系统沉淀训练12数列——2026届高三数学三轮冲刺

2026高考前45天 系统沉淀训练12数列（学生版） 主要考点：【1】数列的函数性质；【2】数列的通项；【3】数列求和；【4】数列的新定义；【5】数列与其他知识的综合应用. 一、单选题 1．（2026·河北衡水·二模）已知数列的各项均为整数，，，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 2．（2026·河北保定·二模）已知等比数列中，，则“”是“为、的等差中项”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（2026·湖北十堰·二模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．19 B．25 C．30 D．33 4．（2026·湖北·一模）已知数列的首项，且满足，则数列（ ） A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减 5．（2026·江西赣州·二模）设数列满足，则的前2026项和为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·湖北荆州·一模）已知，设函数的零点个数为，则＝（    ） A．120 B．210 C．75 D．240 7．（2026·安徽淮南·二模）平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案.其画法是：取第一个正方形各边的四等分点，，，作第二个正方形，再取正方形各边的四等分点，，，作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，如图所示.设正方形边长为，后续各正方形边长依次为.若，则等于（   ） A． B． C． D． 8．（2026·山东泰安·二模）已知等比数列的公比大于1，前项和为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 二、多选题 9．（2026·河北衡水·二模）已知数列的前项和为，若，，则（   ） A． B．数列为递减数列 C．任意， D．任意， 10．（2026·河北沧州·模拟预测）已知数列的前项和为，且，则（    ） A．数列是等差数列 B． C．数列的前项的和为 D．的前项的和小于 11．（2026·安徽马鞍山·二模）数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C． D．数列的前项和等于 三、填空题 12．（2026·广东湛江·二模）若数列（）满足，则称数列为“和谐数列”.已知数列是“和谐数列”，且，则满足条件的数列的个数为______. 13．（2021·江西·模拟预测）已知公差不为0的等差数列的部分项，，，……构成等比数列，且，，，则___________. 14．（2022·江西南昌·一模）无限循环小数可以通过等比数列法转化为分数.如；应用上述方法转化（，为互质整数），则___________. 四、解答题 15．（2026·广东惠州·一模）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的最大值. 16．（2026·江西上饶·二模）已知为数列的前n项的积，且，为数列的前n项的和，若． (1)求证：数列是等差数列； (2)求的通项公式． 17．（2026·河北衡水·模拟预测）已知是公差为2的等差数列，是公比为2的等比数列，且. (1)求，的通项公式； (2)记数列的前项和为，用表示不超过的最大整数，例如，，求的取值集合. 18．（2026·江苏·模拟预测）已知数列为正项等比数列，公比，前项和为，. (1)当时，记集合，求中元素之和； (2)求的最小值. 19．（2026·安徽淮南·二模）已知递增数列满足，. (1)证明：为等差数列，并求. (2)记，数列的前项和为，求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高考前45天 系统沉淀训练12数列（详解版） 主要考点：【1】数列的函数性质；【2】数列的通项；【3】数列求和；【4】数列的新定义；【5】数列与其他知识的综合应用. 一、单选题 1．（2026·河北衡水·二模）已知数列的各项均为整数，，，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，用和表示出，从第9项起成等比数列，可得，结合，建立关于的方程，确定和等比数列的公比，进而求得. 【详解】已知前10项成等差数列，设公差为，由得：，， 因为数列各项均为整数，所以是整数， 从第9项起成等比数列，满足，代入得：， 整理得，解得或， 因为为整数，舍去，得， ，求得， 等比数列公比，则， 所以. 2．（2026·河北保定·二模）已知等比数列中，，则“”是“为、的等差中项”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据为、的等差中项得出，结合可求出的值，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】一方面，若，由可得， 此时， 则为、的等差中项， 所以“”“为、的等差中项”； 另一方面，若为、的等差中项，所以， 所以，解得， 故“”“为、的等差中项”. 所以“”是“为、的等差中项”的充要条件. 3．（2026·湖北十堰·二模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．19 B．25 C．30 D．33 【答案】B 【详解】法1：设 的公差为 ，由 ，得 ，即 . 由 ，得 ，所以 . 所以 ，所以. 法2：设 的公差为 ，由题意，得 ， 即 ， 解得 ， . 所以 . 4．（2026·湖北·一模）已知数列的首项，且满足，则数列（ ） A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减 【答案】B 【分析】根据题意，得到，构造等比数列，求出，得出数列的通项公式，结合指数函数的性质，即可求解. 【详解】由，可得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即，可得， 根据指数函数单调性知，可得数列是单调递减数列. 5．（2026·江西赣州·二模）设数列满足，则的前2026项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的通项公式，再求前项和为，最后代入计算即可. 【详解】当时，； 当时，；， 所以，即， 当时，不满足； 所以 所以的前项和为. 所以 6．（2026·湖北荆州·一模）已知，设函数的零点个数为，则＝（    ） A．120 B．210 C．75 D．240 【答案】A 【分析】先利用图象的交点求出当n＝1时的零点个数，再根据正弦型函数的周期以及得出数列为等差数列即可求出. 【详解】过点， 则可作出的图象. 当n＝1时，作出的图象， 因为，故的图象与图象有3个交点； 注意到的周期为4，， n每增加1个单位，也增加个单位（一个周期），则交点增加2个， 故数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以. 7．（2026·安徽淮南·二模）平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案.其画法是：取第一个正方形各边的四等分点，，，作第二个正方形，再取正方形各边的四等分点，，，作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，如图所示.设正方形边长为，后续各正方形边长依次为.若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意判断为等比数列，求出通项公式，代入求解即可. 【详解】由题意可知，，易知，所以. 又，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列， 所以，故. 8．（2026·山东泰安·二模）已知等比数列的公比大于1，前项和为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【分析】设等比数列的公比为 ，令，则可由求出，，关于的表达式，再由条件求出，进而得到． 【详解】设等比数列的首项为，公比为，其中． 则，由，得． 令，则．由上式可得， ，，由题意得， 因为，所以． 化简得．解得或． 又，所以，故． 二、多选题 9．（2026·河北衡水·二模）已知数列的前项和为，若，，则（   ） A． B．数列为递减数列 C．任意， D．任意， 【答案】ABD 【分析】对于A，代入求值即可判断；对于B，，说明，即可证明，即可判断B；对于C，求出即可判断；对于D，先证明，由，两边同时除以得，当时，利用累加法得到，即可得到，再讨论，即可判断D. 【详解】对于A，，，，故A正确； 对于B，， 当时，若，则或， 令，即，因为，故方程无解，即， 当时，或，而， 以此类推，或， 又，所以， 所以，所以， 所以数列为递减数列，故B正确； 对于C，， 所以，故C错误； 对于D，因为数列为递减数列，故， 由可得，即， 由，两边同时除以得，即， 所以当时， ，，，， 上式累加得， 即， 又，所以， 当时，，此时， 综上，，故D正确. 10．（2026·河北沧州·模拟预测）已知数列的前项和为，且，则（    ） A．数列是等差数列 B． C．数列的前项的和为 D．的前项的和小于 【答案】ACD 【分析】先由前项和，利用与求出通项，再逐一验证各选项：A 判断数列类型，B 比较与，C 求的前n项和，D 用裂项相消法求的前项和并判断范围，最终确定正确选项. 【详解】对于A：根据题意，，当时，， 所以满足，所以数列是等差数列，正确； 对于B：，显然，不正确； 对于C：因为，所以，所以其前项的和为，正确； 对于D：因为，所以， 所以的前项的和为，正确. 11．（2026·安徽马鞍山·二模）数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C． D．数列的前项和等于 【答案】ABD 【分析】根据与之间的关系分析可得，即可判断A；进而可得，，即可判断BC；整理可得，利用裂项相消法运算求解，即可判断D. 【详解】对于A，由数列满足， 当时，，所以， 可得， 因为，可得，所以， 则，所以，所以， 所以数列是以首项为，公差的等差数列，所以A正确； 对于B，由A项可得，所以， 当时，， 当时，，适合上式，所以， 又由，可得， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以B正确； 对于C，由B项知：数列的通项公式为，所以C错误； 对于D，由， 可得的前项和为： ，所以D正确. 三、填空题 12．（2026·广东湛江·二模）若数列（）满足，则称数列为“和谐数列”.已知数列是“和谐数列”，且，则满足条件的数列的个数为______. 【答案】19 【详解】因为数列是“和谐数列”，且， 所以共有6项，且. 若，，，各项全为0，则满足条件的数列只有1个； 若，，，有2项为0，1项为1，1项为， 则满足条件的数列的个数为； 若，，，有2项为1，2项为， 则满足条件的数列的个数为，所以的个数为. 13．（2021·江西·模拟预测）已知公差不为0的等差数列的部分项，，，……构成等比数列，且，，，则___________. 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，则，由等比数列的性质列式求得 ．然后再由等差数列与等比数列的通项公式列式求得． 【详解】解：设等差数列的公差为，则， 由已知， 即，得， 于是，在等比数列中， 公比． 由为数列的第项，知； 由为数列的第项，知， ， 故. 故答案为． 【点睛】该题考查的是有关等差数列与等比数列的综合问题，属于中档题目，在解题的过程中，需要对等差数列的通项公式与等比数列的通项公式熟练掌握，并且要注意三项成等差数列的条件，得出等差数列的首项与公差的条件，从而确定出所得的等比数列的项的特点，进一步求得结果，从而求得等比数列的项的特点，得到的关系，从而求得结果，在做题的过程中，如果分析不到位，很容易出错. 14．（2022·江西南昌·一模）无限循环小数可以通过等比数列法转化为分数.如；应用上述方法转化（，为互质整数），则___________. 【答案】 【详解】根据题意给的转化方法可得 ，化简计算即可. 由题意知， . 故答案为：. 四、解答题 15．（2026·广东惠州·一模）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据和的关系求解即可； （2）求出，采用裂项相消法求出前项和为，解，即可得到答案. 【详解】（1）由条件有时，， 又，所以，， 则， 经检验，满足， 所以的通项公式. （2）由（1）得数列 则 ， 因为，所以， 又，故的最大值为. 16．（2026·江西上饶·二模）已知为数列的前n项的积，且，为数列的前n项的和，若． (1)求证：数列是等差数列； (2)求的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过对让问题得到求解； （2）通过对数列通项公式与前n项积的关系进行求解. 【详解】（1）当时，， 当时，， ， 是以为首项，2为公差的等差数列． （2）由（1）可得，， 所以，当时，； 当时，． 而，，，均不满足上式． ． 17．（2026·河北衡水·模拟预测）已知是公差为2的等差数列，是公比为2的等比数列，且. (1)求，的通项公式； (2)记数列的前项和为，用表示不超过的最大整数，例如，，求的取值集合. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，借助等差数列、等比数列通项列出方程组求出首项即可. （2）利用错位相减法求出，按分段，并利用二项式系数的性质确定范围求出取值集合. 【详解】（1）依题意，，解得， 则， 所以数列，的通项公式分别为. （2）由（1）得， 则，， 两式相减得 ，因此， ，当时，； 而，当时，， 因此，，则， 所以的取值集合是. 18．（2026·江苏·模拟预测）已知数列为正项等比数列，公比，前项和为，. (1)当时，记集合，求中元素之和； (2)求的最小值. 【答案】(1)28 (2)8 【分析】（1）当时，由条件，可得的值，代入求和公式，可得，根据条件，可得m的所有取值，即可得答案； （2）由条件可得，即可得的表达式，利用换元法，结合基本不等式，即可得答案. 【详解】（1）当时，由， 得， 所以，解得， 所以，则， 由，得， 因为，所以， 所以中元素之和为； （2）由，得， 所以， 所以， 令，则， 所以， 当且仅当，即，即时取等号， 所以的最小值为8. 19．（2026·安徽淮南·二模）已知递增数列满足，. (1)证明：为等差数列，并求. (2)记，数列的前项和为，求. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）将已知等式整理为关于相邻两项差的方程, 再结合数列递增确定公差, 从而求出通项公式. （2）由（1）得出通项后, 写出所求数列的通项, 再将其裂项, 利用裂项相消求和. 【详解】（1）由题意, 有. 移项整理, 得. 所以. 因为数列 为递增数列, 所以. 故. 所以数列 是首项为 , 公差为 的等差数列, 从而. （2）由(1)知,所以. 于是. 又因为, 所以. 故. 从而. . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $