条件的所有整数x的和为 2x+1 10.(25-26八年级上江西赣州期末)约分：6r-12y+6y 3x-3y 三、解答题 11.(24-25八年级上河北廊坊·期末)甲、乙两位同学各给出一个算式： 1-a 1 xy-x2 甲：22a+11-a0x-yr-少· (1) 同学给出的算式是正确的； (②)对于不正确的算式，请你给出正确的计算过程，并直接写出结果为0的条件. 12.(24-25八年级下.安徽滁州期末)观察以下等式： 1 第1个等式： +2 第2个等式： 2+434 第3个等式： 3+5=4V5… =4. 请根据以上规律，解答下列问题， 5/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)直接写出第5个等式： (2)写出你猜想的第n个等式： (用含的等式表示，n为正整数)，并证明你的猜想. 13.(2425七年级上上海普陀期末)小普在化简一个分式0-b的时候，书写过程如下： a-b a3-b3(a-b)3 a-b a-b ① =(a-b)2 ② =a2-b2 ③ (①)小普在检查时发现，这道题解错了.现请你指出：小普从第步开始出现错误；（填入表示解题步骤 的序号①②③即可) (2)小普对这道题进行了探究，发现虽然自己的解题过程出现了错误，但当a=-2,b=1时，按照上述错误 的化简方法所求得a-b的值与4-b的值相等，他将满足这一情况的数对a,b称为巧数对”，小普发现， a-b 这样的“巧数对”不止一对，请再写出一对“巧数对”：a=，b=一 (3)小普与同学一起运用所学的数学知识对“巧数对”进行进一步探究，找到了确定“巧数对”的方法.请写出确 定“巧数对”的方法，并说明理由. 14.(25-26八年级上河北承德期末)阅读资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如： 十，，这样的分式就是真分式：当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式”，如： +2,-,这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如： x-1'2x+1 x+2-x-0+3-1+3 x-1 x-1 x-1 4分式二是 (填“真分式”或“假分式”)： 2x ②将假分式3x+1,r+3分别化为带分式， x-1’x+2 ③)如果分式？+3x-3的值为整数，求所有符合条件的负整数x的值. x+3 15.(25-26八年级上云南大理期末)阅读下面的解题过程。 己知x、1 +号求的值 x4+1 解由方知403 6/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 即x+1=3, -2x.1=32-2=7 x21 +17 说明：该题的解法叫做“倒数法” 请你利用“倒数法”解下面题目： 己知 =7, x2-2x-3 )求x-3的值： (2)求x2 的值 x4-5x2+9 7/7 专题01 分式及其基本性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、分式和最简分式的识别 1 题型二、分式有无意义的条件 3 题型三、分式值为零的条件 4 题型四、根据分式的基本性质判断分式的变形和分式值的变化 5 题型五、求使分式值为整数时未知数的整数值 7 题型六、分式求值 9 题型七、分式的约分化简 10 题型八、分式的规律性问题 12 B综合攻坚・能力跃升 题型一、分式和最简分式的识别 1．（25-26八年级上·河南周口·期末）下列式子中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】形如（A、B为整式，B中含有字母且）的式子是分式． 【详解】解：A选项的分母是常数2，不含字母，属于整式； B选项的分母是含字母x的整式，符合分式定义； C选项的分母是常数3，π是常数，属于整式； D选项是多项式，属于整式； 故选：B． 2．（25-26八年级上·河北邢台·期末）下列各式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的定义，分子与分母没有公因式的分式为最简分式． 根据最简分式的定义逐一判断各选项的分子分母是否存在公因式即可． 【详解】解：A选项的分母不含字母，属于整式，不是分式，不符合最简分式的要求； B选项中，分子分母有公因式（），约分后为，不是最简分式，不符合最简分式的要求； C选项中，分子分母有公因式（），约分后为，不是最简分式，不符合最简分式的要求； D选项是分式且分子分母无公因式，是最简分式，符合最简分式的要求； 故选：D． 3．（24-25八年级下·江西吉安·期末）在下列各式中：、、、、，分式有_____个． 【答案】2 【分析】本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：下列各式中：、、、、，是分式的有、，共2个． 故答案为：2． 4．（24-25八年级上·山东泰安·期末）在分式，，，中，最简分式有_______个 【答案】2 【分析】本题考查最简最简分式，最简分式是分式的分子、分母没有非零的公因式，即不能再约分，据此判断即可解答． 【详解】解：，故不是最简分式； ，故不是最简分式； ，不能继续化简，是最简分式． ∴最简分式有2个． 故答案为：2． 题型二、分式有无意义的条件 5．（25-26八年级上·新疆和田·期末）若分式无意义，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，根据分式无意义当分母为零，因此求解分母 即可． 【详解】解：∵分式无意义当分母为零， ∴令， 解得， ∴当 时，分式无意义． 故选：B． 6．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）若分式有意义，则x的值不可以是（   ） A． B．π C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式分母不为0的性质，求出x的取值范围，再判断选项即可求解． 【详解】解：∵分式有意义 ∴分母 ∴ 故选：D． 7．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了分式与二次根式有意义的条件，根据同时满足二次根式的被开方数为非负数、分式的分母不为，列出不等式求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，且分式有意义的条件：分母不为，可得， 解得：， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·北京石景山·期末）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为_________． x的值 1 分式的值 不存在 0 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件及分式的值为零的条件，根据分式无意义的条件（分母为零）和分式值为零的条件（分子为零且分母不为零），分别求出和的值，再计算． 【详解】解：当时，分式无意义，则，即，解得． 当时，分式的值为0，则分子，即，解得． 所以． 故答案为：． 题型三、分式值为零的条件 9．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）若分式的值为零，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】利用分式值为零的条件得到且，然后解方程和不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得：． 10．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）若分式的值为，则的取值为() A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值为的条件．根据分式值为的条件：分子为且分母不为，先求解分子为时的取值，再排除使分母为的值，即可得到符合条件的． 【详解】解：∵分式的值为0 ∴且 由 ∴或 当时， 当时， ∴ 故选：A． 11．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）分式的值为0时，的值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0，进行求解即可． 【详解】解：令分子， 解得或， 又分母，即， 所以， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·山东临沂·期末）若分式的值为0，则x的值为______． 【答案】3 【分析】本题考查了分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子为零且分母不为零． 根据分式值为零的条件判断即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得或， 当时，分母，分式无意义； 当时，分母，分式有意义且分式值为零． 故答案为：3． 题型四、根据分式的基本性质判断分式的变形和分式值的变化 13．（25-26八年级上·河北邢台·期末）根据分式的基本性质，下列变形一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据“分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变”这一性质，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．当时，的分母为，分式无意义，故该变形不一定正确，不符合题意， B．的分子分母分别平方，并非同时乘同一个不为的整式，故变形错误，不符合题意， C．的分子分母同时加，不符合分式基本性质，故变形错误，不符合题意． D．∵中（否则原式无意义），∴，故变形正确，符合题意． 14．（25-26八年级上·山东淄博·期末）分式中字母，的符号如图所示，任意改变其中的两个符号，分式的值不变的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质得出分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变，再逐个判断即可． 【详解】解：， 当①②改变时，，故选项A不符合题意； 当②③改变时，，故选项B不符合题意； 当①③改变时，，故选项C不符合题意； 当③④改变时，，故选项D符合题意． 15．（25-26八年级上·山东聊城·期末）将分式中的和都扩大10倍，那么分式的值变为原来的________． 【答案】10倍 【分析】本题属于考查了分式的基本性质，将和都扩大10倍后代入分式，化简即可． 【详解】解：设原分式为， 当和都扩大10倍时，新分式为： ， 因此分式的值变为原来的10倍． 故答案为：10倍． 16．（25-26八年级上·重庆合川·期末）填空：若，则等式右边的分子为_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据，得分母，故等式右边的分子为，即可作答． 【详解】解：∵， ∴分母， 即等式右边的分子为， 故答案为：． 题型五、求使分式值为整数时未知数的整数值 17．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期末）若分式的值是正数，则x的值可能是（   ）． A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的值，根据同号得正列式求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 只有选项A符合条件， 故选：A． 18．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）能使分式的值为整数的整数的值有_____个（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查分式化简与整数解的问题．首先对分式进行因式分解并化简，得到一个更简单的表达式，然后根据整数条件分析分母可能的取值情况，从而确定满足条件的整数的个数．需要注意原分式在时无定义，需排除该情况． 【详解】解：整理得： （）. 设 （ 为整数）， 则 ， ∵ 为整数，∴ 为整数，故 为整数， ∴ 为 2 的约数，即 . 当 时，，; 当 时，，; 当 时，，; 当 时，，. 所有 均满足 ， ∴ 整数 的值有 4 个. 19．（25-26九年级上·山东烟台·期末）当整数m____时，分式的值也为整数． 【答案】1或或2或 【分析】此题考查分式的值． 先将分式分离常数，根据分式值为整数的条件，确定分母是6的整数约数，再通过解方程求出整数m的值． 【详解】解： ∵m为整数，分式的值也为整数． ∴是整数， ∵是奇数， ∴或， 解得整数1或0或2或， 故答案为：或或2或 20．（25-26八年级上·重庆潼南·期末）若分式的值为正，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为正数或负数时字母的取值范围，解不等式；由题意得，解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为正，且， ∴， ∴． 故答案为 ． 题型六、分式求值 21．（25-26九年级上·河北保定·期末）若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】本题可通过分式拆分或设参数代入的方法求解，利用分式的基本性质结合已知条件计算目标分式的值． 【详解】方法一：∵， ∴， ∴； 方法二：∵， ∴设，（）， 则． 22．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如果，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式求值． 将拆分为，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵ ∴． 故选：C． 23．（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知，则分式的值为______． 【答案】 【分析】先根据已知等式得到a与b的数量关系，再通过代入消元将分式转化为只含单一字母的式子，最后依据分式的基本性质约分求值． 【详解】解：∵ ∴，且（若，则，与矛盾） 将代入，得 故答案为：． 24．（25-26八年级上·北京·期末）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据题意可得，再把所求式子的分子和分母都分解因式，再约分，最后利用整体法求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ， ． 题型七、分式的约分化简 25．（25-26八年级上·河南商丘·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的约分，需根据分式的基本性质，对各选项分子分母因式分解后约分，判断等式是否恒成立． 【详解】解：∵，∴A选项错误，不符合题意； ∵，∴，∴B选项错误，不符合题意； ∵，∴，∴C选项错误，不符合题意； ∵，∴（），∴D选项正确，符合题意； 故选：D． 26．（25-26八年级上·江西南昌·期末）约分：________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简．通过约去分子和分母的公因式进行化简即可． 【详解】解： 故答案为：． 27．（23-24八年级上·吉林白城·期末）化简：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的约分．把分式的分子和分母因式分解，再化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 28．（25-26八年级上·山东滨州·期末）（1）计算：；     （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先计算同底数幂的除法和幂的乘方，再计算整式的加法； （2）先计算分子中的单项式乘以单项式，包括同底数幂的乘法，注意法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；再计算单项式除以单项式，包括同底数幂的除法，注意法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型八、分式的规律性问题 29．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）观察下列各等式：，，，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的规律性问题． 观察各等式，两个分数的分子之和恒为8，且每个分式的分母均为其分子减去4，据此即可得到答案． 【详解】解：∵ 给出的等式中，两个分子之和均为8，且分母为分子减4， ∴ 一般形式应为分子为x和，分母分别为和， 即一般性的等式为， 故选：B 30．（25-26八年级上·云南怒江·期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，……，则第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查规律探究，观察代数式的系数和x的指数，第1个代数式为，第2个代数式为，第3个代数式为，据此找出规律，即可求解． 【详解】解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， ... 第n个代数式为； 故选：A． 31．（25-26七年级上·全国·期末）观察下面一列数：，，，，，，则第个数为__________． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，根据所给的一列数发现分子和分母的变化规律是（为正整数），然后利用规律解决问题． 【详解】解：∵， ∴第个数的符号为，分子为，分母为：， ∴第个数为（为正整数）， 当时，， 即第100个数为． 故答案为：． 32．（25-26七年级上·新疆吐鲁番·期末）若是不等于2的有理数，则我们把称为的“友好数”．例如：3的“友好数”是．已知，是的“友好数”，是的“友好数”，是的“友好数”……以此类推，则的值是____________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的规律性问题，通过观察数字，分析，归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．分别求出数列的前5个数，得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案．通过计算序列的前几项，发现序列呈现周期性变化，周期为4，然后根据2026在周期中的位置确定其值． 【详解】解：由题意，， ， ， ， ， 即，因此序列每4项循环一次，周期为4． 由于， 故． 故答案为． 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）下列分式中，最简分式是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义（分子与分母没有公因式的分式），逐一判断各选项的分子分母是否有公因式即可． 【详解】解：∵的分子分母有公因式，约分后为， ∴不是最简分式； ∵，的分子分母有公因式，约分后为， ∴不是最简分式； ∵在初中范围内无法分解因式，且与分母无公因式， ∴是最简分式； ∵，的分子分母有公因式，约分后为， ∴不是最简分式． 综上，选项C符合题意． 2．（25-26八年级上·江西南昌·期末）无论取何值，下列分式总有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件． 分式有意义的条件是分母不为零，因此需判断各选项分母是否可能为零即可． 【详解】解：分式有意义的条件是分母不为零． 对于A，当时分母，故分式无意义； 对于B，分母，恒不为0，故分式总有意义； 对于C，当时分母，故分式无意义； 对于D，当时分母，故分式无意义； 故选：B． 3．（25-26八年级上·河南周口·期末）如果把分式中的a，b都缩小到原来的，那么分式的值（   ） A．缩小到原来的 B．不变 C．扩大2倍 D．缩小到原来的 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的基本性质．依题意，分别用和去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：如果把分式中的a和b都缩小到原来的， 则变化后的分式为， 即分式的值缩小为原来的， 故选：A． 4．（25-26八年级上·福建福州·期末）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质与平方差公式的应用．依据分式基本性质（分子分母同乘或除以不为0的整式，分式的值不变）及平方差公式对各选项逐一判断． 【详解】解：∵分式的分子、分母同时乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变， A选项：的分子、分母是加1，并非同乘除不为0的整式，无法约分为，例如取，时，，，故A错误，该选项不符合题意； B选项：∵， ∴，变形符合分式基本性质，故B正确，该选项符合题意； C选项：仅当或，时等于，一般情况不成立，例如取，时，，故C错误，该选项不符合题意； D选项：∵（平方差公式），且分式有意义时 ∴，故D错误，该选项不符合题意； 故选：B． 5．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）已知，则的值为（） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式化简求值，先提取公因式，再对分式进行通分，结合已知条件化简计算，即可得出结果． 【详解】解：∵ ∴原式 ∵， ∴ 代入得： 故选：C． 二、填空题 6．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）若式子有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0求解即可． 【详解】解：要使式子有意义，则分母，即， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式无意义，则______． 【答案】2 【分析】本题考查分式的值为0的条件，分式无意义的条件，分式的值为0时分子为0且分母不为0，分式无意义时分母为0，据此求出的值即可． 【详解】解：由题意，， 解得， ∴； 故答案为：2． 8．（24-25八年级上·北京·期末）分式有意义，x的取值范围是__________；分式的值为0，则x的值为__________． 【答案】 3 【分析】此题考查了分式为0和分式有意义的条件． 分式有意义的条件是分母不为零；分式值为零的条件是分子为零且分母不为零．据此进行解答即可． 【详解】解：当分式 有意义时，分母， 故的取值范围是； 当分式的值为时， 需满足 ， 解得， 故的值为． 故答案为：， 9．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若分式的值为整数，则符合条件的所有整数的和为__________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值是整数列式计算是解题的关键．根据分式的值为整数，则分母 必须是分子的约数，即，，，分别求解，并筛选出整数解，最后求和即可． 【详解】解：分式的值为整数， 是的约数，即，，， 当时，； 当时，； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数， 符合条件的整数为和， 它们的和为； 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江西赣州·期末）约分：__________． 【答案】 【分析】本题考查了约分，关键是找到分子、分母的公因式；先对分子和分母因式分解，最后约去公因式． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）甲、乙两位同学各给出一个算式： 甲：；乙：． (1)______同学给出的算式是正确的； (2)对于不正确的算式，请你给出正确的计算过程，并直接写出结果为的条件． 【答案】(1)甲 (2)；结果为的条件为且 【分析】本题考查分式的基本性质，分式的值为的条件，分式有意义的条件，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． （1）分别利用分式的基本性质化简，即可判定； （2）由（1）可得正确过程，利用当结果为时，分子为，且分式有意义，即可求解． 【详解】（1）解：甲：，正确； 乙：，故乙错误； 故答案为：甲； （2）解：乙：， 由当结果为时，分子为，且分式有意义， 则且， 则且． 12．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… 请根据以上规律，解答下列问题． (1)直接写出第5个等式：______． (2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示，为正整数），并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，找到等式的特点，得出一般规律是解题的关键． （1）根据题目中所给的三个等式，结合规律即可写出答案． （2）找到等式的规律，写出第n个等式，通过化简证明等式成立． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… ∴第5个等式：； （2）解：． 证明：左边右边， 该猜想成立． 13．（24-25七年级上·上海普陀·期末）小普在化简一个分式的时候，书写过程如下：        ①        ②        ③ (1)小普在检查时发现，这道题解错了．现请你指出：小普从第_____步开始出现错误；（填入表示解题步骤的序号①②③即可） (2)小普对这道题进行了探究，发现虽然自己的解题过程出现了错误，但当，时，按照上述错误的化简方法所求得的值与的值相等，他将满足这一情况的数对，称为“巧数对”，小普发现，这样的“巧数对”不止一对，请再写出一对“巧数对”：_____，______． (3)小普与同学一起运用所学的数学知识对“巧数对”进行进一步探究，找到了确定“巧数对”的方法．请写出确定“巧数对”的方法，并说明理由． 【答案】(1)① (2)，2（答案不唯一） (3)当，或时，可以找到“巧数对”． 【分析】本题考查了约分，解决本题的关键是将分式进行化简． （1）根据立方差公式，可以发现小普从第①步开始出现错误； （2）只要符合即可，a、b的值不止一组，比如，； （3）将化简，可得，化简得，即或，即当，或时，可以找到“巧数对”． 【详解】（1）解：因为， 所以小普从第①步开始出现错误． 故答案为：①； （2）解：将，代入可得： ， ， 即， 所以，． 故答案为：，2．（答案不唯一） （3）解：∵， 即， 即， 得， ， 即或， 得或， 即当，或时，可以找到“巧数对”． 14．（25-26八年级上·河北承德·期末）阅读资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：． (1)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式分别化为带分式； (3)如果分式的值为整数，求所有符合条件的负整数的值． 【答案】(1)假分式 (2)， (3) 【分析】本题考查分式的化简，分式的求值，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义进行判断即可； （2）根据题干给定的方法，进行求解即可； （3）先将假分式化为带分式，再根据分式的值为整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，分式是假分式； （2）解：； ． （3）解：， 若使原分式的值为整数，则的值为整数， 或， ∴， ∴符合条件的负整数的值为． 15．（25-26八年级上·云南大理·期末）阅读下面的解题过程． 已知，求的值 解：由，知； 即， ． 说明：该题的解法叫做“倒数法” 请你利用“倒数法”解下面题目： 已知， (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的性质与完全平方公式的应用，核心方法为“倒数法”，即通过对已知分式和目标分式取倒数，结合代数变形求解． 【详解】（1）解：由，知， ∴， ∴； （2）解：对取倒数，得． ∵， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $