专题08 带电粒子在电磁组合场中的运动【压轴题】2026年高考物理压轴题专项训练（新高考通用）

专题08 带电粒子在电磁组合场中的运动 命题预测 趋势一：基础模型仍是“压舱石” 1.先电后磁（类平抛+圆周）：电场中做类平抛（求时间、偏转位移），进入磁场后做匀速圆周运动（求半径、圆心角）。要特别注意：进入磁场时速度的方向和大小，这是解题的“钥匙”。 2. 先磁后电（圆周+加减速）：先在磁场中偏转，再进入电场做直线运动或类平抛，通常还会涉及多过程重复。解题关键是画出准确的轨迹，确定几何边界。 3. 磁场与磁场组合：在不同强弱或方向的磁场中切换。注意轨迹半径会变，但在磁场边界上的速度方向是连接两段圆弧的关键。 趋势二：科技应用与高考评价体系深度融合 1. 质谱仪：核心是“速度选择器”+“偏转磁场”，求粒子比荷或质量。 2. 回旋加速器：核心公式是（交变电场周期必须等于这个值），以及最大动能与D形盒半径的关系。 3. 磁流体发电机、电磁流量计、霍尔元件：这三类都是“电磁搭桥”，核心平衡态都是洛伦兹力等于电场力：（其中U为稳定时的电动势）。 4. CT扫描与质控：带电粒子在电磁场中的偏转与医学成像技术结合，考查对偏转规律的理解。 趋势三：创新“新”在哪里？ 1.从“二维”向“三维”迈进：部分顶尖模拟卷已出现立体空间（三维） 的电磁场问题，考查空间想象与矢量分解能力。 2.从“静态”向“动态”转变：包括交变电磁场（电场方向或磁场大小随时间变化）和粒子源问题（大量粒子以不同方向或速率入射，考查临界值）。 3.从“单一”向“综合”延伸：尤其出现在“先电场后磁场”的模型中，利用动能定理求解电场力做功，或在粒子分裂、碰撞情境中应用动量守恒。 高频考法 1.粒子由磁场进入电场 2.粒子由电场进入磁场 3.粒子在电场和磁场中的往复运动 4.带电粒子在交变磁场中的运动 5.带电粒子在组合场中含动量问题 考向一：带电粒子在电磁组合场中的基本规律 1．带电粒子在组合场中运动的分析思路 第1步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段。 第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如第3步中表图所示。 第3步：用规律 2.“电偏转”与“磁偏转”的基本规律 垂直电场线进入 匀强电场(不计重力) 垂直磁感线进入 匀强磁场(不计重力) 受力情况 电场力FE＝qE，其大小、方向不变，与速度v无关，FE是恒力 洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方向随v而改变，FB是变力 轨迹 抛物线 圆或圆的一部分 运动轨迹示例 求解方法 利用类平抛运动的规律求解：vx＝v0，x＝v0t，vy＝·t，y＝··t2 偏转角φ满足：tan φ＝＝ 半径：r＝；周期：T＝ 偏移距离y和偏转角φ要结合圆的几何关系利用圆周运动规律讨论求解 运动时间 t＝ t＝T＝ 动能 变化 不变 考向二：先电场后磁场 (1)先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。 (2)先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。 考向三：先磁场后电场 对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况： (1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如图甲所示，粒子在电场中做加速或减速运动，用动能定理或运动学公式列式。 (2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直，如图乙所示，粒子在电场中做类平抛运动，用平抛运动知识分析。 01 先电场后磁场 1．（多选）如图所示，电子由静止开始，经M、N板间的电场加速后，从A点垂直于磁场边界射入宽度为d、磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，电子离开磁场时的位置P偏离入射方向的距离。已知电子的质量为m，电荷量为e，取。下列说法正确的是（　　） A．电子进入磁场时的速度大小为 B．电子在磁场中做圆周运动的半径为 C．电子在磁场中运动的时间为 D．若电场可调，为使电子能从磁场的右侧边界射出，则加速电压的最小值为 2．（多选）医生常用CT扫描机给病人检查病灶，CT扫描机的部分工作原理如图所示。电子从静止开始经加速电场加速后，沿水平方向进入垂直纸面的矩形匀强磁场（偏转磁场），最后打在靶上的P点，产生X射线。已知MN间的电压为U，磁场的宽度为d，电子的比荷为k，电子离开磁场时的速度偏转角为θ，其重力忽略不计，则下列说法正确的是（　　） A．偏转磁场的方向垂直纸面向外 B．电子进入磁场的速度大小为 C．电子在磁场中做圆周运动的半径 D．偏转磁场的磁感应强度大小为 02 先磁场后电场 3．（多选）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，虚线边界OM与轴正方向成角。时刻，在第一象限加垂直纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场，此时，位于OM上的一正离子源S（到原点的距离为）在xOy平面内发射出大量质量为、电荷量为的同种不同速率的离子，方向斜向右下方，均与OM成角，且所有离子均能运动到边界OM。当所有离子运动到边界OM时，撤去磁场，在第一象限加沿轴负方向、大小为的匀强电场，使得所有离子经过第一象限OM与y轴间的某边界OP（图中未画出）时的速率均相等。不计离子的重力以及离子间的相互作用力，下列说法正确的是（    ） A．所有离子经过边界OM的时刻均为 B．离子的最大发射速率为 C．若离子的发射速率为，则离子经过边界OM时的坐标为 D．边界OP满足的方程为 4．（多选）如图示的直角坐标系中，以O为圆心、R为半径的圆内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B；在的区域内存在水平向左的匀强电场，电场强度大小为E。在圆与y轴负半轴的交点A处有一粒子源，时刻粒子源向圆内各个方向同时发射若干速度相同的带正电粒子，粒子经磁场偏转后均平行于x轴第一次离开磁场，已知粒子的质量为m，电荷量为q，不考虑粒子间的相互作用，则（　　） A．带正电粒子进入匀强磁场时速度的大小为 B．带电粒子在电场中运动的时间为 C．带电粒子在电场中运动的最大位移为 D．最先第二次离开磁场的粒子从发射到第二次离开磁场所经历的时间为 03 交变电磁组合场 5．（多选）如图甲所示，边长为L的正方形MNPQ区域内存在方向垂直于MNPQ平面的磁场，磁感强度大小为B0，方向周期性变化，且磁场变化周期T可调。以垂直MNPQ平面向外为磁感应强度的正方向，B-t图像如图乙所示。现有一电子在t=0时刻由M点沿MN方向射入磁场区，已知电子的质量为m，电荷量大小为e，PN边界上有一点E，且。若使电子满足下列条件时，说法错误的是（　　） A．沿方向经过P点，则电子的速度大小一定是 B．沿方向经过P点，则电子的速度大小可能大于 C．垂直边过E点，则磁场变化周期一定是 D．垂直边过E点，则磁场变化周期可能小于 6．（多选）如图甲所示，竖直放置的平行金属板M和N相互正对，间距为d=60cm，板长L=30cm，两板下端有一宽度等于板间距的粒子源，以速度v0=104m/s沿平行于金属板的方向向上连续不断均匀发射比荷为的带正电粒子，粒子间相互作用不计且忽略粒子重力。在M、N两板间加如图乙所示电势差，图中，在M板上边缘左方有足够长的水平吸收板MP，能吸收打到它的粒子，打到MN两板上的粒子也会被吸收。MN两板间认为是匀强电场，不考虑边缘效应。MP板所在水平线（图中虚线）的上方有匀强磁场（未画出），磁感应强度。观察到有粒子打在MP板上，则下列说法正确的是（　　） A．匀强磁场的方向垂直纸面向外 B．时刻进入平行板间的所有粒子经磁场偏转后击中MP板的长度为25cm C．MP板最终能吸收到粒子的总长度为55cm D．若撤去原磁场，在虚线上方适当位置加一个面积最小的圆形匀强磁场，使所有从平行板间飞出的粒子都被收集于空中一点，则该圆形匀强磁场的磁感应强度为 04 三维空间电磁组合场 7．（多选）在半导体器件制造中，离子注入的角度控制是决定其性能的关键之一，其控制过程可简化为如图所示模型。空间直角坐标系o-xyz中有一个长为4L、高为2L的长方体区域，被正方形abcd等分成左右两个相等的正方体空间Ⅰ和空间Ⅱ，整个长方体空间（含边界）存在沿x轴正方向的匀强电场E，同时空间Ⅱ还存在沿x轴正方向的匀强磁场B（图中均未标出）。已知一个质量为m，电荷量为q的离子从ON边的中点P以速度v0平行于z轴正方向射入，一段时间后该离子经过正方形abcd的中心点Q，且离子在空间Ⅱ运动的过程中，恰好未从xoz面飞出，不计离子重力和空气阻力，不考虑其他影响，则（　　） A．该离子带负电 B．空间Ⅰ中匀强电场的电场强度大小 C．空间Ⅱ中匀强磁场的磁感应强度大小 D．该离子离开此区域时速度与x轴正方向的夹角满足 8．如图所示的坐标系中，在、区域有沿轴负方向的匀强电场，在、区域有沿轴正方向的匀强磁场Ⅰ，在区域有沿轴负方向的匀强磁场Ⅱ。在平面内沿与轴正向成角从点向第一象限内射出质量为、电荷量为、速率为的带正电的粒子，粒子从轴上坐标为的点进入磁场Ⅰ，经磁场Ⅰ偏转后，以与轴正向成角进入磁场Ⅱ，在磁场Ⅱ中的轨迹刚好与平面相切，不计粒子的重力，求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)匀强磁场Ⅰ的磁感应强度大小； (3)试确定粒子在磁场Ⅱ中运动过程中，轨迹与平面相切的切点坐标。 05 带电粒子在电场和磁场中的往复运动 9．2026年1月，中核集团中国原子能科学研究院自主研制的首台串列型高能氢离子注入机（POWER-750H）成功出束，这标志着我国离子注入技术已实现从跟跑到并跑的关键跨越。离子注入技术（IonImplantation）是一种通过电场或磁场对高能离子精确控制，注入材料表面或近表面区域，从而改变材料物理、化学、电学和光学性质的先进材料加工技术，被誉为半导体制造的“四大核心装备”之一。如图所示，在三维坐标系Oxyz中，x<0的空间内充满匀强电场，场强方向沿y轴正向；x>0的空间内充满沿x轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B；一带电粒子在P点，其坐标为（-3L，-2L，0），以速度沿x轴正向射出，一段时间后粒子恰好通过坐标原点O进入磁场区域，设粒子的质量为m、电荷量为+q，不计粒子重力，忽略场的边缘效应。求： (1)匀强电场电场强度E的大小； (2)试分析说明粒子经过O点之后的运动轨迹，并求出轨迹上的点到x轴的最远距离d； (3)粒子经过坐标原点为计时起点，写出粒子轨迹在y轴上的投影坐标y随时间t变化的函数关系表达式 10．如图所示，平面直角坐标系中，第一象限存在沿轴负方向的匀强电场；电场强度大小为，第四象限存在垂直坐标平面向外的匀强磁场。一质子从坐标原点以某一速度飞入电场，先后经过点进入磁场。点坐标为点坐标为。已知质子质量为，带电荷量为，不计重力。 (1)求质子在点的速度大小及该速度与轴正方向的夹角； (2)若质子第一次进入磁场后，到达轴时速度方向恰好垂直轴，求质子在电场和磁场中运动的总时间； (3)若质子某次出磁场后能经过点（2d，0.5d），求磁感应强度的最小值。 06 带电粒子在组合场中含动量问题 11．如图所示，直流电源电动势，内阻，电阻，，。两端并联一个平行板电容器，板长，宽度，某时刻闭合开关S，在平行板左边缘中央有一比荷为的带正电粒子，以初速度向右进入平行板电容器，从其右侧飞出后立即进入到磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场中。带电粒子在磁场中运动时始终受到一个方向与速度相反、大小满足的阻力，其中。以平行板电容器中心线为轴，紧靠平行板右边缘为轴建立平面直角坐标系，以水平向右为轴正方向，竖直向下为轴正方向，不计带电粒子的重力和空气阻力，忽略电容器的充电时间。 (1)求平行板电容器之间匀强电场的电场强度； (2)求带电粒子飞出平行板电容器右边缘的速度； (3)当带电粒子在磁场中运动时速度方向第一次平行于轴，此时带电粒子在磁场中的横坐标位置（为已知量，单位为m），求此时带电粒子的速度。 12．某离子分析器的原理示意图如图所示，分析器由分布在轴左侧的偏转区和轴右侧的检测区组成。在直线和轴之间的偏转区内存在着两个等大反向的有界匀强电场，其中轴上方的电场沿轴负方向，轴下方的电场沿轴正方向。在轴右侧检测区内分布着垂直于平面向里、范围足够大的磁场，磁感应强度大小随位置坐标均匀变化，且满足（k为大于零的常数）。在电场左边界上点（，）到点（，0）区间内存在一线状离子源， 离子源各处都能持续发射电量为、质量为的相同离子，所有离子均以相同速度沿轴正方向射入电场。已知从点发出的离子恰好能从点（0，）沿轴正方向进入磁场，其轨迹如图虚曲线所示。在检测区有一块与轴平行的检测板，打到检测板的离子会被板吸收，忽略电磁场间的相互影响，不计离子的重力及它们之间的相互作用。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)从间某些位置发出的离子进入磁场时也能沿轴正方向运动，写出这些位置的坐标； (3)若检测板可沿轴平移，要使检测板能收集到沿轴正方向进入磁场并经磁场偏转后的所有离子。 ① 求检测板位置坐标的最大值； ②当检测板位置坐标取最大值时，测得从点（0，）进入磁场的离子在检测板上的收集点到轴的距离为，求该离子在磁场中的运动轨迹与坐标轴和检测板所围面积的大小。 一、单选题 1．如图，甲是回旋加速器，乙是磁流体发电机，丙是速度选择器，丁是霍尔元件，下列说法正确的是（　　） A．甲图要增大出射粒子的最大动能，可增加加速电压U B．乙图可判断出B极板是发电机的正极 C．丙图可以判断出带电粒子的电性，粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是 D．丁图中若载流子带负电，稳定时D面电势低 2．如图所示，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场。质量为m、电荷量为的粒子从磁场中的a点以速度向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，通过b点时其速度方向水平向右。a、b距水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为，不计粒子重力，则下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度大小为 B．电场强度大小为 C．电场强度大小减半，粒子仍能从b点射出 D．磁感应强度大小加倍，粒子仍能从b点射出 3．某同步加速器简化模型如图所示，其中仅直通道PQ内有加速电场，三段圆弧内均有可调的匀强偏转磁场B。带电荷量为－q、质量为m的离子以初速度从P处进入加速电场后，沿顺时针方向在加速器内循环加速。已知加速电压为U，磁场区域中离子的偏转半径均为R。忽略离子重力和相对论效应，下列说法正确的是（    ） A．偏转磁场的方向垂直纸面向外 B．第1次加速后，离子的动能增加了2qU C．第k次加速后，离子的速度大小变为 D．第k次加速后，偏转磁场的磁感应强度大小应为 4．跑道式回旋加速器的工作原理如图所示，两个磁感应强度大小为B的匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ的边界 平行，相距为L。P、Q之间存在匀强加速电场E，方向与磁场边界垂直。质量为m、带电荷量为+q 的粒子从P点注入电场（初速度为0），多次经电场加速和磁场偏转后，恰好从边界上距离Q点为L 的出射口K引出，不计带电粒子的重力，则粒子引出前在磁场中运动的总时间为（    ） A． B． C． D． 5．如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知离子质量为m、带电荷量为q，离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。若要使离子从垂直于N板射出磁场，则离子射入磁场时的速度可能为（　　） A． B． C． D． 6．如图，是交替出现的宽为的匀强电场和匀强磁场区域，其中编号1、3区域为电场，场强均为，2、4区域为磁场，场强均为，方向如图所示。质量为，带电量为的正粒子，从1区上边界由静止释放，不计重力。下列说法中正确的是（　　） A．粒子从4区下边界穿出后的动能一定为 B．粒子从4区下边界穿出后的水平速度一定为 C．粒子从4区下边界穿出时的速度与水平方向夹角的余弦为 D．若粒子恰未从第4场区射出，则需满足 7．如图甲，在空间直角坐标系中，平面与平面平行，平面左右两侧分别存在沿z轴和x轴方向周期性变化的磁场、如图乙、丙，磁场正方向与坐标轴正方向相同。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在时刻从平面上的A点沿y轴负方向射入左侧的匀强磁场，之后在两磁场中运动，不计粒子重力及磁场变化的影响，下列关于粒子运动轨迹在平面上的投影图正确的是（　　） A． B． C． D． 8．在现代研究受控热核反应的实验中，需要把高温等离子体限制在一定空间区域内，磁约束就成了必不可少的技术。如图所示，科学家设计了一种中间弱两端强的磁场，该磁场由两侧通有等大同向电流的线圈产生。假定一带正电的粒子（不计重力）从左端附近以斜向纸内的速度进入该磁场，其运动轨迹为图示的螺旋线（未全部画出）。此后，该粒子将被约束在左右两端之间来回运动。根据上述信息并结合所学知识，下列说法正确的是（　　） A．从最左端到最右端的过程中，螺旋线的半径逐渐增大 B．从最左端到最右端的过程中，粒子的动能先增大后减小 C．从最左端到最右端的过程中，粒子运动轨迹的螺距先变小后变大 D．从最右端返回时，粒子在垂直磁瓶轴线的速度分量最大 二、多选题 9．如图甲所示，平面内有两条平行直线、相距为d，在两直线之间有与x轴平行的匀强电场E，在上方、下方分布着垂直平面的匀强磁场。时刻，一质量为m、电荷量为的粒子从O点沿y轴正方向以的速度进入磁场Ⅰ，随后在平面内运动，其速度可用图乙所示的直角坐标系内一点表示，，分别表示粒子速度在x、y轴上的分量。在图乙中，初始时K点位于图乙中a点，随后在磁场Ⅰ作用下K点沿以O为圆心的圆弧经s点移动到b点，之后粒子离开磁场Ⅰ进入电场，K点沿线段移动至c点，然后粒子进入磁场Ⅱ，K点沿以O为圆心的圆弧经w点移动到d点，之后粒子再次进入电场，K点沿线段回到a点。此后K点沿图乙中的曲线一直运动下去。已知过程和过程，电场E大小不变、方向相反。不计粒子重力。以下说法正确的是（　　） A．图乙中的s点坐标为，可知磁场Ⅰ的方向为垂直平面向外 B．、间的电场强度E的大小为 C．图乙中的w点坐标为，可知磁场Ⅱ的方向为垂直平面向外 D．对应图乙中的过程，电场力对粒子做功，对应过程，粒子克服电场力做功 10．如图为某粒子分析器的工作原理图。粒子源O中有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，粒子从O处由静止开始经电场加速后，沿通道中心经过静电分析器，接着恰好从A 点沿着AB方向进入磁分析器ABCD。已知加速电场的电压为U，圆弧形静电分析器通道内存在均匀辐射电场，通道中心是半径为R 的圆弧，圆弧上各点电场强度大小均为E（未知），磁分析器中有垂直纸面向外的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场空间还存在着一种黏性介质，使得粒子运动时受到与速度大小成正比、方向相反的阻力f=kv。粒子速度第一次与进入磁场时的初速度方向相反时在F点，AF与AD夹角为θ。不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．若要粒子能顺利沿静电分析器通道中心到达A点，则电场强度 B．若仅改变粒子质量，则粒子将不能通过静电分析器 C．θ与k的关系满足ktanθ=qB D．最终停下的点到AD的距离为 11．在平面内存在如图所示的电磁场区域，在到的区域Ⅰ内存在沿轴正方向的匀强电场，在到的区域Ⅱ内存在沿轴负方向的匀强电场，区域Ⅰ和区域Ⅱ的电场强度大小均为，在第一、四象限内存在范围足够大且方向垂直纸面向里的非匀强磁场，磁感应强度大小满足（为已知量）。坐标为的处有一粒子源，可以释放初速度为0，电荷量为、质量为的带电粒子，粒子重力忽略不计，不考虑电磁场区域的边缘效应和粒子间的作用力，下列说法正确的是（　　） A．粒子第一次从区域Ⅰ进入区域Ⅱ时的速度为 B．粒子第一次经过轴的坐标与的大小有关 C．粒子第一次经过轴时速度方向与轴正方向的夹角满足 D．若，则粒子从区域Ⅱ进入磁场区域后，其速度方向第一次沿轴正方向时的横坐标为 12．如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的匀强磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，设垂直纸面向里的磁场方向为正。有一正离子在时垂直于M板从小孔O射入磁场，又从小孔O′射出磁场。已知正离子质量为m，电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。以下磁感应强度B0大小、离子射入磁场的速度v0，可能正确的有（　　） A． B． C． D． 三、解答题 13．高能粒子实验装置是用以发现高能粒子并研究其特性的主要实验工具，图示为某种该装置的简化模型。在y轴沿竖直方向的直角坐标系xOy中，在第一象限内有与y轴负方向平行的匀强电场，电场强度大小；第二象限内有磁感应强度大小、方向垂直纸面向里的匀强磁场I；y<0的区域内有磁感应强度大小B、方向垂直纸面向外的匀强磁场Ⅱ。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从A点（，）以速率v0沿轴负方向开始运动，经磁场偏转后过C点进入电场，经电场偏转后过D点进入磁场Ⅱ。粒子在磁场Ⅱ中还受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，比例系数为k；当粒子在磁场Ⅱ中运动到x轴上的P点（未画出）时恰好沿轴正方向做直线运动；x轴上无电场、磁场存在，不计粒子重力。求： (1)C点距坐标原点O的距离； (2)粒子从A点运动到D点的时间t； (3)D、P两点间的距离d。 14．如图所示，水平线上方有平行纸面竖直向下的匀强电场，下方有垂直纸面向外的匀强磁场，在上的点沿与成角向右上射出一个质量为、电荷量为的带正电的粒子，初速度的大小为，粒子经电场偏转后从点进入磁场，间的距离为，粒子经磁场偏转后从点左侧距点处第一次离开磁场，不计粒子的重力。 (1)求匀强电场的电场强度大小； (2)求匀强磁场的磁感应强度大小； (3)若在电场中放一个平行的弹性绝缘挡板，粒子仍从点沿与成角向右上射出，粒子在挡板上碰撞前后瞬间，平行于挡板的速度大小不变，垂直于挡板方向的速度大小相等、方向相反，要使粒子与挡板下边缘碰撞再经磁场偏转后第一次离开磁场的位置到点的距离为，求挡板到的距离。 15．小阳同学依据高中所学知识设计一粒子加速器，其原理如图所示。空间区域存在垂直纸面向里、磁感应强度为的匀强磁场。区域存在斜向右上方的匀强电场，电场强度为，方向与轴正方向夹角为。在点（0，d）处有一粒子发射源，能发射带电荷量为、质量为的带正电粒子，已知出射的粒子有固定的初速度，且方向与轴成，不计粒子重力，求： (1)粒子从出发到进入磁场前所经历的时间； (2)粒子第2025次进入磁场的点与离开磁场的点之间的距离； (3)若粒子经过次加速后从轴上的某点射出电场，求粒子此时的速度大小以及该出射点的横坐标。 4 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 带电粒子在电磁组合场中的运动 01 先电场后磁场 1． 【答案】BC 【详解】B．电子在磁场中做圆周运动，粒子运动轨迹如图所示 由几何关系有 解得，故B正确； A．由洛伦兹力提供向心力有 解得，故A错误； C．轨迹圆心角θ满足 可得 运动时间，故C正确； D．加速电压U满足 要使电子从右侧射出需保证r>d 所以电压，故D错误。 故选BC。 2． 【答案】CD 【详解】A．电子经电场加速后进入磁场向下偏转，由左手定则知偏转磁场的方向垂直纸面向里，A错误； B．电子加速过程，由动能定理可得 解得，B错误； CD．电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，如图所示 由洛伦兹力作为向心力可得 由几何关系可得 联立解得半径为 磁感应强度的大小为，CD正确。 故选CD。 02 先磁场后电场 3． 【答案】ABD 【详解】A．离子在匀强磁场中运动的周期为 周期与离子速率无关。 由几何关系，入射方向与成，弦切角为，因此离子运动的圆心角 运动时间 与速率无关，所有离子运动时间都相同，A正确； B．洛伦兹力提供向心力 得轨迹半径 由几何关系，到出射点的弦长 出射点到原点的距离 因此 代入得 ，B正确； C．若，则 出射点到原点的距离 出射点坐标， 即坐标为，C错误； D．撤去磁场后加电场，设到达边界上点时速率为，根据动能定理 其中出射点在上的坐标满足， 其中 代入整理后，要求为常数（与无关），消去含的项后可得 第一象限，即，D正确。 故选ABD。 4． 【答案】ACD 【详解】A．粒子都能水平射出磁场，轨迹圆的半径 根据牛顿第二定律有 联立解得，故A正确 B．粒子在电场中只受电场力作用，根据动量定理有 得，故B错误； C．由动能定理 得，故C正确； D．假设粒子第1次在磁场中运动转过的角度为，第2次在磁场中运动转过的角度为，由几何关系可得，所有粒子两次在磁场中的运动时间相等。粒子在磁场中运动的总时间 所有粒子在电场中运动的时间均相等，从图中看出粒子在电场中由N点运动到K点，再由K点返回到N点，由动量定理得 解得 粒子在电场和磁场之间做匀速直线运动，由M点运动到N点，再由N点返回到M点，粒子通过此区间的总时间为 粒子从发射到第二次离开磁场所经历的总时间 其中为粒子通过电场和磁场之间区域的总路程。 当粒子沿y轴发射时，粒子通过电场和磁场之间区域总路程，粒子所经历的时间最短，故D正确。 故选ACD。 03 交变电磁组合场 5． 【答案】ABC 【详解】AB．沿NP方向经过P点，根据几何关系，电子运动的半径为 根据洛伦兹力提供向心力 可得电子的速度大小，故AB错误。 CD．设垂直NP边过E点时，磁场变化周期等于在磁场中运动半径最大的粒子的运动时间，否则无法从垂直NP边过E点射出。设磁场方向变化时粒子速度方向的偏转角为，若磁场变化周期为，则有 可得 根据几何关系，可知此时半径，当粒子的偏转半径大于时，则存在磁场变化周期小于。故C错误，D正确。 本题选错误的，故选ABC。 6． 【答案】BCD 【详解】A．根据左手定则可知，粒子受到向左的洛伦兹力，则匀强磁场的方向垂直纸面向里，故A错误； B．时刻进入平行板间的所有粒子，根据类平抛运动规律有 解得 则内水平位移为， 内水平位移为， 代入数据解得粒子在水平方向的位移为 所以经磁场偏转后击中MP板的长度为 故B正确； C．，，……时刻进入平行板间的所有粒子其水平位移为 所以经磁场偏转后击中MP板的长度为 故C正确； D．若撤去原磁场，在虚线上方适当位置加一个面积最小的圆形匀强磁场，使所有从平行板间飞出的粒子都被收集于空中一点，根据磁聚焦原理可得，， 解得该圆形匀强磁场的磁感应强度为 故D正确。 故选BCD。 04 三维空间电磁组合场 7． 【答案】BC 【详解】A．整个长方体空间存在沿x轴正方向的匀强电场E，由ON边的中点P以速度v0平行于z轴正方向射入的离子向右运动经过Q点，可知离子所受电场力沿x轴正方向，因此离子带正电，A错误； B．离子在空间Ⅰ中做类平抛运动，离子从P点运动到Q点的过程中，由运动学公式有沿z轴方向 沿x轴方向 由牛顿第二定律有 联立解得：，B正确； C．离子由Q点进入空间Ⅱ，在yoz平面以速度v0做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得 根据题意可知离子做匀速圆周运动的半径 联立解得，C正确； D．离子在整个长方体空间运动过程中，沿x轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动，由运动学公式有 联立解得 因此该离子离开此区域时，速度与x轴正方向的夹角满足，D错误。 故选BC。 8． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设匀强电场的电场强度大小为，粒子在电场中运动时间为，根据题意， 根据牛顿第二定律有 解得。 （2）根据题意可知，粒子进磁场I时的速度方向与出磁场I时的速度方向刚好相反，因此粒子在磁场I中运动的轨迹是半圆，设粒子在磁场I中做圆周运动的半径为，则入射点与出射点间的距离为。根据几何关系有 解得 根据对称性可知，粒子进磁场I时的速度大小为，根据牛顿第二定律 解得。 （3）粒子进磁场Ⅱ时速度大小仍为，方向与轴正方向成角，则粒子进磁场Ⅱ的入射点到点的距离为 根据题意，粒子在磁场Ⅱ中运动的轨迹与平面切点的坐标，粒子在磁场Ⅱ中沿轴负方向做匀速直线运动，运动的速度大小 在垂直磁场Ⅱ的平面内做匀速圆周运动，根据题意，做匀速圆周运动的速度大小 做圆周运动的半径 因此切点坐标， 即切点坐标为。 05 带电粒子在电场和磁场中的往复运动 9． 【答案】(1) (2)整体做等距螺旋线运动， (3) 【详解】（1）粒子在匀强电场中做匀变速曲线运动，设到达O点之前的时间为，x轴正方向有 y轴正向有， 由以上公式解得 （2）粒子运动到坐标原点时有 解得 粒子在磁场中沿x轴正方向做匀速直线运动，yOz平面内做匀速圆周运动，所以有 带电粒子过O点之后沿x轴方向做速度为的匀速直线运动，在yOz平面内做速度为，半径的匀速圆周运动，整体做等距螺旋线运动。 粒子在磁场中运动过程中离x轴最远点的距离 解得 （3）在yOz平面内的匀速圆周运动投影到y轴上是一个简谐运动 其中，， 粒子在yOz平面内匀速圆周运动的周期 所以 10． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）质子在电场中做类斜抛运动，根据对称性可知，P点为抛物线的顶点，从O到Q点经过的时间为 由牛顿第二定律有 y方向做匀变速运动，O到P的时间为，根据位移时间关系 可得 x方向做匀速运动，O到Q过程中， 解得 y方向，由速度时间关系 可得， 质子在O点的速度 （2）根据运动的对称性可知，质子第一次到达Q点时速度大小为，方向与x轴正方向夹角为 质子在磁场中做匀速圆周运动，设轨迹半径为，如图所示由几何关系有 质子在磁场中做匀速圆周运动的周期 质子在磁场中运动的时间 质子在电场和磁场中运动的总时间 （3）设质子第2次经过x轴的位置到O的距离为，如图所示 由几何关系有 质子某次出磁场后能经过点，需满足 可得 因质子在磁场中轨迹不能过第三象限，还需满足 所以 则，可得 即或 根据洛伦兹力提供向心力 可得 当越大时，B越小，即时磁感应强度有最小值 则 06 带电粒子在组合场中含动量问题 11． 【答案】(1) (2)，与水平方向夹角正切值 (3) 【详解】（1）设路端电压为 由并联电阻特点得外电路电阻 根据闭合电路欧姆定律得 解得 由部分电路欧姆定律得分得的电压 由匀强电场中电势差和电场强度的关系 （2）带电粒子在平行板电容器间做类平抛运动 水平方向： 竖直方向：， 飞出平行板电容器速度 与水平方向夹角 （3）设带电粒子速度方向第一次平行轴的速度为，此过程中带电粒子在轴方向上运动的距离为 在方向由动量定理得 在方向由动量定理得 其中， 联立以上各式可得。 12． 【答案】(1) (2)（，，） (3)①；② 【详解】（1）由对称性可知，x轴方向 y轴方向 解得 （2）沿x轴正方向进入磁场时可能的运动轨迹如图所示 离子需满足的条件为（，，） 设到C点距离为处射出的粒子通过电场后也沿x轴正方向射出，粒子第一次到达x轴用时，水平位移为，则， 解得（，，） 即满足要求的AC间离子y坐标为（，，） （3）①若要检测板能收集到沿x轴正方向进入磁场的所有离子，离子到达检测板的速度满足，时，x取最大值；对离子受力，在y轴方向应用动量定理 即 所以 又 可得 解得 ②从（0，）点射入磁场的离子其运动轨迹与y轴所围面积记为，对该离子进行受力分析，在x轴方向应用动量定理 即 所以 又 可得 解得 该离子的运动轨迹与坐标轴和检测板所围面积记为，由几何关系可知 一、单选题 1． 【答案】B 【详解】A．根据牛顿第二定律可得 可得 又 可得粒子的最大动能为 粒子的最大动能与加速电压U无关，故A错误； B．根据左手定则，可知正电荷向B极板偏转，则B极板是发电机的正极，故B正确； C．速度选择器选择的是带电粒子的速度，故丙图无法判断出带电粒子的电性，根据 可得粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是，故C错误； D．根据左手定则可知，带负电的载流子受到洛伦兹力方向向左，即向C面偏转，故稳定时C面电势低，故D错误。 故选B。 2． 【答案】B 【详解】A．根据题意可知，画出粒子的运动轨迹，如图所示 由题意可知 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，由几何关系有 解得 由牛顿第二定律有   解得，故A错误； B．根据题意，由对称性可知，粒子射出电场时，速度大小仍为，方向与水平虚线的夹角为60°，由几何关系可得 则粒子在电场中的运动时间    解得 沿电场方向上，由牛顿第二定律有 由运动学公式有   联立解得，故B正确； C．电场强度大小减半，则在电场中类斜抛运动竖直加速度减半，运动时间加倍，则水平位移加倍，进入磁场位置改变，但速度大小方向不变，则不能经过b点，故C错误； D．磁感应强度大小加倍后，根据可知，半径减半，即 粒子垂直进入电场，后垂直射出，因为不是偶数，所以无法经过b点，故D错误。 故选B。 3． 【答案】C 【详解】A．直通道PQ内有电势差为U的加速电场，离子带负电，离子沿顺时针方向运动，由左手定则可知，偏转磁场的方向垂直纸面向里，故A错误； BC．根据题意，由动能定理可知，加速1次后，离子的动能增量为qU，由于洛伦兹力不做功，则加速k次后，离子的动能增量为kqU，加速k次后，由动能定理得 解得，故B错误C正确； D．离子在偏转磁场中运动的半径为R，则有 联立解得，故D错误。 故选C。 4． 【答案】B 【详解】带电粒子在匀强磁场中做圆周运动，则， 可得周期 周期与粒子速度无关，故每运动半圆的时间为 粒子最终从K点引出，最后一次偏转的直径为，因此最大半径 洛伦兹力提供向心力 解得 粒子每次经过电场加速，电场做功为，加速次后，由动能定理有 解得加速次数 n次加速对应个半圆弧，故总时间为 代入可得 故选B。 5． 【答案】A 【详解】要使正离子从孔垂直于N板射出磁场，的方向应如图所示 两板之间正离子只运动一个周期即时，有；当两板之间正离子运动n个周期即时，有。联立求解，得正离子的速度的可能值为。 当时，。 故选A。 6． 【答案】A 【详解】A．由于洛伦兹力总是不做功，粒子从静止释放到从4区下边界穿出，根据动能定理可得 可知粒子从4区下边界穿出后的动能一定为，粒子从4区下边界穿出后的速度大小为 故A正确； BCD．由于电场力处于竖直方向，不影响水平方向的速度，则粒子从静止释放到从4区下边界穿出，水平方向根据动量定理可得 其中 联立可得粒子从4区下边界穿出后的水平速度为 则粒子从4区下边界穿出时的速度与水平方向夹角的余弦为 若粒子恰未从第4场区射出，粒子达到4区下边界的竖直分速度刚好为0，则有 解得 故BCD错误。 故选A。 7．【答案】A 【详解】粒子在平面左侧的运动轨迹为半圆，在平面上的投影图为一水平方向的直径，粒子在平面右侧的运动轨迹为半圆，在平面上的投影图为一竖直方向的直径，经过磁场的一个周期，粒子回到原位置，组合起来整个运动轨迹在平面上的投影图如A项所示。 故选A。 8． 【答案】D 【详解】AB．由于垂直于轴线的平面内，粒子做匀速圆周运动，粒子在两段之间来回运动，因此沿磁瓶轴线方向的速度分量先变大后变小，因为从左端到右端的运动过程中，粒子只受洛伦兹力作用，洛伦兹力对粒子不做功，故其动能不变，则合速度大小不变，故垂直于轴线的速度分量先变小后变大，故半径先变大后变小，故AB错误； C．粒子做圆周运动的周期为 其中 可得 由于从左端到右端的运动过程中，磁感应强度先减小后增大，所以粒子的运动周期先增大后减小。根据题意可知，粒子运动轨迹的螺距为 由于粒子沿磁瓶轴线方向的速度分量先变大后变小，所以运动轨迹的螺距先变大后变小，故C错误； D．从最右端返回时，在垂直于磁瓶轴线平面内，粒子的速度与轴线垂直，故沿磁瓶轴线方向的速度分量为零，又粒子的速度大小不变，故此时垂直磁瓶轴线方向的速度分量最大，故D正确。 故选D。 二、多选题 9． 【答案】AB 【详解】A．由题意，可画出粒子的运动轨迹如图所示 由s点的坐标知，粒子在磁场Ⅰ中顺时针运动，根据左手定则可判断磁场方向向外，故A正确； B．粒子在电场中沿y轴负方向做匀速运动，有 沿x轴正方向做匀加速运动， 又因为， 解得，方向沿x轴正方向，故B正确； C．w点坐标为，对应粒子运动是顺时针的，磁场Ⅱ方向向外。坐标错误，故C错误； D．图乙中过程，根据坐标值，根据功能关系可得粒子克服电场力做功为，故D错误。 故选AB。 10． 【答案】AD 【详解】A．电场中加速过程有 静电分析器内做匀速圆周运动有 联立解得，故A正确； B．只要满足，粒子做匀速圆周运动就能通过静电分析器，与粒子的质量无关，故B错误； C．粒子在磁分析器中运动时，速度第一次与初速度方向相反时在F点，有 水平方向的速度变化为零，由动量定理 即 联立可得，故C错误； D．对粒子在磁分析器中运动到最终停下的全过程分析，在竖直方向由动量定理 可得 水平方向的速度变化为零，由动量定理 即有 代入初速度，可得最终停下的点到AD的距离为，故D正确。 故选AD。 11． 【答案】ACD 【详解】A．设粒子第一次从区域Ⅰ进入区域Ⅱ时的速度为，根据动能定理，解得，故A正确； BC．设粒子第一次经过轴的坐标为，粒子在区域Ⅰ的运动时间满足 加速度为 坐标 联立解得，即粒子第一次经过轴的坐标与的大小无关。 可知粒子竖直位移为，水平位移为，故粒子第一次经过轴时速度方向与轴正方向的夹角满足，故B错误，C正确； D．粒子从区域Ⅱ进入磁场区域后，其速度方向第一次沿轴正方向，说明其竖直分速度减为0，根据C选项，可求得竖直分速度为 在竖直方向，洛伦兹力的竖直分量为，根据动量定理 又，代入上式解得 粒子比荷为 联立解得，故D正确。 故选ACD。 12． 【答案】BD 【详解】AB．正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力，有 做匀速圆周运动的周期 联立解得，故A错误，B正确； CD．根据题意可知，要使正离子从孔射出磁场，离子到达时必须经过整数个周期，如图所示 当正离子在两板之间运动n个周期，即运动时间为时，由几何关系有 联立求解得正离子的速度的可能值为 可知，离子射入磁场的速度可能为，不可能为，故C错误，D正确。 故选BD。 三、解答题 13． 【答案】(1)L (2) (3) 【详解】（1）画出粒子的运动轨迹，如图1所示 由洛伦兹力提供向心力得 可得粒子在第二象限内做圆周运动的半径 粒子在第二象限的运动轨迹恰好是圆弧，垂直y轴进入第一象限，则C点距坐标原点O的距离 （2）粒子在第二象限中运动的时间 粒子在电场中做类平抛运动，可得， 联立解得 粒子从点运动到点的时间 （3）粒子过点后，取一小段时间，粒子受力情况及矢量分解如图2所示 根据动量定理在方向上可得 两边同时对过程求和可得 其中，， 联立可得 解得 14． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子从P点射出，水平方向做匀速运动，则 竖直方向， 可得 （2）由对称性可知，粒子从Q点进入磁场时，速度大小仍为v0，方向与MN成45°斜向右下方，由几何关系可知粒子做圆周运动的半径为 即 根据 可得 （3）若在MN上方放挡板CD，则粒子从P点射出后在C点与挡板相碰，因相碰时水平速度不变，竖直速度等大反向，可知粒子进入磁场时速度大小和方向不变，进入磁场后仍做半径为r的圆周运动，因第一次离开磁场的位置到点的距离为，可知进入磁场的位置应该在PQ的中点M，则由对称性可知，C点在PM上的投影点B应该是PM的中点，根据类平抛运动的规律可知，而 挡板到的距离 15． 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）在区域，粒子沿轴方向与轴方向的速度均为 沿轴方向有 在电场中将电场力分别沿轴方向和轴方向分解，则有 解得 粒子沿轴负方向减速，减速到零后再返回轴，根据运动的对称性可知返回时沿轴方向的速度为，方向为沿轴正方向，经历的时间 由于沿轴方向的速度大小没变，粒子从电场进入磁场前经历的时间 粒子从出发到进入磁场前所经历的时间 （2）在磁场中粒子运动轨迹如图，粒子在进入和离开电场时，沿轴方向的速度大小不变，每次进入磁场沿轴方向速度的变化量大小恒为，设每次进出磁场的两点间距为l，在轴方向，由动量定理，有 其中 解得 （3）粒子在电场中，每次运动的时间均为，每次沿轴正方向增加的速度大小恒为 经次加速后沿轴方向速度大小为 经次加速后粒子的速度大小为 加速过程，沿轴方向的总位移为 解得 粒子在区域沿轴正方向的速度满足 故粒子在区域沿轴正方向运动的总位移为 解得 粒子在磁场中回转了次，此过程沿轴负方向的总位移为，故粒子经过第次加速后从轴上的某点离开电场，该点的位置坐标 解得 24 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 带电粒子在电磁组合场中的运动 命题预测 趋势一：基础模型仍是“压舱石” 1.先电后磁（类平抛+圆周）：电场中做类平抛（求时间、偏转位移），进入磁场后做匀速圆周运动（求半径、圆心角）。要特别注意：进入磁场时速度的方向和大小，这是解题的“钥匙”。 2. 先磁后电（圆周+加减速）：先在磁场中偏转，再进入电场做直线运动或类平抛，通常还会涉及多过程重复。解题关键是画出准确的轨迹，确定几何边界。 3. 磁场与磁场组合：在不同强弱或方向的磁场中切换。注意轨迹半径会变，但在磁场边界上的速度方向是连接两段圆弧的关键。 趋势二：科技应用与高考评价体系深度融合 1. 质谱仪：核心是“速度选择器”+“偏转磁场”，求粒子比荷或质量。 2. 回旋加速器：核心公式是（交变电场周期必须等于这个值），以及最大动能与D形盒半径的关系。 3. 磁流体发电机、电磁流量计、霍尔元件：这三类都是“电磁搭桥”，核心平衡态都是洛伦兹力等于电场力：（其中U为稳定时的电动势）。 4. CT扫描与质控：带电粒子在电磁场中的偏转与医学成像技术结合，考查对偏转规律的理解。 趋势三：创新“新”在哪里？ 1.从“二维”向“三维”迈进：部分顶尖模拟卷已出现立体空间（三维） 的电磁场问题，考查空间想象与矢量分解能力。 2.从“静态”向“动态”转变：包括交变电磁场（电场方向或磁场大小随时间变化）和粒子源问题（大量粒子以不同方向或速率入射，考查临界值）。 3.从“单一”向“综合”延伸：尤其出现在“先电场后磁场”的模型中，利用动能定理求解电场力做功，或在粒子分裂、碰撞情境中应用动量守恒。 高频考法 1.粒子由磁场进入电场 2.粒子由电场进入磁场 3.粒子在电场和磁场中的往复运动 4.带电粒子在交变磁场中的运动 5.带电粒子在组合场中含动量问题 考向一：带电粒子在电磁组合场中的基本规律 1．带电粒子在组合场中运动的分析思路 第1步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段。 第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如第3步中表图所示。 第3步：用规律 2.“电偏转”与“磁偏转”的基本规律 垂直电场线进入 匀强电场(不计重力) 垂直磁感线进入 匀强磁场(不计重力) 受力情况 电场力FE＝qE，其大小、方向不变，与速度v无关，FE是恒力 洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方向随v而改变，FB是变力 轨迹 抛物线 圆或圆的一部分 运动轨迹示例 求解方法 利用类平抛运动的规律求解：vx＝v0，x＝v0t，vy＝·t，y＝··t2 偏转角φ满足：tan φ＝＝ 半径：r＝；周期：T＝ 偏移距离y和偏转角φ要结合圆的几何关系利用圆周运动规律讨论求解 运动时间 t＝ t＝T＝ 动能 变化 不变 考向二：先电场后磁场 (1)先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。 (2)先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。 考向三：先磁场后电场 对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况： (1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如图甲所示，粒子在电场中做加速或减速运动，用动能定理或运动学公式列式。 (2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直，如图乙所示，粒子在电场中做类平抛运动，用平抛运动知识分析。 01 先电场后磁场 1．（多选）如图所示，电子由静止开始，经M、N板间的电场加速后，从A点垂直于磁场边界射入宽度为d、磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，电子离开磁场时的位置P偏离入射方向的距离。已知电子的质量为m，电荷量为e，取。下列说法正确的是（　　） A．电子进入磁场时的速度大小为 B．电子在磁场中做圆周运动的半径为 C．电子在磁场中运动的时间为 D．若电场可调，为使电子能从磁场的右侧边界射出，则加速电压的最小值为 【答案】BC 【详解】B．电子在磁场中做圆周运动，粒子运动轨迹如图所示 由几何关系有 解得，故B正确； A．由洛伦兹力提供向心力有 解得，故A错误； C．轨迹圆心角θ满足 可得 运动时间，故C正确； D．加速电压U满足 要使电子从右侧射出需保证r>d 所以电压，故D错误。 故选BC。 2．（多选）医生常用CT扫描机给病人检查病灶，CT扫描机的部分工作原理如图所示。电子从静止开始经加速电场加速后，沿水平方向进入垂直纸面的矩形匀强磁场（偏转磁场），最后打在靶上的P点，产生X射线。已知MN间的电压为U，磁场的宽度为d，电子的比荷为k，电子离开磁场时的速度偏转角为θ，其重力忽略不计，则下列说法正确的是（　　） A．偏转磁场的方向垂直纸面向外 B．电子进入磁场的速度大小为 C．电子在磁场中做圆周运动的半径 D．偏转磁场的磁感应强度大小为 【答案】CD 【详解】A．电子经电场加速后进入磁场向下偏转，由左手定则知偏转磁场的方向垂直纸面向里，A错误； B．电子加速过程，由动能定理可得 解得，B错误； CD．电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，如图所示 由洛伦兹力作为向心力可得 由几何关系可得 联立解得半径为 磁感应强度的大小为，CD正确。 故选CD。 02 先磁场后电场 3．（多选）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，虚线边界OM与轴正方向成角。时刻，在第一象限加垂直纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场，此时，位于OM上的一正离子源S（到原点的距离为）在xOy平面内发射出大量质量为、电荷量为的同种不同速率的离子，方向斜向右下方，均与OM成角，且所有离子均能运动到边界OM。当所有离子运动到边界OM时，撤去磁场，在第一象限加沿轴负方向、大小为的匀强电场，使得所有离子经过第一象限OM与y轴间的某边界OP（图中未画出）时的速率均相等。不计离子的重力以及离子间的相互作用力，下列说法正确的是（    ） A．所有离子经过边界OM的时刻均为 B．离子的最大发射速率为 C．若离子的发射速率为，则离子经过边界OM时的坐标为 D．边界OP满足的方程为 【答案】ABD 【详解】A．离子在匀强磁场中运动的周期为 周期与离子速率无关。 由几何关系，入射方向与成，弦切角为，因此离子运动的圆心角 运动时间 与速率无关，所有离子运动时间都相同，A正确； B．洛伦兹力提供向心力 得轨迹半径 由几何关系，到出射点的弦长 出射点到原点的距离 因此 代入得 ，B正确； C．若，则 出射点到原点的距离 出射点坐标， 即坐标为，C错误； D．撤去磁场后加电场，设到达边界上点时速率为，根据动能定理 其中出射点在上的坐标满足， 其中 代入整理后，要求为常数（与无关），消去含的项后可得 第一象限，即，D正确。 故选ABD。 4．（多选）如图示的直角坐标系中，以O为圆心、R为半径的圆内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B；在的区域内存在水平向左的匀强电场，电场强度大小为E。在圆与y轴负半轴的交点A处有一粒子源，时刻粒子源向圆内各个方向同时发射若干速度相同的带正电粒子，粒子经磁场偏转后均平行于x轴第一次离开磁场，已知粒子的质量为m，电荷量为q，不考虑粒子间的相互作用，则（　　） A．带正电粒子进入匀强磁场时速度的大小为 B．带电粒子在电场中运动的时间为 C．带电粒子在电场中运动的最大位移为 D．最先第二次离开磁场的粒子从发射到第二次离开磁场所经历的时间为 【答案】ACD 【详解】A．粒子都能水平射出磁场，轨迹圆的半径 根据牛顿第二定律有 联立解得，故A正确 B．粒子在电场中只受电场力作用，根据动量定理有 得，故B错误； C．由动能定理 得，故C正确； D．假设粒子第1次在磁场中运动转过的角度为，第2次在磁场中运动转过的角度为，由几何关系可得，所有粒子两次在磁场中的运动时间相等。粒子在磁场中运动的总时间 所有粒子在电场中运动的时间均相等，从图中看出粒子在电场中由N点运动到K点，再由K点返回到N点，由动量定理得 解得 粒子在电场和磁场之间做匀速直线运动，由M点运动到N点，再由N点返回到M点，粒子通过此区间的总时间为 粒子从发射到第二次离开磁场所经历的总时间 其中为粒子通过电场和磁场之间区域的总路程。 当粒子沿y轴发射时，粒子通过电场和磁场之间区域总路程，粒子所经历的时间最短，故D正确。 故选ACD。 03 交变电磁组合场 5．（多选）如图甲所示，边长为L的正方形MNPQ区域内存在方向垂直于MNPQ平面的磁场，磁感强度大小为B0，方向周期性变化，且磁场变化周期T可调。以垂直MNPQ平面向外为磁感应强度的正方向，B-t图像如图乙所示。现有一电子在t=0时刻由M点沿MN方向射入磁场区，已知电子的质量为m，电荷量大小为e，PN边界上有一点E，且。若使电子满足下列条件时，说法错误的是（　　） A．沿方向经过P点，则电子的速度大小一定是 B．沿方向经过P点，则电子的速度大小可能大于 C．垂直边过E点，则磁场变化周期一定是 D．垂直边过E点，则磁场变化周期可能小于 【答案】ABC 【详解】AB．沿NP方向经过P点，根据几何关系，电子运动的半径为 根据洛伦兹力提供向心力 可得电子的速度大小，故AB错误。 CD．设垂直NP边过E点时，磁场变化周期等于在磁场中运动半径最大的粒子的运动时间，否则无法从垂直NP边过E点射出。设磁场方向变化时粒子速度方向的偏转角为，若磁场变化周期为，则有 可得 根据几何关系，可知此时半径，当粒子的偏转半径大于时，则存在磁场变化周期小于。故C错误，D正确。 本题选错误的，故选ABC。 6．（多选）如图甲所示，竖直放置的平行金属板M和N相互正对，间距为d=60cm，板长L=30cm，两板下端有一宽度等于板间距的粒子源，以速度v0=104m/s沿平行于金属板的方向向上连续不断均匀发射比荷为的带正电粒子，粒子间相互作用不计且忽略粒子重力。在M、N两板间加如图乙所示电势差，图中，在M板上边缘左方有足够长的水平吸收板MP，能吸收打到它的粒子，打到MN两板上的粒子也会被吸收。MN两板间认为是匀强电场，不考虑边缘效应。MP板所在水平线（图中虚线）的上方有匀强磁场（未画出），磁感应强度。观察到有粒子打在MP板上，则下列说法正确的是（　　） A．匀强磁场的方向垂直纸面向外 B．时刻进入平行板间的所有粒子经磁场偏转后击中MP板的长度为25cm C．MP板最终能吸收到粒子的总长度为55cm D．若撤去原磁场，在虚线上方适当位置加一个面积最小的圆形匀强磁场，使所有从平行板间飞出的粒子都被收集于空中一点，则该圆形匀强磁场的磁感应强度为 【答案】BCD 【详解】A．根据左手定则可知，粒子受到向左的洛伦兹力，则匀强磁场的方向垂直纸面向里，故A错误； B．时刻进入平行板间的所有粒子，根据类平抛运动规律有 解得 则内水平位移为， 内水平位移为， 代入数据解得粒子在水平方向的位移为 所以经磁场偏转后击中MP板的长度为 故B正确； C．，，……时刻进入平行板间的所有粒子其水平位移为 所以经磁场偏转后击中MP板的长度为 故C正确； D．若撤去原磁场，在虚线上方适当位置加一个面积最小的圆形匀强磁场，使所有从平行板间飞出的粒子都被收集于空中一点，根据磁聚焦原理可得，， 解得该圆形匀强磁场的磁感应强度为 故D正确。 故选BCD。 04 三维空间电磁组合场 7．（多选）在半导体器件制造中，离子注入的角度控制是决定其性能的关键之一，其控制过程可简化为如图所示模型。空间直角坐标系o-xyz中有一个长为4L、高为2L的长方体区域，被正方形abcd等分成左右两个相等的正方体空间Ⅰ和空间Ⅱ，整个长方体空间（含边界）存在沿x轴正方向的匀强电场E，同时空间Ⅱ还存在沿x轴正方向的匀强磁场B（图中均未标出）。已知一个质量为m，电荷量为q的离子从ON边的中点P以速度v0平行于z轴正方向射入，一段时间后该离子经过正方形abcd的中心点Q，且离子在空间Ⅱ运动的过程中，恰好未从xoz面飞出，不计离子重力和空气阻力，不考虑其他影响，则（　　） A．该离子带负电 B．空间Ⅰ中匀强电场的电场强度大小 C．空间Ⅱ中匀强磁场的磁感应强度大小 D．该离子离开此区域时速度与x轴正方向的夹角满足 【答案】BC 【详解】A．整个长方体空间存在沿x轴正方向的匀强电场E，由ON边的中点P以速度v0平行于z轴正方向射入的离子向右运动经过Q点，可知离子所受电场力沿x轴正方向，因此离子带正电，A错误； B．离子在空间Ⅰ中做类平抛运动，离子从P点运动到Q点的过程中，由运动学公式有沿z轴方向 沿x轴方向 由牛顿第二定律有 联立解得：，B正确； C．离子由Q点进入空间Ⅱ，在yoz平面以速度v0做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得 根据题意可知离子做匀速圆周运动的半径 联立解得，C正确； D．离子在整个长方体空间运动过程中，沿x轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动，由运动学公式有 联立解得 因此该离子离开此区域时，速度与x轴正方向的夹角满足，D错误。 故选BC。 8．如图所示的坐标系中，在、区域有沿轴负方向的匀强电场，在、区域有沿轴正方向的匀强磁场Ⅰ，在区域有沿轴负方向的匀强磁场Ⅱ。在平面内沿与轴正向成角从点向第一象限内射出质量为、电荷量为、速率为的带正电的粒子，粒子从轴上坐标为的点进入磁场Ⅰ，经磁场Ⅰ偏转后，以与轴正向成角进入磁场Ⅱ，在磁场Ⅱ中的轨迹刚好与平面相切，不计粒子的重力，求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)匀强磁场Ⅰ的磁感应强度大小； (3)试确定粒子在磁场Ⅱ中运动过程中，轨迹与平面相切的切点坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设匀强电场的电场强度大小为，粒子在电场中运动时间为，根据题意， 根据牛顿第二定律有 解得。 （2）根据题意可知，粒子进磁场I时的速度方向与出磁场I时的速度方向刚好相反，因此粒子在磁场I中运动的轨迹是半圆，设粒子在磁场I中做圆周运动的半径为，则入射点与出射点间的距离为。根据几何关系有 解得 根据对称性可知，粒子进磁场I时的速度大小为，根据牛顿第二定律 解得。 （3）粒子进磁场Ⅱ时速度大小仍为，方向与轴正方向成角，则粒子进磁场Ⅱ的入射点到点的距离为 根据题意，粒子在磁场Ⅱ中运动的轨迹与平面切点的坐标，粒子在磁场Ⅱ中沿轴负方向做匀速直线运动，运动的速度大小 在垂直磁场Ⅱ的平面内做匀速圆周运动，根据题意，做匀速圆周运动的速度大小 做圆周运动的半径 因此切点坐标， 即切点坐标为。 05 带电粒子在电场和磁场中的往复运动 9．2026年1月，中核集团中国原子能科学研究院自主研制的首台串列型高能氢离子注入机（POWER-750H）成功出束，这标志着我国离子注入技术已实现从跟跑到并跑的关键跨越。离子注入技术（IonImplantation）是一种通过电场或磁场对高能离子精确控制，注入材料表面或近表面区域，从而改变材料物理、化学、电学和光学性质的先进材料加工技术，被誉为半导体制造的“四大核心装备”之一。如图所示，在三维坐标系Oxyz中，x<0的空间内充满匀强电场，场强方向沿y轴正向；x>0的空间内充满沿x轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B；一带电粒子在P点，其坐标为（-3L，-2L，0），以速度沿x轴正向射出，一段时间后粒子恰好通过坐标原点O进入磁场区域，设粒子的质量为m、电荷量为+q，不计粒子重力，忽略场的边缘效应。求： (1)匀强电场电场强度E的大小； (2)试分析说明粒子经过O点之后的运动轨迹，并求出轨迹上的点到x轴的最远距离d； (3)粒子经过坐标原点为计时起点，写出粒子轨迹在y轴上的投影坐标y随时间t变化的函数关系表达式 【答案】(1) (2)整体做等距螺旋线运动， (3) 【详解】（1）粒子在匀强电场中做匀变速曲线运动，设到达O点之前的时间为，x轴正方向有 y轴正向有， 由以上公式解得 （2）粒子运动到坐标原点时有 解得 粒子在磁场中沿x轴正方向做匀速直线运动，yOz平面内做匀速圆周运动，所以有 带电粒子过O点之后沿x轴方向做速度为的匀速直线运动，在yOz平面内做速度为，半径的匀速圆周运动，整体做等距螺旋线运动。 粒子在磁场中运动过程中离x轴最远点的距离 解得 （3）在yOz平面内的匀速圆周运动投影到y轴上是一个简谐运动 其中，， 粒子在yOz平面内匀速圆周运动的周期 所以 10．如图所示，平面直角坐标系中，第一象限存在沿轴负方向的匀强电场；电场强度大小为，第四象限存在垂直坐标平面向外的匀强磁场。一质子从坐标原点以某一速度飞入电场，先后经过点进入磁场。点坐标为点坐标为。已知质子质量为，带电荷量为，不计重力。 (1)求质子在点的速度大小及该速度与轴正方向的夹角； (2)若质子第一次进入磁场后，到达轴时速度方向恰好垂直轴，求质子在电场和磁场中运动的总时间； (3)若质子某次出磁场后能经过点（2d，0.5d），求磁感应强度的最小值。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）质子在电场中做类斜抛运动，根据对称性可知，P点为抛物线的顶点，从O到Q点经过的时间为 由牛顿第二定律有 y方向做匀变速运动，O到P的时间为，根据位移时间关系 可得 x方向做匀速运动，O到Q过程中， 解得 y方向，由速度时间关系 可得， 质子在O点的速度 （2）根据运动的对称性可知，质子第一次到达Q点时速度大小为，方向与x轴正方向夹角为 质子在磁场中做匀速圆周运动，设轨迹半径为，如图所示由几何关系有 质子在磁场中做匀速圆周运动的周期 质子在磁场中运动的时间 质子在电场和磁场中运动的总时间 （3）设质子第2次经过x轴的位置到O的距离为，如图所示 由几何关系有 质子某次出磁场后能经过点，需满足 可得 因质子在磁场中轨迹不能过第三象限，还需满足 所以 则，可得 即或 根据洛伦兹力提供向心力 可得 当越大时，B越小，即时磁感应强度有最小值 则 06 带电粒子在组合场中含动量问题 11．如图所示，直流电源电动势，内阻，电阻，，。两端并联一个平行板电容器，板长，宽度，某时刻闭合开关S，在平行板左边缘中央有一比荷为的带正电粒子，以初速度向右进入平行板电容器，从其右侧飞出后立即进入到磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场中。带电粒子在磁场中运动时始终受到一个方向与速度相反、大小满足的阻力，其中。以平行板电容器中心线为轴，紧靠平行板右边缘为轴建立平面直角坐标系，以水平向右为轴正方向，竖直向下为轴正方向，不计带电粒子的重力和空气阻力，忽略电容器的充电时间。 (1)求平行板电容器之间匀强电场的电场强度； (2)求带电粒子飞出平行板电容器右边缘的速度； (3)当带电粒子在磁场中运动时速度方向第一次平行于轴，此时带电粒子在磁场中的横坐标位置（为已知量，单位为m），求此时带电粒子的速度。 【答案】(1) (2)，与水平方向夹角正切值 (3) 【详解】（1）设路端电压为 由并联电阻特点得外电路电阻 根据闭合电路欧姆定律得 解得 由部分电路欧姆定律得分得的电压 由匀强电场中电势差和电场强度的关系 （2）带电粒子在平行板电容器间做类平抛运动 水平方向： 竖直方向：， 飞出平行板电容器速度 与水平方向夹角 （3）设带电粒子速度方向第一次平行轴的速度为，此过程中带电粒子在轴方向上运动的距离为 在方向由动量定理得 在方向由动量定理得 其中， 联立以上各式可得。 12．某离子分析器的原理示意图如图所示，分析器由分布在轴左侧的偏转区和轴右侧的检测区组成。在直线和轴之间的偏转区内存在着两个等大反向的有界匀强电场，其中轴上方的电场沿轴负方向，轴下方的电场沿轴正方向。在轴右侧检测区内分布着垂直于平面向里、范围足够大的磁场，磁感应强度大小随位置坐标均匀变化，且满足（k为大于零的常数）。在电场左边界上点（，）到点（，0）区间内存在一线状离子源， 离子源各处都能持续发射电量为、质量为的相同离子，所有离子均以相同速度沿轴正方向射入电场。已知从点发出的离子恰好能从点（0，）沿轴正方向进入磁场，其轨迹如图虚曲线所示。在检测区有一块与轴平行的检测板，打到检测板的离子会被板吸收，忽略电磁场间的相互影响，不计离子的重力及它们之间的相互作用。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)从间某些位置发出的离子进入磁场时也能沿轴正方向运动，写出这些位置的坐标； (3)若检测板可沿轴平移，要使检测板能收集到沿轴正方向进入磁场并经磁场偏转后的所有离子。 ① 求检测板位置坐标的最大值； ②当检测板位置坐标取最大值时，测得从点（0，）进入磁场的离子在检测板上的收集点到轴的距离为，求该离子在磁场中的运动轨迹与坐标轴和检测板所围面积的大小。 【答案】(1) (2)（，，） (3)①；② 【详解】（1）由对称性可知，x轴方向 y轴方向 解得 （2）沿x轴正方向进入磁场时可能的运动轨迹如图所示 离子需满足的条件为（，，） 设到C点距离为处射出的粒子通过电场后也沿x轴正方向射出，粒子第一次到达x轴用时，水平位移为，则， 解得（，，） 即满足要求的AC间离子y坐标为（，，） （3）①若要检测板能收集到沿x轴正方向进入磁场的所有离子，离子到达检测板的速度满足，时，x取最大值；对离子受力，在y轴方向应用动量定理 即 所以 又 可得 解得 ②从（0，）点射入磁场的离子其运动轨迹与y轴所围面积记为，对该离子进行受力分析，在x轴方向应用动量定理 即 所以 又 可得 解得 该离子的运动轨迹与坐标轴和检测板所围面积记为，由几何关系可知 一、单选题 1．如图，甲是回旋加速器，乙是磁流体发电机，丙是速度选择器，丁是霍尔元件，下列说法正确的是（　　） A．甲图要增大出射粒子的最大动能，可增加加速电压U B．乙图可判断出B极板是发电机的正极 C．丙图可以判断出带电粒子的电性，粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是 D．丁图中若载流子带负电，稳定时D面电势低 【答案】B 【详解】A．根据牛顿第二定律可得 可得 又 可得粒子的最大动能为 粒子的最大动能与加速电压U无关，故A错误； B．根据左手定则，可知正电荷向B极板偏转，则B极板是发电机的正极，故B正确； C．速度选择器选择的是带电粒子的速度，故丙图无法判断出带电粒子的电性，根据 可得粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是，故C错误； D．根据左手定则可知，带负电的载流子受到洛伦兹力方向向左，即向C面偏转，故稳定时C面电势低，故D错误。 故选B。 2．如图所示，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场。质量为m、电荷量为的粒子从磁场中的a点以速度向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，通过b点时其速度方向水平向右。a、b距水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为，不计粒子重力，则下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度大小为 B．电场强度大小为 C．电场强度大小减半，粒子仍能从b点射出 D．磁感应强度大小加倍，粒子仍能从b点射出 【答案】B 【详解】A．根据题意可知，画出粒子的运动轨迹，如图所示 由题意可知 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，由几何关系有 解得 由牛顿第二定律有   解得，故A错误； B．根据题意，由对称性可知，粒子射出电场时，速度大小仍为，方向与水平虚线的夹角为60°，由几何关系可得 则粒子在电场中的运动时间    解得 沿电场方向上，由牛顿第二定律有 由运动学公式有   联立解得，故B正确； C．电场强度大小减半，则在电场中类斜抛运动竖直加速度减半，运动时间加倍，则水平位移加倍，进入磁场位置改变，但速度大小方向不变，则不能经过b点，故C错误； D．磁感应强度大小加倍后，根据可知，半径减半，即 粒子垂直进入电场，后垂直射出，因为不是偶数，所以无法经过b点，故D错误。 故选B。 3．某同步加速器简化模型如图所示，其中仅直通道PQ内有加速电场，三段圆弧内均有可调的匀强偏转磁场B。带电荷量为－q、质量为m的离子以初速度从P处进入加速电场后，沿顺时针方向在加速器内循环加速。已知加速电压为U，磁场区域中离子的偏转半径均为R。忽略离子重力和相对论效应，下列说法正确的是（    ） A．偏转磁场的方向垂直纸面向外 B．第1次加速后，离子的动能增加了2qU C．第k次加速后，离子的速度大小变为 D．第k次加速后，偏转磁场的磁感应强度大小应为 【答案】C 【详解】A．直通道PQ内有电势差为U的加速电场，离子带负电，离子沿顺时针方向运动，由左手定则可知，偏转磁场的方向垂直纸面向里，故A错误； BC．根据题意，由动能定理可知，加速1次后，离子的动能增量为qU，由于洛伦兹力不做功，则加速k次后，离子的动能增量为kqU，加速k次后，由动能定理得 解得，故B错误C正确； D．离子在偏转磁场中运动的半径为R，则有 联立解得，故D错误。 故选C。 4．跑道式回旋加速器的工作原理如图所示，两个磁感应强度大小为B的匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ的边界 平行，相距为L。P、Q之间存在匀强加速电场E，方向与磁场边界垂直。质量为m、带电荷量为+q 的粒子从P点注入电场（初速度为0），多次经电场加速和磁场偏转后，恰好从边界上距离Q点为L 的出射口K引出，不计带电粒子的重力，则粒子引出前在磁场中运动的总时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】带电粒子在匀强磁场中做圆周运动，则， 可得周期 周期与粒子速度无关，故每运动半圆的时间为 粒子最终从K点引出，最后一次偏转的直径为，因此最大半径 洛伦兹力提供向心力 解得 粒子每次经过电场加速，电场做功为，加速次后，由动能定理有 解得加速次数 n次加速对应个半圆弧，故总时间为 代入可得 故选B。 5．如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知离子质量为m、带电荷量为q，离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。若要使离子从垂直于N板射出磁场，则离子射入磁场时的速度可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】要使正离子从孔垂直于N板射出磁场，的方向应如图所示 两板之间正离子只运动一个周期即时，有；当两板之间正离子运动n个周期即时，有。联立求解，得正离子的速度的可能值为。 当时，。 故选A。 6．如图，是交替出现的宽为的匀强电场和匀强磁场区域，其中编号1、3区域为电场，场强均为，2、4区域为磁场，场强均为，方向如图所示。质量为，带电量为的正粒子，从1区上边界由静止释放，不计重力。下列说法中正确的是（　　） A．粒子从4区下边界穿出后的动能一定为 B．粒子从4区下边界穿出后的水平速度一定为 C．粒子从4区下边界穿出时的速度与水平方向夹角的余弦为 D．若粒子恰未从第4场区射出，则需满足 【答案】A 【详解】A．由于洛伦兹力总是不做功，粒子从静止释放到从4区下边界穿出，根据动能定理可得 可知粒子从4区下边界穿出后的动能一定为，粒子从4区下边界穿出后的速度大小为 故A正确； BCD．由于电场力处于竖直方向，不影响水平方向的速度，则粒子从静止释放到从4区下边界穿出，水平方向根据动量定理可得 其中 联立可得粒子从4区下边界穿出后的水平速度为 则粒子从4区下边界穿出时的速度与水平方向夹角的余弦为 若粒子恰未从第4场区射出，粒子达到4区下边界的竖直分速度刚好为0，则有 解得 故BCD错误。 故选A。 7．如图甲，在空间直角坐标系中，平面与平面平行，平面左右两侧分别存在沿z轴和x轴方向周期性变化的磁场、如图乙、丙，磁场正方向与坐标轴正方向相同。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在时刻从平面上的A点沿y轴负方向射入左侧的匀强磁场，之后在两磁场中运动，不计粒子重力及磁场变化的影响，下列关于粒子运动轨迹在平面上的投影图正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】粒子在平面左侧的运动轨迹为半圆，在平面上的投影图为一水平方向的直径，粒子在平面右侧的运动轨迹为半圆，在平面上的投影图为一竖直方向的直径，经过磁场的一个周期，粒子回到原位置，组合起来整个运动轨迹在平面上的投影图如A项所示。 故选A。 8．在现代研究受控热核反应的实验中，需要把高温等离子体限制在一定空间区域内，磁约束就成了必不可少的技术。如图所示，科学家设计了一种中间弱两端强的磁场，该磁场由两侧通有等大同向电流的线圈产生。假定一带正电的粒子（不计重力）从左端附近以斜向纸内的速度进入该磁场，其运动轨迹为图示的螺旋线（未全部画出）。此后，该粒子将被约束在左右两端之间来回运动。根据上述信息并结合所学知识，下列说法正确的是（　　） A．从最左端到最右端的过程中，螺旋线的半径逐渐增大 B．从最左端到最右端的过程中，粒子的动能先增大后减小 C．从最左端到最右端的过程中，粒子运动轨迹的螺距先变小后变大 D．从最右端返回时，粒子在垂直磁瓶轴线的速度分量最大 【答案】D 【详解】AB．由于垂直于轴线的平面内，粒子做匀速圆周运动，粒子在两段之间来回运动，因此沿磁瓶轴线方向的速度分量先变大后变小，因为从左端到右端的运动过程中，粒子只受洛伦兹力作用，洛伦兹力对粒子不做功，故其动能不变，则合速度大小不变，故垂直于轴线的速度分量先变小后变大，故半径先变大后变小，故AB错误； C．粒子做圆周运动的周期为 其中 可得 由于从左端到右端的运动过程中，磁感应强度先减小后增大，所以粒子的运动周期先增大后减小。根据题意可知，粒子运动轨迹的螺距为 由于粒子沿磁瓶轴线方向的速度分量先变大后变小，所以运动轨迹的螺距先变大后变小，故C错误； D．从最右端返回时，在垂直于磁瓶轴线平面内，粒子的速度与轴线垂直，故沿磁瓶轴线方向的速度分量为零，又粒子的速度大小不变，故此时垂直磁瓶轴线方向的速度分量最大，故D正确。 故选D。 二、多选题 9．如图甲所示，平面内有两条平行直线、相距为d，在两直线之间有与x轴平行的匀强电场E，在上方、下方分布着垂直平面的匀强磁场。时刻，一质量为m、电荷量为的粒子从O点沿y轴正方向以的速度进入磁场Ⅰ，随后在平面内运动，其速度可用图乙所示的直角坐标系内一点表示，，分别表示粒子速度在x、y轴上的分量。在图乙中，初始时K点位于图乙中a点，随后在磁场Ⅰ作用下K点沿以O为圆心的圆弧经s点移动到b点，之后粒子离开磁场Ⅰ进入电场，K点沿线段移动至c点，然后粒子进入磁场Ⅱ，K点沿以O为圆心的圆弧经w点移动到d点，之后粒子再次进入电场，K点沿线段回到a点。此后K点沿图乙中的曲线一直运动下去。已知过程和过程，电场E大小不变、方向相反。不计粒子重力。以下说法正确的是（　　） A．图乙中的s点坐标为，可知磁场Ⅰ的方向为垂直平面向外 B．、间的电场强度E的大小为 C．图乙中的w点坐标为，可知磁场Ⅱ的方向为垂直平面向外 D．对应图乙中的过程，电场力对粒子做功，对应过程，粒子克服电场力做功 【答案】AB 【详解】A．由题意，可画出粒子的运动轨迹如图所示 由s点的坐标知，粒子在磁场Ⅰ中顺时针运动，根据左手定则可判断磁场方向向外，故A正确； B．粒子在电场中沿y轴负方向做匀速运动，有 沿x轴正方向做匀加速运动， 又因为， 解得，方向沿x轴正方向，故B正确； C．w点坐标为，对应粒子运动是顺时针的，磁场Ⅱ方向向外。坐标错误，故C错误； D．图乙中过程，根据坐标值，根据功能关系可得粒子克服电场力做功为，故D错误。 故选AB。 10．如图为某粒子分析器的工作原理图。粒子源O中有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，粒子从O处由静止开始经电场加速后，沿通道中心经过静电分析器，接着恰好从A 点沿着AB方向进入磁分析器ABCD。已知加速电场的电压为U，圆弧形静电分析器通道内存在均匀辐射电场，通道中心是半径为R 的圆弧，圆弧上各点电场强度大小均为E（未知），磁分析器中有垂直纸面向外的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场空间还存在着一种黏性介质，使得粒子运动时受到与速度大小成正比、方向相反的阻力f=kv。粒子速度第一次与进入磁场时的初速度方向相反时在F点，AF与AD夹角为θ。不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．若要粒子能顺利沿静电分析器通道中心到达A点，则电场强度 B．若仅改变粒子质量，则粒子将不能通过静电分析器 C．θ与k的关系满足ktanθ=qB D．最终停下的点到AD的距离为 【答案】AD 【详解】A．电场中加速过程有 静电分析器内做匀速圆周运动有 联立解得，故A正确； B．只要满足，粒子做匀速圆周运动就能通过静电分析器，与粒子的质量无关，故B错误； C．粒子在磁分析器中运动时，速度第一次与初速度方向相反时在F点，有 水平方向的速度变化为零，由动量定理 即 联立可得，故C错误； D．对粒子在磁分析器中运动到最终停下的全过程分析，在竖直方向由动量定理 可得 水平方向的速度变化为零，由动量定理 即有 代入初速度，可得最终停下的点到AD的距离为，故D正确。 故选AD。 11．在平面内存在如图所示的电磁场区域，在到的区域Ⅰ内存在沿轴正方向的匀强电场，在到的区域Ⅱ内存在沿轴负方向的匀强电场，区域Ⅰ和区域Ⅱ的电场强度大小均为，在第一、四象限内存在范围足够大且方向垂直纸面向里的非匀强磁场，磁感应强度大小满足（为已知量）。坐标为的处有一粒子源，可以释放初速度为0，电荷量为、质量为的带电粒子，粒子重力忽略不计，不考虑电磁场区域的边缘效应和粒子间的作用力，下列说法正确的是（　　） A．粒子第一次从区域Ⅰ进入区域Ⅱ时的速度为 B．粒子第一次经过轴的坐标与的大小有关 C．粒子第一次经过轴时速度方向与轴正方向的夹角满足 D．若，则粒子从区域Ⅱ进入磁场区域后，其速度方向第一次沿轴正方向时的横坐标为 【答案】ACD 【详解】A．设粒子第一次从区域Ⅰ进入区域Ⅱ时的速度为，根据动能定理，解得，故A正确； BC．设粒子第一次经过轴的坐标为，粒子在区域Ⅰ的运动时间满足 加速度为 坐标 联立解得，即粒子第一次经过轴的坐标与的大小无关。 可知粒子竖直位移为，水平位移为，故粒子第一次经过轴时速度方向与轴正方向的夹角满足，故B错误，C正确； D．粒子从区域Ⅱ进入磁场区域后，其速度方向第一次沿轴正方向，说明其竖直分速度减为0，根据C选项，可求得竖直分速度为 在竖直方向，洛伦兹力的竖直分量为，根据动量定理 又，代入上式解得 粒子比荷为 联立解得，故D正确。 故选ACD。 12．如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的匀强磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，设垂直纸面向里的磁场方向为正。有一正离子在时垂直于M板从小孔O射入磁场，又从小孔O′射出磁场。已知正离子质量为m，电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。以下磁感应强度B0大小、离子射入磁场的速度v0，可能正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】AB．正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力，有 做匀速圆周运动的周期 联立解得，故A错误，B正确； CD．根据题意可知，要使正离子从孔射出磁场，离子到达时必须经过整数个周期，如图所示 当正离子在两板之间运动n个周期，即运动时间为时，由几何关系有 联立求解得正离子的速度的可能值为 可知，离子射入磁场的速度可能为，不可能为，故C错误，D正确。 故选BD。 三、解答题 13．高能粒子实验装置是用以发现高能粒子并研究其特性的主要实验工具，图示为某种该装置的简化模型。在y轴沿竖直方向的直角坐标系xOy中，在第一象限内有与y轴负方向平行的匀强电场，电场强度大小；第二象限内有磁感应强度大小、方向垂直纸面向里的匀强磁场I；y<0的区域内有磁感应强度大小B、方向垂直纸面向外的匀强磁场Ⅱ。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从A点（，）以速率v0沿轴负方向开始运动，经磁场偏转后过C点进入电场，经电场偏转后过D点进入磁场Ⅱ。粒子在磁场Ⅱ中还受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，比例系数为k；当粒子在磁场Ⅱ中运动到x轴上的P点（未画出）时恰好沿轴正方向做直线运动；x轴上无电场、磁场存在，不计粒子重力。求： (1)C点距坐标原点O的距离； (2)粒子从A点运动到D点的时间t； (3)D、P两点间的距离d。 【答案】(1)L (2) (3) 【详解】（1）画出粒子的运动轨迹，如图1所示 由洛伦兹力提供向心力得 可得粒子在第二象限内做圆周运动的半径 粒子在第二象限的运动轨迹恰好是圆弧，垂直y轴进入第一象限，则C点距坐标原点O的距离 （2）粒子在第二象限中运动的时间 粒子在电场中做类平抛运动，可得， 联立解得 粒子从点运动到点的时间 （3）粒子过点后，取一小段时间，粒子受力情况及矢量分解如图2所示 根据动量定理在方向上可得 两边同时对过程求和可得 其中，， 联立可得 解得 14．如图所示，水平线上方有平行纸面竖直向下的匀强电场，下方有垂直纸面向外的匀强磁场，在上的点沿与成角向右上射出一个质量为、电荷量为的带正电的粒子，初速度的大小为，粒子经电场偏转后从点进入磁场，间的距离为，粒子经磁场偏转后从点左侧距点处第一次离开磁场，不计粒子的重力。 (1)求匀强电场的电场强度大小； (2)求匀强磁场的磁感应强度大小； (3)若在电场中放一个平行的弹性绝缘挡板，粒子仍从点沿与成角向右上射出，粒子在挡板上碰撞前后瞬间，平行于挡板的速度大小不变，垂直于挡板方向的速度大小相等、方向相反，要使粒子与挡板下边缘碰撞再经磁场偏转后第一次离开磁场的位置到点的距离为，求挡板到的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子从P点射出，水平方向做匀速运动，则 竖直方向， 可得 （2）由对称性可知，粒子从Q点进入磁场时，速度大小仍为v0，方向与MN成45°斜向右下方，由几何关系可知粒子做圆周运动的半径为 即 根据 可得 （3）若在MN上方放挡板CD，则粒子从P点射出后在C点与挡板相碰，因相碰时水平速度不变，竖直速度等大反向，可知粒子进入磁场时速度大小和方向不变，进入磁场后仍做半径为r的圆周运动，因第一次离开磁场的位置到点的距离为，可知进入磁场的位置应该在PQ的中点M，则由对称性可知，C点在PM上的投影点B应该是PM的中点，根据类平抛运动的规律可知，而 挡板到的距离 15．小阳同学依据高中所学知识设计一粒子加速器，其原理如图所示。空间区域存在垂直纸面向里、磁感应强度为的匀强磁场。区域存在斜向右上方的匀强电场，电场强度为，方向与轴正方向夹角为。在点（0，d）处有一粒子发射源，能发射带电荷量为、质量为的带正电粒子，已知出射的粒子有固定的初速度，且方向与轴成，不计粒子重力，求： (1)粒子从出发到进入磁场前所经历的时间； (2)粒子第2025次进入磁场的点与离开磁场的点之间的距离； (3)若粒子经过次加速后从轴上的某点射出电场，求粒子此时的速度大小以及该出射点的横坐标。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）在区域，粒子沿轴方向与轴方向的速度均为 沿轴方向有 在电场中将电场力分别沿轴方向和轴方向分解，则有 解得 粒子沿轴负方向减速，减速到零后再返回轴，根据运动的对称性可知返回时沿轴方向的速度为，方向为沿轴正方向，经历的时间 由于沿轴方向的速度大小没变，粒子从电场进入磁场前经历的时间 粒子从出发到进入磁场前所经历的时间 （2）在磁场中粒子运动轨迹如图，粒子在进入和离开电场时，沿轴方向的速度大小不变，每次进入磁场沿轴方向速度的变化量大小恒为，设每次进出磁场的两点间距为l，在轴方向，由动量定理，有 其中 解得 （3）粒子在电场中，每次运动的时间均为，每次沿轴正方向增加的速度大小恒为 经次加速后沿轴方向速度大小为 经次加速后粒子的速度大小为 加速过程，沿轴方向的总位移为 解得 粒子在区域沿轴正方向的速度满足 故粒子在区域沿轴正方向运动的总位移为 解得 粒子在磁场中回转了次，此过程沿轴负方向的总位移为，故粒子经过第次加速后从轴上的某点离开电场，该点的位置坐标 解得 9 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $