易错05 三角形（7大易错陷阱）（易错专练）（浙江专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

易错05 三角形 目录导航 第一部分 易错剖析 剖析易错盲区，规避重复失分 易错典例 避坑攻略 类题巩固 易错01忽略三角形三边关系 易错02混淆三角形高线、中线、角平分线、中垂线的画法与性质 易错03解决高线问题时忽略分类讨论 易错04三角形重心问题线段比例混淆 易错05混淆全等三角形的判定方法 易错06应用全等三角形性质时找错对应边、对应角 易错07等腰三角形问题忽略分类讨论 第二部分 易错闯关 闯关攻克易错，稳练答题能力 易●错●剖●析 易错01 忽略三角形三边关系 易错典例 【典例01】（2025·河北邯郸·二模）有三根长度分别为的木棒，已知为整数，若这三根木棒能围成三角形，则的值为_____． 【错因分析】概念应用不严谨，存在认知偏差，解题时只关注计算结果，忘记验证三边能否构成三角形，导致出现多解、错解，尤其在等腰三角形求边长、已知两边求第三边类题目中最易出错。 避坑攻略 【技巧点拨】 解题时先列出三边关系不等式，求出第三边范围后，将所有可能解代入不等式逐一检验，只有同时满足“两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”的解才有效，无有效解则题目无解。 【知识链接】 三角形三边关系为任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；可用于判断三条线段能否构成三角形，也可在已知两边时确定第三边的取值范围，是三角形存在的必备前提，所有涉及三角形边长计算的题目都需先满足该条件。 类题巩固 1．（2024·浙江丽水·期末）已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，则的周长为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．（2025·浙江衢州·一模）已知，的三边长度为4、和，的三边长度为6、、，则的周长是______． 3．（2025·浙江舟山·二模）已知，在中，，边上的中线把三角形的周长分为15和6两部分，求腰长． 易错02 混淆三角形高线、中线、角平分线、中垂线的画法与性质 易错典例 【典例02】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在中，，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧交于点F，作射线交边于点M，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【错因分析】概念混淆，对四种线段的定义、图形特征、几何语言记忆模糊，无法区分线段与直线、平分角与平分边长、垂直关系的应用场景，做题时张冠李戴。 避坑攻略 【技巧点拨】 按定义分类记忆，高线抓“垂直”、中线抓“中点+平分面积”、角平分线抓“平分内角”、中垂线抓“中点+垂直+等距”；做题时先标注线段特征，匹配对应性质，书写几何语言时严格对应概念，不混用条件。 【知识链接】 高线是顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段，作用是计算面积；中线是连接顶点与对边中点的线段，平分三角形面积，三条中线交点为重心；角平分线是内角平分线与对边相交，顶点与交点间的线段，平分内角；中垂线是过线段中点且垂直于线段的直线，线上点到线段两端距离相等。 类题巩固 1．（2025·浙江丽水·三模）在中，，，是边上的两点，且，下列四个推断中错误的是（   ） A．若是的高，则可能是的中线 B．若是的中线，则不可能是的高 C．若是的角平分线，则可能是的中线 D．若是的高，则不可能是的角平分线 2．（2025·浙江丽水·二模）如图，在的方格纸中，已知线段，请按要求画格点图形（顶点均在格点上）． (1)在图1中画一个以为其中一边中线的锐角三角形． (2)在图2中画一个以为其中一角平分线的直角三角形． 3．（2025·浙江丽水·期末）如图，为的中线，为的中线． (1)作图：在中作出边上的高，边上的高； (2)若的面积为40，，则中边上的高为多少？ 易错03 解决高线问题时忽略分类讨论 易错典例 【典例03】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知：中，，，的面积等于，则的长为______． 【错因分析】思维定式，默认高线都在三角形内部，缺乏分类讨论意识，未考虑钝角、直角三角形的高线位置差异，导致漏解或计算错误。 避坑攻略 【技巧点拨】 遇到高线相关题目，先按锐角、直角、钝角三角形三种情况分类画图，分别计算高线长度或对应线段长度，最后整合所有符合条件的解，不遗漏任何一种情况。 【知识链接】 三角形高线位置随三角形形状变化，锐角三角形三条高线都在内部，直角三角形两条高线与直角边重合，钝角三角形两条高线在外部，涉及高线长度、位置计算时，需结合三角形类型分析。 类题巩固 1．（2026·浙江丽水·模拟预测）如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，若使，点E运动秒数为 （    ） A．3或5 B．3或4 C．2或5 D．2或4 2．（2026·浙江舟山·模拟预测）已知是的高，，则的度数为___________． 3．（2024·浙江丽水·期末）中，边上的高与边所构成的，则________ 易错04 三角形重心问题线段比例混淆 易错典例 【典例04】（2025·浙江衢州·二模）如图，的中线交于点，连结，设的面积为的面积为的面积为，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【错因分析】比例记忆模糊，认知偏差，容易把重心到顶点与到对边中点的比例记反，分不清两段线段的长短关系，导致线段长度计算错误。 避坑攻略 【技巧点拨】 牢记“重心分中线，近顶点长、近中点短，比例2:1”，做题时先标注中线与重心位置，明确两段线段的对应关系，计算后用比例反向检验，确保结果符合2:1的规律。 【知识链接】 三角形重心是三条中线的交点，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，重心将每条中线分成2:1的两段，重心与顶点连线平分三角形面积。 类题巩固 1．（2024·浙江宁波·一模）如图，点O是的重心，若的面积是8，则阴影部分的面积和是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（2025·浙江丽水·一模）如图，在中，是的中点，点是的重心，，则___________． 3．（2025·浙江舟山·一模）如图，点O是的重心，若的面积为12，则阴影部分的面积是（    ）． A．2 B．3 C．4 D．6 易错05 混淆全等三角形的判定方法 易错典例 【典例05】（2026·陕西咸阳·二模）如图，平分，且，点在边上，且，连接，．求证：． 【错因分析】判定条件混淆，概念理解不透彻，分不清SAS与SSA、ASA与AAS的区别，随意组合边角条件，误用不存在的判定方法导致证明错误。 避坑攻略 【技巧点拨】 按条件类型选择判定，三边相等用SSS，两边及夹角用SAS，两角及夹边用ASA，两角及对边用AAS；证明时规范书写条件顺序，标注夹角、对边，不使用SSA、AAA判定，每一步都对应判定定理。 【知识链接】 全等三角形判定方法有SSS（边边边）、SAS（边角边，两边及其夹角）、ASA（角边角，两角及其夹边）、AAS（角角边，两角及其中一角对边），直角三角形还有HL（斜边直角边）；判定时需严格匹配条件，不存在SSA、AAA判定。 类题巩固 1．（2025·浙江衢州·期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．这种方法是通过判定得到，其中判定的依据是_____________． 2．（2025·浙江丽水·期中）对于题目“如图1，已知相交于，，，证明：．”小明的解答过程如图2．请指出小明证明过程中错误步骤的序号，并写出正确证明过程． 3．（2025·浙江舟山·期中）如图，在中，，是的角平分线，于，点在边上，连接，若． (1)求证：； (2)若，，求的长． 易错06 应用全等三角形性质时找错对应边、对应角 易错典例 【典例06】（2022·云南·模拟预测）在中，，，点是延长线上一点，过点作，连接，如果使与全等，则的度数是________． 【错因分析】审题不仔细，没有按字母顺序找对应关系，凭图形直观判断对应边、角，导致对应关系错误，性质应用出错。 避坑攻略 【技巧点拨】 严格按照全等符号的字母顺序确定对应顶点，再由对应顶点确定对应边和对应角；书写性质时，边、角的字母顺序与全等三角形字母顺序一致，写完后反向核对对应关系。 【知识链接】 全等三角形对应边相等、对应角相等，对应边上的高线、中线相等，对应角平分线相等，周长、面积均相等；对应关系由全等三角形的字母顺序确定，位置相同的字母为对应顶点。 类题巩固 1．（2024·浙江丽水·模拟预测）如图，在平行四边形中，点、分别在，上，且． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 2．（2025·浙江丽水·二模）如图，已知在中，、分别是、边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、． (1)求证：． (2)线段与有何关系？试证明你的结论． 3．（2024·浙江台州·二模）如图，点在线段上，，且，．连接，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 易错07 等腰三角形问题忽略分类讨论 易错典例 【典例07】（2025·江西吉安·二模）如图，在中，，，点P为边上一动点，连接，若与至少有一个为等腰三角形，且满足长为整数，则这样的点P个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【错因分析】思维单一，未考虑等腰三角形边、角的不确定性，默认某条边为腰、某个角为顶角，缺乏分类意识，导致漏解。 避坑攻略 【技巧点拨】 遇到等腰三角形边长、角度、线段问题，先分“已知边为腰/底边”“已知角为顶角/底角”两种情况讨论，计算后结合三边关系、三角形内角和检验，舍去不成立的解，保留所有有效解。 【知识链接】 等腰三角形有两条边相等（腰）、一条底边，两个底角相等；涉及腰、底边、顶角、底角、腰上中线、腰上高线、腰的垂直平分线等问题时，边和角的身份不固定，需分类讨论。 类题巩固 1．（2024·浙江丽水·期末）等腰的一边长为，另外两边的长恰好是方程的两个根，则的值为______． 2．（2025·浙江绍兴·三模）等腰，线段的垂直平分线交于点D，交直线于点E，若，则的度数是_____________ ． 3．（2024·浙江舟山·模拟预测）定义：连接三角形的一个顶点和其对边上一点，若所得线段能将该三角形分割成两个等腰三角形，则称该线段为原三角形的“双等线”．例如：任意直角三角形斜边上的中线就是一条过直角顶点的“双等线”．问题解决：已知中，，，如果中存在过锐角顶点的“双等线”，则的长为______． 易●错●闯●关 1．（2024·浙江嘉兴·期中）如图，将三角形纸片按下面方式折叠，则分别是的（   ） A．中线，高，角平分线 B．高，中线，角平分线 C．高，角平分线，中线 D．角平分线，中线，高 2．（2025·浙江丽水·期末）三角形两边长分别为3和6，第三边是方程的根，则三角形的周长为______． 3．（2026·浙江舟山·一模）已知在中，，是边上的高，若，则________． 4．（2025·浙江舟山·三模）在和中，，，，AM、DN分别为BC、EF边上的高，且，则的度数为________． 5．（2026·浙江绍兴·一模）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点．若四边形的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·浙江舟山·一模）如图，直线与轴、轴分别交于点，，在轴上作一点，使得 是以为腰作等腰三角形，则点的坐标为______． 7．（2025·浙江绍兴·期中）如图，点是的重心，，连接、并延长，分别交、于点D，E，连接，则的长为____________． 8．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，，．动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．当为等腰三角形时，t的值是____________． 9．（2025·浙江丽水·一模）如图，点是的边上的一点，按下列语句画图． (1)过点画边的垂线，交于点； (2)过点画的高； (3)线段______的长度是点到直线的距离． 10．（2025·浙江台州·三模）已知关于x的一元二次方程 (1)证明：此方程一定有两个实数根． (2)若一个等腰三角形的一边为5，另外两边的长是该方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 11．（2025·浙江丽水·期末）如图，平分，，是上一点，于点，于点，．求证：． 12．（2025·浙江绍兴·二模）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，E，F分别为，的中点，求证：． 13．（2025·浙江舟山·二模）如图，，都是等边三角形，与相交于点O，与相交于点P，与相交于点Q． (1)求证：； (2)求的度数． 14．（2025·浙江温州·期中）王强同学用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合． (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离； (3)求四边形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 易错05 三角形 目录导航 第一部分 易错剖析 剖析易错盲区，规避重复失分 易错典例 避坑攻略 类题巩固 易错01忽略三角形三边关系 易错02混淆三角形高线、中线、角平分线、中垂线的画法与性质 易错03解决高线问题时忽略分类讨论 易错04三角形重心问题线段比例混淆 易错05混淆全等三角形的判定方法 易错06应用全等三角形性质时找错对应边、对应角 易错07等腰三角形问题忽略分类讨论 第二部分 易错闯关 闯关攻克易错，稳练答题能力 易●错●剖●析 易错01 忽略三角形三边关系 易错典例 【典例01】（2025·河北邯郸·二模）有三根长度分别为的木棒，已知为整数，若这三根木棒能围成三角形，则的值为_____． 【答案】2 【详解】解：由三角形的三边关系可知，，即． ∵， ∴， ，且， ∴， ∴， 为整数， 的值为2， 故答案为：2． 【错因分析】概念应用不严谨，存在认知偏差，解题时只关注计算结果，忘记验证三边能否构成三角形，导致出现多解、错解，尤其在等腰三角形求边长、已知两边求第三边类题目中最易出错。 避坑攻略 【技巧点拨】 解题时先列出三边关系不等式，求出第三边范围后，将所有可能解代入不等式逐一检验，只有同时满足“两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”的解才有效，无有效解则题目无解。 【知识链接】 三角形三边关系为任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；可用于判断三条线段能否构成三角形，也可在已知两边时确定第三边的取值范围，是三角形存在的必备前提，所有涉及三角形边长计算的题目都需先满足该条件。 类题巩固 1．（2024·浙江丽水·期末）已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，则的周长为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵任何数的平方都是非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数为0， ∴，， 解得：，， 根据三角形三边关系，得：， 即， ∵是正整数 ∴ ∴的周长为：． 2．（2025·浙江衢州·一模）已知，的三边长度为4、和，的三边长度为6、、，则的周长是______． 【答案】18 【详解】解：∵，根据全等三角形的性质，对应边相等，分情况讨论如下： 情况1：列方程组 解得， 此时的三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意； 情况2：列方程组，由得，与矛盾，舍去； 情况3：列方程组， 由得，边长不能为，不符合题意，舍去； 情况4：列方程组， 由得，则，此时，这与矛盾，舍去， 故的周长为． 3．（2025·浙江舟山·二模）已知，在中，，边上的中线把三角形的周长分为15和6两部分，求腰长． 【答案】 10 【详解】解：如图所示， ∵是边上的中线， ∴． 当时，即， 解得； 当时，即， 解得，则， ∵， ∴不能组成三角形，不符合题意． 所以腰长为10． 易错02 混淆三角形高线、中线、角平分线、中垂线的画法与性质 易错典例 【典例02】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在中，，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧交于点F，作射线交边于点M，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，，， ∴， 根据题意可得平分， ∴， ∴． 【错因分析】概念混淆，对四种线段的定义、图形特征、几何语言记忆模糊，无法区分线段与直线、平分角与平分边长、垂直关系的应用场景，做题时张冠李戴。 避坑攻略 【技巧点拨】 按定义分类记忆，高线抓“垂直”、中线抓“中点+平分面积”、角平分线抓“平分内角”、中垂线抓“中点+垂直+等距”；做题时先标注线段特征，匹配对应性质，书写几何语言时严格对应概念，不混用条件。 【知识链接】 高线是顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段，作用是计算面积；中线是连接顶点与对边中点的线段，平分三角形面积，三条中线交点为重心；角平分线是内角平分线与对边相交，顶点与交点间的线段，平分内角；中垂线是过线段中点且垂直于线段的直线，线上点到线段两端距离相等。 类题巩固 1．（2025·浙江丽水·三模）在中，，，是边上的两点，且，下列四个推断中错误的是（   ） A．若是的高，则可能是的中线 B．若是的中线，则不可能是的高 C．若是的角平分线，则可能是的中线 D．若是的高，则不可能是的角平分线 【答案】D 【分析】 【详解】解：∵ ，， ∴A、若是的高，则可能是的中线，故本选项不符合题意； B、若是的中线，则不可能是的高，故本选项不符合题意； C、若是的角平分线，则可能是的中线，故本选项不符合题意； D、若是的高，则可能是的角平分线，故本选项符合题意； 故选：D 2．（2025·浙江丽水·二模）如图，在的方格纸中，已知线段，请按要求画格点图形（顶点均在格点上）． (1)在图1中画一个以为其中一边中线的锐角三角形． (2)在图2中画一个以为其中一角平分线的直角三角形． 【答案】(1)详见解析（答案不唯一） (2)详见解析（答案不唯一） 【分析】 【详解】（1）解：在点P左右两侧各找两个距离点P相等距离的在格点位置上的点，再分别连接点Q到两个格点，即为所求， 或 （答案不唯一） （2）解：以点Q所在的位置为直角顶点，左右两侧各构造两个相同的直角边分别为3和1的直角三角形，连接其对应顶点， （答案不唯一） 3．（2025·浙江丽水·期末）如图，为的中线，为的中线． (1)作图：在中作出边上的高，边上的高； (2)若的面积为40，，则中边上的高为多少？ 【答案】(1)见解析 (2)中边上的高为4 【分析】 【详解】（1）解：如图所示，EF、DG即为所求作； （2）解：∵为的中线，为的中线， ∴，， ∴， ∵的面积为40，， ∴， ∴， 即中边上的高为4． 易错03 解决高线问题时忽略分类讨论 易错典例 【典例03】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知：中，，，的面积等于，则的长为______． 【答案】2或 【详解】解：如图1所示，过点作，交直线于点. 根据三角形面积公式， 代入，，得： ， 解得. 在中，，，由勾股定理得： ， 分两种情况讨论： ①当垂足在线段上时： ， 在中，由勾股定理得： ； ②当垂足在的延长线上时： ， 在中，由勾股定理得： ． 【错因分析】思维定式，默认高线都在三角形内部，缺乏分类讨论意识，未考虑钝角、直角三角形的高线位置差异，导致漏解或计算错误。 避坑攻略 【技巧点拨】 遇到高线相关题目，先按锐角、直角、钝角三角形三种情况分类画图，分别计算高线长度或对应线段长度，最后整合所有符合条件的解，不遗漏任何一种情况。 【知识链接】 三角形高线位置随三角形形状变化，锐角三角形三条高线都在内部，直角三角形两条高线与直角边重合，钝角三角形两条高线在外部，涉及高线长度、位置计算时，需结合三角形类型分析。 类题巩固 1．（2026·浙江丽水·模拟预测）如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，若使，点E运动秒数为 （    ） A．3或5 B．3或4 C．2或5 D．2或4 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点E作的垂线交直线于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ①如图，当点E在射线上移动时，， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动了：； ②当点E在射线上移动时，， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动了：； 综上所述，当点E在直线上移动或时，； 故选：C． 【点睛】本题核心是通过角度关系证明，得到，再分点在延长线、延长线两种位置，结合线段长度与速度公式计算运动时间． 2．（2026·浙江舟山·模拟预测）已知是的高，，则的度数为___________． 【答案】或 【分析】 【详解】解：当高在内时， ∵， ∴； 当高在外时， ∵， ∴. 故答案为：或. 3．（2024·浙江丽水·期末）中，边上的高与边所构成的，则________ 【答案】或 【详解】解：分为两种情况： ①如图①，因为为边上的高， 所以． 因为， 所以． ②如图②，因为为边上的高， 所以． 因为， 所以， 所以． 综上所述，或． 故答案为：或． 易错04 三角形重心问题线段比例混淆 易错典例 【典例04】（2025·浙江衢州·二模）如图，的中线交于点，连结，设的面积为的面积为的面积为，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的中线交于点， ，点为的重心， ，， ，， ，即， ； 由中线性质可知，， 又， ， ， ， ； 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形中线性质，三角形中位线性质和判定，三角形重心性质，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 【错因分析】比例记忆模糊，认知偏差，容易把重心到顶点与到对边中点的比例记反，分不清两段线段的长短关系，导致线段长度计算错误。 避坑攻略 【技巧点拨】 牢记“重心分中线，近顶点长、近中点短，比例2:1”，做题时先标注中线与重心位置，明确两段线段的对应关系，计算后用比例反向检验，确保结果符合2:1的规律。 【知识链接】 三角形重心是三条中线的交点，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，重心将每条中线分成2:1的两段，重心与顶点连线平分三角形面积。 类题巩固 1．（2024·浙江宁波·一模）如图，点O是的重心，若的面积是8，则阴影部分的面积和是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】 【详解】解：∵点O是的重心， ∴、、是的中线，即点、、分别是、、的中点， ∴是的中线，是的中线，是的中线， ∴ ，，， ∵， ∴； 故选：B； 2．（2025·浙江丽水·一模）如图，在中，是的中点，点是的重心，，则___________． 【答案】 【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接， ∵是的中点，点是的重心， ∴是的中点 ∴ ∴ ∴， ∴； 故答案为：． 3．（2025·浙江舟山·一模）如图，点O是的重心，若的面积为12，则阴影部分的面积是（    ）． A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】解：∵是的重心， ∴是的中线，即点分别是的中点， ∴是的中线， ， ∵是的中点 ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ 故选：A． 易错05 混淆全等三角形的判定方法 易错典例 【典例05】（2026·陕西咸阳·二模）如图，平分，且，点在边上，且，连接，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：平分， ， 在和中， ， ， ． 【错因分析】判定条件混淆，概念理解不透彻，分不清SAS与SSA、ASA与AAS的区别，随意组合边角条件，误用不存在的判定方法导致证明错误。 避坑攻略 【技巧点拨】 按条件类型选择判定，三边相等用SSS，两边及夹角用SAS，两角及夹边用ASA，两角及对边用AAS；证明时规范书写条件顺序，标注夹角、对边，不使用SSA、AAA判定，每一步都对应判定定理。 【知识链接】 全等三角形判定方法有SSS（边边边）、SAS（边角边，两边及其夹角）、ASA（角边角，两角及其夹边）、AAS（角角边，两角及其中一角对边），直角三角形还有HL（斜边直角边）；判定时需严格匹配条件，不存在SSA、AAA判定。 类题巩固 1．（2025·浙江衢州·期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．这种方法是通过判定得到，其中判定的依据是_____________． 【答案】三边分别相等的两个三角形全等（或）． 【详解】解：由题意可知．因为角尺两边相同的刻度分别与点，重合， 所以． 在和中， 所以． 判定依据是三边分别相等的两个三角形全等． 2．（2025·浙江丽水·期中）对于题目“如图1，已知相交于，，，证明：．”小明的解答过程如图2．请指出小明证明过程中错误步骤的序号，并写出正确证明过程． 【答案】②，证明见解析 【详解】解：错误步骤的序号为②． 正确证明如下： 由正确步骤①知， 所以， 因为，． 所以， 在和中， 因为， 所以． 3．（2025·浙江舟山·期中）如图，在中，，是的角平分线，于，点在边上，连接，若． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∵，， ∴． 易错06 应用全等三角形性质时找错对应边、对应角 易错典例 【典例06】（2022·云南·模拟预测）在中，，，点是延长线上一点，过点作，连接，如果使与全等，则的度数是________． 【答案】或 【详解】解：由题意知，， ①当≌时，如图， 可得，， ∴， ， ∴； ②当≌时，如图， 可得，， ∴， ∴； 综上，的度数为或. 【错因分析】审题不仔细，没有按字母顺序找对应关系，凭图形直观判断对应边、角，导致对应关系错误，性质应用出错。 避坑攻略 【技巧点拨】 严格按照全等符号的字母顺序确定对应顶点，再由对应顶点确定对应边和对应角；书写性质时，边、角的字母顺序与全等三角形字母顺序一致，写完后反向核对对应关系。 【知识链接】 全等三角形对应边相等、对应角相等，对应边上的高线、中线相等，对应角平分线相等，周长、面积均相等；对应关系由全等三角形的字母顺序确定，位置相同的字母为对应顶点。 类题巩固 1．（2024·浙江丽水·模拟预测）如图，在平行四边形中，点、分别在，上，且． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】 【详解】（1）证明：， ∴，， 在和中， ； （2）解：在中，， ， 平分， ， ， ， ． 2．（2025·浙江丽水·二模）如图，已知在中，、分别是、边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、． (1)求证：． (2)线段与有何关系？试证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，，证明见解析 【分析】 【详解】（1）证明：∵在中，、分别是、边上的高， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，，证明如下： 由（1）可得， ∴，， ∵， ∴， ∴． 3．（2024·浙江台州·二模）如图，点在线段上，，且，．连接，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的定义及性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 易错07 等腰三角形问题忽略分类讨论 易错典例 【典例07】（2025·江西吉安·二模）如图，在中，，，点P为边上一动点，连接，若与至少有一个为等腰三角形，且满足长为整数，则这样的点P个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：根据题意求出可以取的整数值． 在 中，， ， ， 点为边上一个动点， ∴当时，最大，当时，最小． 过点作于点， 则， 解得：， ， 的长为整数， ∴或 6 或 7 ． ①当时，为等腰三角形． ②当时， 设点为中点，连接，如图（1）， 则，此时点与点重合， ∴与均为等腰三角形． ③当时，如图（2），过点作于点， 则． 设，则，， ， ， 解得：（负值已舍）， ∴，此时与均不是等腰三角形． 综上，符合条件的点的个数为2． 故选：C． 【错因分析】思维单一，未考虑等腰三角形边、角的不确定性，默认某条边为腰、某个角为顶角，缺乏分类意识，导致漏解。 避坑攻略 【技巧点拨】 遇到等腰三角形边长、角度、线段问题，先分“已知边为腰/底边”“已知角为顶角/底角”两种情况讨论，计算后结合三边关系、三角形内角和检验，舍去不成立的解，保留所有有效解。 【知识链接】 等腰三角形有两条边相等（腰）、一条底边，两个底角相等；涉及腰、底边、顶角、底角、腰上中线、腰上高线、腰的垂直平分线等问题时，边和角的身份不固定，需分类讨论。 类题巩固 1．（2024·浙江丽水·期末）等腰的一边长为，另外两边的长恰好是方程的两个根，则的值为______． 【答案】或 【详解】解：设方程的两根为和， ∵是等腰三角形， ∴或或， ①当或时， ∵为方程的根， ∴，解得， ∴原方程为， 解得或， 此时的三边长为，，，符合题意； ②当时， ∴， 解得， ∴原方程为， 解得， 此时的三边长为，，，符合题意； 综上所述，的值为或． 2．（2025·浙江绍兴·三模）等腰，线段的垂直平分线交于点D，交直线于点E，若，则的度数是_____________ ． 【答案】或 【详解】解：①当点在线段上时，如图1， 是的垂直平分线， ， 又， 在中，由三角形内角和定理得， ， 点在线段上， ； ②当点在的延长线上时，如图2， 是的垂直平分线， ， 又， 在中，由三角形内角和定理得， ， ； 综上所述，的度数为或． 3．（2024·浙江舟山·模拟预测）定义：连接三角形的一个顶点和其对边上一点，若所得线段能将该三角形分割成两个等腰三角形，则称该线段为原三角形的“双等线”．例如：任意直角三角形斜边上的中线就是一条过直角顶点的“双等线”．问题解决：已知中，，，如果中存在过锐角顶点的“双等线”，则的长为______． 【答案】或 【详解】解：分两种情况讨论： ①若“双等线”从顶点A出发，如图，是“双等线”， 则，是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∴． ②若“双等线”从顶点B出发，如图，是“双等线”， 则，是等腰三角形， 设， ∵是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 易●错●闯●关 1．（2024·浙江嘉兴·期中）如图，将三角形纸片按下面方式折叠，则分别是的（   ） A．中线，高，角平分线 B．高，中线，角平分线 C．高，角平分线，中线 D．角平分线，中线，高 【答案】B 【详解】解：第一幅图：由折叠的性质可知：，因为，所以，即，所以是的高线； 第二幅图：由折叠的性质可知：，所以是的中线； 第三幅图：由折叠的性质可知：，所以是的角平分线； 故选B． 2．（2025·浙江丽水·期末）三角形两边长分别为3和6，第三边是方程的根，则三角形的周长为______． 【答案】15 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 当时，，能构成三角形，周长为 ； 当时，，不能构成三角形， 则三角形的周长为． 3．（2026·浙江舟山·一模）已知在中，，是边上的高，若，则________． 【答案】或 【详解】解：∵是边上的高， ∴， 又∵， 当为锐角时，如图所示， ∴在中，， 即， 在中，， ∴， 当为钝角时，如图所示， ∴在中，， ∴即， 在中，， ∴. 故答案为：或. 4．（2025·浙江舟山·三模）在和中，，，，AM、DN分别为BC、EF边上的高，且，则的度数为________． 【答案】或 【详解】解：若都在对应三角形内部，如图1所示， ∵分别为边的高， ∴都为直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴； 若有一个在对应三角形外部，如图2所示， ∵分别为边的高， ∴都为直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 综上，的度数为或， 故答案为：或． 5．（2026·浙江绍兴·一模）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点．若四边形的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接． ∵点是的重心，点是边的中点， ∴在上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的面积为，则的面积为，的面积为， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， ∴的面积为， ∴的面积是． 故选：C． 6．（2025·浙江舟山·一模）如图，直线与轴、轴分别交于点，，在轴上作一点，使得 是以为腰作等腰三角形，则点的坐标为______． 【答案】或或 【详解】解：由直线可得，当时，；当时，； ∴，， ∴，， ∴， 如图，当时， ∴， ∴点； 如图，当或时， ∴点或； 综上可得，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 7．（2025·浙江绍兴·期中）如图，点是的重心，，连接、并延长，分别交、于点D，E，连接，则的长为____________． 【答案】4 【详解】解：∵点是的重心， ∴点为的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 8．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，，．动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．当为等腰三角形时，t的值是____________． 【答案】4或5或 【详解】解：在中，， ； ①当时，如图， ； ②当时，如图， ， 则； ③当时，如图， ，，， 在中，， 所以， 解得：， 综上所述：当为等腰三角形时，t的值是4或5或 ． 9．（2025·浙江丽水·一模）如图，点是的边上的一点，按下列语句画图． (1)过点画边的垂线，交于点； (2)过点画的高； (3)线段______的长度是点到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）解：下图直线即为所求， （2）解：下图线段即为所求， （3）解：线段的长度是点到直线的距离． 10．（2025·浙江台州·三模）已知关于x的一元二次方程 (1)证明：此方程一定有两个实数根． (2)若一个等腰三角形的一边为5，另外两边的长是该方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1) 见解析 (2) 12 【分析】 【详解】（1）证明：对于一元二次方程， ， 化简得， 因为，即， 因此，此方程一定有两个实数根． （2）解：由，得， 此方程的两根为，， 若，则，此等腰三角形的三边分别为，，不能构成三角形； 若，则，此等腰三角形的三边分别为，，能构成三角形，周长为； 若，则，此时，三角形边长为负数，不符合题意； 综上，这个等腰三角形的周长为12． 11．（2025·浙江丽水·期末）如图，平分，，是上一点，于点，于点，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 12．（2025·浙江绍兴·二模）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，E，F分别为，的中点，求证：． 【答案】见详解 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别为，的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．（2025·浙江舟山·二模）如图，，都是等边三角形，与相交于点O，与相交于点P，与相交于点Q． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， 即． 14．（2025·浙江温州·期中）王强同学用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合． (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)40cm (3) 【分析】 【详解】（1）证明：，，，， ， ，， ． 在和中， ； （2）解：由题意得：，． ， ，， ， 故两堵木墙之间的距离为． （3）解：依题意，四边形是梯形， ∴四边形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $