8.3.1分类变量与列联表 导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修第三册 8.3.1《 分类变量与列联表 》 导学案（学生版） （ 制作：许鸥 日期：2026年4月27日 地区：云南省昆明市 ） 班级： 姓名： 分数： . 一、分类变量 （一）情境导入 在现实生活中,人们经常需要回答一定范围内的两种现象或性质之间是否存在关联性或相互影响的问题. 例如,就读不同学校是否对学生的成绩有影响,不同班级学生用于体育锻炼的时间是否有差别,吸烟是否会增加患肺癌的风险等等,本节将要学习的独立性检验方法为我们提供了解决这类问题的方案. （二）分类变量的定义 在讨论“一定范围内的两种 或 之间是否存在关联性或相互影响的问题”时,为了表述方便,我们经常会使用一种特殊的随机变量,以区别不同的 或性质,这类随机变量称为 变量. 注1：分类变量的取值可以用 表示,例如,学生所在的班级可以用1,2,3等表示；男性、女性可以用1,0表示等等. 注2：在很多时候,这些数值只作为 使用,并没有通常的大小和运算意义,本节我们主要讨论取值于{0,1}的分类变量的 问题. 二、问题探究 1. 问题 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性,某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响,为此对学生是否经常锻炼的情况进行了普查. 全校学生的普查数据如下:523名女生中有331名经常锻炼;601名男生中有473名经常锻炼.你能利用这些数据,说明该校女生和男生在体育锻炼的经常性方面是否存在差异吗? 2. 探究 （1） 方法一：这是一个简单的统计问题,最直接的解答方法是比较经常锻炼的学生在女生和男生中的比率.为了方便,我们设 那么,只要求出和的值,通过比较这两个值的大小,就可以知道女生和男生在锻 炼的经常性方面是否有差异,由所给的数据,经计算得到 由 可知,男生经常锻炼的比率比女生高出 个百分点, 所以该校的女生和男生在体育锻炼的经常性方面有 ,而且 更经常锻炼. （2）方法二：上面的问题还可以通过建立一个古典概型,使用条件概率的语言,给出另外一种解答方法. 用表示该校全体学生构成的集合,这是我们所关心的对象的总体.考虑以为样本空间的古典概型,并定义一对分类变量和如下:对于中的每一名学生,分别令 我们希望通过比较条件概率和回答上面的问题,按照条件概率的直观解释,如果从该校女生和男生中各随机选取一名学生,那么该女生属于经常锻炼群体的概率是,而该男生属于经常锻炼群体的概率是. 因此,"性别对体育锻炼的经常性没有影响"可以描述为 而"性别对体育锻炼的经常性有影响"可以描述为 为了清楚起见,我们用表格整理数据,如表8.3-1所示. 我们用表示事件和的积事件,用表示事件和的积事件,根据古典概型和条件概率的计算公式,我们有 ∵ ∴可以作出判断,在该校的学生中,性别对体育锻炼的经常性 影响,即该校的女生和男生在体育锻炼的经常性方面 差异,而且 更经常锻炼. 三、列联表的定义 在实践中,由于保存原始数据的成本较高,人们经常按研究问题的需要,将数据 统计,并做成表格加以保存.我们将如表8.3-1这种形式的数据统计表称为2×2 表(contingency table). 注1：2×2列联表给出了成对分类变量数据的 分类频数.以表8.3-1为例,它包含了和的如下信息: 最后一行的前两个数分别是事件和中样本点的个数;最后一列的前两个数分别是事件和中样本点的个数;中间的四个格中的数是表格的核心部分,给出了事件中样本点的个数;右下角格中的数是样本空间中样本点的总数. 注2：在上面问题的两种解答中,使用了学校全部学生的调查数据,利用这些数据能够完全确定解答问题所需的比率和条件概率. 然而,对于大多数实际问题,我们无法获得所关心的 对象的数据,因此无法准确计算出有关的比率或条件概率.在这种情况下,上述古典概型和条件概率的观点为我们提供了一个解决问题的思路,比较简单的做法是利用随机抽样获得一定数量的 数据,再利用随机事件发生的频率稳定于 的原理对问题答案作出推断. 四、实例运用 例1．下表是、两班关于选择“物理”作为“加三学科”的意愿的列联表，请根据已有数据完善表格. 单位：人 类别 愿意选择“物理” 不愿意选择“物理” 总计 班 20 42 班 16 总计 44 例2．2022年9月23日，以“庆丰收同心共富，迎盛会齐向未来”为主题的第五个中国农民丰收节开幕式在盐城市射阳县海河镇举行，射阳县政府同步开展以“湿地绿城庆丰收、向海图强迎盛会”为主题的农民丰收节系列活动，现从某活动现场的观众中随机抽取名（其中男性名），了解他们对该活动的满意情况，得到下表． 不满意 满意 合计 男性 女性 合计 根据统计数据完成列联表． 五、达标检测 练习1．某高中社会实践小组设计了一个研究性学习项目，研究学习成绩（以单科为准）与手机使用（电子产品）的相关性，他们从全校随机抽样调查了40名学生，其中有四成学生经常使用手机．40名同学的物理成绩（百分制）的茎叶图如图所示．小组约定物理成绩低于70分为一般，70分以上为良好． (1)根据以上资料完成以下2×2列联表格， 物理成绩一般 物理成绩良好 合计 不使用手机 经常使用手机 合计 (2)现将40个成绩分为，，，，共5组，补全频率分布直方图，并依据频率分布直方图计算这40名学生的物理平均成绩的估计值； (3)从这40名学生成绩高于90分的人中随机选取2人，求至少有一人不使用手机的概率． 练习2．一次校内常规体检后，数学建模活动小组学生随机抽取了10名学生体重数据（单位：kg）：55，58，62，74，88，68，54，52，56，86. (1)求该组数据的极差和第25百分位数； (2)依据体检数据，求得这10名学生体重（单位：kg）关于身高（单位：cm）的回归方程为，已知这10名学生身高（单位：cm）的平均数为176.3，求的值（精确到0.1） (3)体重（kg）与身高（m）平方的比称为体重指标，体重指标不低于28.0称为肥胖，为了解该校学生肥胖是否与性别有关，从已获得数据中随机抽样得到了如下列联表. 男生 女生 总计 观察值 预期值 观察值 预期值 不肥胖 99 168 肥胖 总计 120 200 求表中的值.已知零假设为：肥胖与性别无关，计算男生肥胖人数的预期值（精确到0.1）. 练习3．《开学第一课》是一年一度面向全国中小学生的大型公益节目，从2008年起于每年9月1日播出．2023年《开学第一课》以“强国复兴有我”为主题．为了了解观众对节目的喜爱程度，随机调查了，两个地区的100名观众，得到如下的2×2列联表． 非常喜欢 喜欢 合计 35 10 合计 已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0.45． (1)完成上述表格．现从100名观众中根据喜爱程度及地区的不同用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的，地区的人数各是多少？ (2)若以抽样调查的频率为概率，从地区随机抽取2人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为，求的分布列和期望． 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修第三册 8.3.1《 分类变量与列联表 》 导学案（教用版） （ 制作：许鸥 日期：2026年4月27日 地区：云南省昆明市 ） 班级： 姓名： 分数： . 一、分类变量 （一）情境导入 在现实生活中,人们经常需要回答一定范围内的两种现象或性质之间是否存在关联性或相互影响的问题. 例如,就读不同学校是否对学生的成绩有影响,不同班级学生用于体育锻炼的时间是否有差别,吸烟是否会增加患肺癌的风险等等,本节将要学习的独立性检验方法为我们提供了解决这类问题的方案. （二）分类变量的定义 在讨论“一定范围内的两种现象或性质之间是否存在关联性或相互影响的问题”时,为了表述方便,我们经常会使用一种特殊的随机变量,以区别不同的现象或性质,这类随机变量称为分类变量. 注1：分类变量的取值可以用实数表示,例如,学生所在的班级可以用1,2,3等表示；男性、女性可以用1,0表示等等. 注2：在很多时候,这些数值只作为编号使用,并没有通常的大小和运算意义,本节我们主要讨论取值于{0,1}的分类变量的关联性问题. 二、问题探究 1. 问题 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性,某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响,为此对学生是否经常锻炼的情况进行了普查. 全校学生的普查数据如下:523名女生中有331名经常锻炼;601名男生中有473名经常锻炼.你能利用这些数据,说明该校女生和男生在体育锻炼的经常性方面是否存在差异吗? 2. 探究 （1）方法一：这是一个简单的统计问题,最直接的解答方法是比较经常锻炼的学生在女生和男生中的比率.为了方便,我们设 那么,只要求出和的值,通过比较这两个值的大小,就可以知道女生和男生在锻 炼的经常性方面是否有差异,由所给的数据,经计算得到 由 可知,男生经常锻炼的比率比女生高出15.4个百分点, 所以该校的女生和男生在体育锻炼的经常性方面有差异,而且男生更经常锻炼. （2）方法二：上面的问题还可以通过建立一个古典概型,使用条件概率的语言,给出另外一种解答方法. 用表示该校全体学生构成的集合,这是我们所关心的对象的总体.考虑以为样本空间的古典概型,并定义一对分类变量和如下:对于中的每一名学生,分别令 我们希望通过比较条件概率和回答上面的问题,按照条件概率的直观解释,如果从该校女生和男生中各随机选取一名学生,那么该女生属于经常锻炼群体的概率是,而该男生属于经常锻炼群体的概率是. 因此,"性别对体育锻炼的经常性没有影响"可以描述为 而"性别对体育锻炼的经常性有影响"可以描述为 为了清楚起见,我们用表格整理数据,如表8.3-1所示. 我们用表示事件和的积事件,用表示事件和的积事件,根据古典概型和条件概率的计算公式,我们有 ∵ ∴可以作出判断,在该校的学生中,性别对体育锻炼的经常性有影响,即该校的女生和男生在体育锻炼的经常性方面存在差异,而且男生更经常锻炼. 三、列联表的定义 在实践中,由于保存原始数据的成本较高,人们经常按研究问题的需要,将数据分类统计,并做成表格加以保存.我们将如表8.3-1这种形式的数据统计表称为2×2列联表(contingency table). 注1：2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数.以表8.3-1为例,它包含了和的如下信息: 最后一行的前两个数分别是事件和中样本点的个数;最后一列的前两个数分别是事件和中样本点的个数;中间的四个格中的数是表格的核心部分,给出了事件中样本点的个数;右下角格中的数是样本空间中样本点的总数. 注2：在上面问题的两种解答中,使用了学校全部学生的调查数据,利用这些数据能够完全确定解答问题所需的比率和条件概率. 然而,对于大多数实际问题,我们无法获得所关心的全部对象的数据,因此无法准确计算出有关的比率或条件概率.在这种情况下,上述古典概型和条件概率的观点为我们提供了一个解决问题的思路,比较简单的做法是利用随机抽样获得一定数量的样本数据,再利用随机事件发生的频率稳定于概率的原理对问题答案作出推断. 四、实例运用 例1．下表是、两班关于选择“物理”作为“加三学科”的意愿的列联表，请根据已有数据完善表格. 单位：人 类别 愿意选择“物理” 不愿意选择“物理” 总计 班 20 42 班 16 总计 44 【答案】 【难度】0.94 【知识点】完善列联表 【分析】根据已知条件补全联表即可. 【详解】根据已知条件得出， 又因为，所以，所以， 所以. 所以. 例2．2022年9月23日，以“庆丰收同心共富，迎盛会齐向未来”为主题的第五个中国农民丰收节开幕式在盐城市射阳县海河镇举行，射阳县政府同步开展以“湿地绿城庆丰收、向海图强迎盛会”为主题的农民丰收节系列活动，现从某活动现场的观众中随机抽取名（其中男性名），了解他们对该活动的满意情况，得到下表． 不满意 满意 合计 男性 女性 合计 根据统计数据完成列联表． 【答案】答案见解析 【难度】0.85 【知识点】完善列联表 【分析】利用给定条件计算数据，补充列联表即可. 【详解】因为男性有名，一共有名观众， 所以一共有名女性观众，而有名女性观众不满意， 所以有名女性观众满意，而有名男性观众满意， 所以有名男性观众不满意，故有名观众不满意，有名观众满意， 补全的列联表如下． 不满意 满意 合计 男性 女性 合计 五、达标检测 练习1．某高中社会实践小组设计了一个研究性学习项目，研究学习成绩（以单科为准）与手机使用（电子产品）的相关性，他们从全校随机抽样调查了40名学生，其中有四成学生经常使用手机．40名同学的物理成绩（百分制）的茎叶图如图所示．小组约定物理成绩低于70分为一般，70分以上为良好． (1)根据以上资料完成以下2×2列联表格， 物理成绩一般 物理成绩良好 合计 不使用手机 经常使用手机 合计 (2)现将40个成绩分为，，，，共5组，补全频率分布直方图，并依据频率分布直方图计算这40名学生的物理平均成绩的估计值； (3)从这40名学生成绩高于90分的人中随机选取2人，求至少有一人不使用手机的概率． 【答案】(1)列联表见解析 (2)频率分布直方图见解析，75.25 (3) 【难度】0.85 【知识点】完善列联表、计算古典概型问题的概率、绘制频率分布直方图 【分析】（1）根据成绩一般的标准，结合茎叶图表示数据的方法进行计算填表即可； （2）根据五组中的人数，再计算出频率与组矩的比值，然后画出每个小矩形，再根据题中表示该代表数据的方法进行求解即可； （3）用列举法，结合古典概型计算公式进行求解即可. 【详解】（1）从茎叶图可知： 不使用手机的学生中，物理成绩一般有6个，物理成绩良好的有18，共计24人， 经常使用手机学生中，物理成绩一般有10个，物理成绩良好的有6，共计16人， 列联表如下： 物理成绩一般 物理成绩良好 合计 不使用手机 6 18 24 经常使用手机 10 6 16 合计 16 24 40 （2）根据茎叶图，结合题中给定的小组，填表如下： 频数 频率 频率与组距的比值 6 0.15 0.015 10 0.25 0.025 8 0.2 0.02 9 0.225 0.0225 7 0.175 0.0175 频率直方图如下图： 设40名学生物理平均成绩估计值为 ； （3）高于90分经常使用手机的有2人，分别设为A、B 不使用手机的有5人，分别设为a、b、c、d、e高于90分人中随机抽取2人共有：AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ae；Ba，Bb，Bc，Bd，Be；ab，ac，ad，ae；bc，bd，be，cd，ce，de，共21种 则至少有一人不使用手机的概率为 练习2．一次校内常规体检后，数学建模活动小组学生随机抽取了10名学生体重数据（单位：kg）：55，58，62，74，88，68，54，52，56，86. (1)求该组数据的极差和第25百分位数； (2)依据体检数据，求得这10名学生体重（单位：kg）关于身高（单位：cm）的回归方程为，已知这10名学生身高（单位：cm）的平均数为176.3，求的值（精确到0.1） (3)体重（kg）与身高（m）平方的比称为体重指标，体重指标不低于28.0称为肥胖，为了解该校学生肥胖是否与性别有关，从已获得数据中随机抽样得到了如下列联表. 男生 女生 总计 观察值 预期值 观察值 预期值 不肥胖 99 168 肥胖 总计 120 200 求表中的值.已知零假设为：肥胖与性别无关，计算男生肥胖人数的预期值（精确到0.1）. 【答案】(1)36；55 (2) (3)； 【难度】0.76 【知识点】列联表分析、根据样本中心点求参数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计 【分析】（1）先将数据从小到大排列，进而最大值减最小值可得极差，利用求百分位数步骤可得第25百分位数； （2）先求，将代入回归方程可求； （3）根据列联表的性质可得，因肥胖与性别无关，故. 【详解】（1）将数据从小到大排列：52，54，55，56，58，62，68，74，86，88， 故极差， 因不为整数，故第25百分位数是第三个数为55. （2）， 因回归方程为过样本中心点，故， 得 （3）由列联表的性质，女生不肥胖人数为，女生人数总计， 所以， 男生肥胖的预期值. 练习3．《开学第一课》是一年一度面向全国中小学生的大型公益节目，从2008年起于每年9月1日播出．2023年《开学第一课》以“强国复兴有我”为主题．为了了解观众对节目的喜爱程度，随机调查了，两个地区的100名观众，得到如下的2×2列联表． 非常喜欢 喜欢 合计 35 10 合计 已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0.45． (1)完成上述表格．现从100名观众中根据喜爱程度及地区的不同用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的，地区的人数各是多少？ (2)若以抽样调查的频率为概率，从地区随机抽取2人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为，求的分布列和期望． 【答案】(1)表格见详解，7名，9名 (2)分布列见详解， 【难度】0.65 【知识点】利用二项分布求分布列、完善列联表、二项分布的均值、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】（1）先补全2×2列联表，再根据分层抽样的知识即可求解； （2）由题意得随机变量服从二项分布，进而根据二项分布求解即可． 【详解】（1）由题意，得，解得， 补充完整的列联表，如下： 非常喜欢 喜欢 合计 35 10 45 45 10 55 合计 80 20 100 因为(名)，(名)，(名)， 所以抽取的喜爱程度为“非常喜欢”的地区观众有7名，B地区观众有9名. （2）从地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率. 随机变量服从二项分布， 随机变量的所有可能取值为0，1，2， 则， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以(或)． 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $