7.3.2正弦型函数的性质与图像 教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

《7.3.2正弦型函数的性质与图像》教学设计 学 科 数学 班级 高一 授课教师 课 题 7.3.2正弦型函数的性质与图像 课型 新授课 教材分析 本节课是人教B版必修3《三角函数》一章第二大节的第二课时，前一节“正弦函数的性质和图象”主要讲述了正弦函数图象的画法（五点法）、性质及应用。本节课的主要内容是结合实例，了解的实际意义，会用五点法画出函数的图象，观察参数 对函数图象变化的影响，掌握变换法作图。从多角度理解正弦型函数的定义域，值域，周期；能从数和形两个角度理解正弦函数与正弦型函数的本质联系；会用换元法对正弦型函数的性质划归为正弦函数模型求解，体会转化划归的思想。在内容和思想逻辑上这两节是相辅相成、紧密联系的，前一节是后一节的基础，后一节是前一节的延续和深化，这两节内容又是整个三角函数内容的重中之重。通过重点学习正弦函数和正弦型函数，可以是学生进一步熟悉和掌握研究函数的过程和方法。 学情分析 学生已经学习了角的概念的推广、弧度制、三角函数的概念，由于三角函数线是三角函数定义的几何表示，学生需要体会由数到形的变化，本节课不单单要让学生理解知识点，还要培养学生数形结合的良好的思维习惯。 教学目标 1.能正确使用“五点法”“图像变换法”作出函数y＝Asin (ωx＋φ)的图像，并熟悉其变换过程． 2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、频率与振幅． 3．结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，并且了解y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A，ω，φ对函数图像变化的影响以及它们的物理意义． 4.通过正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)图像和性质的学习，培养学生的直观想象和逻辑推理核心素养. 教学重点 1. 理解参数 A、ω、φ 的变化对正弦型函数图像与性质的影响。 2. 掌握正弦型函数的定义域、值域、周期、振幅等基本性质。 3. 熟练运用五点法作出正弦型函数在一个周期内的图像。 教学难点 1. 理解正弦型函数的图像变换过程，特别是先伸缩后平移的变换判断。 2. 结合图像与性质，综合分析参数对函数图像的影响。 3. 体会并运用数形结合、转化与化归的数学思想解决问题。 教学方法 讲授法、小组探究法、直观演示法、练习法、数形结合法 教学过程 教学环节 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图 复习 引入 一、正弦函数定义及其图像 二、正弦函数的性质 引导学生回顾正弦函数 的定义、图像特征、五点法作图及定义域、值域、周期性、单调性、对称性等基本性质，明确本节课的学习基础与探究方向。 主动回忆知识点，积极回答教师提出的问题，跟随教师思路梳理知识框架，明确本节课与已学内容的联系。 巩固已学知识，搭建新旧知识之间的桥梁，为学习正弦型函数做好铺垫，使学生快速进入学习状态。 新课教学 问题情境 ( 交流电问题 交流电流i 时间t的关系可以写成 i = Im sin( ω t+ j ) 其中Im，W， j ，都是常数 ) ( 弹簧振子简谐振动的位移问题 位移X 与时间t的关系可以写成 x= A sin( ω t+ j ) 其中A， ω ， j ，都是常数 ) 上述两个函数解析式在形式上有什么共同特征？ y=Asin(ωx+φ) 正弦型函数的定义 一般地，形如y=Asin(ωx+φ)的函数，称为正弦型函数. 其中A，ω，φ，都是常数，且A≠0，ω≠0 问题：y=Asin(ωx+φ)的图像怎么画？ A，ω，φ对函数的图像和性质有什么影响？ 与y=sinx的图像有什么关系？ 一、首先先探索y=Asinx(A≠0)型函数的性质和图像 例1.探究函数的定义域、值域和周期，并作出它在一个周期内的图像. 解：可以看出，函数的定义域为R 因为 ，所以 所以 的值域为[-2,2] 函数 的周期为2π 五点作图法 用五点法作出 在[0,2π]上的图像，列表如下 0 π 2π 0 1 0 -1 0 0 2 0 -2 0 请同学们用五点作图法作出的图像 自主探究 请同学们用将，， 的图像放在同一直角坐标系中并观察，探究的性质以及图像变换情况。 【变式训练】 1． 函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A>0，ω>0)的最大值为5，则A＝(　) A．5　　 B．－5　　　 C．4　　　D．－4 答案：C　因为A>0，所以当sin(ωx＋φ)＝1时，ymax＝A＋1＝5，所以A＝4. 2．将y＝sin 2x的图像上的所有点的纵坐标都变为原来的倍，得到____________的图像． 答案：y＝sin 2x　y＝sin 2x的图像上的所有点的纵坐标都变为原来的倍得到y＝sin 2x. y=sin(x+φ)型函数的性质和图像 例2.探究函数 的定义域、值域和周期，并作出它在一个周期内的图像. 解：令 ，则 化成 可以看出 定义域为 R值域为[-1,1] 周期为2π 【对点快练】 1．要得到函数y＝sin的图像，可以将函数y＝sin x的图像(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案:B　将函数y＝sin x的图像向右平移个单位长度得y＝sin的图像． 2．若将某正弦函数的图像向右平移个单位后，所得到的图像的函数表达式是y＝sin，则原来的函数表达式为(　　) A．y＝sin　 B．y＝sin C．y＝sin　 D．y＝sin－ 答案：A　y＝sin向左平移个单位后，得到原函数y＝sin. 例3. 总结y＝sin(2x)的性质，并探究如何由y＝sinx的图像得到y＝sin(2x)的图像？ 例4：如何由探究的定义域、值域和周期，并用五点法做出它在一个周期内的图像？ 函数y=sinx的图像如何变成的图像？ 展示交流电、弹簧振子、简谐振动等生活实例，引导学生观察函数表达式的共同特征，抽象出正弦型函数结构，并强调参数限制条件。 教师利用PPT提出问题并板书作图。 教师提问，引导学生思考。 引导学生利用换元法分析函数，借助图像演示左右平移过程，强调 “左加右减” 规律，帮助学生理解初相 \(\varphi\) 对图像位置的影响，及时点拨易错点。 教师进行总结，对纵向伸缩变换进一步解释。 引导学生通过换元的方法分析y＝sin(x＋φ)的性质，再借演示当φ变化时图像的变化情况，提问学生图像的变化规律. 在分析函数周期时，教师要提醒学生从周期的定义出发，找到x的改变量为多少时，函数值重复出现。 结合本节课对参数A、ω、φ的研究，总结三个参数的实际意义。 再引导学生借助动态演示功能，结合点坐标的变化，找到ω变化时图像的变化规律. 教师提出问题，引导学生思考，能否用前面的方法分析函数的性质？ 作图时的五点如何选择？除了五点法作图，我们还可以用什么方法得到图像？引出下一问题. 教师提出问题，引导学生通过对比两个函数的性质与图像，提出综合应用图像变换的方案，用ppt分步骤展示图像的变换过程，对图像变换的难点和易错点，提醒学生对比图像坐标进行分析，通过引导学生发现和提出问题，激发学生的学习兴趣. 认真观察实例，思考函数模型的实际意义，归纳共同特征，理解正弦型函数的定义及其现实背景。 学生思考并回答问题。 学生探究讨论得出结论。 学生在老师引导下进行思考探究，从而得到结论。 学生进一步掌握新学，加深记忆。 学生先总结y＝sin(x＋φ)的性质，再借助GGB进行数学实验，发现φ引起的是图像x轴方向的平移变换，规律为左加右减，总结出一般规律. 学生类比之前的方法自主探究y＝sin(ωx)的性质，发现ω与周期成反比的规律，总结出，借助GGB进行数学实验，发现ω引起的是图像x轴方向的伸缩变换，观察出ω越大，周期越小，验证了分析函数性质时得到的结论，得到图像变换的结论。 学生用整体分析的方法分析函数性质和五点作图，此外可以由y=sinx通过图像变换的方法得到图像. 结合与y=sinx的函数性质，并观察五点法作出的图像，提出不同方案：先伸缩后平移，先平移后伸缩.学生在先伸缩后平移时，可能会认为是左移个单位长度，但是通过分析点坐标的变化最后发现这样做是错误的，从而激发他们求知欲，加深对图像变换的理解，第二种变换的难点在伸缩变化中，φ是否受到影响，同样从本质出发，通过分析点的变化来理解，最后结合动态图像来验证. 联系生活实际，激发学习兴趣，让学生体会数学来源于生活、应用于生活，自然引出本节课学习内容。 通过思考，培养学生探索新知的精神和能力。 巩固学生对前面函数知识的掌握情况。 本环节将需要解决的三个参数进行分解，先逐个分析参数对图像的影响，从参数A入手，引导学生从特殊到一般分析A对函数性质与图像的影响，探究过程中，借助GGB的动态展示，合理的展现了探究结论的过程，较好的突破了探究难点，激发了学生的探究欲望，提高了学生分析问题、解决问题的能力. 培养学生自主探究能力。 进一步理解，加深记忆。 深化对周期概念的理解，让学生掌握横向伸缩变换的本质，提升数学抽象能力。 突破图像平移这一教学难点，强化直观想象素养，提升逻辑推理能力。 联系生活实际，激发学习兴趣，让学生体会数学来源于生活、应用于生活，自然引出本节课学习内容。 突破图像平移这一教学难点，强化直观想象素养，提升逻辑推理能力。 由具体到抽象，类比上一环节的探究过程，继续探究φ、ω对函数性质与图像的影响。 图像变换的本质是图像上每个点的位置变化，而点的位置变化对应了点的坐标的变化。 此处不仅从形的角度认识规律，更加突出从点的坐标这一数的本质去理解，实现思维水平的提升. 巩 固 练 习 1.如何由函数y=sinx的图像变成的图像？ 2.如何由函数的图像变成的图像？ 　　 　　 3：总结y＝Asin(ωx＋φ)的定义域、值域、周期，并思考A、ω、φ有怎样的实际意义？ 　　 教师在学生完成后，点评、补充教师提出问题，提问一名学生总结性质，并用GGB回顾摩天轮和弹簧产生正弦型函数的过程。 学生独立思考，再小组讨论，比较不同的图像变换方案，加深对图像变换的理解。 遇到问题时，先从本质出发通过分析点坐标的变化，从而解决问题，借助PPT软件，既能直观判断能否完成图像的合理变换。 课 堂 小 结 问题：本节课你收获了什么？ 1. 掌握正弦型函数 y=Asin(ωx+φ) 的定义，理解 A、ω、φ 三个参数对图像与性质的影响。 2. 熟练运用五点法画出正弦型函数的图像，并会求定义域、值域、周期、振幅。 3. 学会由 y=sinx 经过平移、伸缩变换得到 y=Asin (ωx+φ) 的图像，体会数形结合思想。 引导学生回顾本节课重点内容，梳理参数作用、图像画法、变换步骤，帮助学生构建完整知识体系。 自主归纳、相互补充，形成清晰知识结构，强化记忆。 提升学生归纳概括能力，帮助学生梳理思路，巩固课堂学习成果。 课 后 作 业 1. 完成教材课后习题 A 组、B 组题目。 2. 整理本节课重点知识，梳理参数对图像的影响。 3. 用五点法绘制一个正弦型函数图像，巩固作图方法。 引导学生回顾本节课重点内容，梳理参数作用、图像画法、变换步骤，帮助学生构建完整知识体系。 自主归纳、相互补充，形成清晰知识结构，强化记忆。 提升学生归纳概括能力，帮助学生梳理思路，巩固课堂学习成果。 板 书 设 计 7.3.2 正弦型函数的性质与图像 1. 1. 函数形式：y=Asin (ωx+φ) 2. 2. 参数作用A：振幅，决定值域ω：决定周期大小φ：决定左右平移 3. 3. 图像变换：平移→伸缩→振幅 4. 4. 作图：五点法 教 学 反 思 本节课通过交流电、简谐振动等实际情境引入正弦型函数，引导学生从参数 A、ω、φ 单独探究到综合图像变换，逐步突破重难点。课堂上以五点法作图与图像变换为主线，结合数形结合思想与动态演示，有效培养学生直观想象与逻辑推理素养，多数学生能掌握参数对图像与性质的影响、会求周期与值域。但教学中发现，部分学生对先伸缩后平移的变换顺序与平移单位理解不透彻，课堂时间分配略显紧张，小组探究与展示可进一步精简。后续教学应加强易错点对比训练，增加基础巩固练习，关注学困生的理解情况，不断优化课堂节奏与探究活动，提升整体教学效果。 学科网（北京）股份有限公司 $