考点08 二项分布（专项训练）数学人教A版选择性必修第三册

考点08 二项分布 考点一：次独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． 特点： ①各次之间相互独立； ②每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生； ③每一次试验中各事件发生的概率都是一样的． 考点二：二项分布 ①定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率. 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 ②均值和方差： 题型一：二项分布的判断 【例1】下列例子中随机变量服从二项分布的个数为（    ） ①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数； ②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数； ③从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数； ④有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数 A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】（多选）（多选题）下列例子中随机变量X服从二项分布的有（    ） A．X表示重复拋掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数 B．某射手击中目标的概率为0.9，X表示从开始射击到击中目标所需次数 C．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，X表示n次抽取中出现次品的件数 D．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，X表示n次抽取中出现次品的件数 【变式1-1】在100件产品中有5件次品，采用放回的方式从中任意抽取10件，设表示这10件产品中的次品数，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法错误的有（    ） A．每次出现正面向上的概率为0.5 B．第一次出现正面向上的概率为0.5，第二次出现正面向上的概率为0.25 C．连续出现n次正面向上的概率为 D．连续出现n次正面向上的概率为 【变式1-3】下列例子中随机变量服从二项分布的有________． ①随机变量表示重复抛掷一枚骰子次中出现点数是3的倍数的次数； ②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数； ③有一批产品共有件，其中件为次品，采用有放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数； ④有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数． 题型二：求二项分布的概率 直接套用二项分布概率公式P(X=k)=Cₙᵏpᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ，先确定n、p、k的数值，准确计算组合数与幂次，分步计算避免运算错误。 【例3】如城镇小汽车的普及率为，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从如城镇中任意选出5个家庭，则下列结论不成立的是（   ） A．这5个家庭均有小汽车的概率为 B．这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为 C．这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车 D．这5个家庭中，四个家庭以上（含四个家庭）拥有小汽车的概率为 【例4】现有一枚质地均匀的骰子，6个面中有3个面的点数是1，有2个面的点数是2，还有1个面的点数是4．掷骰子次，且每次掷骰子相互独立． (1)记第一次朝上的点数为，求的分布列和数学期望； (2)记4次朝上的点数之积为，求． 【变式2-1】甲、乙两名乒乓球选手进行比赛，根据赛前两位选手胜负的统计数据，得在一局比赛中甲获胜的概率是，乙获胜的概率为，且各局比赛之间互不影响，若采用“五局三胜制”，则甲最终获胜的概率为______． 【变式2-2】在一次试验中，事件发生的概率为．若在次独立重复试验中，事件至少发生一次的概率不小于，则的最小值为___________． 【变式2-3】某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽那么称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，那么称该次实验是失败的. (1)第一小组做了三次实验，求至少两次实验成功的概率； (2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第四次成功之前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率. 题型三：二项分布的均值方差计算 牢记固定公式，均值E(X)=np，方差D(X)=np(1−p)，直接代入n和p快速求解，无需再用分布列计算，提升解题速度。 【例5】设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【例6】已知，，，则______． 【变式3-1】已知随机变量，则______ 【变式3-2】已知随机变量，则取最小值时，__________. 【变式3-3】（多选）某人在次射击中击中目标的次数为，且，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若确定，则当时，有最大值 C．若，，则当或时，取得最大值 D．若，，则 题型四：求实际问题中二项分布的均值 【例7】小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（   ） A．4天 B．8天 C．10天 D．16天 【例8】2026年2月，雅礼中学举办了“情系雅礼蓝”的活动，来自全国高校的雅礼校友回到母校开展线下宣讲，介绍各自大学的专业、录取政策、校园生活等.宣讲活动按时间顺序分为四场，每场均安排了10所不同的大学，各场的大学均不相同. (1)若甲、乙、丙三名同学均打算从第二场的10所大学中选择一所来了解，已知甲、乙所选的大学不同，则丙与甲、乙的选择均不同的概率是多少? (2)若甲、乙、丙三名同学均打算从四场宣讲中选择两场参加，设共有个人参加了第一场宣讲活动，求的分布列和数学期望. 【变式4-1】某班级举行抽奖活动，准备10张形状和质地完全相同的抽奖券，其中4张为一等奖券，6张为二等奖券，每次随机抽取1张.若不放回地连续抽取两次，在第二次抽到一等奖券的条件下，第一次抽到二等奖券的概率是__________；若每次都是有放回地抽取，连续抽取5次，抽到一等奖券记2分，抽到二等奖券记0分，以表示5次抽取的总得分，则的数学期望为__________. 【变式4-2】某景区上、下山各有步行和乘观览车两种方式．调查显示，游客选择步行和乘观览车上山的概率分别为，，步行上山的游客下山时继续选择步行的概率为，乘观览车上山的游客下山时继续选择乘观览车的概率为．假设游客之间选择上、下山的方式互不影响． (1)从该景区出口随机选取一名下山的游客，求该游客是步行下山的概率； (2)从该景区出口随机选取4名下山的游客，记X为这4人中步行下山的游客人数，求X的分布列及数学期望． 【变式4-3】某中学数学竞赛培训共开设有代数、平面几何、数论、组合四门课程，要求代数、平面几何都要合格，且数论和组合至少有一门合格才能取得参加数学竞赛的资格．现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同（见下表），且每一门课程是否合格相互独立． 课程 代数 平面几何 数论 组合 合格的概率 (1)若已知甲同学取得参加数学竞赛的资格，求甲同学四门课程都合格的概率； (2)记X表示三位同学中取得参加数学竞赛的资格的人数，求X的分布列及期望． 题型五：求实际问题中二项分布的方差 【例9】某公司研发的图像识别模型用于检测工业零件是否为次品，此模型正确识别次品的概率为0.9，将正品误判为次品的概率为0.025，每次检测相互独立．现有一大批零件，其中次品零件占20%，正品零件占80%． (1)求某个零件经过该模型检测后被判断为次品的概率； (2)若用该模型检测10个零件，记被判断为次品的零件数量为，求的均值和方差． 【例10】袋子里有除颜色外完全相同的个小球，其中个白球，个黑球，个红球. (1)若不放回的抽取个小球，求既抽到白球也抽到黑球的概率； (2)若有放回的抽取次小球，每抽到一次红球得分，抽到白球或黑球不得分.求积分的分布列，以及的期望和方差. 【变式5-1】近年来，中国机器人科技水平在政策支持、技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升，尤其在工业机器人、服务机器人及特种机器人领域表现突出.国内某科技公司致力于服务机器人的发展与创新，近期公司生产了甲、乙、丙三款不同的智能送餐机器人，并对这三款机器人的送餐成功率进行了测试，获得数据如下表： 甲款机器人 乙款机器人 丙款机器人 测试次数 50 100 100 成功次数 10 50 80 假设每款机器人的测试结果相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲款机器人单次送餐成功的概率； (2)若让这三款机器人分别执行1次送餐任务，设成功的总次数为X，估计X的数学期望； (3)若让这三款机器人分别执行10次送餐任务，设成功的次数分别为 ，直接写出方差 的大小关系. 【变式5-2】某电影播放后，为了解观众的满意度，某影院随机调查了12名观看此影片的观众，并用“10分制”对该电影进行评分，分数越高表明观众的满意度越高，若分数不低于9分，则称该观众为满意观众.下面记录了他们对该电影的评分： 9.2  9.3  7.6  8.9  9.1  9.2 9.2  7.5  9.3  8.8  9.2  9.1 (1)求从这12人中随机选取2人，至少有1人为满意观众的概率； (2)以本次抽样的频率作为概率，从观看此影片的观众中任选3人，记表示抽到满意观众的人数，求的分布列和方差. 【变式5-3】为庆祝新中国成立75周年，国庆长假期间，某小型景区对游客开展抽奖免门票活动．活动规则如下：盒子里有5个一模一样的小球，只有一个小球上写着免门票．游客从盒子里摸出一个小球，若该小球上写有免门票，则景区免掉该游客的门票．然后游客把球放回盒子，等待下一位游客抽奖．小王家一共有4口人来到该景区旅游，记这4人中免门票的人数为，求随机变量的分布列、数学期望和方差． 题型六：服从二项分布的概率最值问题 利用相邻两项概率的比值判断单调性，找到由增变减的分界点k，即可确定概率最大时对应的k值。 【例11】为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“deepseek”的学生人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【例12】某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. (1)求中奖次数X的分布列和数学期望； (2)求第二次中奖的概率； (3)已知有位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 【变式6-1】已知一篮球爱好者每次投篮投进的概率均为，若该篮球爱好者进行投篮训练20次，则该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为（   ） A．12或13 B．13 C．13或14 D．14 【变式6-2】（多选）某同学有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现点的概率为，他掷了次骰子，最终有次出现点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子．设随机变量表示每掷次骰子出现点的次数，现以使最大的值估计的取值并计算．若有多个使最大，则取其中的最小值．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】某游戏规则如下：参与者一开始在坐标原点处，通过掷一枚质地均匀的骰子决定如何移动，每掷一次骰子，参与者移动一次，一次移动一个单位长度，若得到的点数不大于2，则向右移动一次，并得2分；若点数大于2，则向上移动一次，并得1分．将每次得分的结果相加作为最终得分．已知甲同学参与了游戏，其移动n次后到达点，且最终得分为． (1)求的概率分布列； (2)若，游戏结束时甲同学到达哪个点的概率最大？ (3)求的数学期望和方差． 一、单选题 1．抛掷一枚质地均匀、六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体骰子，当出现6点时，就说这次试验成功，每次试验的结果相互独立，则在30次试验中成功次数的均值和方差分别为（    ） A．5， B．5， C．10， D．10， 2．若随机变量，则（    ） A． B． C． D． 3．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列，如果为数列的前项和，那么的概率为（   ） A． B． C． D． 4．一家制造厂有条生产线，每条生产线每天生产一件产品，每个产品是“良品”的概率为，否则为“次品”，每条生产线的生产过程相互独立．每天生产结束后对所有产品进行检测，“良品”被误检测为“次品”的概率（即漏检率）为，“次品”被误检测为“良品”的概率（即误接受率）为．被检测为“良品”的产品出货，否则报废．则该制造厂每天出货的产品件数平均为（   ） A． B． C． D． 5．把24粒种子分别种在8个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若1个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若1个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种.假定每个坑至多补种1次，每补种一个坑需10元，用X表示补种费用，则X的数学期望为（    ） A．10元 B．20元 C．40元 D．80元 6．某篮球队参加一项国际邀请赛，比赛分为两个阶段．小组赛阶段：进行3场小组赛，至少赢得2场才能晋级排名赛，否则淘汰．若晋级，进入排名赛阶段：进行3场比赛，每赢一场可额外获得奖金．已知该篮球队小组赛阶段每场获胜的概率均为0.8，若能晋级，排名赛阶段每场比赛获胜的概率均是0.6．该球队参加小组赛能获得出场费50万元，排名赛每赢一场比赛，获得100万元奖金．设该球队参加这项赛事获得的总奖金为随机变量X（单位：万元），则随机变量X的数学期望是（   ） A．166.48 B．211.28 C．216.48 D．230 二、多选题 7．若随机变量，随机变量服从两点分布，且，已知与相互独立，则（   ） A．恒小于 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 8．某同学参加某高校面试时需要回答A、B、C三道题，他答对每道题的概率均为，且相互独立，每一道题若答对，则得2分，若答错，则扣1分；开始时他的得分为0分，记随机变量为他答完第一道题时的得分，为他答完所有题时的得分，用、分别表示随机变量的期望和方差.则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．掷一枚不均匀的硬币次，若恰有次正面与恰有次正面的概率相等且不为零，则恰好出现次正面的概率为_____． 10．某罐中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球，若不放回地连续摸两次球，则在第二次摸到红球的情况下，第一次也摸到红球的概率是______；若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸到红球记1分，摸到绿球记0分，设四次摸球总得分为X，则X的数学期望______. 11．设随机变量，其中且，若，，则________________. 四、解答题 12．抛掷一枚质地均匀的硬币4次，设正面朝上的次数为． (1)求的分布列、数学期望与方差； (2)求的值． 13．一个口袋中有3个红球，4个白球，这7个小球除颜色外均相同． (1)从中不放回地摸球，每次摸2个球，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，求摸2次恰好第2次中奖的概率； (2)每次同时摸2个球，并放回，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，连续摸4次，求中奖次数的数学期望． 14．甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次数为；乙用这枚硬币掷2次，记正面朝上的次数为. (1)求的期望和方差； (2)规定：若，则甲获胜，否则乙获胜，求出甲获胜的概率. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点08 二项分布 考点一：次独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． 特点： ①各次之间相互独立； ②每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生； ③每一次试验中各事件发生的概率都是一样的． 考点二：二项分布 ①定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率. 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 ②均值和方差： 题型一：二项分布的判断 【例1】下列例子中随机变量服从二项分布的个数为（    ） ①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数； ②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数； ③从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数； ④有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】①满足独立重复试验的条件，是二项分布； ②的取值是1，2，3…，，（），显然不符合二项分布的定义，因此不服从二项分布； ③虽然是有放回地摸球，但随机变量的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义； ④次试验是不独立的，因此不服从二项分布． 所以只有1个服从二项分布. 故选：B． 【例2】（多选）（多选题）下列例子中随机变量X服从二项分布的有（    ） A．X表示重复拋掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数 B．某射手击中目标的概率为0.9，X表示从开始射击到击中目标所需次数 C．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，X表示n次抽取中出现次品的件数 D．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，X表示n次抽取中出现次品的件数 【答案】AC 【详解】对于A，设事件E为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”， 则，则在n重伯努利试验中事件E恰好发生了次的概率， 符合二项分布的定义，即有． 对于B，X的取值是1，2，3，…，n，，显然不符合二项分布的定义， 因此X不服从二项分布． 选项C与D的区别是：C是“有放回”抽取，而D是“无放回”抽取，显然D中n次试验是不独立的， 因此X不服从二项分布，对于C，X显然服从二项分布，且． 故选：AC. 【变式1-1】在100件产品中有5件次品，采用放回的方式从中任意抽取10件，设表示这10件产品中的次品数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】有放回抽取，每次取到次品的概率都是， 相当于次独立重复的伯努利实验， 所以服从二项分布. 故选：B 【变式1-2】（多选）随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法错误的有（    ） A．每次出现正面向上的概率为0.5 B．第一次出现正面向上的概率为0.5，第二次出现正面向上的概率为0.25 C．连续出现n次正面向上的概率为 D．连续出现n次正面向上的概率为 【答案】BCD 【详解】由题意，随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次， 对于A中，每次出现正面向上的概率均为，所以A正确； 对于B中，因为抛掷一枚质地均匀的硬币，每次都是相互独立的，所以第一次出现正面向上的概率为，第二次出现正面向上的概率也为，所以B错误； 对于C中，由独立重复试验的概率计算公式，在10次抛掷中，可得出现次正面向上的概率为：，但不一定这次是连续的，所以C错误； 对于D中，例如：在10次的抛掷试验中，恰好连续出现9次正面向上时，共有2种情况，所以概率为，所以D不正确. 故选：BCD. 【变式1-3】下列例子中随机变量服从二项分布的有________． ①随机变量表示重复抛掷一枚骰子次中出现点数是3的倍数的次数； ②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数； ③有一批产品共有件，其中件为次品，采用有放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数； ④有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数． 【答案】①③ 【详解】对于①，设事件为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，则，而在次独立重复试验中事件恰好发生了次的概率，符合二项分布的定义． 对于②，的取值是， ，显然不符合二项分布的定义，因此不服从二项分布． ③和④的区别：③是“有放回”抽取，而④是“无放回”抽取，显然④中次试验是不独立的，因此不服从二项分布，对于③有服从二项分布， 故答案为：①③ 题型二：求二项分布的概率 直接套用二项分布概率公式P(X=k)=Cₙᵏpᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ，先确定n、p、k的数值，准确计算组合数与幂次，分步计算避免运算错误。 【例3】如城镇小汽车的普及率为，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从如城镇中任意选出5个家庭，则下列结论不成立的是（   ） A．这5个家庭均有小汽车的概率为 B．这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为 C．这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车 D．这5个家庭中，四个家庭以上（含四个家庭）拥有小汽车的概率为 【答案】B 【详解】由题得小汽车的普及率为， 对于A：这5个家庭均有小汽车的概率为，所以该命题是真命题，故A正确； 对于B：这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为， 所以该命题是假命题，故B错误； 对于C：这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车，是真命题，故C正确； 对于D：这5个家庭中，四个家庭以上（含四个家庭）拥有小汽车的概率为， 所以该命题是真命题，故D正确． 故选：B. 【例4】现有一枚质地均匀的骰子，6个面中有3个面的点数是1，有2个面的点数是2，还有1个面的点数是4．掷骰子次，且每次掷骰子相互独立． (1)记第一次朝上的点数为，求的分布列和数学期望； (2)记4次朝上的点数之积为，求． 【答案】(1) 1 2 4 ； (2) 【详解】（1）依题意，的可能取值为，， 所以的分布列为 1 2 4 数学期望. （2）依题意，的事件是以下3个互斥事件的和，4次正面朝上的点数都是2的事件； 4次正面朝上的点数中1次为1，2次为2，1次为4的事件； 4次正面朝上的点数中2次为1，2次为4的事件， ， 所以 【变式2-1】甲、乙两名乒乓球选手进行比赛，根据赛前两位选手胜负的统计数据，得在一局比赛中甲获胜的概率是，乙获胜的概率为，且各局比赛之间互不影响，若采用“五局三胜制”，则甲最终获胜的概率为______． 【答案】 【详解】甲以3：0获胜的概率为， 以3：1获胜的概率为， 以3：2获胜的概率为， 所以甲获胜的概率为. 【变式2-2】在一次试验中，事件发生的概率为．若在次独立重复试验中，事件至少发生一次的概率不小于，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】由题意可得， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以的最小值为. 【变式2-3】某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽那么称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，那么称该次实验是失败的. (1)第一小组做了三次实验，求至少两次实验成功的概率； (2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第四次成功之前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）由题设，随机变量服从，则，， 所以至少两次实验成功的概率； （2）由题意可知，第二小组第7次成功，前面6次有3次失败，则概率为， 若前6次实验，3次失败中2次连续失败，另一次不与上述2次相邻， 相当于先将成功的3次排成一列，所成列中有4个空， 再把连续的2次失败和与之不相邻的1次失败作为2个不同元素插入其中2个空中， 所以有种可能， 所以所求概率为. 题型三：二项分布的均值方差计算 牢记固定公式，均值E(X)=np，方差D(X)=np(1−p)，直接代入n和p快速求解，无需再用分布列计算，提升解题速度。 【例5】设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为随机变量，所以， 解得，所以， 所以. 【例6】已知，，，则______． 【答案】 【详解】，故，所以, 故. 【变式3-1】已知随机变量，则______ 【答案】1 【详解】因为，所以，， 所以，， 所以. 【变式3-2】已知随机变量，则取最小值时，__________. 【答案】12 【详解】由，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 此时， 所以， 故答案为:12. 【变式3-3】（多选）某人在次射击中击中目标的次数为，且，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若确定，则当时，有最大值 C．若，，则当或时，取得最大值 D．若，，则 【答案】BCD 【详解】对于A，在5次射击中击中目标的次数， 则，故A错误； 对于B，， 当时，取得最大值，故B正确； 对于C，在9次射击中击中目标的次数， 当时对应的概率， 因为取最大值， ∴， 即，即， 解得， 因为且，所以或，取得最大值，故C正确； 对于D，在5次射击中击中目标的次数， ，故D正确. 故选：BCD. 题型四：求实际问题中二项分布的均值 【例7】小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（   ） A．4天 B．8天 C．10天 D．16天 【答案】A 【详解】记为事件“小明戴帽子”，记为事件“小明戴墨镜”， ，， ， 所以，，（天）. 【例8】2026年2月，雅礼中学举办了“情系雅礼蓝”的活动，来自全国高校的雅礼校友回到母校开展线下宣讲，介绍各自大学的专业、录取政策、校园生活等.宣讲活动按时间顺序分为四场，每场均安排了10所不同的大学，各场的大学均不相同. (1)若甲、乙、丙三名同学均打算从第二场的10所大学中选择一所来了解，已知甲、乙所选的大学不同，则丙与甲、乙的选择均不同的概率是多少? (2)若甲、乙、丙三名同学均打算从四场宣讲中选择两场参加，设共有个人参加了第一场宣讲活动，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【分析】 【详解】（1）由题意得甲、乙所选的大学不同，丙有10种选择， 当丙与甲、乙的选择均不同，丙有8种选择， 所以已知甲、乙所选的大学不同，则丙与甲、乙的选择均不同的概率为； （2）由题意得选择第一场的概率为，所以， 所以， ， 所以的分布列为： 所以. 【变式4-1】某班级举行抽奖活动，准备10张形状和质地完全相同的抽奖券，其中4张为一等奖券，6张为二等奖券，每次随机抽取1张.若不放回地连续抽取两次，在第二次抽到一等奖券的条件下，第一次抽到二等奖券的概率是__________；若每次都是有放回地抽取，连续抽取5次，抽到一等奖券记2分，抽到二等奖券记0分，以表示5次抽取的总得分，则的数学期望为__________. 【答案】 4 【详解】设事件表示：“第二次抽到一等奖券”，事件表示：“第一次抽到二等奖券”， 则； 设表示5次抽取中抽到一等奖券的次数， 每次抽到一等奖券的概率，则由题意可得， 故，又，则. 【变式4-2】某景区上、下山各有步行和乘观览车两种方式．调查显示，游客选择步行和乘观览车上山的概率分别为，，步行上山的游客下山时继续选择步行的概率为，乘观览车上山的游客下山时继续选择乘观览车的概率为．假设游客之间选择上、下山的方式互不影响． (1)从该景区出口随机选取一名下山的游客，求该游客是步行下山的概率； (2)从该景区出口随机选取4名下山的游客，记X为这4人中步行下山的游客人数，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】 【详解】（1）设事件A为“游客步行上山”，事件B为“游客乘观览车上山”，事件C为“游客步行下山”， 由题意可知，，，， 由全概率公式， 即该游客是步行下山的概率为． （2）由（1）可知每位游客步行下山的概率均为，故这4人中步行下山的游客人数， 故， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P X的数学期望． 【变式4-3】某中学数学竞赛培训共开设有代数、平面几何、数论、组合四门课程，要求代数、平面几何都要合格，且数论和组合至少有一门合格才能取得参加数学竞赛的资格．现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同（见下表），且每一门课程是否合格相互独立． 课程 代数 平面几何 数论 组合 合格的概率 (1)若已知甲同学取得参加数学竞赛的资格，求甲同学四门课程都合格的概率； (2)记X表示三位同学中取得参加数学竞赛的资格的人数，求X的分布列及期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 【详解】（1）分别记甲对这四门课程考试合格为事件，，，，则事件，，，相互独立． 记“甲同学取得参加数学竞赛的资格”为事件，则 ， 记“甲同学四门课程都合格”为事件，故所求概率为． （2）由题意知，的所有可能取值为，，，，． 所以的分布列为 0 1 2 3 故．（或） 题型五：求实际问题中二项分布的方差 【例9】某公司研发的图像识别模型用于检测工业零件是否为次品，此模型正确识别次品的概率为0.9，将正品误判为次品的概率为0.025，每次检测相互独立．现有一大批零件，其中次品零件占20%，正品零件占80%． (1)求某个零件经过该模型检测后被判断为次品的概率； (2)若用该模型检测10个零件，记被判断为次品的零件数量为，求的均值和方差． 【答案】(1) (2)， 【分析】 【详解】（1）设事件 A为 “零件是次品”，事件 B 为 “零件被判断为次品”， 由题意：，，； 根据全概率公式； 所以某个零件经过该模型检测后被判断为次品的概率为. （2）由题意，检测 10 个零件，每次判断相互独立，且每次被判断为次品的概率为 ， 因此X服从二项分布. 所以均值，方差. 【例10】袋子里有除颜色外完全相同的个小球，其中个白球，个黑球，个红球. (1)若不放回的抽取个小球，求既抽到白球也抽到黑球的概率； (2)若有放回的抽取次小球，每抽到一次红球得分，抽到白球或黑球不得分.求积分的分布列，以及的期望和方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析；； 【分析】 【详解】（1）既抽到白球也抽到黑球的概率； （2）记抽到红球的次数为， ， 由题知，，， 的分布列为                                         ， . 【变式5-1】近年来，中国机器人科技水平在政策支持、技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升，尤其在工业机器人、服务机器人及特种机器人领域表现突出.国内某科技公司致力于服务机器人的发展与创新，近期公司生产了甲、乙、丙三款不同的智能送餐机器人，并对这三款机器人的送餐成功率进行了测试，获得数据如下表： 甲款机器人 乙款机器人 丙款机器人 测试次数 50 100 100 成功次数 10 50 80 假设每款机器人的测试结果相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲款机器人单次送餐成功的概率； (2)若让这三款机器人分别执行1次送餐任务，设成功的总次数为X，估计X的数学期望； (3)若让这三款机器人分别执行10次送餐任务，设成功的次数分别为 ，直接写出方差 的大小关系. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）设甲款机器人单次送餐成功的概率为，则； （2）设乙款机器人单次送餐成功的概率为，设丙款机器人单次送餐成功的概率为， 所以， 的可能取值为， 所以， ， ， ， 所以； （3）由题意有， 所以， 所以. 【变式5-2】某电影播放后，为了解观众的满意度，某影院随机调查了12名观看此影片的观众，并用“10分制”对该电影进行评分，分数越高表明观众的满意度越高，若分数不低于9分，则称该观众为满意观众.下面记录了他们对该电影的评分： 9.2  9.3  7.6  8.9  9.1  9.2 9.2  7.5  9.3  8.8  9.2  9.1 (1)求从这12人中随机选取2人，至少有1人为满意观众的概率； (2)以本次抽样的频率作为概率，从观看此影片的观众中任选3人，记表示抽到满意观众的人数，求的分布列和方差. 【答案】(1). (2)分布列见解析， 【分析】 【详解】（1）设“所选取的2人中至少有1人为满意观众”为事件，则事件为“所选取的2人中没有满意观众”， ， 即所选取的2人中至少有1人为满意观众的概率为. （2）抽样中满意观众的频率为，即从观看此影片的观众中抽到满意观众的概率为. 由题意知，的所有可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 的分布列为 0 1 2 3 易知，故. 【变式5-3】为庆祝新中国成立75周年，国庆长假期间，某小型景区对游客开展抽奖免门票活动．活动规则如下：盒子里有5个一模一样的小球，只有一个小球上写着免门票．游客从盒子里摸出一个小球，若该小球上写有免门票，则景区免掉该游客的门票．然后游客把球放回盒子，等待下一位游客抽奖．小王家一共有4口人来到该景区旅游，记这4人中免门票的人数为，求随机变量的分布列、数学期望和方差． 【答案】分布列见解析， 【详解】的取值可能为0，1，2，3，4，由， 有，， ，， ， 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 有． 题型六：服从二项分布的概率最值问题 利用相邻两项概率的比值判断单调性，找到由增变减的分界点k，即可确定概率最大时对应的k值。 【例11】为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“deepseek”的学生人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，， 又抽取男生30名和女生20名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令， 解得， 因为，所以当时，取得最大值. 【例12】某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. (1)求中奖次数X的分布列和数学期望； (2)求第二次中奖的概率； (3)已知有位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 【答案】(1)的分布列为 0 1 2 . (2) (3)中奖2次的人数为时的概率最大. 【分析】 【详解】（1）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖， 则中奖次数的可能取值为， 则， ， ， 则的分布列为 0 1 2 所以的期望为. （2）设为“第二次中奖”， 则. （3）设位顾客中中奖2次的人数为，由（1）的分布列可得， 故，其中， 令， 所以， 化简得，故， 故中奖2次的人数为的概率最大. 【变式6-1】已知一篮球爱好者每次投篮投进的概率均为，若该篮球爱好者进行投篮训练20次，则该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为（   ） A．12或13 B．13 C．13或14 D．14 【答案】C 【详解】设投进次数为，则， 故，， 由，， 则，， 解得， 又，故或14， 该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为13或14 【变式6-2】（多选）某同学有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现点的概率为，他掷了次骰子，最终有次出现点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子．设随机变量表示每掷次骰子出现点的次数，现以使最大的值估计的取值并计算．若有多个使最大，则取其中的最小值．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A选项，由题意可知，每次掷出后出现点的概率为， 由二项分布的定义可知，A对； 对于B选项，由独立重复试验的概率公式可得，B错； 对于C选项，最大即为满足， 解得，C对； 对于D选项，因为，故为整数时， 结合题设要求，； 不为整数时为小于，，故，D对. 故选：ACD. 【变式6-3】某游戏规则如下：参与者一开始在坐标原点处，通过掷一枚质地均匀的骰子决定如何移动，每掷一次骰子，参与者移动一次，一次移动一个单位长度，若得到的点数不大于2，则向右移动一次，并得2分；若点数大于2，则向上移动一次，并得1分．将每次得分的结果相加作为最终得分．已知甲同学参与了游戏，其移动n次后到达点，且最终得分为． (1)求的概率分布列； (2)若，游戏结束时甲同学到达哪个点的概率最大？ (3)求的数学期望和方差． 【答案】(1)分布列见解析； (2)点 (3)，. 【分析】 【详解】（1）由题意可知，每次向右移动的概率是，向上移动的概率是， 为3次移动中向右移动的次数，其可能值为0，1，2，3， 所以， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 （2）时，设的概率最大， 则，， ， 所以当时，，当时，， 所以， 即时概率最大，所以游戏结束时甲同学到达点的概率最大； （3）由题意， 因为，所以，， 所以，. 一、单选题 1．抛掷一枚质地均匀、六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体骰子，当出现6点时，就说这次试验成功，每次试验的结果相互独立，则在30次试验中成功次数的均值和方差分别为（    ） A．5， B．5， C．10， D．10， 【答案】B 【详解】依题意试验一次成功的概率为，且每次试验是相互独立的， 所以30次试验中成功次数服从二项分布,即． 故. 2．若随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得， 则. 3．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列，如果为数列的前项和，那么的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由知，在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球， 而每次摸取红球的概率为，摸取白球的概率为， 则的概率为. 故选：B． 4．一家制造厂有条生产线，每条生产线每天生产一件产品，每个产品是“良品”的概率为，否则为“次品”，每条生产线的生产过程相互独立．每天生产结束后对所有产品进行检测，“良品”被误检测为“次品”的概率（即漏检率）为，“次品”被误检测为“良品”的概率（即误接受率）为．被检测为“良品”的产品出货，否则报废．则该制造厂每天出货的产品件数平均为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得该制造厂每天每条生产线的产品被检测为“良品”的概率为， 设该制造厂每天可出货的产品件数为X，则， 则该制造厂每天出货的产品件数平均为. 故选：D 5．把24粒种子分别种在8个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若1个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若1个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种.假定每个坑至多补种1次，每补种一个坑需10元，用X表示补种费用，则X的数学期望为（    ） A．10元 B．20元 C．40元 D．80元 【答案】A 【详解】坑里的粒种子的发芽情况可以看作是次独立重复试验， 可知一个坑里的粒种子都不发芽的概率是，个坑的补种情况可以看作是次独立重复试验. 设代表补种次数，则， 所以. 由，得， 即的数学期望为元. 故选：A. 6．某篮球队参加一项国际邀请赛，比赛分为两个阶段．小组赛阶段：进行3场小组赛，至少赢得2场才能晋级排名赛，否则淘汰．若晋级，进入排名赛阶段：进行3场比赛，每赢一场可额外获得奖金．已知该篮球队小组赛阶段每场获胜的概率均为0.8，若能晋级，排名赛阶段每场比赛获胜的概率均是0.6．该球队参加小组赛能获得出场费50万元，排名赛每赢一场比赛，获得100万元奖金．设该球队参加这项赛事获得的总奖金为随机变量X（单位：万元），则随机变量X的数学期望是（   ） A．166.48 B．211.28 C．216.48 D．230 【答案】B 【详解】因为该篮球队小组赛阶段每场获胜的概率均为0.8， 所以晋级排名赛的概率为， 设排名赛该球队赢了场，排名赛阶段每场比赛获胜的概率均是0.6， 排名赛获得的奖金数为Z（万元），则，，， 所以随机变量X的数学期望是 （万元）. 故选：B 二、多选题 7．若随机变量，随机变量服从两点分布，且，已知与相互独立，则（   ） A．恒小于 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】AC 【详解】因为， 所以，， ，， 因为与相互独立， 所以， ，A正确，B错误. ， ， 则 ，C正确； ， 当且仅当时，等号成立，因为，所以等号取不到，D错误． 8．某同学参加某高校面试时需要回答A、B、C三道题，他答对每道题的概率均为，且相互独立，每一道题若答对，则得2分，若答错，则扣1分；开始时他的得分为0分，记随机变量为他答完第一道题时的得分，为他答完所有题时的得分，用、分别表示随机变量的期望和方差.则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由题意可得随机变量的可能取值为， ， 所以， ， 记随机变量为面试完成后答对题的数量， 由题意可得随机变量服从二项分布，即， 所以， 由题意可得， 所以， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，随机变量与之间没有确定的关系，故C错误； 对于D，，故D正确. 三、填空题 9．掷一枚不均匀的硬币次，若恰有次正面与恰有次正面的概率相等且不为零，则恰好出现次正面的概率为_____． 【答案】 【详解】设掷该不均匀硬币次得到正面的概率为， 则，解得， 则掷该硬币次，恰好出现次正面的概率为. 故答案为： 10．某罐中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球，若不放回地连续摸两次球，则在第二次摸到红球的情况下，第一次也摸到红球的概率是______；若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸到红球记1分，摸到绿球记0分，设四次摸球总得分为X，则X的数学期望______. 【答案】 【分析】 【详解】①记第一次摸到红球为事件A，第二次摸到红球为事件B. . 所以. 故在第二次摸球时摸到红球的条件下，第一次摸球时摸到红球的概率为. ②由题可知，每次摸球，摸到红球的概率为，摸到绿球的概率为. 记四次摸球活动中，摸到红球的次数为，则. 因为四次摸球总得分为，所以.所以. 所以的数学期望是. 故答案为：；. 11．设随机变量，其中且，若，，则________________. 【答案】/ 【详解】因为，， 又因为，所以，解得. 因为随机变量，其期望，所以. 因为二项分布的方差，解得. 因为，将，代入可得 . 故答案为： 四、解答题 12．抛掷一枚质地均匀的硬币4次，设正面朝上的次数为． (1)求的分布列、数学期望与方差； (2)求的值． 【答案】(1)分布列见解析； (2) 【分析】 【详解】（1）由题意得：一枚质地均匀的硬币抛掷一次正面朝上的概率为，则， 所以， ，， 所以的分布列为： 所以； （2）由（1）有：， 所以. 13．一个口袋中有3个红球，4个白球，这7个小球除颜色外均相同． (1)从中不放回地摸球，每次摸2个球，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，求摸2次恰好第2次中奖的概率； (2)每次同时摸2个球，并放回，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，连续摸4次，求中奖次数的数学期望． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设“摸2次恰好第2次中奖”为事件，则． 所以摸2次恰好第2次中奖的概率为． （2）设“每次同时摸2个球，恰好中奖”为事件，则． 随机变量的所有可能的取值为0，1，2，3，4， 可得， ， ， ， ． 所以随机变量的分布列是 0 1 2 3 4 随机变量的数学期望． 14．甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次数为；乙用这枚硬币掷2次，记正面朝上的次数为. (1)求的期望和方差； (2)规定：若，则甲获胜，否则乙获胜，求出甲获胜的概率. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）依题意， 所以，. （2）因为， 所以，， ，， 又， 所以，，. 所以甲获胜有以下情况：，；，；，. 所以甲获胜的概率. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $