第三章 一次函数（举一反三讲义）数学新教材湘教版八年级下册

第三章 一次函数（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材湘教版】 【培优篇】 6 【题型1 确定一次函数经过的象限】 6 【题型2 根据一次函数的性质比较大小】 7 【题型3 一次函数与几何变换】 7 【题型4 根据一次函数的性质求参数的值或取值范围】 8 【题型5 确定一次函数解析式】 8 【拔尖篇】 9 【题型6 根据情景确定函数图象】 9 【题型7 一次函数与三角形的面积综合】 11 【题型8 一次函数与动点最值问题】 13 【题型9 一次函数的图象的应用】 14 【题型10 一次函数的实际应用】 16 知识点1 常量和变量 1. 在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量． 2. 变量和常量往往是相对的，对不同的研究过程，其中的变量和常量是不同的，变量和常量是可以相互转换的． 知识点2 函数的定义 1. 函数的定义：一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，x是自变量． 2. 对函数的理解应抓住以下四点 （1）有两个变量； （2）一个变量变化，另一个变量也随之变化； （3）对于自变量x的每一个值，函数y仅有一个值与之对应； （4）函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系． 知识点3 确定自变量的取值范围 使得函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围． 类型 特征 取值范围 整式型 等式右边是整式 全体实数 分式型 等式右边分母含有自变量 使分母不为0的实数 知识点4 函数值 对于一个函数，当自变量时，可以求出与它对应的y的值，我们就说这个值是当时的函数值． 知识点5 函数的三种表示法 函数的表示方法有三种，分别是表达式法、列表法、图象法． 有的函数用以上三种方法都能表示，有的函数只能用其中的一种或两种方法表示． 表示方法 优点 缺点 表达式法 准确地反映出两个变量之间的数量关系 有的函数不能用表达式法表示 列表法 能直接找出自变量与对应的函数值 写出的对应值有限，不能直接看出两个变量之间的对应规律 图象法 直观、形象地表示出变量之间的关系，便于直观地研究函数的性质 所画出的图象是近似的、局部的；由图象确定的函数值往往不够准确 知识点6 一次函数和正比例函数的概念 一般地，形如的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 特别地，当时，，y叫做x的正比例函数． 知识点7 确定一次函数表达式 确定一次函数表达式关键在于确定k和b的值，通常用待定系数法．通过将已知条件代入中，得到方程或方程组，再求出k，b的值，从而确定一次函数表达式． 用待定系数法确定一次函数表达式的步骤： （1）设出含有待定系数的函数表达式； （2）把已知条件代入表达式，得到关于k，b的方程(组）； （3）解方程(组)求出待定系数k，b的值； （4）将求得的系数k，b的值代回所设函数表达式． 知识点8 用描点法画函数图象 在直角坐标系中用描点法画函数图象的一般步骤： （1）列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算对应的函数值y； （2）描点：以表中各对x，y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：顺次连接描出的各点． 知识点9 一次函数的图象 （1）一次函数的图象是一条直线．由于两点确定一条直线，画一次函数的图象时，只要先确定这个图象上两个点的位置，再过这两点画直线就可以了．为了方便，常取图象与坐标轴的两个交点(0,b)和． （2）正比例函数的图象是经过原点(0,0)的一条直线．画正比例函数的图象时，只需取一点(1,k)，再过原点和这一点画直线即可． 知识点10 一次函数的性质 一次函数的性质： （1）当时，一次函数的图象从左到右呈上升趋势，函数值y随自变量x的增大而增大． （2）当时，一次函数的图象从左到右呈下降趋势，函数值y随自变量x的增大而减小．反之亦成立． k，b的符号与一次函数图象的关系： 图象经过的象限 一、二、三 一、三 一、三、四 图象经过的象限 一、二、四 二、四 二、三、四 知识点11 正比例函数y=kx与一次函数y=kx+b的图象的关系 一般地，一次函数的图象可以由正比例函数的图象沿y轴向上()或向下()平移个单位长度得到． 一次函数图象平移的规律：将直线向上或向下或向左或向右平移n()个单位长度，则所得直线的表达式如下： 知识点12 一次函数的应用 在运用一次函数解决实际问题时，首先要判断问题中的两个变量之间是不是一次函数关系，当确定是一次函数关系时，可求出函数表达式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得所需要的结果． 在解决现实生活中的数量关系的问题时，可以应用函数知识，解题的关键是建立函数表达式． 在具体数学问题中，数据较多，反映的内容也比较多，把众多的信息有机地组合在一起是解题的关键，要认真读题，分析题意，理顺关系，寻求解题途径． 知识点13 用图象法解决实际问题 在解决有关“选择方案”问题时，可以采用图象法，这种方法是解决许多实际问题的重要手段．读图时，一定要明确横、纵坐标所代表的意义． 从两个相交的一次函数图象中获取信息 看图象 获取信息 两个一次函数，，当自变量的值为时，函数值都为或当函数值为时，自变量的值都为 当自变量的值时，函数值，即对同一自变量x的值，图象在上面的函数值大 当自变量的值时，函数值，即对同一自变 量x的值，图象在下面的函数值小 知识点14 一次函数与二元一次方程（组）的关系 1. 一次函数与二元一次方程的关系 一般地，一次函数的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图象上． 2. 一次函数与二元一次方程组的关系 一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数（两条直线）． 二元一次方程组的解为两直线；和的交点坐标；反过来,两直线，和的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解． （1）两直线平行（无交点），方程组无解； （2）两直线交于一点，方程组有唯一解； （3）两直线重合，方程组有无数组解． 知识点15 二元一次方程组的图象解法 1. 二元一次方程组的图象解法的含义 用一次函数的图象求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图象解法． 2. 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 （1）把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：,和． （2）建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象． （3）求出这两条直线交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x的值，纵坐标是y的值． 知识点16 一次函数与一元一次方程 任何一个一元一次方程都可化简为的形式． （1）一元一次方程是一次函数的函数值为0时的特殊情形． （2）直线与x轴交点的横坐标就是一元一次方程的解，即． 知识点17 一次函数与一元一次不等式 名称 叙述 从“数”上看 从“形”上看 一次函数与一元一次不等式的关系 由于任何一元一次不等式都可以转化为或 (a，b为常数，且a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围 的解集 中时x 的取值范围； 的解集 中时x 的取值范围 的解集直线位于x轴上方的部分对应的x的取值范围； 的解集直线位于x轴下方的部分对应的x的取值范围 【培优篇】 【题型1 确定一次函数经过的象限】 【例1】（2025·陕西榆林·模拟预测）正比例函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-1】（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，点，，，为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象一定不经过点 ．(填“”或“”或“”或“”) 【变式1-2】（24-25八年级下·北京延庆·期末）一次函数中变量与的部分对应值如下表所示． ．．． ．．． ．．． ．．． 给出下面四个结论： ①； ②一次函数的图象不经过第三象限； ③关于的方程的解是； ④关于的不等式的解集是； 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【变式1-3】已知一次函数的图象经过点，且与直线的交点在x轴上． (1)求这个一次函数的解析式． (2)此函数的图象经过哪几个象限？ (3)求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积． 【题型2 根据一次函数的性质比较大小】 【例2】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）若正比例函数的图象经过点，时，． (1)求m的取值范围； (2)若该函数图象上有三个点，则从小到大排列为______． 【变式2-1】（24-25八年级下·吉林四平·期末）在平面直角坐标系中，若点是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系为： （填“”，“”或“”）． 【变式2-2】（24-25八年级下·山西忻州·阶段练习）已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25八年级下·浙江台州·期末）已知，，三点均在直线为常数，，上，且，则下列判断正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型3 一次函数与几何变换】 【例3】（2025·陕西西安·模拟预测）已知一次函数的图象与直线关于轴对称，则此一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向上平移m个单位长度，平移后的图象与一次函数的图象的交点在第二象限，则m的值可以为（    ） A．1 B．4 C．5 D．6 【变式3-2】（24-25八年级下·云南红河·期末）在平面直角坐标系中，点是函数的图象上的一点，将函数的图象向左平移4个单位长度，平移后，点的对应点为点，若点，关于轴对称，则点的坐标为 ． 【变式3-3】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知是一次函数， (1)求的值； (2)若点均在该一次函数的图象上，试比较，的大小关系，并说明理由． (3)将点向下平移3个单位长度，得到点，恰好点在该一次函数图象上，求一次函数的图象与线段有交点时的取值范围． 【题型4 根据一次函数的性质求参数的值或取值范围】 【例4】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）已知直线和直线相交于点，且当时，总有成立，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·安徽合肥·三模）若一次函数的函数值随的增大而减小，则的值可以为（　　） A． B． C．2 D．5 【变式4-2】（24-25八年级下·山东济宁·期末）若关于的一次函数的图象经过点和点，当时，，且与轴相交于正半轴，则整数的值为 ． 【变式4-3】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）已知函数的最大值，且最小值，则的取值范围为 ． 【题型5 确定一次函数解析式】 【例5】（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）如图，函数的图像与x轴、y轴分别交于点A，B，若直线将分为面积比为的两部分，则直线的函数表达式为（   ） A．或 B． C．或 D． 【变式5-1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，则的值是 ． 【变式5-2】（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，直线和直线相交于点，分别与x轴相交于点B和点C，与y轴相交于点D和点E． (1)直接写出直线的函数解析式： ； (2)求四边形的面积． 【变式5-3】如图，直线，直线经过点，直线与直线交于点N． (1)求n的值； (2)若点N在x轴上，求k的值并在图中画出直线； (3)若点N总在点M的右侧，直接写出k的取值范围． 【拔尖篇】 【题型6 根据情景确定函数图象】 【例6】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在一个透明的大圆柱形器皿底部放置一个透明的小圆柱形器皿，现先向小圆柱形器皿内匀速注水，注满后，再向大圆柱形器皿内以同样的速度注水，直到注满大圆柱形器皿，设注水时间为x，大、小圆柱形器皿中的水位高度差为y（），则下列图象适合y与x之间关系的是（　　） A．B． C． D． 【变式6-1】（2025·福建龙岩·一模）如图，在学习浮力的物理课上，老师将铁块挂在弹簧测力计下方，铁块的下端离水面一定高度，将弹簧测力计缓慢匀速下降，让铁块完全浸入水中（不考虑水的阻力），在铁块接触杯底前停止下降．则能反映弹簧测力计的读数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，一辆货车匀速通过一条隧道（隧道长大于货车长），从货车头刚进入隧道开始，货车在隧道内的长度与行驶的时间之间的关系用图象描述大致是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25八年级上·山东济南·期末）坎儿井是新疆吐鲁番盆地的一种特殊灌溉系统，主要是利用了连通器原理．如图是一个型连通器模型，甲水箱、乙水箱是两个等高的圆柱体，甲水箱的底面面积是乙水箱底面面积的2倍，连接管在两个水箱的中间处（体积忽略不计），现用水管往甲水箱中持续匀速注水，直到连通器中水恰好不溢出为止．设甲水箱中水面的高度为，注水时间为，则与的函数图象大致为（   ）    A．   B．   C．   D．   【题型7 一次函数与三角形的面积综合】 【例7】（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是 ； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为 ． 【变式7-1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，直线上三点A，B，C的横坐标依次为，1，2，分别过点A、B，C作x轴与y轴的垂线，形成了阴影的三角形，则这三个三角形的面积之和为（   ） A． B．3 C． D． 【变式7-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，七个边长为的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过点的一条直线将这七个正方形分成面积相等的两部分，则该直线对应的函数表达式为 ． 【变式7-3】（24-25八年级上·全国·期末）长方形的边OA在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为，点B在第一象限，将直线沿y轴向上平移个单位，若平移后的直线将长方形的面积分成的两部分，则m的值为 ． 【题型8 一次函数与动点最值问题】 【例8】（24-25八年级上·陕西西安·期中）直线与相交于点，且两直线与轴围成的三角形面积为6，点是三角形内部（包括边上）的一点，则的最大值与最小值之差为（    ） A．3 B． C．3或 D．3或6 【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，，，连接、、，是轴上的一个动点，当取最大值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图①，已知动点P在长方形的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒1个单位长度．连接，记点P的运动时间为t（秒），的面积为S．图②是S关于t的函数图像，则线段的长为 ，a的值为 ． 【变式8-3】如图，已知点的坐标为，点的坐标为，点在直线上运动，当最小时，点的坐标为 ．    【题型9 一次函数的图象的应用】 【例9】五一期间小辉与小亮两家人在港澳旅游，某日两家人从香港口岸前往澳门口岸，当小辉一家乘坐穿梭巴士出发分钟后，小亮一家乘坐跨境出租车出发，两车在全程中均保持匀速行驶，跨境出租车比穿梭巴士早到分钟，过海关时间不考虑在内，两车距西人工岛的路程之和（千米）与小辉家出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，穿梭巴士出发 分钟到达澳门口岸．    【变式9-1】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）小明元旦从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小明到达商店比妈妈返回商店早5分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为（分钟），图1表示两人之间的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象；图2中的线段表示小明和商店之间的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象的一部分． 请根据所给信息，解答下列问题： (1)妈妈骑车的速度是___________米/分钟，妈妈在家装载货物所用时间是___________分钟，点的坐标是___________ (2)请求出图2中线段表示的小明和商店的距离（米）与时间（分钟）之间的函数关系式，并指明自变量的取值范围；在图2中画出妈妈和商店的距离（米）与时间（分钟）之间的函数关系的图象． 【变式9-2】（24-25七年级下·重庆·期中）周末，小文和小华相约一起去重庆动物园看大熊猫，小文家、小华家、动物园在同一直线上，且小华家在小文家和动物园之间，小文骑自行车出发8分钟后，小华从家出发步行去动物园，几分钟后两人相遇，同时小华发现自己忘了带手机，于是马上掉头原路原速返回家，拿到手机后立即乘出租车原路追赶小文（掉头和拿手机、等车的时间忽略不计），最终他们同时到达动物园．在运动过程中，小文、小华两人距离小华家的路程之和与小文出发的时间为之间的关系如图所示． (1)小文的速度是__________米／分钟；小华家到动物园的距离是_________米； (2)求小华步行和出租车的速度分别是多少米／分钟； (3)当小文、小华相距200米时，小华与动物园的距离为多少米？ 【变式9-3】一队学生从学校出发去劳动基地，行进的路程与时间的函数图象如图所示，队伍走了0.8小时后，队伍中的通讯员按原路加快速度返回学校取材料．通讯员经过一段时间回到学校，取到材料后立即按返校时加快的速度追赶队伍，并比学生队伍早18分钟到达基地．如图，线段OD表示学生队伍距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，折线OABC表示通讯员距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，请你根据图象信息，解答下列问题：    (1)学校与劳动基地之间的距离为________千米； (2)________，B点的坐标是________． (3)若通讯员与学生队伍的距离不超过3千米时能用无线对讲机保持联系，请你直接写出通讯员离开队伍后他们能用对讲机保持联系的时间的取值范围． 【题型10 一次函数的实际应用】 【例10】为了落实“乡村振兴”政策，两城决定向两乡运送水泥建设美丽乡村，已知两城分别有水泥200吨和300吨，从城往两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从城往两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现乡需要水泥240吨，乡需要水泥260吨． (1)设从城运往乡的水泥吨．设总运费为元，写出与的函数关系式并求出最少总运费． (2)为了更好地支援乡村建设，城运往乡的运费每吨减少元，这时城运往乡的水泥多少吨时总运费最少？ 【变式10-1】（24-25八年级下·新疆喀什·期末）我国是一个缺水国家，节约用水，是我们每一个公民的基本素养之一．为鼓励居民节约用水，某市对居民用水收费实行“阶梯价”，2022年起年具体收费标准如下表（阶梯价的含义：用水量不超过144，每立方米收费3.15元，用水量在144~240，前144按 3.15元/，144~240之间按4.05元/收费，以此类推）． 供水类型 阶梯分类 年用水量 （） 价格 （元/） 居民生活用水 第一阶梯 0~144（含） 3.15 第二阶梯 144~240（含） 4.05 第三阶梯 240以上 6.75 (1)设某户居民的年用水量为 ，请按阶梯分类求用水年费用（元）关于年用水量（）的函数解析式． (2)若小米家2024年全年用水量为120，则小米家应缴2024年水费多少元？ (3)若小乐家2024年缴水费814.05元，求小乐家2024年全年用水量． 【变式10-2】（2025·湖北襄阳·模拟预测）某风景区门票价格如图所示，百姓旅行社有甲、乙两个旅行团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人．设甲团队人数为x人，甲、乙两团队联合购票比分别购票可节约W元． (1)求W关于x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)如果甲、乙两团队联合购票比分别购票节约的钱不少于乙队单独购票所需钱数的一半，那么甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少元； (3)“五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作如下调整：人数不超过50人时，门票价格不变，人数超过50人但不超过100人时，每张门票降价a（）元；人数超过100人时，每张门票降价2a元．若甲、乙两个旅行团在“五一”小黄金周期间去游玩联合购票比分别购票最少可节约1500元，若这两个旅行团在“五一”小黄金周之后去游玩联合购票比分别购票最少可节约3000元，求a的值． 【变式10-3】（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）某商店销售A、B两种型号的打印机，销售3台A型和2台B型打印机的利润和为560元，销售1台A型和4台B型打印机的利润和为720元． (1)求每台A型和B型打印机的销售利润： (2)商店计划购进A、B两种型号的打印机共120台，其中A型打印机数量不少于B型打印机数量的一半，设购进A型打印机a台，这120台打印机的销售总利润为W元，求该商店购进A、B两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？ (3)在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将A型打印机的出厂价下调m元，但限定商店最多购进A型打印机50台，且A、B两种型号的打印机的销售价均不变，请写出商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一次函数（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材湘教版】 【培优篇】 6 【题型1 确定一次函数经过的象限】 6 【题型2 根据一次函数的性质比较大小】 8 【题型3 一次函数与几何变换】 10 【题型4 根据一次函数的性质求参数的值或取值范围】 14 【题型5 确定一次函数解析式】 16 【拔尖篇】 21 【题型6 根据情景确定函数图象】 21 【题型7 一次函数与三角形的面积综合】 25 【题型8 一次函数与动点最值问题】 30 【题型9 一次函数的图象的应用】 35 【题型10 一次函数的实际应用】 44 知识点1 常量和变量 1. 在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量． 2. 变量和常量往往是相对的，对不同的研究过程，其中的变量和常量是不同的，变量和常量是可以相互转换的． 知识点2 函数的定义 1. 函数的定义：一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，x是自变量． 2. 对函数的理解应抓住以下四点 （1）有两个变量； （2）一个变量变化，另一个变量也随之变化； （3）对于自变量x的每一个值，函数y仅有一个值与之对应； （4）函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系． 知识点3 确定自变量的取值范围 使得函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围． 类型 特征 取值范围 整式型 等式右边是整式 全体实数 分式型 等式右边分母含有自变量 使分母不为0的实数 知识点4 函数值 对于一个函数，当自变量时，可以求出与它对应的y的值，我们就说这个值是当时的函数值． 知识点5 函数的三种表示法 函数的表示方法有三种，分别是表达式法、列表法、图象法． 有的函数用以上三种方法都能表示，有的函数只能用其中的一种或两种方法表示． 表示方法 优点 缺点 表达式法 准确地反映出两个变量之间的数量关系 有的函数不能用表达式法表示 列表法 能直接找出自变量与对应的函数值 写出的对应值有限，不能直接看出两个变量之间的对应规律 图象法 直观、形象地表示出变量之间的关系，便于直观地研究函数的性质 所画出的图象是近似的、局部的；由图象确定的函数值往往不够准确 知识点6 一次函数和正比例函数的概念 一般地，形如的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 特别地，当时，，y叫做x的正比例函数． 知识点7 确定一次函数表达式 确定一次函数表达式关键在于确定k和b的值，通常用待定系数法．通过将已知条件代入中，得到方程或方程组，再求出k，b的值，从而确定一次函数表达式． 用待定系数法确定一次函数表达式的步骤： （1）设出含有待定系数的函数表达式； （2）把已知条件代入表达式，得到关于k，b的方程(组）； （3）解方程(组)求出待定系数k，b的值； （4）将求得的系数k，b的值代回所设函数表达式． 知识点8 用描点法画函数图象 在直角坐标系中用描点法画函数图象的一般步骤： （1）列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算对应的函数值y； （2）描点：以表中各对x，y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：顺次连接描出的各点． 知识点9 一次函数的图象 （1）一次函数的图象是一条直线．由于两点确定一条直线，画一次函数的图象时，只要先确定这个图象上两个点的位置，再过这两点画直线就可以了．为了方便，常取图象与坐标轴的两个交点(0,b)和． （2）正比例函数的图象是经过原点(0,0)的一条直线．画正比例函数的图象时，只需取一点(1,k)，再过原点和这一点画直线即可． 知识点10 一次函数的性质 一次函数的性质： （1）当时，一次函数的图象从左到右呈上升趋势，函数值y随自变量x的增大而增大． （2）当时，一次函数的图象从左到右呈下降趋势，函数值y随自变量x的增大而减小．反之亦成立． k，b的符号与一次函数图象的关系： 图象经过的象限 一、二、三 一、三 一、三、四 图象经过的象限 一、二、四 二、四 二、三、四 知识点11 正比例函数y=kx与一次函数y=kx+b的图象的关系 一般地，一次函数的图象可以由正比例函数的图象沿y轴向上()或向下()平移个单位长度得到． 一次函数图象平移的规律：将直线向上或向下或向左或向右平移n()个单位长度，则所得直线的表达式如下： 知识点12 一次函数的应用 在运用一次函数解决实际问题时，首先要判断问题中的两个变量之间是不是一次函数关系，当确定是一次函数关系时，可求出函数表达式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得所需要的结果． 在解决现实生活中的数量关系的问题时，可以应用函数知识，解题的关键是建立函数表达式． 在具体数学问题中，数据较多，反映的内容也比较多，把众多的信息有机地组合在一起是解题的关键，要认真读题，分析题意，理顺关系，寻求解题途径． 知识点13 用图象法解决实际问题 在解决有关“选择方案”问题时，可以采用图象法，这种方法是解决许多实际问题的重要手段．读图时，一定要明确横、纵坐标所代表的意义． 从两个相交的一次函数图象中获取信息 看图象 获取信息 两个一次函数，，当自变量的值为时，函数值都为或当函数值为时，自变量的值都为 当自变量的值时，函数值，即对同一自变量x的值，图象在上面的函数值大 当自变量的值时，函数值，即对同一自变 量x的值，图象在下面的函数值小 知识点14 一次函数与二元一次方程（组）的关系 1. 一次函数与二元一次方程的关系 一般地，一次函数的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图象上． 2. 一次函数与二元一次方程组的关系 一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数（两条直线）． 二元一次方程组的解为两直线；和的交点坐标；反过来,两直线，和的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解． （1）两直线平行（无交点），方程组无解； （2）两直线交于一点，方程组有唯一解； （3）两直线重合，方程组有无数组解． 知识点15 二元一次方程组的图象解法 1. 二元一次方程组的图象解法的含义 用一次函数的图象求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图象解法． 2. 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 （1）把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：,和． （2）建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象． （3）求出这两条直线交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x的值，纵坐标是y的值． 知识点16 一次函数与一元一次方程 任何一个一元一次方程都可化简为的形式． （1）一元一次方程是一次函数的函数值为0时的特殊情形． （2）直线与x轴交点的横坐标就是一元一次方程的解，即． 知识点17 一次函数与一元一次不等式 名称 叙述 从“数”上看 从“形”上看 一次函数与一元一次不等式的关系 由于任何一元一次不等式都可以转化为或 (a，b为常数，且a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围 的解集 中时x 的取值范围； 的解集 中时x 的取值范围 的解集直线位于x轴上方的部分对应的x的取值范围； 的解集直线位于x轴下方的部分对应的x的取值范围 【培优篇】 【题型1 确定一次函数经过的象限】 【例1】（2025·陕西榆林·模拟预测）正比例函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数与一次函数的图象及性质，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题把代入正比例函数，解得：，然后可得，然后即可求解 【详解】解：把代入正比例函数，解得：， 把代入一次函数， ∴一次函数解析式为， ∴一次函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限 故选：D 【变式1-1】（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，点，，，为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象一定不经过点 ．(填“”或“”或“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据一次函数解析式可得一次函数图象不经过第一象限，即可求解． 【详解】解：一次函数的，， 一次函数图象不经过第一象限， 一次函数图象不过点． 故答案为：． 【变式1-2】（24-25八年级下·北京延庆·期末）一次函数中变量与的部分对应值如下表所示． ．．． ．．． ．．． ．．． 给出下面四个结论： ①； ②一次函数的图象不经过第三象限； ③关于的方程的解是； ④关于的不等式的解集是； 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．先求出该一次函数解析式为，再根据一次函数的图象和性质，可判断①、②、③，又，随的增大而减小，当时，，即可判断④，即可求解． 【详解】解：根据题意得：当时，，当时，， ∴方程的解为，故③错误； ，解得：， ∴该一次函数解析式为， ∴，随的增大而减小，图像经过一、二、四象限，不经过第三象限，故①错误、②正确； ∵，随的增大而减小，当时，， ∴关于的不等式的解集是，故④正确， 故答案为：②④ 【变式1-3】已知一次函数的图象经过点，且与直线的交点在x轴上． (1)求这个一次函数的解析式． (2)此函数的图象经过哪几个象限？ (3)求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)第一、二、四象限 (3) 【分析】（1）先确定直线与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）由k、b的符号确定一次函数的图象所经过的象限； （3）求三角形的面积时要先求出一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标． 【详解】（1）解：对于，当时，由得，则它与x轴的交点坐标为， 将点和代入中， 得，则， ∴这个一次函数的解析式为； （2）解：由得，， ∴该一次函数的图象经过第一、二、四象限； （3）解：对于， 当时，，当时，， ∴该一次函数的图象与坐标轴的交点坐标为，， ∴该一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、坐标与图形，熟练掌握一次函数的图象与性质是解答的关键． 【题型2 根据一次函数的性质比较大小】 【例2】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）若正比例函数的图象经过点，时，． (1)求m的取值范围； (2)若该函数图象上有三个点，则从小到大排列为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一次函数与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）根据当时，，得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． （2）利用一次函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过点，时，． ∴， 解得． （2）解：由（1）可知函数y随x的增大而减小， ∵该函数图象上有三个点，， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】（24-25八年级下·吉林四平·期末）在平面直角坐标系中，若点是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系为： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数（k，b为常数）是一条直线，当时， y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25八年级下·山西忻州·阶段练习）已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数中，得随的增大而增大，从而求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由一次函数中， ∴随的增大而增大， ∵， ∴， 故选：． 【变式2-3】（24-25八年级下·浙江台州·期末）已知，，三点均在直线为常数，，上，且，则下列判断正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 根据直线方程及已知条件，结合一次函数的单调性及符号性质进行判断． 【详解】解：已知直线为，其中，，故直线从左向右上升，且与y轴交于负半轴，三点，对应， A、若，则，，但可能为正也可能为负，导致符号不确定，乘积未必正，不符合题意； B、若，则和同号，但可能跨过交点，导致符号与相反，乘积未必正，不符合题意； C、若，则，。因，故也为负数，此时，和中，和均为负数，加上，故，即和均为负数，乘积，选项C正确，符合题意； D、若，则，但可能正或负（取决于是否超过），乘积未必正，不符合题意； 故选：C． 【题型3 一次函数与几何变换】 【例3】（2025·陕西西安·模拟预测）已知一次函数的图象与直线关于轴对称，则此一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，轴对称性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 首先求出直线与x轴和y轴的交点坐标，然后根据题意得到一次函数的图象与x轴和y轴的交点坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵直线 ∴当时，， ∴直线与y轴的交点为； ∴当时，， 解得 ∴直线与x轴的交点为 ∵一次函数的图象与直线关于轴对称， ∴一次函数的图象与y轴的交点为，与x轴的交点为 设一次函数的解析式为 ∴ ∴ ∴此一次函数的解析式为． 故选：A． 【变式3-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向上平移m个单位长度，平移后的图象与一次函数的图象的交点在第二象限，则m的值可以为（    ） A．1 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：将正比例函数向上平移个单位后，得到的新函数为， 联立该函数与得： ，解得交点坐标为， 因交点在第二象限，需满足： 解得：， 的值可以是5． 故选：C． 【变式3-2】（24-25八年级下·云南红河·期末）在平面直角坐标系中，点是函数的图象上的一点，将函数的图象向左平移4个单位长度，平移后，点的对应点为点，若点，关于轴对称，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设，则，根据点，关于轴对称，得到，解答即可． 本题考查了一次函数的平移，轴对称，熟练掌握平移性质，对称特点是解题的关键． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵点，关于轴对称， ∴， 解得． 故． 故答案为：． 【变式3-3】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知是一次函数， (1)求的值； (2)若点均在该一次函数的图象上，试比较，的大小关系，并说明理由． (3)将点向下平移3个单位长度，得到点，恰好点在该一次函数图象上，求一次函数的图象与线段有交点时的取值范围． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据一次函数的定义，得1且，解答即可； （2）根据题意，得，根据一次函数的增减性，解答即可． （3）根据平移确定点代入，确定坐标，根据解析式解答即可． 本题考查了一次函数的定义，平移，一次函数的性质，熟练掌握性质和定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由于是一次函数， ∴且， ∴，且， 解得或且， 故． （2）解：根据题意，得， ， 故y随x的增大而减小， 又点均在该一次函数的图象上， 且， 故． （3）解：根据题意，得代入， 得， 解得， ∴，， 设与y轴的交点为E， ∵过定点，且与有交点， ∴，或， ∴或， ∵与有交点的范围是直线高于直线，低于直线 ∴． 【题型4 根据一次函数的性质求参数的值或取值范围】 【例4】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）已知直线和直线相交于点，且当时，总有成立，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，比较一次函数值的大小，解题关键是掌握根据两条直线的交点求不等式的解集的方法． 先将点的坐标代入，求出的值，再将点的坐标代入，求得，从而可得，再当时，得到不等式，求得不等式的解集即可． 【详解】解：把代入， 得， 解得， 把代入， 得， 即， ， 当时， ， 整理得， 不等式的解集为， ， 解得：． 故选：C． 【变式4-1】（2025·安徽合肥·三模）若一次函数的函数值随的增大而减小，则的值可以为（　　） A． B． C．2 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，对于一次函数，当时， 随的增大而增大；当时， 随的增大而减小，据此求解即可． 【详解】解∶∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴， ∴， 观察各选项，只有选项D符合题意， 故选∶D． 【变式4-2】（24-25八年级下·山东济宁·期末）若关于的一次函数的图象经过点和点，当时，，且与轴相交于正半轴，则整数的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 根据已知条件可知y随x的增大而增大，进而得到一次项系数大于零，列出关于m的不等式；再结合函数的图象与y轴相交于正半轴可知常数m大于零，通过解不等式求出m的取值范围，最后求得整数m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一次函数的图象经过点和点，， 当时，， ∴函数值y随x的增大而增大， ∴，解得： ， ∵函数的图象与y轴相交于正半轴， ∴， ∴m的取值范围是， ∵m的值为整数， ∴m的值为1． 故答案为：1． 【变式4-3】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）已知函数的最大值，且最小值，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握一次函数的性质是解题的关键．根据函数与不等式的关系求解． 【详解】解：∵一次函数中， ∴函数值y随x的增大而减小， ∵函数的最大值，且最小值， ∴当时，；当时，； 由题意得：，且， 解得：， 故答案为：． 【题型5 确定一次函数解析式】 【例5】（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）如图，函数的图像与x轴、y轴分别交于点A，B，若直线将分为面积比为的两部分，则直线的函数表达式为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】此题考查了一次函数和几何综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式．先求出，设点C的坐标为，则，根据直线将分为面积比为的两部分列出方程，求出或，得到点C的坐标，再用待定系数法求出直线的函数表达式即可． 【详解】解：当时，，解得， 当时，， ∴， ∴， 设点C的坐标为，则， ∵直线将分为面积比为的两部分， ∴或 ∴或 ∴或 解得或 当时，点C的坐标为, 设直线的函数表达式为，把，代入得到， 解得 ∴直线的函数表达式为， 当时，点C的坐标为， 同理可得，此时直线的函数表达式为， 综上可知，直线的函数表达式为或， 故选：C 【变式5-1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式及光的反射定律是解题的关键． 求出点关于轴的对应点的坐标，根据光的反射定律，点在所在的直线上，根据待定系数法求出所在的直线对应的函数关系式，将点的坐标代入该函数，从而求出的值即可． 【详解】解：设点关于轴的对应点为，则，根据光的反射定律，点在所在的直线上， 设所在的直线对应的函数关系式为、为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 所在的直线对应的函数关系式为， 将代入，得， 经整理，得． 故答案为：2． 【变式5-2】（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，直线和直线相交于点，分别与x轴相交于点B和点C，与y轴相交于点D和点E． (1)直接写出直线的函数解析式： ； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查一次函数，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将点代入直线求解即可． （2），求出C，D两点坐标计算即可． 【详解】（1）解：∵直线过点，代入得： ， ， ∴直线的函数解析式为． 故答案为：； （2）过点A作轴于点F， 把代入得，， ∴， ， 把代入得，， ∴， ， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式5-3】如图，直线，直线经过点，直线与直线交于点N． (1)求n的值； (2)若点N在x轴上，求k的值并在图中画出直线； (3)若点N总在点M的右侧，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2)；作图见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，由直线经过点，则，进而计算可以得解； （2）依据题意，由直线为，则当时，，则与轴必定交于，结合（1）可得直线为，又直线与直线交于点，且点在轴上，可得，进而可得，直线，故可作图得解； （3）依据题意，联立方程组，可得，进而，结合点总在点的右侧，，故，从而计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，∵直线经过点， ， ． （2）解：由题意，∵直线为， ∴当时，，则与轴必定交于． 结合（1）可得直线为， 当时，， 又 ∵直线与直线交于点，且点在轴上， ， ， ， 直线，作图如下． （3）解：由题意，联立方程组， ， ， ∵点总在点的右侧，， 或， 或． 【拔尖篇】 【题型6 根据情景确定函数图象】 【例6】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在一个透明的大圆柱形器皿底部放置一个透明的小圆柱形器皿，现先向小圆柱形器皿内匀速注水，注满后，再向大圆柱形器皿内以同样的速度注水，直到注满大圆柱形器皿，设注水时间为x，大、小圆柱形器皿中的水位高度差为y（），则下列图象适合y与x之间关系的是（　　） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数图象，先向小圆柱形器皿内匀速注水，y随x的增大而增大，且增加速度较快；注满后，再向大圆柱形器皿内以同样的速度注水，y随x的增大而减小；当大圆柱形器皿的水位高度与小圆柱形器皿的高度相同，即y减小至0后，y随x的增大而增大，且增加速度比第一段慢，据此解答即可． 【详解】解：分三段： 先向小圆柱形器皿内匀速注水，y随x的增大而增大； 注满后，再向大圆柱形器皿内以同样的速度注水；y随x的增大而减小， 当大圆柱形器皿的水位高度与小圆柱形器皿的高度相同时即y减小至0后，y随x的增大而增大且增加速度比第一段慢． 故选项B的图象符合题意． 故选：B． 【变式6-1】（2025·福建龙岩·一模）如图，在学习浮力的物理课上，老师将铁块挂在弹簧测力计下方，铁块的下端离水面一定高度，将弹簧测力计缓慢匀速下降，让铁块完全浸入水中（不考虑水的阻力），在铁块接触杯底前停止下降．则能反映弹簧测力计的读数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，根据题意，分三个阶段分析即可得出答案，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：在铁块接触水面前，， ∴此过程中弹簧测力计的读数不变， ∵， ∴从铁块慢慢浸入水面开始，浮力增大，拉力减小， 当铁块完全浸入水面后，浮力不变，拉力不变， ∴符合题意是选项， 故选：C． 【变式6-2】如图，一辆货车匀速通过一条隧道（隧道长大于货车长），从货车头刚进入隧道开始，货车在隧道内的长度与行驶的时间之间的关系用图象描述大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查长度和时间之间的图象描述，根据题意可知货车进入隧道的长度和时间的关系具体可描述为：货车前期进入、完全进入和驶离隧道三个阶段，第一阶段随时间的增加长度逐渐增加，第二间阶段随时间增加但是长度不变，第三阶段随时间的增加长度逐渐减小，由题意知货车匀速通过一条隧道，则增加或减小的长度随时间均匀变化． 【详解】解：当货车开始进入时c长度逐渐变长，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时长度达到最大，当货车开始出来时长度逐渐变小．另外是匀速运动，长度随时间的均匀变化而均匀变化，故图象呈直线型． 故选：C． 【变式6-3】（24-25八年级上·山东济南·期末）坎儿井是新疆吐鲁番盆地的一种特殊灌溉系统，主要是利用了连通器原理．如图是一个型连通器模型，甲水箱、乙水箱是两个等高的圆柱体，甲水箱的底面面积是乙水箱底面面积的2倍，连接管在两个水箱的中间处（体积忽略不计），现用水管往甲水箱中持续匀速注水，直到连通器中水恰好不溢出为止．设甲水箱中水面的高度为，注水时间为，则与的函数图象大致为（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，由连通器的原理可知，整个过程分为三个阶段：甲水面上升，乙水面上升，甲、乙水面一起上升，再根据甲、乙底面积的关系求出的关系即可得到结论． 【详解】解：由连通器的原理可知，整个过程分为三个阶段，第一阶段为甲水箱中的水面随着时间的推移逐渐上升，直至到达连通器的入口，第二阶段为甲水箱中的水面不上升，注入的水通过连通器流入乙中，使乙水箱中的水面上升，直至到达连通器的入口，第三阶段为甲、乙两个水箱中的水以相同的速度上升（上升速度比第一阶段慢）， 设单位时间内注水体积为，甲水箱的底面积为，则乙水箱的底面积为，则连通器的高度为， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有D选项中的函数图象符合题意， 故选：D． 【题型7 一次函数与三角形的面积综合】 【例7】（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是 ； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为 ． 【答案】 10 1或 【分析】本题考查一次函数解析式，三角形的面积，正确理解题意是解题的关键： （1）联立，求出，再求出，进而可求出面积； （2）求出，再得出的面积是，设，得出，即，求出或，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：联立， 解得：， 所以， 令，则0， 解得， 所以， 所以的面积是； （2）因为点在直线上， 所以， 所以， 因为的面积是面积的， 所以的面积是， 设， 因为， 所以 ． 因为，即， 则或， 当时，解得，所以； 当时，解得，所以． 当时， 得出， 解得； 当时， 得出， 解得； 所以的值为1或， 故答案为：10；1或． 【变式7-1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，直线上三点A，B，C的横坐标依次为，1，2，分别过点A、B，C作x轴与y轴的垂线，形成了阴影的三角形，则这三个三角形的面积之和为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质与三角形面积计算，分别求出阴影三角形的直角边是解决本题的关键． 分别求出点A、B、C的纵坐标，计算每个点向x轴和y轴作垂线形成的直角三角形的面积，再求和即可． 【详解】解：∵直线上三点A，B，C的横坐标依次为，1，2， 点A横坐标为，代入直线方程得纵坐标； 点B横坐标为1，代入得； 点C横坐标为2，代入得； 记直线与y轴的交点为，如图， 点A形成的三角形面积：； 点B形成的三角形面积：； 点C形成的三角形面积：， ∴这三个三角形的面积之和为3． 故选：B． 【变式7-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，七个边长为的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过点的一条直线将这七个正方形分成面积相等的两部分，则该直线对应的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的几何应用，过点作轴于，设直线与轴交于，由题意可得，，据此求出点的坐标，再利用待定系数法即可求解，求出点的坐标是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于，设直线与轴交于， 由题意可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设经过点的这条直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴该直线对应的函数表达式为， 故答案为：． 【变式7-3】（24-25八年级上·全国·期末）长方形的边OA在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为，点B在第一象限，将直线沿y轴向上平移个单位，若平移后的直线将长方形的面积分成的两部分，则m的值为 ． 【答案】2或5 【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的平移及一次函数的性质，分为当直线在的下方时及当直线在的上方时，两种情况进行分类讨论，根据一次函数平移的性质结合几何图形求解即可． 【详解】解：长方形的边在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为， ， ， 设将直线沿y轴向上平移个单位后与轴交于点D，与轴交于点E， 如图，当直线在的下方时， 平移后的直线将长方形的面积分成的两部分， ， 平移后的函数关系式为， 令，得，解得：， ， 令，得， ， ， ， （负值舍去）， 如图，当直线在的上方时，设直线交于点M，交于点N， 平移后的直线将长方形的面积分成的两部分， ， 平移后的函数关系式为， 令，得，解得：， ， ， 令，得， ， ， ， 或9（舍去）， 故答案为：2或5． 【题型8 一次函数与动点最值问题】 【例8】（24-25八年级上·陕西西安·期中）直线与相交于点，且两直线与轴围成的三角形面积为6，点是三角形内部（包括边上）的一点，则的最大值与最小值之差为（    ） A．3 B． C．3或 D．3或6 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，直线与坐标轴的交点坐标，熟练掌握求交点的坐标是解题的关键．分别求出直线，直线或与直线的交点，从而确定m的最大值与最小值，计算其差即可． 【详解】解：直线过点， 则，解得， ∴， 令，则， ∴直线与轴的交点为， 令，则， ∴直线与轴的交点为， 由题意得， 解得或， ∵直线过点， ∴或， ∴直线或， 若直线和直线时， 当时，，， ∴m的最大值为4，最小值为1， ∴m的最大值与最小值之差为； 若直线和直线时， 当时，，， ∴m的最大值为1，最小值为， ∴m的最大值与最小值之差为； 综上，m的最大值与最小值之差为3， 故选：A． 【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，，，连接、、，是轴上的一个动点，当取最大值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查关于轴对称的点的坐标特点，线段最值问题，一次函数与y轴交点，正确理解最值问题并作出点是解题的关键．作点关于轴的对称点，连接交轴于一点，即为点，此时值最大，设直线的解析式为，将，代入，利用待定系数法求出解析式即可得到答案． 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于一点，即为点，此时值最大， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， 故选：A． 【变式8-2】（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图①，已知动点P在长方形的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒1个单位长度．连接，记点P的运动时间为t（秒），的面积为S．图②是S关于t的函数图像，则线段的长为 ，a的值为 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象上点的坐标和图象的特点，利用长方形的性质可求出答案． 【详解】解：∵P在上时，的面积S随t的增大而增大， ∴根据点可以得到，， ∴，即， ∴， 当P在上时，S不变， ∴， ∵为长方形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3；． 【变式8-3】如图，已知点的坐标为，点的坐标为，点在直线上运动，当最小时，点的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据动点最值问题的“两点之间线段最短”模型，作直线交直线于点，此时最小，由待定系数法求出直线表达式，联立方程组求解即可得到点的坐标． 【详解】解：作直线交直线于点，此时最小，最小值为线段，如图所示：    设直线的表达式为， 将点 ，点 代入得到， 解得， 直线表达式为， 联立， 解得， 点的坐标为． 【点睛】本题考查根据动点最值问题求直线交点坐标，涉及待定系数法求函数解析式、两点之间线段最短、求直线交点等知识，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，联立方程组求交点坐标是解决问题的关键． 【题型9 一次函数的图象的应用】 【例9】五一期间小辉与小亮两家人在港澳旅游，某日两家人从香港口岸前往澳门口岸，当小辉一家乘坐穿梭巴士出发分钟后，小亮一家乘坐跨境出租车出发，两车在全程中均保持匀速行驶，跨境出租车比穿梭巴士早到分钟，过海关时间不考虑在内，两车距西人工岛的路程之和（千米）与小辉家出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，穿梭巴士出发 分钟到达澳门口岸．    【答案】 【分析】先根据已知图中路程中千米可知：两家没出发时，距西人工岛的路程之和为千米，即香港口岸距西人工岛的路程千米，千米，设穿梭巴士的速度为千米/分，跨境出租车的速度为千米/分，千米，分别根据时间相等列方程可解决问题． 【详解】解：如图1，    由题意得：， ， 设穿梭巴士的速度为千米/分，跨境出租车的速度为千米/分， 当时，两家同时到达西人工岛，则，解得：， 设千米，则， ， ∴，即， 解得：， ∴， ， ， ，， 检验：当时，无意义，故舍去；当时，左边，右边，左边右边， 故原方程的解是． ∴， ∴穿梭巴士的时间， 答：穿梭巴士出发分钟到达澳门口岸． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解分式方程，解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答，注意本题的轴表示两车距人工岛的路程和，容易被忽略，本题较难． 【变式9-1】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）小明元旦从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小明到达商店比妈妈返回商店早5分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为（分钟），图1表示两人之间的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象；图2中的线段表示小明和商店之间的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象的一部分． 请根据所给信息，解答下列问题： (1)妈妈骑车的速度是___________米/分钟，妈妈在家装载货物所用时间是___________分钟，点的坐标是___________ (2)请求出图2中线段表示的小明和商店的距离（米）与时间（分钟）之间的函数关系式，并指明自变量的取值范围；在图2中画出妈妈和商店的距离（米）与时间（分钟）之间的函数关系的图象． 【答案】(1)120；5； (2)；见解析 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，由图象获取正确的信息，利用待定系数法求一次函数解析式是解题关键． （1）先求出小明步行的速度，然后即可求出妈妈骑车的速度；先求出妈妈回家用的时间，然后根据小明到达商店比妈妈返回商店早5分钟， 即可求出装货时间；根据题意和图象可得妈妈在点时开始返回商店，然后即可求出的坐标； （2）待定系数法求得出的解析式；进而分①当时，②当时，③当时， 三段，求出妈妈和商店的距离（米）与时间（分钟）之间的函数解析式，根据解析式画图即可； 【详解】（1）由题图2知，小明步行的速度为（米/分钟）． 由题图1知，10分钟时，小明和妈妈相遇， 妈妈骑车的速度为（米/分钟）． 妈妈回家用时为（分钟）． 小明到达商店比妈妈返回商店早5分钟， 妈妈在35分钟时返回商店． 装货时间为（分钟）． 由题图1知，点表示妈妈装完货要从家返回商店时，小明和妈妈之间的距离． 点的横坐标为． 点的纵坐标为． 点的坐标为． 故答案为：120；5； （2）设与之间的函数关系式为． 将点，代入，得 解得， ①当时，； ②当时，； ③当时，设此段函数解析式为， 将点，代入得， 解得， 此段函数解析式为． （米）与时间（分钟）之间的函数关系的图象如下： 【变式9-2】（24-25七年级下·重庆·期中）周末，小文和小华相约一起去重庆动物园看大熊猫，小文家、小华家、动物园在同一直线上，且小华家在小文家和动物园之间，小文骑自行车出发8分钟后，小华从家出发步行去动物园，几分钟后两人相遇，同时小华发现自己忘了带手机，于是马上掉头原路原速返回家，拿到手机后立即乘出租车原路追赶小文（掉头和拿手机、等车的时间忽略不计），最终他们同时到达动物园．在运动过程中，小文、小华两人距离小华家的路程之和与小文出发的时间为之间的关系如图所示． (1)小文的速度是__________米／分钟；小华家到动物园的距离是_________米； (2)求小华步行和出租车的速度分别是多少米／分钟； (3)当小文、小华相距200米时，小华与动物园的距离为多少米？ 【答案】(1)150；2000 (2)小华步行的速度是，出租车的速度是 (3)当小文、小华相距200米时，小华与动物园的距离为或或 【分析】本题考查了一次函数的应用——行程问题．熟练掌握函数图象信息，一次函数性质，路程与速度和时间有关系，是解题的关键． （1）根据10分钟时小文到小华家可得小文的速度，根据两人到终点距小华家的路程和4000m，可得小华家到动物园的路程为2000m；（2）设小华步行的速度为，乘出租车的速度为，两人相遇的时间为t，则，小华出发到相遇行程为，小文从小华家到相遇行程为，得，解得，得，∵得小华回到家的步行时间为，，根据 ，得，根据小文家到动物园的路程为3500m，行驶时间为,得出租车行驶时间为，； （3）根据小文的速度为150，得行驶的解析式为，设小华行走的解析式为，当时，得，得，解得，得；当时，得，得，解得，得；当时，得，得，解得，得． 【详解】（1）解：∵时小文、小华两人到小华家的路程之和为， ∴小文、小华两人的家相距， ∵时，小华从家出发，到这段时间两人的距离减少， ∴两人向着小华家走的方向相反，小文的速度大于小华的速度， ∴时小文到达小华家， ∴小文的速度：（） ∵同时到动物园后两人到小华家的路程和为， ∴小华家到动物园的路程为（m）， 故答案为：150，2000； （2）解：设小华步行的速度为，乘出租车的速度为，两人相遇的时间为t， 则，如图， 小华时出发，到相遇行程为， 时小文到达小华家，到相遇的行程为， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵小华从家到相遇，再从相遇回到家步行时间相等， ∴，， 在小华回家这段时间内，小文距小华家的路程增加了，小华距离自己家的路程减小了， ∴， ∴， ∵小文家到动物园的路程为（m）， ∴小文行驶时间为, ∴出租车行驶时间为， ∴： 故小华步行的速度是，出租车的速度是： （3）∵小文的速度为150， ∴解析式为， 设小华行走的解析式为， 当时， 把代入， 得， 解得，， ∴， 当时， 得， ∴； 当时， 把代入， 得, 解得， ∴， 当时， 得， ∴； 当时， 把代入， 得， 解得， ∴， 当时， 得， ∴． 故当小文、小华相距200米时，小华与动物园的距离为或或． 【变式9-3】一队学生从学校出发去劳动基地，行进的路程与时间的函数图象如图所示，队伍走了0.8小时后，队伍中的通讯员按原路加快速度返回学校取材料．通讯员经过一段时间回到学校，取到材料后立即按返校时加快的速度追赶队伍，并比学生队伍早18分钟到达基地．如图，线段OD表示学生队伍距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，折线OABC表示通讯员距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，请你根据图象信息，解答下列问题：    (1)学校与劳动基地之间的距离为________千米； (2)________，B点的坐标是________． (3)若通讯员与学生队伍的距离不超过3千米时能用无线对讲机保持联系，请你直接写出通讯员离开队伍后他们能用对讲机保持联系的时间的取值范围． 【答案】(1)15 (2)2.7； (3)和 【分析】（1）根据函数图象求出学生队伍的速度，即可求出距离； （2）根据通讯员比学生队伍早18分钟到达基地建立等式求解； （3）先求出通讯员的函数解析式，然后求学生的函数解析式，然后进行分类讨论，分两种情况进行讨论即可解答． 【详解】（1）解：学生队伍的速度是（千米小时）， 所以（千米）， 故答案为：15； （2）解：由图（小时）， 由题意得，通讯员返回时的速度是（千米小时）， 所以点即； 故答案为：2.7；； （3）解：当时，设通讯员距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系为， 把代入可得， ； 当时，设通讯员距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式为， 把、两点代入得，， 解得，， ； 当时，设通讯员距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式为， 把、两点代入得，， 解得，， ； 综上，与的关系式为． 设的关系式为， 由题意得，， ①当时，， 解得，即； ②当时，，解得， 此时通讯员与学生队伍相遇，相遇点坐标为，即相遇后他们的距离小于3千米， ∵，解得，即； 综上：和． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是求出解析式，然后分类讨论求解． 【题型10 一次函数的实际应用】 【例10】为了落实“乡村振兴”政策，两城决定向两乡运送水泥建设美丽乡村，已知两城分别有水泥200吨和300吨，从城往两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从城往两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现乡需要水泥240吨，乡需要水泥260吨． (1)设从城运往乡的水泥吨．设总运费为元，写出与的函数关系式并求出最少总运费． (2)为了更好地支援乡村建设，城运往乡的运费每吨减少元，这时城运往乡的水泥多少吨时总运费最少？ 【答案】(1)，最少总运费为10040元； (2)城运往乡200吨，总运费最少． 【分析】（1）先求出x的取值范围，在求出y与x的函数解析式，最后根据一次函数的性质，求出最小值； （2）先列出城运往乡的运费每吨减少元时，总费w用关于x的函数关系式，再分类讨论，分别求出最小值． 【详解】（1）设从城运往乡肥料吨，则运往乡， 从城运往乡肥料吨，则运往乡吨， 设总运费为元，根据题意， 则：． ， 随的增大而增大， 当时，总运费最少，且最少的总运费为10040元． 答：与的函数关系式为， 最少总运费为10040元； （2）设减少运费后，总运费为元， 则： ， 分以下三种情况进行讨论： ①当时，， 此时随的增大而增大， 当时，；． ②当时，， 不管怎样调运，费用一样多，均为10040元； ③当时，， 此时随的增大而减小， 当时，； 综上可得： 当时，城运往乡0吨，总运费最少； 当时，无论从城运往乡多少吨肥料（不超过200吨），总运费都是10040元； 当时，城运往乡200吨，总运费最少． 【点睛】本题考差了一次函数解析式的求法，一次函数的性质，分类讨论思想是解题的关键． 【变式10-1】（24-25八年级下·新疆喀什·期末）我国是一个缺水国家，节约用水，是我们每一个公民的基本素养之一．为鼓励居民节约用水，某市对居民用水收费实行“阶梯价”，2022年起年具体收费标准如下表（阶梯价的含义：用水量不超过144，每立方米收费3.15元，用水量在144~240，前144按 3.15元/，144~240之间按4.05元/收费，以此类推）． 供水类型 阶梯分类 年用水量 （） 价格 （元/） 居民生活用水 第一阶梯 0~144（含） 3.15 第二阶梯 144~240（含） 4.05 第三阶梯 240以上 6.75 (1)设某户居民的年用水量为 ，请按阶梯分类求用水年费用（元）关于年用水量（）的函数解析式． (2)若小米家2024年全年用水量为120，则小米家应缴2024年水费多少元？ (3)若小乐家2024年缴水费814.05元，求小乐家2024年全年用水量． 【答案】(1) (2)小米家应缴2024年水费元 (3)小乐家2024年全年用水量为 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，列代数式以及有理数的混合运算，关键是根据图表中的数量关系，列出算式和方程． （1）分，及三种情况，利用含的代数式表示出这户居民的水费即可； （2）由于小米家2024年全年用水量为120，则按第一阶梯交费，根据总价=单价×数量列式计算即可； （3）先判断出小乐家2024年的用水量到达第二阶梯，再根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知， 当时，， 当时，， 当时，， ； （2）解：（元）， 小米家应缴2024年水费元； （3）解：设小乐家2024年全年用水量为， ，， ， ， 解得， 小乐家2024年全年用水量为 ． 【变式10-2】（2025·湖北襄阳·模拟预测）某风景区门票价格如图所示，百姓旅行社有甲、乙两个旅行团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人．设甲团队人数为x人，甲、乙两团队联合购票比分别购票可节约W元． (1)求W关于x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)如果甲、乙两团队联合购票比分别购票节约的钱不少于乙队单独购票所需钱数的一半，那么甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少元； (3)“五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作如下调整：人数不超过50人时，门票价格不变，人数超过50人但不超过100人时，每张门票降价a（）元；人数超过100人时，每张门票降价2a元．若甲、乙两个旅行团在“五一”小黄金周期间去游玩联合购票比分别购票最少可节约1500元，若这两个旅行团在“五一”小黄金周之后去游玩联合购票比分别购票最少可节约3000元，求a的值． 【答案】(1) (2)甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约1600元钱 (3)a的值为10 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用； （1）①当时，②当时，分别列出不等式，即可求解； （2）根据不等关系求出，结合一次函数的性质，即可求解； （3）根据不等关系求出，表示出，根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵甲团队人数为x人，乙团队人数不超过50人， ∴， 解得：． ①当时， ； ②当时， ； 综上所述，； （2）解：当时，根据题意得 解得， ∵当时，W随x的增大而减小， ∴当时，W取最大值， 最大值为：（元）， 当时，根据题意得 解得，这种情况不成立． 答：甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约1600元钱． （3）解：当时， 解得， 又， ． 当时， 解得，这种情况不成立． ． “五一”小黄金周之后： ， ， ∴W随x的增大而减小， ∴当时，W取最小值，最小值为： ， 解得， ∴a的值为10． 【变式10-3】（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）某商店销售A、B两种型号的打印机，销售3台A型和2台B型打印机的利润和为560元，销售1台A型和4台B型打印机的利润和为720元． (1)求每台A型和B型打印机的销售利润： (2)商店计划购进A、B两种型号的打印机共120台，其中A型打印机数量不少于B型打印机数量的一半，设购进A型打印机a台，这120台打印机的销售总利润为W元，求该商店购进A、B两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？ (3)在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将A型打印机的出厂价下调m元，但限定商店最多购进A型打印机50台，且A、B两种型号的打印机的销售价均不变，请写出商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案． 【答案】(1)每台A型和B型打印机的销售利润分别为80元和160元 (2)该商店购进A、B两种型号的打印机分别为40台和80台 (3)方案一：当时，A型打印机进货50台，B型打印机都进货70台；方案二：当时，A型打印机满足的整数即可；方案三：当时，A型打印机都进货40台，B型打印机都进货80台． 【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数a值的增大而确定W值的增减情况，同时注意自变量的取值范围． （1）设每台A型和B型打印机的销售利润分别为x元和y元，根据题意可列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可； （2）根据题意可列出W和a的一次函数关系，关于a的一元一次不等式，再结合一次函数的性质求解即可； （3）由题意可知A型打印机利润为元，B形打印机利润不变，则可列出W、a和m的关系式为，又可知．分类讨论：①当，②当和③当，结合一次函数的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：设每台A型和B型打印机的销售利润分别为x元和y元， 根据题意有：， 解得：， 答：每台A型和B型打印机的销售利润分别为80元和160元； （2）解：设购进A型打印机a台，则购进B型打印机台， 根据题意有：， ∴． ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W有最大值． 台． 答：该商店购进A、B两种型号的打印机分别为40台和80台； （3）解：由题意可知A型打印机利润为元，B形打印机利润不变， ∴． 分类讨论：①当，即时，W随a的增大而增大， ∴当时，W最大，此时B型打印机为台； ②当，即时，， ∴当a满足的整数时，W最大； ③当，即时，W随a的增大而减小， ∴当时，W最大，此时B型打印机为台． 综上所述，商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案为： 方案一：当时，A型打印机进货50台，B型打印机都进货70台； 方案二：当时，A型打印机满足的整数即可； 方案三：当时，A型打印机都进货40台，B型打印机都进货80台． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $