专题04 功能关系及能量守恒定律的应用【压轴题】2026年高考物理压轴题专项训练（新高考通用）

专题04 功能关系及能量守恒定律的应用 命题预测 功能关系及能量守恒在高考物理中占据了至关重要的地位，因为它们不仅是物理学中的基本原理，更是解决复杂物理问题的关键工具。在高考中，这些考点通常被用于检验学生对物理世界的深刻理解和应用能力。 核心命题趋势：三大转向 1. 从“单物体”到“多过程、多物体”：压轴题常涉及板块、传送带、弹簧的组合，重点考察过程选择和状态分析。 2. 从“理想模型”到“实际情境”：试题常以风力发电、自动灌溉、游乐设施等为背景，要求提炼物理模型并计算效率。 3. 高频结合“图像”：通过（动能-位移）、（势能-位移） 图像考察信息提取能力。 高频考法 1. 板块与传送带模型：必考“摩擦生热” 2. 含弹簧系统的“多过程”问题 3. 曲线运动与能量综合（圆周运动+抛体运动） 4. 新能源与功能关系（创新题）：风能发电、光热电站的能量转化效率。 考向一：应用动能定理处理多过程问题 1.应用动能定理解决多过程问题的两种思路 (1)分阶段应用动能定理 ①若题目需要求某一中间物理量，应分阶段应用动能定理。 ②物体在多个运动过程中，受到的弹力、摩擦力等力若发生了变化，力在各个过程中做功情况也不同，不宜全过程应用动能定理，可以研究其中一个或几个分过程，结合动能定理，各个击破。 (2)全过程(多个过程)应用动能定理 当物体运动过程包含几个不同的物理过程，又不需要研究过程的中间状态时，可以把几个运动过程看作一个整体，巧妙运用动能定理来研究，从而避开每个运动过程的具体细节，大大减少运算。 2.全过程列式时要注意 (1)重力、弹簧弹力做功取决于物体的初、末位置，与路径无关。 (2)大小恒定的阻力或摩擦力做功的数值等于力的大小与路程的乘积。 3. 动能定理解决往复运动问题 (1)往复运动问题：在有些问题中物体的运动过程具有重复性、往返性，描述运动的物理量多数是变化的，而且重复的次数又往往是无限的或者难以确定的。 (2)解题策略：此类问题多涉及滑动摩擦力或其他阻力做功，其做功的特点是与路程有关，运用牛顿运动定律及运动学公式将非常烦琐，甚至无法解出，由于动能定理只涉及物体的初、末状态，所以用动能定理分析这类问题可使解题过程简化。 考向二：多物体的机械能守恒问题 1.解决多物体系统机械能守恒的注意点 (1)要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。 (2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 (3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。 2.常见的三种模型 （1）轻绳连接的物体系统 常见情景 二点提醒 (1)分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。 (2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。 （2）轻杆连接的物体系统 常见情景 三大特点 (1)平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。 (2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 (3)对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。 （3）轻弹簧连接的物体系统 题型特点 由轻弹簧连接的物体系统，若只有重力做功或系统内弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。 两点提醒 (1)对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量完全决定，无论弹簧伸长还是压缩。 (2)物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关。 考向三 功能关系的理解和应用 1.几种常见的功能关系及其表达式 力做功 能的变化 定量关系 合力的功 动能变化 W＝Ek2－Ek1＝ΔEk 重力的功 重力势能 变化 (1)重力做正功，重力势能减少 (2)重力做负功，重力势能增加 (3)WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 弹簧弹力的功 弹性势能 变化 (1)弹力做正功，弹性势能减少 (2)弹力做负功，弹性势能增加 (3)W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 只有重力、弹簧弹力做功 机械能 不变化 机械能守恒，ΔE＝0 除重力和弹簧弹力之外的其他力做的功 机械能变化 (1)其他力做多少正功，物体的机械能就增加多少 (2)其他力做多少负功，物体的机械能就减少多少 (3)W其他＝ΔE 一对相互作用的滑动摩擦力的总功 机械能减少，内能增加 (1)作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功，系统内能增加 (2)摩擦生热Q＝fs相对 安培力做功 电能变化 (1)克服安培力做的功等于电能增加量 (2)W克安＝E电 2.能量守恒定律的理解和应用 （1）对能量守恒定律的两点理解 1　 某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。 2　 某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。 （2）能量转化问题的解题思路 1　 当涉及摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能量守恒定律。 2　 解题时，首先确定初、末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE减与增加的能量总和ΔE增，最后由ΔE减＝ΔE增列式求解。 （3）涉及弹簧的能量问题 两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的过程，具有以下特点： 1　 能量转化方面，如果只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统机械能守恒。 2　 如果系统内每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，则当弹簧伸长或压缩到最大程度时两物体速度相同。 （4）两种摩擦力做功特点的比较 　类型 比较　　 静摩擦力做功 滑动摩擦力做功 不同点 能量的转化 只有机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能转化为其他形式的能 (1)一部分机械能从一个物体转移到另一个物体 (2)一部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能的损失量 一对摩擦力的总功 一对静摩擦力所做功的代数和总等于零 一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值，总功W＝－fs相对，即发生相对滑动时产生的热量 相同点 做功情况 两种摩擦力对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不做功 考向四 传送带问题 1.传送带问题的分析方法 (1)动力学角度：首先要正确分析物体的运动过程，做好受力分析，然后利用运动学公式结合牛顿第二定律求物体及传送带在相应时间内的位移，找出物体和传送带之间的位移关系。 (2)能量角度：求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放上物体而使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解。 2.功能关系分析 (1)传送带克服摩擦力做的功：W＝fs传，也是电动机因传送带传送物体而多做的功。 (2)系统产生的内能：Q＝fs相对。 (3)功能关系分析：W＝ΔEk＋ΔEp＋Q。其中ΔEk表示被传送物体动能的增加量，ΔEp表示被传送物体重力势能的增加量。 考向五 板块问题 1.模型分类 “滑块—木板”模型根据情况可以分成水平面上的“滑块—木板”模型和斜面上的“滑块—木板”模型。 2.位移关系 滑块从木板的一端运动到另一端的过程中，若滑块和木板沿同一方向运动，则滑块的位移大小和木板的位移大小之差等于木板的长度；若滑块和木板沿相反方向运动，则滑块的位移大小和木板的位移大小之和等于木板的长度。 3.解题关键 找出物体之间的位移(路程)关系或速度关系是解题的突破口，求解中应注意联系两个过程的纽带：每一个过程的末速度是下一个过程的初速度。 01 应用动能定理解决多过程运动问题 1．如图所示，半径为R的光滑圆弧轨道固定在水平面与竖直墙面之间，圆心为O1，在圆弧的最低点C静止放置质量为m乙的小球乙（视为质点），在圆弧的最高点O2悬挂一条长度为2R的轻质细线，细线的另一端连接质量为m甲的小球甲（视为质点），甲从A点由静止释放时，细线伸直与水平方向的夹角为30°，当甲落到B点细线再次伸直时，甲立即沿着圆弧轨迹向下运动；甲运动到C点时速度为v甲，与乙发生碰撞刚结束时，甲立即停止运动，乙沿着圆弧轨道恰好能运动到最高点O2，此时乙的动能，动量大小，重力加速度g=10m/s2，（不考虑空气阻力）求∶ (1)圆弧轨道的半径R及两球碰撞后瞬间乙的速度； (2)小球甲的质量m甲； 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）乙沿着圆弧轨道恰好能运动到最高点O2，根据牛顿第二定律 从C点运动到O2点，根据机械能守恒 由题意可知， 联立解得， ， （2）甲从A落到B点做自由落体运动，设细线伸直之前的瞬时速度为，根据机械能守恒 把分别沿着垂直O2B的方向和沿着O2B的方向分解，可得甲在垂直O2B方向的分速度 根据题意可知甲落到B点立即做圆周运动，说明细线伸直后甲沿着O2B方向的分速度立即消失，速度由立即突变为沿着轨迹切线方向的分速度 甲从B运动到C的过程中，应用动能定理 甲、乙在C点发生碰撞，碰撞过程动量守恒 联立解得   2．如图所示，水平面上静置一凹槽，凹槽由两个半径均为R的四分之一光滑圆轨道和一个长度为的平直轨道平滑连接而成。现将一小物块从左侧圆轨道顶端的A点由静止释放，已知物块与平直轨道间的动摩擦因数为，物块与凹槽的质量相等，重力加速度为g。 (1)若凹槽固定，求物块第一次运动到左侧圆轨道底端B点时对轨道的压力大小； (2)若水平面光滑，求从物块释放至其最终停止运动，物块的水平位移大小； (3)若水平面粗糙，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使物块运动过程中凹槽始终保持静止，凹槽与水平面间的动摩擦因数至少多大？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设物块和凹槽质量均为m，物块第一次通过B点时，物块的速度大小为，由动能定理得                     对物块在B点进行受力分析                 由牛顿第三定律得 （2）系统水平方向动量守恒，故物块与凹槽最终都静止。设物块在平直轨道上滑行的路程为s，物块的水平位移大小为，凹槽的位移大小。由能量守恒定律得                 解得                 设某时刻物块的水平速度大小为，凹槽的速度大小为。系统水平方向动量守恒，可得 即                  而，即物块静止在B点右侧R处。由几何关系，有                      解得 （3）物块第1次在圆弧轨道运动，若凹槽没有移动，则凹槽将始终保持静止。设此过程中，物块运动至某位置，其所受轨道的支持力F与水平方向的夹角为。由机械能守恒定律得             由牛顿第二定律得                 设凹槽受到的静摩擦力大小为，地面对其支持力大小为，在水平方向上有                     在竖直方向上有                 凹槽始终静止需满足     解得                  根据数学知识 当，即时，有最大值，可知。 动摩擦因数至少为0.75。 02 多物体的机械能守恒问题 3．如图所示，水平光滑的地面上静置着一套由轻杆铰接而成的装置，装置包含A、B、C三个小球（可视为质点），其质量之比为。两个完全相同的轻质细杆长度均为，将A与B、B与C分别通过无摩擦的轻质铰链相连。初始时，两根细杆并拢且竖直立在地面上，A、C两球位于水平地面上，B球位于最高点，整个装置在外力作用下保持静止。现撤去外力后，装置在重力作用下发生运动，最终B球触地停止。若运动到某一位置时，两根细杆与水平方向夹角为，重力加速度为。 (1)求B球落地前瞬间速度大小； (2)以初始时A球位置为坐标原点，竖直向上和水平向右分别为轴和轴正方向建立坐标系，求落地前B球的运动轨迹方程； (3)当时，取，，求此时A、C两球速度大小。（，） 【答案】(1) (2)或 (3)， 【详解】（1）B球下落过程中，A、B、C系统水平方向动量守恒，结合速度关联，可知落地前瞬间，A、B、C三个小球水平速度均为0， 再结合系统机械能守恒得 解得 （2）解法一：如图所示，两根细杆与水平方向夹角为时，B球坐标为，则A球坐标为，C球坐标为，设C球质量为由A、B、C系统水平方向动量守恒 三者水平位移满足 解得 已知 故B球运动轨迹方程为 或 解法二：由A、B、C系统水平方向动量守恒，且系统初始静止可得，系统质心的水平投影点（即坐标原点）不动，因此可求得B球落地前瞬间的水平位移为，据分析可知，B球的运动轨迹为椭圆，坐标原点（即A、B、C系统质心的水平投影点）为椭圆的中心，半长轴为，半短轴为，故B球运动轨迹方程为 或 （3）解法一：当时，A、B、C速度大小方向如图所示 系统水平方向动量守恒 系统机械能守恒 A、B两球速度关联 或者（相对圆周运动）， B、C两球速度关联 或者（相对圆周运动）， 解得，。 解法二：由A、B、C系统水平方向动量守恒，且系统初始静止，可得系统质心的水平投影点（即坐标原点）不动， 因此可求得A、B、C三球落地前任意时间内的水平位移之比为，即A、B、C三球在任意时刻水平速度之比为 又有 系统机械能守恒 解得， 4．如图所示，套在固定水平杆上的光滑小环A与小球B通过不可伸长的轻绳相连，A环右侧处有一竖直挡板，固定在水平杆上P点，A环与竖直挡板碰撞后立即被锁定在P点。初始时刻，小球B与环A在处于同一水平面，轻绳恰好伸直且与水平杆平行。已知轻绳长为L，小环A质量为，小球B的质量为，重力加速度为，不计空气阻力。A、B同时由静止释放，求： (1)若固定环A，当小球B运动到最低点时对轻绳的拉力大小； (2)在环A与挡板相撞前瞬间的速度大小； (3)若，则小球B的最大速度是多少。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）A环固定时，对小球B由动能定理有 设小球B运动到最低点时受到轻绳的拉力为，根据牛顿第二定律可知 联立解得 由牛顿第三定律可知，小球B运动到最低点时对轻绳的拉力大小为 （2）环A与小球B组成的系统在水平方向动量守恒，满足 等式两边对时间微元求和得 当A与挡板碰撞时 联立解得环A与小球B水平方向的相对位移 由几何关系可知此时轻绳与水平方向夹角 在A环与竖直挡板碰撞前，系统在水平方向动量守恒 对、系统机械能守恒有 碰前、沿绳方向速度大小相等 三式联立解得 （3）将代入第（2）问，解得 结合系统在水平方向动量守恒 解得 、沿绳方向速度大小相等 解得 A环与竖直挡板发生碰撞、立即被锁定，此时轻绳绷紧，B球沿绳方向动量瞬时变为0，此后以垂直于绳方向速度为初速度继续运动，即 从锁定位置到竖直最低点，B下落高度 根据机械能守恒可知B球摆至最低点时速度最大，满足 解得 03 功能关系的理解和应用 5．如图所示，质量、长的长木板静置在水平地面上，质量、可视为质点的小滑块放置在长木板左端，半径的四分之一光滑圆弧轨道固定在地面上，圆弧轨道最低点的切线水平且与长木板上表面相平，长木板右端与点相距。现用水平向右的外力作用在小滑块上，长木板与轨道碰撞前瞬间撤去，长木板与轨道碰后立即静止并粘在轨道上。已知滑块与长木板间的动摩擦因数，长木板与地面间的动摩擦因数，重力加速度取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求： (1)长木板与轨道相碰时，滑块的速度大小； (2)滑块经过点时，对轨道的压力为多大； (3)滑块最终静止时到点的距离为多少。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对小滑块由牛顿第二定律 解得 对长木板由牛顿第二定律 解得 长木板经时间与轨道相碰，则有 此时滑块的速度大小 此时间内滑块相对木板向右滑行的位移 （2）因长木板与轨道碰撞前瞬间撤去，对滑块 解得 设其滑上点的速度为，由 滑块在点由牛顿第二定律 联立解得， 根据牛顿第三定律则其对轨道的压力 （3）对滑块由能量守恒 解得 即滑块最终静止时到点的距离为 6．如图甲，在绝缘水平地面上有一带正电的小物块A和不带电的匀质绝缘薄板B，B右端与一水平轻弹簧栓接，弹簧右端固定，空间存在水平向右的匀强电场。开始时弹簧处于原长，B静止且右端位于点，点左侧地面粗糙、右侧地面光滑。已知电场强度大小为，A的质量为2kg、电荷量为，B的质量为6kg、长度为，A、B与点左侧地面间的动摩擦因数均为0.5，弹簧劲度系数为。初始时A与B左端的距离为20m。将A由静止释放，A与B发生弹性碰撞后立即撤去电场，碰撞时间可忽略不计，弹簧始终处于弹性限度内，A可视为质点且运动过程中电荷量保持不变，取重力加速度大小，求： (1)A、B碰撞前瞬间A的速度大小； (2)A、B碰后0.2s时A与B左端的距离； (3)从碰后B刚好完全进入光滑地面区域开始计时，B运动的图像如图乙所示，图线在、时刻的斜率均为零，求从到的时间内B与地面之间摩擦产生的热量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）A与B左端的距离为，设A、B碰撞前瞬间A的速度大小为，根据动能定理 解得 （2）设碰撞后 A 的速度为​，B 的速度为​A、B 发生弹性碰撞， 根据动量守恒 机械能守恒 解得(向左)，（向右） 以A为研究对象，根据牛顿第二定律 0.2s 内A 向左的位移 解得（向左） 薄板B的长度，当B向右的位移为时，根据牛顿第二定律 解得，B向右为匀变速运动 0.2s 内B 的位移 解得（向右） A、B 左端距离 （3）时刻，B向左运动，加速度为零（斜率为零），合力为零，设B进入光滑区长度为 由受力平衡可得 解得 时刻，B开始向右运动，加速度为零，合力为零，B板全在粗糙区内，设B板右端距离O点距离为 由受力平衡可得 解得 设时刻B板右端距离O点距离为，从碰撞结束到的过程中，应用动能定理 解得 从​到的时间内B与地面之间摩擦产生的热量 解得 04 传送带问题 7．某快递分拣系统由多个边长为L的正方形区域组成，每个区域内有速度大小恒为v的水平传送带。如图甲图（俯视图）所示，有一质量为m、可视为质点的货物以垂直于传送带侧边的初速度从CD边中点进入传送带。测试发现，若，即将货物无初速度地轻放于CD边中点，货物相对地面运动时与传送带相对静止。重力加速度为g，不计空气阻力。 (1)求货物与传送带间的滑动摩擦因数以及该测试货物加速阶段所用的时间； (2)若，货物离开传送带前即与传送带相对静止且未到达AB边，求货物进入传送带到离开传送带所用的时间t以及k的取值范围； (3)若传送带的速度大小恒定，但方向可以反向设置，用三个这样的传送带可以搭建四个出口的货物自动分拣系统如乙图。在货物进入每一个传送带前，电脑已自动设置好该传送带的运动方向，每一个传送带可能的两个运动方向已在图中标示，忽略传送带之间的空隙，忽略除货物与传送带间摩擦生热外的其他能量损失。现有一个前往2号出口的货物以的速度从第一个传送带的侧边中点进入传送系统，求运送该货物所用的总时间T和消耗的总能量E。 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）从测试货物放上传送带到与传送带相对静止，由动能定理，有 解得 由动量定理，有 解得 （2）若，货物刚进入传送带时，相对传送带的速度如图所示 货物的相对初速度为 方向与侧边夹角为θ，则， 摩擦力与相对速度方向相反，故货物相对传送带做匀减速直线运动，摩擦力的大小和方向均不变。其大小为 在地面系中，沿传送带速度方向，货物匀加速，由牛顿第二定律，得 由匀变速直线运动速度与位移的关系，得 联立解得 货物进入传送带到离开传送带所用的时间 在垂直于传送带的速度方向，货物做匀减速运动，由牛顿第二定律，得 由匀变速直线运动速度与位移的关系，得 解得 由位移关系 解得 取交集即为k的取值范围，则 （3）当时，货物在第一个传送带上运动的时间为 垂直于传送带方向的位移为 当其进入第二个传送带时，速度为，即，在第二个传送带上运动的时间为 货物在两个传送带上的总用时为 由牛顿第二定律，得货物的加速度大小为 由匀变速直线运动速度与位移的关系，得货物在传送带上的相对位移为 摩擦生热为 货物在两个传送带上的发热分别为， 从货物进入第一个传送带至到达第2出口，由能量关系，有 解得 8．如图为某智能仓储中心货物分拣装置示意图，水平地面上固定有一高度为的光滑上料槽，水平分拣区BC和水平传送带上表面等高，传送带长度，沿顺时针方向转动，速度。紧靠着传送带右端固定有一倾斜角为的斜面，斜面足够长。现将一质量为的包裹（可视为质点）由上料槽最高点静止释放，包裹运动到点时速度恰好减为0。由于轻微扰动，包裹能无速度滑上传送带。已知包裹与分拣区段、传送带和斜面间的动摩擦因数均为0.5，重力加速度取，不计包裹经过连接处时的能量损失，，，求： (1)分拣区段的长度s以及包裹第一次运动到点时的速度； (2)包裹第1次和第2次经过点的时间间隔； (3)包裹第一次运动经过段时，包裹与传送带因摩擦产生的热量。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）对包裹由A运动到C的过程，由动能定理得 解得 包裹滑上传送带后，有 假设包裹能够达到与传送带共速，对包裹匀加速运动过程有 解得 说明包裹运动到D点时恰好和传送带共速，假设成立。 则。 （2）包裹以的初速度第1次经过D点滑上斜面做匀减速直线运动，设匀减速运动加速度大小为，有 匀减速运动时间为，有 匀减速过程位移为，有 解得， 此后包裹将沿斜面下滑做匀加速直线运动第2次经过D点。 设匀加速运动加速度大小为，有 匀减速运动时间为，有 解得 包裹第1次和第2次经过D点的时间间隔 所以 （3）包裹第一次在传送带上运动时产生的热量 而 解得 05 板块问题 9．如图所示，质量的滑板静止在光滑水平面上，长度的水平段AB和光滑圆弧面BC平滑连接，B、C的高度差。质量的滑块置于滑板上点，与滑板AB段间的动摩擦因数；长度的细线一端固定于点，另一端与质量的小球栓接。初始时细绳水平伸直，小球由静止被释放，运动至点正下方时与滑块发生对心碰撞（时间很短），碰后反弹的瞬间，受到的拉力大小。小球与滑块均可视为质点，不计空气阻力，细线不可伸长，取。 (1)求碰撞后瞬间滑块的速度大小； (2)求滑块从滑板上的处运动到处的时间； (3)若滑块从滑板上点离开后在空中运动的最小速率为，求滑块在滑板上运动的过程中，所受合力的冲量大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设小球碰撞前的速度大小为，则 解得 碰撞后小球的速度大小为，则 解得 碰撞过程中，动量守恒 解得 （2）滑块在滑板上，对滑块根据牛顿第二定律可得 解得 对滑板根据牛顿第二定律可得 解得 则 解得 （3）滑块从滑板上的A处运动到B处时，滑块的速度大小为 滑板的速度大小为 滑块在滑板上运动的过程，最终水平分速度大小为，根据滑块和滑板组成的系统，在水平方向动量守恒可得 系统机械能守恒 解得 则滑块离开滑板上升的高度为 所以，滑块离开滑板时，竖直分速度大小为 在此过程中水平方向的冲量为 竖直方向上的冲量为 根据动量定理可得，滑块在此过程中所受合力的冲量大小为 10．如图所示，质量为的物体a用长为的轻绳拴接，轻绳的另一端固定于点，质量为的物体b静止在点正下方平台上的点，平台右侧的挡板上固定一轻弹簧，轻弹簧原长时左端恰好位于点，点的右侧光滑、左侧粗糙。点左侧的水平面上放置一质量为的长木板，长木板的上表面与右侧的平台等高。现将物体a向左拉开角度，使轻绳刚好拉直，将物体a由静止释放，经过一段时间与物体b发生正碰同时轻绳断裂，最终物体a滑上长木板且未离开长木板。已知a、b两物体与平台间的动摩擦因数均为，物体a与长木板上表面的动摩擦因数为，长木板与水平面间的动摩擦因数为，之间的距离为，物体a、b均可视为质点，每次碰撞的时间极短且均为弹性碰撞，重力加速度，。求： (1)弹簧的最大弹性势能； (2)物体b能否从点离开平台，若能，求出离开平台的速度；若不能，求出最终物体到点的距离； (3)若物体a最终刚好停在长木板的最左端，求长木板的长度以及物体a从滑上长木板到最终停止所用的时间。 【答案】(1) (2)不能， (3)， 【详解】（1）物体a从释放到与物体b碰撞的过程，由机械能守恒定律得 代入数据解得 物体a与物体b发生弹性碰撞，设物体a、b碰后的速度分别为、，由动量守恒定律和机械能守恒定律得， 解得， 物体b从到的过程，由动能定理得 解得 此后物体b与弹簧组成的系统机械能守恒，物体b的速度为0时，弹簧的弹性势能最大，则有 （2）物体a、b第一次碰后，对物体a由动能定理得 解得 物体b被弹簧弹开，返回到的动能为12J，设物体b返回到a所在处的速度为，对物体由动能定理得 解得 物体a、b发生第二次碰撞，设物体a、b碰后的速度分别为、，由动量守恒定律以及机械能守恒定律得， 解得， 第二次碰后设物体b在段通过的路程为速度减为0，对物体b由动能定理得 解得 显然物体b不能离开平台，物体b停止时到点的距离为 解得 （3）第二次碰后，物体a向左减速运动到点后滑上长木板c，设物体a滑上长木板瞬间的速度为，对物体a由动能定理得 解得 对物体a由牛顿第二定律得 解得 对长木板c由牛顿第二定律得 解得 设经时间物体a和长木板c共速，二者共同的速度大小为，对物体a有 对物体b有 解得， 该过程中，物体a的位移为 长木板c的位移为 长木板的长度为 代入数据解得 物体a和长木板c共速后，由于，则二者共同减速直到停止，对物体a和长木板c由牛顿第二定律得 解得 从二者共速到停止的时间为 物体a从滑上长木板c到停止所用的时间为 解得 1．某兴趣小组设计了一套物体输送装置，其简化模型如图所示，包含传送带、粗糙水平面、倾角的足够长的斜面。传送带与水平面、水平面与斜面之间的连接处均平滑过渡。现有一可视为质点的物块从传送带最左端静止释放，沿着装置输送。已知传送带长度并以顺时针转动，物块与传送带间动摩擦因数，水平面长度，物块与平面间动摩擦因数。。求： (1)物块在传送带上运动的时间； (2)若斜面表面光滑，物块最终停在该装置的哪个位置？ (3)若斜面表面粗糙且物块与斜面间动摩擦因数与物块在斜面上升高度满足的关系如图2所示，物块在斜面上运动产生的热量是多少？ 【答案】(1) (2)距离水平面MN上距N点左侧2.6m处 (3) 【详解】（1）物块在传送带上先匀加速运动，由牛顿第二定律 解得 加速到传送带速度的时间和位移 物体剩余位移以传送带速度匀速运动，时间 总时间 （2）物块离开传送带时动能为 从到过程摩擦力做功 到达点动能 斜面光滑，物块上滑后滑回点，动能仍为，之后向左经过，到达点时剩余动能 物块进入传送带向左减速，直到停下，设向左运动距离，由动能定理 解得 则物块在距离点（传送带右端）左侧处，再次被加速，设物块出加速带的速度为，则有 代入数据解得 物块第二次离开传送带时动能为 之后物块重复之前的运动情况，则物块到达点动能 斜面光滑，物块上滑后滑回点，动能仍为，之后向左运动的位移为 因此物块最终停在水平面MN上，距离右端N点左侧2.6m处。 （3）由图2得时， 设物块沿斜面上升最大高度为，上升过程摩擦力做功的绝对值为 由动能定理，上升过程初动能全部用于克服重力和摩擦力做功 则 整理得 解得 符合假设。 在最高点 物块下滑，下滑过程摩擦力做功的绝对值与上升过程相等 总热量 2．如图所示，质量的小物块以初速度从点沿切线方向进入光滑竖直的圆弧轨道。点为圆弧的圆心，，轨道半径，圆弧轨道与水平地面上长为的粗糙直轨道平滑连接。小物块沿轨道运动并与右侧的竖直墙壁发生碰撞，且能原速返回（，空气阻力不计）。 (1)小物块第一次经过最低点时，求物块对圆弧轨道的作用力； (2)若小物块与轨道之间的动摩擦因数，求小物块最终停在何处。 【答案】(1)40N，方向竖直向下 (2)停在距点0.6m处 【详解】（1）物块由到过程中，根据动能定理得 解得 在点根据牛顿第二定律 解得 方向竖直向上。由牛顿第三定律，解得，方向竖直向下 （2）物块最后停止在轨道CD上，从开始到停止的全过程中，根据动能定理 解得 即小物块最终停在距点0.6m处。 3．如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道的下端与光滑的圆弧轨道相切于B，C是最低点，圆心角，D与圆心O等高，圆弧轨道半径为R，现有一个质量为m可视为质点的小物体，从D点的正上方E点处自由下落，物体恰好到达斜面顶端A处。已知距离为，物体与斜面之间的动摩擦因数。重力加速度为g。（取，），求： (1)物体第一次到达C点时的速度大小； (2)斜面的长度L； (3)若可变，求取不同值时，物块在斜面上滑行的路程s。 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）设物体到达C点的速度为v，从E到C，由动能定理得 解得 （3）从C到A，由动能定理得 解得 （3）设动摩擦因数为μ1时物块刚好能静止在斜面上，则有 解得 ①若，物块将滑出斜面，则物块的路程为 ②若，则 所以物块在斜面上多次往返，最后在B点速度为零，则对于全程由能量守恒定律可得 解得 ③若，则 物块将停在斜面上，则有 解得 4．如图1所示，质量为m=2 kg的玩具小车以恒定功率P=20 W由静止开始从O点到达A点。已知小车在到达A点前已匀速，OA段长度为L0=5 m，动摩擦因数μ0=0.2。随后小车关闭发动机进入AB段，已知轨道AB，B′C段水平，与小车之间的动摩擦因数均为μ1=0.2，AB段长度L1可调，B′C段长度L2= 1 m，光滑竖直圆轨道段BB′半径R=0.4 m，在最低点处稍微错开，斜面CD段由特殊材料制成，CD水平距离x0=1m，高度h可调，小车与CD段间动摩擦因数μ2随其水平距离的关系如图2，CD与B′C平滑连接。忽略其他阻力，小车可视为质点，重力加速度g取10 m/s2。求： (1)小车在OA段的运动时间t0； (2)若要保证小车能到达竖直圆轨道且运动时不脱轨，求AB长度L1的调节范围； (3)调节长度为L1=1.25 m，若小车能停在斜面CD上，求斜面CD高度h的范围。 【答案】(1)t0=2.25 s (2)或 (3) 【详解】（1）由题可知，小车到达A点时的速度 小车在OA段运动时，由动能定理可得 代入数据解得 （2）①若小车恰能达到B点，由动能定理有 解得 ②若小车恰能运动到圆心等高处，由动能定理有 解得 ③若小车恰能通过圆轨道最高点，在最高点有牛顿第二定律有 由动能定理有 解得 综上或 （3）因为，故能通过圆轨道，从A→C，由动能定理则有 解得 从C冲上斜面，对任意一小段位移，摩擦力在内做的功 将每一段内摩擦力做功求和= ①若当时，小车恰好不会冲出斜面，在D点速度减为0，由机械能守恒有 解得 检验：此时，故甲能在D点停住。 ②如图，若当时，小车在斜面上某处速度减为0，且恰能停在该处 由机械能守恒有 其中， 所以 又因为此位置 其中， 联立解得， 所以 综上可知当时，小车能停在斜面上。 5．如图所示为火车站装载货物的原理示意图，光滑斜面AB段长度，水平段BC使用水平传送带装置，BC长，与货物包的动摩擦因数，皮带轮的半径为，轮下部距车厢底面的高度，质量为m的货物从A点静止下滑，通过调整皮带轮（不打滑）的转动角速度可使货物离开传送带水平段BC，最后货物落在车厢上的不同位置，斜面倾角，取，求： (1)当皮带轮静止时，货物包在车厢内的落地点到C点的水平距离； (2)当皮带轮以角速度顺时针方向匀速转动时，包在车厢内的落地点到C点的水平距离； (3)若皮带轮顺时针方向转动，试写出货物包在车厢内的落地点到C点的水平距离s随皮带轮角速度变化关系。（只写结果，不需过程） 【答案】(1)0.6m (2)1.2m (3)当时，；当时，(单位为m)；当时， 【详解】（1）货物从A到B光滑下滑，由动能定理 代入数据得货物到达B点的速度 货物在BC段受摩擦力匀减速，由动能定理 代入数据得 货物离开C点后平抛，下落高度，由 得平抛运动时间 水平距离 （2）皮带速度 因，货物减速，故货物到C点速度 减速到时，由动能定理得位移为 代入数据解得 水平距离 （3）①时，皮带速度 货物全程减速，到达C点末速度恒为，落点距离同第（1）问， ②时，皮带速度 则，落点距离同第（2）问， ③时，皮带速度 由动能定理得物体在传送带减速时的位移为 代入数据解得 则货物最终加速到与传送带同速，故 ④时，由之前计算可得，货物最终会被加速到，故 综上，当时，；当时，(单位为m)；当时， 6．如图所示，A、C两球的质量均为4m，B球的质量为M，A、B两球分别用长为l的轻杆通过轻质铰链与C球连接，A、B两球静止于光滑水平地面上，两杆竖直并拢。受到微小扰动后，A、B两球分别向左右两边运动，两杆始终保持在同一竖直面内，三小球可视为质点，不计一切摩擦，重力加速度为g，求； (1)若，C球落地时的速度大小； (2)若，C球落地过程中水平位移的大小； (3)若，C球机械能最小时距离地面的高度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）C球落地时，A、B速度为零，系统机械能守恒有 解得 （2）C球落地过程中，系统水平方向动量守恒，则有 因，，，B、C的位移满足 A、C的位移满足 解得 （3）设两杆与水平面夹角为时，C球机械能最小，此时A、B动能最大，三小球的速度及其分速度如图所示 水平方向动量守恒有 又 解得， 沿杆方向根据运动速度的关联规律有 联立解得 据机械能守恒定律有 解得 令，对其求导得 当该导数等于0时，解得，此时取最大值，A、B的动能最大，C的机械能最小，此时C的高度为 7．如图所示，长的水平传送带以恒定的速率顺时针转动，右端通过光滑水平轨道与竖直墙壁相连。质量为的小球B与长度为的轻杆相连，轻杆的另一端通过铰链与质量为的小滑块C相连，小滑块C套在光滑的水平杆上，水平杆固定且足够长。初始时轻杆竖直靠墙，小球B刚好处在水平轨道的末端。现将质量为的小滑块A轻放在传送带的左端，小滑块A在轨道的末端与小球B发生弹性正碰，碰后传送带停止转动。已知滑块A与传送带间的动摩擦因数为，轻杆在运动过程中不会和水平杆相碰。重力加速度的大小，不计空气阻力。求： (1)滑块A运动至水平轨道上的速度大小； (2)滑块A与小球B碰后的瞬间，小球B对轻杆的作用力； (3)轻杆第一次水平时，小球的速度（角的大小可用三角函数表示）。 【答案】(1) (2)2.25N，方向竖直向下 (3)，与水平方向夹角满足 【详解】（1）假设A在传送带上一直做匀加速运动，有， 代入数据得 假设成立，故A在水平轨道上的速度大小为 （2）A、B发生弹性正碰，根据动量守恒和机械能守恒有， 联立解得 碰后，对B有 解得 由牛顿第三定律可知，B对轻杆的作用力大小为2.25N，方向竖直向下。 （3）杆由推力变为拉力时，C开始离开墙壁，此时杆的作用力为0，设此时杆与水平方向的夹角为，对B球受力分析，如图所示 有， 解得， 轻杆水平时，C与B的水平分速度相等，设为，C离墙后，C、B组成的系统水平方向动量守恒，有 解得 设杆第一次水平时小球B的竖直速度为，从杆的弹力为零到杆第一次水平时，由动能定理可得 解得 轻杆第一次水平时，小球的速度大小为 与水平方向夹角满足 8．如图，a、b、c三个小球质量分别为3m、2m、m，杆长均为L，地面光滑。甲图中a、c两个小球与轻杆固定连接，乙图中a、b两球与轻杆的一端固定，轻杆另一端通过铰链与c球固定，现c受到扰动。 (1)甲图中，当c球着地时，求a、c两球的位移大小和速度大小； (2)乙图中，a、b分别向左右两侧移动，当c球着地时，求a、b、c三球的位移大小和速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由杆长约束和水平方向动量守恒，有 解得， a球位移大小 c球位移大小 由机械能守恒 水平方向动量守恒 由约束关系 解得 （2）由杆长约束和水平方向动量守恒，有， 解得，， a球位移大小 b球位移大小 c球位移大小 由机械能守恒 水平方向动量守恒 由约束关系 解得 9．某学习小组设计了如图所示的装置。质量为的平板车静止在光滑水平面上，其右端与一根固定在墙上、劲度系数为的轻弹簧接触，左端放有一个质量也为m的小物块A，物块与平板车之间的动摩擦因数为。平板车上方固定有一根足够长的光滑水平细杆，杆上套有一个质量为的滑块Q，质量为的物块P通过长的轻绳与滑块Q相连。现将物块P拉起至轻绳水平伸直状态后，由静止释放，物块P运动至最低点时恰好与物块A发生弹性正碰，碰撞时间极短，碰后物块A获得瞬时速度。已知所有物块均可视为质点，空气阻力不计，弹簧振子简谐运动的周期T与振子质量m、劲度系数k的关系为，重力加速度g取，求： (1)运动到最低点时物块P的速度大小； (2)与物块P碰撞后，物块A的速度大小； (3)平板车从开始运动到第一次速度减为零的过程中，物块A与平板车摩擦产生的热量（结果保留一位小数）。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物块P摆下过程中，滑块Q向左滑动，P、Q组成系统水平方向动量守恒，系统机械能守恒，有， 联立得 （2）物块P与物块A发生弹性正碰，P、A组成系统动量守恒、机械能守恒，有：， 联立得，碰后物块A的速度为 （3）物块A在平板车上滑行时，对平板车有向右的摩擦力，使平板车向右运动压缩弹簧，当弹簧弹力等于摩擦力时，平板车受力平衡，记此点为O。由受力分析可知，平板车向右运动时，以O点为平衡位置做简谐运动。设O点处，弹簧的形变量为，根据受力平衡有 解得 由对称性可知，弹簧压缩到最短时，平板车的位移为 弹簧压缩到最短时，平板车恰好完成简谐运动半个周期的运动，根据简谐运动的周期公式可知，平板车运动时间为 物块A在这段时间未减速为0，故滑行的位移为 系统内，克服摩擦力做功产生的热量为 联立得摩擦产生的热量 10．如图所示，竖直面内有一光滑圆弧轨道，半径，圆弧所对的圆心角，轨道最低点B与水平传送带左端相切，传送带BC长，以速率顺时针匀速转动。质量的长木板Q静止在C点右侧的水平地面上，Q与地面间的动摩擦因数，Q上表面与BC平齐。质量的物块P从圆弧轨道的最高点A由静止释放，P与传送带及Q间的动摩擦因数均为。不计物块P的大小，已知，，重力加速度取。 (1)求P经过B点时对轨道的压力大小； (2)求P从B点运动到C点所用的时间； (3)求P、Q之间因摩擦产生的热量及Q在地面上运动的距离。 【答案】(1)18N (2)0.8s (3)， 【详解】（1）物块P从A点静止下滑至B，由机械能守恒得 解得 在B点，由牛顿第二定律得 联立解得 由牛顿第三定律可知P经过B点时对轨道的压力大小为。 （2）物块P在传送带上滑动时，由牛顿第二定律得 解得 减速至与传送带同速的时间为 此阶段物块的位移为 共速后，物块与传送带保持相对静止做匀速直线运动，匀速运动的时间为 则P从B点运动到C点所用的时间为 （3）P在Q上滑动时，对P由牛顿第二定律得 解得 对Q由牛顿第二定律得 解得 设P、Q共速所用时间为，则 解得， P、Q间的相对位移为 故P、Q之间因摩擦产生的热量为 产生的热量为 共速前Q加速阶段位移大小为 P、Q共速后一起做匀减速直线运动，对整体由牛顿第二定律得 解得 Q减速阶段位移大小为 则Q在地面上运动的距离为 6 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 功能关系及能量守恒定律的应用 命题预测 功能关系及能量守恒在高考物理中占据了至关重要的地位，因为它们不仅是物理学中的基本原理，更是解决复杂物理问题的关键工具。在高考中，这些考点通常被用于检验学生对物理世界的深刻理解和应用能力。 核心命题趋势：三大转向 1. 从“单物体”到“多过程、多物体”：压轴题常涉及板块、传送带、弹簧的组合，重点考察过程选择和状态分析。 2. 从“理想模型”到“实际情境”：试题常以风力发电、自动灌溉、游乐设施等为背景，要求提炼物理模型并计算效率。 3. 高频结合“图像”：通过（动能-位移）、（势能-位移） 图像考察信息提取能力。 高频考法 1. 板块与传送带模型：必考“摩擦生热” 2. 含弹簧系统的“多过程”问题 3. 曲线运动与能量综合（圆周运动+抛体运动） 4. 新能源与功能关系（创新题）：风能发电、光热电站的能量转化效率。 考向一：应用动能定理处理多过程问题 1.应用动能定理解决多过程问题的两种思路 (1)分阶段应用动能定理 ①若题目需要求某一中间物理量，应分阶段应用动能定理。 ②物体在多个运动过程中，受到的弹力、摩擦力等力若发生了变化，力在各个过程中做功情况也不同，不宜全过程应用动能定理，可以研究其中一个或几个分过程，结合动能定理，各个击破。 (2)全过程(多个过程)应用动能定理 当物体运动过程包含几个不同的物理过程，又不需要研究过程的中间状态时，可以把几个运动过程看作一个整体，巧妙运用动能定理来研究，从而避开每个运动过程的具体细节，大大减少运算。 2.全过程列式时要注意 (1)重力、弹簧弹力做功取决于物体的初、末位置，与路径无关。 (2)大小恒定的阻力或摩擦力做功的数值等于力的大小与路程的乘积。 3. 动能定理解决往复运动问题 (1)往复运动问题：在有些问题中物体的运动过程具有重复性、往返性，描述运动的物理量多数是变化的，而且重复的次数又往往是无限的或者难以确定的。 (2)解题策略：此类问题多涉及滑动摩擦力或其他阻力做功，其做功的特点是与路程有关，运用牛顿运动定律及运动学公式将非常烦琐，甚至无法解出，由于动能定理只涉及物体的初、末状态，所以用动能定理分析这类问题可使解题过程简化。 考向二：多物体的机械能守恒问题 1.解决多物体系统机械能守恒的注意点 (1)要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。 (2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 (3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。 2.常见的三种模型 （1）轻绳连接的物体系统 常见情景 二点提醒 (1)分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。 (2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。 （2）轻杆连接的物体系统 常见情景 三大特点 (1)平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。 (2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 (3)对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。 （3）轻弹簧连接的物体系统 题型特点 由轻弹簧连接的物体系统，若只有重力做功或系统内弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。 两点提醒 (1)对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量完全决定，无论弹簧伸长还是压缩。 (2)物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关。 考向三 功能关系的理解和应用 1.几种常见的功能关系及其表达式 力做功 能的变化 定量关系 合力的功 动能变化 W＝Ek2－Ek1＝ΔEk 重力的功 重力势能 变化 (1)重力做正功，重力势能减少 (2)重力做负功，重力势能增加 (3)WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 弹簧弹力的功 弹性势能 变化 (1)弹力做正功，弹性势能减少 (2)弹力做负功，弹性势能增加 (3)W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 只有重力、弹簧弹力做功 机械能 不变化 机械能守恒，ΔE＝0 除重力和弹簧弹力之外的其他力做的功 机械能变化 (1)其他力做多少正功，物体的机械能就增加多少 (2)其他力做多少负功，物体的机械能就减少多少 (3)W其他＝ΔE 一对相互作用的滑动摩擦力的总功 机械能减少，内能增加 (1)作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功，系统内能增加 (2)摩擦生热Q＝fs相对 安培力做功 电能变化 (1)克服安培力做的功等于电能增加量 (2)W克安＝E电 2.能量守恒定律的理解和应用 （1）对能量守恒定律的两点理解 1　 某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。 2　 某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。 （2）能量转化问题的解题思路 1　 当涉及摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能量守恒定律。 2　 解题时，首先确定初、末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE减与增加的能量总和ΔE增，最后由ΔE减＝ΔE增列式求解。 （3）涉及弹簧的能量问题 两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的过程，具有以下特点： 1　 能量转化方面，如果只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统机械能守恒。 2　 如果系统内每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，则当弹簧伸长或压缩到最大程度时两物体速度相同。 （4）两种摩擦力做功特点的比较 　类型 比较　　 静摩擦力做功 滑动摩擦力做功 不同点 能量的转化 只有机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能转化为其他形式的能 (1)一部分机械能从一个物体转移到另一个物体 (2)一部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能的损失量 一对摩擦力的总功 一对静摩擦力所做功的代数和总等于零 一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值，总功W＝－fs相对，即发生相对滑动时产生的热量 相同点 做功情况 两种摩擦力对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不做功 考向四 传送带问题 1.传送带问题的分析方法 (1)动力学角度：首先要正确分析物体的运动过程，做好受力分析，然后利用运动学公式结合牛顿第二定律求物体及传送带在相应时间内的位移，找出物体和传送带之间的位移关系。 (2)能量角度：求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放上物体而使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解。 2.功能关系分析 (1)传送带克服摩擦力做的功：W＝fs传，也是电动机因传送带传送物体而多做的功。 (2)系统产生的内能：Q＝fs相对。 (3)功能关系分析：W＝ΔEk＋ΔEp＋Q。其中ΔEk表示被传送物体动能的增加量，ΔEp表示被传送物体重力势能的增加量。 考向五 板块问题 1.模型分类 “滑块—木板”模型根据情况可以分成水平面上的“滑块—木板”模型和斜面上的“滑块—木板”模型。 2.位移关系 滑块从木板的一端运动到另一端的过程中，若滑块和木板沿同一方向运动，则滑块的位移大小和木板的位移大小之差等于木板的长度；若滑块和木板沿相反方向运动，则滑块的位移大小和木板的位移大小之和等于木板的长度。 3.解题关键 找出物体之间的位移(路程)关系或速度关系是解题的突破口，求解中应注意联系两个过程的纽带：每一个过程的末速度是下一个过程的初速度。 01 应用动能定理解决多过程运动问题 1．如图所示，半径为R的光滑圆弧轨道固定在水平面与竖直墙面之间，圆心为O1，在圆弧的最低点C静止放置质量为m乙的小球乙（视为质点），在圆弧的最高点O2悬挂一条长度为2R的轻质细线，细线的另一端连接质量为m甲的小球甲（视为质点），甲从A点由静止释放时，细线伸直与水平方向的夹角为30°，当甲落到B点细线再次伸直时，甲立即沿着圆弧轨迹向下运动；甲运动到C点时速度为v甲，与乙发生碰撞刚结束时，甲立即停止运动，乙沿着圆弧轨道恰好能运动到最高点O2，此时乙的动能，动量大小，重力加速度g=10m/s2，（不考虑空气阻力）求∶ (1)圆弧轨道的半径R及两球碰撞后瞬间乙的速度； (2)小球甲的质量m甲； 2．如图所示，水平面上静置一凹槽，凹槽由两个半径均为R的四分之一光滑圆轨道和一个长度为的平直轨道平滑连接而成。现将一小物块从左侧圆轨道顶端的A点由静止释放，已知物块与平直轨道间的动摩擦因数为，物块与凹槽的质量相等，重力加速度为g。 (1)若凹槽固定，求物块第一次运动到左侧圆轨道底端B点时对轨道的压力大小； (2)若水平面光滑，求从物块释放至其最终停止运动，物块的水平位移大小； (3)若水平面粗糙，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使物块运动过程中凹槽始终保持静止，凹槽与水平面间的动摩擦因数至少多大？ 02 多物体的机械能守恒问题 3．如图所示，水平光滑的地面上静置着一套由轻杆铰接而成的装置，装置包含A、B、C三个小球（可视为质点），其质量之比为。两个完全相同的轻质细杆长度均为，将A与B、B与C分别通过无摩擦的轻质铰链相连。初始时，两根细杆并拢且竖直立在地面上，A、C两球位于水平地面上，B球位于最高点，整个装置在外力作用下保持静止。现撤去外力后，装置在重力作用下发生运动，最终B球触地停止。若运动到某一位置时，两根细杆与水平方向夹角为，重力加速度为。 (1)求B球落地前瞬间速度大小； (2)以初始时A球位置为坐标原点，竖直向上和水平向右分别为轴和轴正方向建立坐标系，求落地前B球的运动轨迹方程； (3)当时，取，，求此时A、C两球速度大小。（，） 4．如图所示，套在固定水平杆上的光滑小环A与小球B通过不可伸长的轻绳相连，A环右侧处有一竖直挡板，固定在水平杆上P点，A环与竖直挡板碰撞后立即被锁定在P点。初始时刻，小球B与环A在处于同一水平面，轻绳恰好伸直且与水平杆平行。已知轻绳长为L，小环A质量为，小球B的质量为，重力加速度为，不计空气阻力。A、B同时由静止释放，求： (1)若固定环A，当小球B运动到最低点时对轻绳的拉力大小； (2)在环A与挡板相撞前瞬间的速度大小； (3)若，则小球B的最大速度是多少。 03 功能关系的理解和应用 5．如图所示，质量、长的长木板静置在水平地面上，质量、可视为质点的小滑块放置在长木板左端，半径的四分之一光滑圆弧轨道固定在地面上，圆弧轨道最低点的切线水平且与长木板上表面相平，长木板右端与点相距。现用水平向右的外力作用在小滑块上，长木板与轨道碰撞前瞬间撤去，长木板与轨道碰后立即静止并粘在轨道上。已知滑块与长木板间的动摩擦因数，长木板与地面间的动摩擦因数，重力加速度取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求： (1)长木板与轨道相碰时，滑块的速度大小； (2)滑块经过点时，对轨道的压力为多大； (3)滑块最终静止时到点的距离为多少。 6．如图甲，在绝缘水平地面上有一带正电的小物块A和不带电的匀质绝缘薄板B，B右端与一水平轻弹簧栓接，弹簧右端固定，空间存在水平向右的匀强电场。开始时弹簧处于原长，B静止且右端位于点，点左侧地面粗糙、右侧地面光滑。已知电场强度大小为，A的质量为2kg、电荷量为，B的质量为6kg、长度为，A、B与点左侧地面间的动摩擦因数均为0.5，弹簧劲度系数为。初始时A与B左端的距离为20m。将A由静止释放，A与B发生弹性碰撞后立即撤去电场，碰撞时间可忽略不计，弹簧始终处于弹性限度内，A可视为质点且运动过程中电荷量保持不变，取重力加速度大小，求： (1)A、B碰撞前瞬间A的速度大小； (2)A、B碰后0.2s时A与B左端的距离； (3)从碰后B刚好完全进入光滑地面区域开始计时，B运动的图像如图乙所示，图线在、时刻的斜率均为零，求从到的时间内B与地面之间摩擦产生的热量。 04 传送带问题 7．某快递分拣系统由多个边长为L的正方形区域组成，每个区域内有速度大小恒为v的水平传送带。如图甲图（俯视图）所示，有一质量为m、可视为质点的货物以垂直于传送带侧边的初速度从CD边中点进入传送带。测试发现，若，即将货物无初速度地轻放于CD边中点，货物相对地面运动时与传送带相对静止。重力加速度为g，不计空气阻力。 (1)求货物与传送带间的滑动摩擦因数以及该测试货物加速阶段所用的时间； (2)若，货物离开传送带前即与传送带相对静止且未到达AB边，求货物进入传送带到离开传送带所用的时间t以及k的取值范围； (3)若传送带的速度大小恒定，但方向可以反向设置，用三个这样的传送带可以搭建四个出口的货物自动分拣系统如乙图。在货物进入每一个传送带前，电脑已自动设置好该传送带的运动方向，每一个传送带可能的两个运动方向已在图中标示，忽略传送带之间的空隙，忽略除货物与传送带间摩擦生热外的其他能量损失。现有一个前往2号出口的货物以的速度从第一个传送带的侧边中点进入传送系统，求运送该货物所用的总时间T和消耗的总能量E。 8．如图为某智能仓储中心货物分拣装置示意图，水平地面上固定有一高度为的光滑上料槽，水平分拣区BC和水平传送带上表面等高，传送带长度，沿顺时针方向转动，速度。紧靠着传送带右端固定有一倾斜角为的斜面，斜面足够长。现将一质量为的包裹（可视为质点）由上料槽最高点静止释放，包裹运动到点时速度恰好减为0。由于轻微扰动，包裹能无速度滑上传送带。已知包裹与分拣区段、传送带和斜面间的动摩擦因数均为0.5，重力加速度取，不计包裹经过连接处时的能量损失，，，求： (1)分拣区段的长度s以及包裹第一次运动到点时的速度； (2)包裹第1次和第2次经过点的时间间隔； (3)包裹第一次运动经过段时，包裹与传送带因摩擦产生的热量。 05 板块问题 9．如图所示，质量的滑板静止在光滑水平面上，长度的水平段AB和光滑圆弧面BC平滑连接，B、C的高度差。质量的滑块置于滑板上点，与滑板AB段间的动摩擦因数；长度的细线一端固定于点，另一端与质量的小球栓接。初始时细绳水平伸直，小球由静止被释放，运动至点正下方时与滑块发生对心碰撞（时间很短），碰后反弹的瞬间，受到的拉力大小。小球与滑块均可视为质点，不计空气阻力，细线不可伸长，取。 (1)求碰撞后瞬间滑块的速度大小； (2)求滑块从滑板上的处运动到处的时间； (3)若滑块从滑板上点离开后在空中运动的最小速率为，求滑块在滑板上运动的过程中，所受合力的冲量大小。 10．如图所示，质量为的物体a用长为的轻绳拴接，轻绳的另一端固定于点，质量为的物体b静止在点正下方平台上的点，平台右侧的挡板上固定一轻弹簧，轻弹簧原长时左端恰好位于点，点的右侧光滑、左侧粗糙。点左侧的水平面上放置一质量为的长木板，长木板的上表面与右侧的平台等高。现将物体a向左拉开角度，使轻绳刚好拉直，将物体a由静止释放，经过一段时间与物体b发生正碰同时轻绳断裂，最终物体a滑上长木板且未离开长木板。已知a、b两物体与平台间的动摩擦因数均为，物体a与长木板上表面的动摩擦因数为，长木板与水平面间的动摩擦因数为，之间的距离为，物体a、b均可视为质点，每次碰撞的时间极短且均为弹性碰撞，重力加速度，。求： (1)弹簧的最大弹性势能； (2)物体b能否从点离开平台，若能，求出离开平台的速度；若不能，求出最终物体到点的距离； (3)若物体a最终刚好停在长木板的最左端，求长木板的长度以及物体a从滑上长木板到最终停止所用的时间。 1．某兴趣小组设计了一套物体输送装置，其简化模型如图所示，包含传送带、粗糙水平面、倾角的足够长的斜面。传送带与水平面、水平面与斜面之间的连接处均平滑过渡。现有一可视为质点的物块从传送带最左端静止释放，沿着装置输送。已知传送带长度并以顺时针转动，物块与传送带间动摩擦因数，水平面长度，物块与平面间动摩擦因数。。求： (1)物块在传送带上运动的时间； (2)若斜面表面光滑，物块最终停在该装置的哪个位置？ (3)若斜面表面粗糙且物块与斜面间动摩擦因数与物块在斜面上升高度满足的关系如图2所示，物块在斜面上运动产生的热量是多少？ 2．如图所示，质量的小物块以初速度从点沿切线方向进入光滑竖直的圆弧轨道。点为圆弧的圆心，，轨道半径，圆弧轨道与水平地面上长为的粗糙直轨道平滑连接。小物块沿轨道运动并与右侧的竖直墙壁发生碰撞，且能原速返回（，空气阻力不计）。 (1)小物块第一次经过最低点时，求物块对圆弧轨道的作用力； (2)若小物块与轨道之间的动摩擦因数，求小物块最终停在何处。 3．如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道的下端与光滑的圆弧轨道相切于B，C是最低点，圆心角，D与圆心O等高，圆弧轨道半径为R，现有一个质量为m可视为质点的小物体，从D点的正上方E点处自由下落，物体恰好到达斜面顶端A处。已知距离为，物体与斜面之间的动摩擦因数。重力加速度为g。（取，），求： (1)物体第一次到达C点时的速度大小； (2)斜面的长度L； (3)若可变，求取不同值时，物块在斜面上滑行的路程s。 4．如图1所示，质量为m=2 kg的玩具小车以恒定功率P=20 W由静止开始从O点到达A点。已知小车在到达A点前已匀速，OA段长度为L0=5 m，动摩擦因数μ0=0.2。随后小车关闭发动机进入AB段，已知轨道AB，B′C段水平，与小车之间的动摩擦因数均为μ1=0.2，AB段长度L1可调，B′C段长度L2= 1 m，光滑竖直圆轨道段BB′半径R=0.4 m，在最低点处稍微错开，斜面CD段由特殊材料制成，CD水平距离x0=1m，高度h可调，小车与CD段间动摩擦因数μ2随其水平距离的关系如图2，CD与B′C平滑连接。忽略其他阻力，小车可视为质点，重力加速度g取10 m/s2。求： (1)小车在OA段的运动时间t0； (2)若要保证小车能到达竖直圆轨道且运动时不脱轨，求AB长度L1的调节范围； (3)调节长度为L1=1.25 m，若小车能停在斜面CD上，求斜面CD高度h的范围。 5．如图所示为火车站装载货物的原理示意图，光滑斜面AB段长度，水平段BC使用水平传送带装置，BC长，与货物包的动摩擦因数，皮带轮的半径为，轮下部距车厢底面的高度，质量为m的货物从A点静止下滑，通过调整皮带轮（不打滑）的转动角速度可使货物离开传送带水平段BC，最后货物落在车厢上的不同位置，斜面倾角，取，求： (1)当皮带轮静止时，货物包在车厢内的落地点到C点的水平距离； (2)当皮带轮以角速度顺时针方向匀速转动时，包在车厢内的落地点到C点的水平距离； (3)若皮带轮顺时针方向转动，试写出货物包在车厢内的落地点到C点的水平距离s随皮带轮角速度变化关系。（只写结果，不需过程） 6．如图所示，A、C两球的质量均为4m，B球的质量为M，A、B两球分别用长为l的轻杆通过轻质铰链与C球连接，A、B两球静止于光滑水平地面上，两杆竖直并拢。受到微小扰动后，A、B两球分别向左右两边运动，两杆始终保持在同一竖直面内，三小球可视为质点，不计一切摩擦，重力加速度为g，求； (1)若，C球落地时的速度大小； (2)若，C球落地过程中水平位移的大小； (3)若，C球机械能最小时距离地面的高度。 7．如图所示，长的水平传送带以恒定的速率顺时针转动，右端通过光滑水平轨道与竖直墙壁相连。质量为的小球B与长度为的轻杆相连，轻杆的另一端通过铰链与质量为的小滑块C相连，小滑块C套在光滑的水平杆上，水平杆固定且足够长。初始时轻杆竖直靠墙，小球B刚好处在水平轨道的末端。现将质量为的小滑块A轻放在传送带的左端，小滑块A在轨道的末端与小球B发生弹性正碰，碰后传送带停止转动。已知滑块A与传送带间的动摩擦因数为，轻杆在运动过程中不会和水平杆相碰。重力加速度的大小，不计空气阻力。求： (1)滑块A运动至水平轨道上的速度大小； (2)滑块A与小球B碰后的瞬间，小球B对轻杆的作用力； (3)轻杆第一次水平时，小球的速度（角的大小可用三角函数表示）。 8．如图，a、b、c三个小球质量分别为3m、2m、m，杆长均为L，地面光滑。甲图中a、c两个小球与轻杆固定连接，乙图中a、b两球与轻杆的一端固定，轻杆另一端通过铰链与c球固定，现c受到扰动。 (1)甲图中，当c球着地时，求a、c两球的位移大小和速度大小； (2)乙图中，a、b分别向左右两侧移动，当c球着地时，求a、b、c三球的位移大小和速度大小。 9．某学习小组设计了如图所示的装置。质量为的平板车静止在光滑水平面上，其右端与一根固定在墙上、劲度系数为的轻弹簧接触，左端放有一个质量也为m的小物块A，物块与平板车之间的动摩擦因数为。平板车上方固定有一根足够长的光滑水平细杆，杆上套有一个质量为的滑块Q，质量为的物块P通过长的轻绳与滑块Q相连。现将物块P拉起至轻绳水平伸直状态后，由静止释放，物块P运动至最低点时恰好与物块A发生弹性正碰，碰撞时间极短，碰后物块A获得瞬时速度。已知所有物块均可视为质点，空气阻力不计，弹簧振子简谐运动的周期T与振子质量m、劲度系数k的关系为，重力加速度g取，求： (1)运动到最低点时物块P的速度大小； (2)与物块P碰撞后，物块A的速度大小； (3)平板车从开始运动到第一次速度减为零的过程中，物块A与平板车摩擦产生的热量（结果保留一位小数）。 10．如图所示，竖直面内有一光滑圆弧轨道，半径，圆弧所对的圆心角，轨道最低点B与水平传送带左端相切，传送带BC长，以速率顺时针匀速转动。质量的长木板Q静止在C点右侧的水平地面上，Q与地面间的动摩擦因数，Q上表面与BC平齐。质量的物块P从圆弧轨道的最高点A由静止释放，P与传送带及Q间的动摩擦因数均为。不计物块P的大小，已知，，重力加速度取。 (1)求P经过B点时对轨道的压力大小； (2)求P从B点运动到C点所用的时间； (3)求P、Q之间因摩擦产生的热量及Q在地面上运动的距离。 11 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 功能关系及能量守恒定律的应用 01 应用动能定理解决多过程运动问题 1． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）乙沿着圆弧轨道恰好能运动到最高点O2，根据牛顿第二定律 从C点运动到O2点，根据机械能守恒 由题意可知， 联立解得， ， （2）甲从A落到B点做自由落体运动，设细线伸直之前的瞬时速度为，根据机械能守恒 把分别沿着垂直O2B的方向和沿着O2B的方向分解，可得甲在垂直O2B方向的分速度 根据题意可知甲落到B点立即做圆周运动，说明细线伸直后甲沿着O2B方向的分速度立即消失，速度由立即突变为沿着轨迹切线方向的分速度 甲从B运动到C的过程中，应用动能定理 甲、乙在C点发生碰撞，碰撞过程动量守恒 联立解得   2． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设物块和凹槽质量均为m，物块第一次通过B点时，物块的速度大小为，由动能定理得                     对物块在B点进行受力分析                 由牛顿第三定律得 （2）系统水平方向动量守恒，故物块与凹槽最终都静止。设物块在平直轨道上滑行的路程为s，物块的水平位移大小为，凹槽的位移大小。由能量守恒定律得                 解得                 设某时刻物块的水平速度大小为，凹槽的速度大小为。系统水平方向动量守恒，可得 即                  而，即物块静止在B点右侧R处。由几何关系，有                      解得 （3）物块第1次在圆弧轨道运动，若凹槽没有移动，则凹槽将始终保持静止。设此过程中，物块运动至某位置，其所受轨道的支持力F与水平方向的夹角为。由机械能守恒定律得             由牛顿第二定律得                 设凹槽受到的静摩擦力大小为，地面对其支持力大小为，在水平方向上有                     在竖直方向上有                 凹槽始终静止需满足     解得                  根据数学知识 当，即时，有最大值，可知。 动摩擦因数至少为0.75。 02 多物体的机械能守恒问题 3． 【答案】(1) (2)或 (3)， 【详解】（1）B球下落过程中，A、B、C系统水平方向动量守恒，结合速度关联，可知落地前瞬间，A、B、C三个小球水平速度均为0， 再结合系统机械能守恒得 解得 （2）解法一：如图所示，两根细杆与水平方向夹角为时，B球坐标为，则A球坐标为，C球坐标为，设C球质量为由A、B、C系统水平方向动量守恒 三者水平位移满足 解得 已知 故B球运动轨迹方程为 或 解法二：由A、B、C系统水平方向动量守恒，且系统初始静止可得，系统质心的水平投影点（即坐标原点）不动，因此可求得B球落地前瞬间的水平位移为，据分析可知，B球的运动轨迹为椭圆，坐标原点（即A、B、C系统质心的水平投影点）为椭圆的中心，半长轴为，半短轴为，故B球运动轨迹方程为 或 （3）解法一：当时，A、B、C速度大小方向如图所示 系统水平方向动量守恒 系统机械能守恒 A、B两球速度关联 或者（相对圆周运动）， B、C两球速度关联 或者（相对圆周运动）， 解得，。 解法二：由A、B、C系统水平方向动量守恒，且系统初始静止，可得系统质心的水平投影点（即坐标原点）不动， 因此可求得A、B、C三球落地前任意时间内的水平位移之比为，即A、B、C三球在任意时刻水平速度之比为 又有 系统机械能守恒 解得， 4． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）A环固定时，对小球B由动能定理有 设小球B运动到最低点时受到轻绳的拉力为，根据牛顿第二定律可知 联立解得 由牛顿第三定律可知，小球B运动到最低点时对轻绳的拉力大小为 （2）环A与小球B组成的系统在水平方向动量守恒，满足 等式两边对时间微元求和得 当A与挡板碰撞时 联立解得环A与小球B水平方向的相对位移 由几何关系可知此时轻绳与水平方向夹角 在A环与竖直挡板碰撞前，系统在水平方向动量守恒 对、系统机械能守恒有 碰前、沿绳方向速度大小相等 三式联立解得 （3）将代入第（2）问，解得 结合系统在水平方向动量守恒 解得 、沿绳方向速度大小相等 解得 A环与竖直挡板发生碰撞、立即被锁定，此时轻绳绷紧，B球沿绳方向动量瞬时变为0，此后以垂直于绳方向速度为初速度继续运动，即 从锁定位置到竖直最低点，B下落高度 根据机械能守恒可知B球摆至最低点时速度最大，满足 解得 03 功能关系的理解和应用 5． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对小滑块由牛顿第二定律 解得 对长木板由牛顿第二定律 解得 长木板经时间与轨道相碰，则有 此时滑块的速度大小 此时间内滑块相对木板向右滑行的位移 （2）因长木板与轨道碰撞前瞬间撤去，对滑块 解得 设其滑上点的速度为，由 滑块在点由牛顿第二定律 联立解得， 根据牛顿第三定律则其对轨道的压力 （3）对滑块由能量守恒 解得 即滑块最终静止时到点的距离为 6． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）A与B左端的距离为，设A、B碰撞前瞬间A的速度大小为，根据动能定理 解得 （2）设碰撞后 A 的速度为​，B 的速度为​A、B 发生弹性碰撞， 根据动量守恒 机械能守恒 解得(向左)，（向右） 以A为研究对象，根据牛顿第二定律 0.2s 内A 向左的位移 解得（向左） 薄板B的长度，当B向右的位移为时，根据牛顿第二定律 解得，B向右为匀变速运动 0.2s 内B 的位移 解得（向右） A、B 左端距离 （3）时刻，B向左运动，加速度为零（斜率为零），合力为零，设B进入光滑区长度为 由受力平衡可得 解得 时刻，B开始向右运动，加速度为零，合力为零，B板全在粗糙区内，设B板右端距离O点距离为 由受力平衡可得 解得 设时刻B板右端距离O点距离为，从碰撞结束到的过程中，应用动能定理 解得 从​到的时间内B与地面之间摩擦产生的热量 解得 04 传送带问题 7． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）从测试货物放上传送带到与传送带相对静止，由动能定理，有 解得 由动量定理，有 解得 （2）若，货物刚进入传送带时，相对传送带的速度如图所示 货物的相对初速度为 方向与侧边夹角为θ，则， 摩擦力与相对速度方向相反，故货物相对传送带做匀减速直线运动，摩擦力的大小和方向均不变。其大小为 在地面系中，沿传送带速度方向，货物匀加速，由牛顿第二定律，得 由匀变速直线运动速度与位移的关系，得 联立解得 货物进入传送带到离开传送带所用的时间 在垂直于传送带的速度方向，货物做匀减速运动，由牛顿第二定律，得 由匀变速直线运动速度与位移的关系，得 解得 由位移关系 解得 取交集即为k的取值范围，则 （3）当时，货物在第一个传送带上运动的时间为 垂直于传送带方向的位移为 当其进入第二个传送带时，速度为，即，在第二个传送带上运动的时间为 货物在两个传送带上的总用时为 由牛顿第二定律，得货物的加速度大小为 由匀变速直线运动速度与位移的关系，得货物在传送带上的相对位移为 摩擦生热为 货物在两个传送带上的发热分别为， 从货物进入第一个传送带至到达第2出口，由能量关系，有 解得 8． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）对包裹由A运动到C的过程，由动能定理得 解得 包裹滑上传送带后，有 假设包裹能够达到与传送带共速，对包裹匀加速运动过程有 解得 说明包裹运动到D点时恰好和传送带共速，假设成立。 则。 （2）包裹以的初速度第1次经过D点滑上斜面做匀减速直线运动，设匀减速运动加速度大小为，有 匀减速运动时间为，有 匀减速过程位移为，有 解得， 此后包裹将沿斜面下滑做匀加速直线运动第2次经过D点。 设匀加速运动加速度大小为，有 匀减速运动时间为，有 解得 包裹第1次和第2次经过D点的时间间隔 所以 （3）包裹第一次在传送带上运动时产生的热量 而 解得 05 板块问题 9． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设小球碰撞前的速度大小为，则 解得 碰撞后小球的速度大小为，则 解得 碰撞过程中，动量守恒 解得 （2）滑块在滑板上，对滑块根据牛顿第二定律可得 解得 对滑板根据牛顿第二定律可得 解得 则 解得 （3）滑块从滑板上的A处运动到B处时，滑块的速度大小为 滑板的速度大小为 滑块在滑板上运动的过程，最终水平分速度大小为，根据滑块和滑板组成的系统，在水平方向动量守恒可得 系统机械能守恒 解得 则滑块离开滑板上升的高度为 所以，滑块离开滑板时，竖直分速度大小为 在此过程中水平方向的冲量为 竖直方向上的冲量为 根据动量定理可得，滑块在此过程中所受合力的冲量大小为 10． 【答案】(1) (2)不能， (3)， 【详解】（1）物体a从释放到与物体b碰撞的过程，由机械能守恒定律得 代入数据解得 物体a与物体b发生弹性碰撞，设物体a、b碰后的速度分别为、，由动量守恒定律和机械能守恒定律得， 解得， 物体b从到的过程，由动能定理得 解得 此后物体b与弹簧组成的系统机械能守恒，物体b的速度为0时，弹簧的弹性势能最大，则有 （2）物体a、b第一次碰后，对物体a由动能定理得 解得 物体b被弹簧弹开，返回到的动能为12J，设物体b返回到a所在处的速度为，对物体由动能定理得 解得 物体a、b发生第二次碰撞，设物体a、b碰后的速度分别为、，由动量守恒定律以及机械能守恒定律得， 解得， 第二次碰后设物体b在段通过的路程为速度减为0，对物体b由动能定理得 解得 显然物体b不能离开平台，物体b停止时到点的距离为 解得 （3）第二次碰后，物体a向左减速运动到点后滑上长木板c，设物体a滑上长木板瞬间的速度为，对物体a由动能定理得 解得 对物体a由牛顿第二定律得 解得 对长木板c由牛顿第二定律得 解得 设经时间物体a和长木板c共速，二者共同的速度大小为，对物体a有 对物体b有 解得， 该过程中，物体a的位移为 长木板c的位移为 长木板的长度为 代入数据解得 物体a和长木板c共速后，由于，则二者共同减速直到停止，对物体a和长木板c由牛顿第二定律得 解得 从二者共速到停止的时间为 物体a从滑上长木板c到停止所用的时间为 解得 1． 【答案】(1) (2)距离水平面MN上距N点左侧2.6m处 (3) 【详解】（1）物块在传送带上先匀加速运动，由牛顿第二定律 解得 加速到传送带速度的时间和位移 物体剩余位移以传送带速度匀速运动，时间 总时间 （2）物块离开传送带时动能为 从到过程摩擦力做功 到达点动能 斜面光滑，物块上滑后滑回点，动能仍为，之后向左经过，到达点时剩余动能 物块进入传送带向左减速，直到停下，设向左运动距离，由动能定理 解得 则物块在距离点（传送带右端）左侧处，再次被加速，设物块出加速带的速度为，则有 代入数据解得 物块第二次离开传送带时动能为 之后物块重复之前的运动情况，则物块到达点动能 斜面光滑，物块上滑后滑回点，动能仍为，之后向左运动的位移为 因此物块最终停在水平面MN上，距离右端N点左侧2.6m处。 （3）由图2得时， 设物块沿斜面上升最大高度为，上升过程摩擦力做功的绝对值为 由动能定理，上升过程初动能全部用于克服重力和摩擦力做功 则 整理得 解得 符合假设。 在最高点 物块下滑，下滑过程摩擦力做功的绝对值与上升过程相等 总热量 2． 【答案】(1)40N，方向竖直向下 (2)停在距点0.6m处 【详解】（1）物块由到过程中，根据动能定理得 解得 在点根据牛顿第二定律 解得 方向竖直向上。由牛顿第三定律，解得，方向竖直向下 （2）物块最后停止在轨道CD上，从开始到停止的全过程中，根据动能定理 解得 即小物块最终停在距点0.6m处。 3． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）设物体到达C点的速度为v，从E到C，由动能定理得 解得 （3）从C到A，由动能定理得 解得 （3）设动摩擦因数为μ1时物块刚好能静止在斜面上，则有 解得 ①若，物块将滑出斜面，则物块的路程为 ②若，则 所以物块在斜面上多次往返，最后在B点速度为零，则对于全程由能量守恒定律可得 解得 ③若，则 物块将停在斜面上，则有 解得 4． 【答案】(1)t0=2.25 s (2)或 (3) 【详解】（1）由题可知，小车到达A点时的速度 小车在OA段运动时，由动能定理可得 代入数据解得 （2）①若小车恰能达到B点，由动能定理有 解得 ②若小车恰能运动到圆心等高处，由动能定理有 解得 ③若小车恰能通过圆轨道最高点，在最高点有牛顿第二定律有 由动能定理有 解得 综上或 （3）因为，故能通过圆轨道，从A→C，由动能定理则有 解得 从C冲上斜面，对任意一小段位移，摩擦力在内做的功 将每一段内摩擦力做功求和= ①若当时，小车恰好不会冲出斜面，在D点速度减为0，由机械能守恒有 解得 检验：此时，故甲能在D点停住。 ②如图，若当时，小车在斜面上某处速度减为0，且恰能停在该处 由机械能守恒有 其中， 所以 又因为此位置 其中， 联立解得， 所以 综上可知当时，小车能停在斜面上。 5． 【答案】(1)0.6m (2)1.2m (3)当时，；当时，(单位为m)；当时， 【详解】（1）货物从A到B光滑下滑，由动能定理 代入数据得货物到达B点的速度 货物在BC段受摩擦力匀减速，由动能定理 代入数据得 货物离开C点后平抛，下落高度，由 得平抛运动时间 水平距离 （2）皮带速度 因，货物减速，故货物到C点速度 减速到时，由动能定理得位移为 代入数据解得 水平距离 （3）①时，皮带速度 货物全程减速，到达C点末速度恒为，落点距离同第（1）问， ②时，皮带速度 则，落点距离同第（2）问， ③时，皮带速度 由动能定理得物体在传送带减速时的位移为 代入数据解得 则货物最终加速到与传送带同速，故 ④时，由之前计算可得，货物最终会被加速到，故 综上，当时，；当时，(单位为m)；当时， 6． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）C球落地时，A、B速度为零，系统机械能守恒有 解得 （2）C球落地过程中，系统水平方向动量守恒，则有 因，，，B、C的位移满足 A、C的位移满足 解得 （3）设两杆与水平面夹角为时，C球机械能最小，此时A、B动能最大，三小球的速度及其分速度如图所示 水平方向动量守恒有 又 解得， 沿杆方向根据运动速度的关联规律有 联立解得 据机械能守恒定律有 解得 令，对其求导得 当该导数等于0时，解得，此时取最大值，A、B的动能最大，C的机械能最小，此时C的高度为 7． 【答案】(1) (2)2.25N，方向竖直向下 (3)，与水平方向夹角满足 【详解】（1）假设A在传送带上一直做匀加速运动，有， 代入数据得 假设成立，故A在水平轨道上的速度大小为 （2）A、B发生弹性正碰，根据动量守恒和机械能守恒有， 联立解得 碰后，对B有 解得 由牛顿第三定律可知，B对轻杆的作用力大小为2.25N，方向竖直向下。 （3）杆由推力变为拉力时，C开始离开墙壁，此时杆的作用力为0，设此时杆与水平方向的夹角为，对B球受力分析，如图所示 有， 解得， 轻杆水平时，C与B的水平分速度相等，设为，C离墙后，C、B组成的系统水平方向动量守恒，有 解得 设杆第一次水平时小球B的竖直速度为，从杆的弹力为零到杆第一次水平时，由动能定理可得 解得 轻杆第一次水平时，小球的速度大小为 与水平方向夹角满足 8． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由杆长约束和水平方向动量守恒，有 解得， a球位移大小 c球位移大小 由机械能守恒 水平方向动量守恒 由约束关系 解得 （2）由杆长约束和水平方向动量守恒，有， 解得，， a球位移大小 b球位移大小 c球位移大小 由机械能守恒 水平方向动量守恒 由约束关系 解得 9． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物块P摆下过程中，滑块Q向左滑动，P、Q组成系统水平方向动量守恒，系统机械能守恒，有， 联立得 （2）物块P与物块A发生弹性正碰，P、A组成系统动量守恒、机械能守恒，有：， 联立得，碰后物块A的速度为 （3）物块A在平板车上滑行时，对平板车有向右的摩擦力，使平板车向右运动压缩弹簧，当弹簧弹力等于摩擦力时，平板车受力平衡，记此点为O。由受力分析可知，平板车向右运动时，以O点为平衡位置做简谐运动。设O点处，弹簧的形变量为，根据受力平衡有 解得 由对称性可知，弹簧压缩到最短时，平板车的位移为 弹簧压缩到最短时，平板车恰好完成简谐运动半个周期的运动，根据简谐运动的周期公式可知，平板车运动时间为 物块A在这段时间未减速为0，故滑行的位移为 系统内，克服摩擦力做功产生的热量为 联立得摩擦产生的热量 10． 【答案】(1)18N (2)0.8s (3)， 【详解】（1）物块P从A点静止下滑至B，由机械能守恒得 解得 在B点，由牛顿第二定律得 联立解得 由牛顿第三定律可知P经过B点时对轨道的压力大小为。 （2）物块P在传送带上滑动时，由牛顿第二定律得 解得 减速至与传送带同速的时间为 此阶段物块的位移为 共速后，物块与传送带保持相对静止做匀速直线运动，匀速运动的时间为 则P从B点运动到C点所用的时间为 （3）P在Q上滑动时，对P由牛顿第二定律得 解得 对Q由牛顿第二定律得 解得 设P、Q共速所用时间为，则 解得， P、Q间的相对位移为 故P、Q之间因摩擦产生的热量为 产生的热量为 共速前Q加速阶段位移大小为 P、Q共速后一起做匀减速直线运动，对整体由牛顿第二定律得 解得 Q减速阶段位移大小为 则Q在地面上运动的距离为 24 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $