考前45天系统沉淀训练16 圆锥曲线——2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦圆锥曲线核心考点，通过分层题型构建从定义性质到综合应用的知识逻辑链，强化数学思维与运算能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义与标准方程|单选1-2题|双曲线定义辨析、焦点关系判断|从定义出发推导标准方程，建立a,b,c关系| |几何性质|单选3-8题/多选9-11题|离心率计算、渐近线应用、焦点三角形|性质推导基于定义，离心率关联a,b,c运算| |位置关系|填空12-14题|弦长计算、圆与圆锥曲线位置|联立方程结合韦达定理，体现代数几何融合| |综合应用|解答15-19题|定值证明、轨迹方程、存在性问题|综合定义、性质与位置关系，培养模型观念与推理能力|

2026高考前45天 系统沉淀训练16圆锥曲线系统沉淀训练（学生版） 主要考点：【1】圆锥曲线的定义和标准方程；【2】圆锥曲线的几何性质；【3】直线和圆锥曲线的位置关系；【4】定点、定值、范围、恒成立，存在性问题. 一、单选题 1．（2026·广东肇庆·二模）双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 2．（2026·广东广州·二模）已知分别为双曲线的左、右焦点，点在的渐近线上，且满足，则的离心率为（   ） A．3 B．2 C． D． 3．（2026·河南郑州·二模）已知椭圆，椭圆上一点到直线距离的最大值为，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽合肥·二模）设椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，过的直线与交于两点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·浙江金华·二模）抛物线的焦点为F，斜率为2的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·湖南郴州·三模）已知点，抛物线的焦点为，点是抛物线上一动点，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 7．（2026·河北沧州·二模）在平面直角坐标系中，F，A分别为椭圆 的右焦点和下顶点，B是x轴上一点，且，过点B且与AF平行的直线l与C有唯一公共点，则l的斜率为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·浙江·二模）已知为坐标原点，点，动点、在抛物线上，满足．若点关于直线的对称点为，则的最大值是（    ）． A． B．9 C． D．8 二、多选题 9．（2026·湖南怀化·二模）已知双曲线C：，则下列结论正确的是（   ） A．m的取值范围是 B．C的焦距与m的取值无关 C．若C的离心率不小于2，则m的取值范围为 D．存在实数，使得点在C上 10．（2026·广东佛山·二模）在平面直角坐标系中，斜率为1的直线l交抛物线于，两点，交x轴于点（），则（   ） A． B． C．的等差中项是2 D．m是，的等比中项 11．（2026·湖南邵阳·二模）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线交于，两点，则下列结论成立的是（   ） A．的周长为8 B． C．的最小值为 D．存在直线，使得 三、填空题 12．（2025·山东日照·二模）已知与x轴相交于C，D两点，点，以AB为直径的圆与⊙O内切，则△BCD面积的最大值为________． 13．（2026·山东济南·二模）双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为______． 14．（2026·广东佛山·二模）已知为坐标原点，椭圆与抛物线有共同的焦点，且在第一象限相交于点，若，则___________． 四、解答题 15．（2026·安徽淮南·二模）已知椭圆：的短轴长为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)记点为椭圆的左顶点，点为椭圆的下顶点，动点是第一象限内椭圆上的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.证明：四边形的面积为定值. 16．（2026·河南·二模）设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为2．过点作轴的垂线与交于两点，． (1)求的方程； (2)若直线与的右支交于不同的两点，求的取值范围； (3)过作一条不垂直于轴的射线与的左支在第二象限交于点，过作与平行的一条射线与在第一象限交于点，证明：成等差数列． 17．（2026·浙江杭州·二模）已知抛物线：的焦点为F，顶点为，点在上. (1)求的方程； (2)已知点在上，过M且斜率为2的直线交于点Q，令. （i）求点P的坐标（用t表示）； （ii）设直线与的另一个交点为N，焦点F到直线的距离是否存在最大值?若存在求其最大值.若不存在，请说明理由. 18．（2026·湖南郴州·三模）已知椭圆的离心率为分别是椭圆的左，右焦点，点为椭圆上任意一点，且面积的最大值为所在的直线经过椭圆的中心，现将坐标平面沿轴折成一个直二面角，如图1､2所示. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求翻折后异面直线与所成角的余弦值； (3)当不在轴上时，如图2，求面积的最大值. 19．（2026·江苏南通·一模）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知上存在三点，且关于直线对称． ①求的取值范围； ②若为等边三角形，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高考前45天 系统沉淀训练16圆锥曲线系统沉淀训练（详解版） 主要考点：【1】圆锥曲线的定义和标准方程；【2】圆锥曲线的几何性质；【3】直线和圆锥曲线的位置关系；【4】定点、定值、范围、恒成立，存在性问题. 一、单选题 1．（2026·广东肇庆·二模）双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 【答案】B 【分析】由题意确定的范围，进而逐项判断即可. 【详解】由表示双曲线， 得，得，所以焦点在轴上， 又， 所以顶点坐标，焦点坐标，虚轴长，离心率， 双曲线的顶点坐标，焦点坐标，虚轴长，离心率， 因此两个双曲线具有相同的焦点，其他选项均不能确定满足. 2．（2026·广东广州·二模）已知分别为双曲线的左、右焦点，点在的渐近线上，且满足，则的离心率为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由题设，结合且，应用二倍角正切公式、双曲线离心率求法求解. 【详解】点在的渐近线上，且满足， 所以在中，而，则， 所以， 又双曲线的渐近线方程为， 所以，所以离心率. 3．（2026·河南郑州·二模）已知椭圆，椭圆上一点到直线距离的最大值为，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设椭圆上任意点，, 根据点到直线的距离公式，可知到直线的距离为： ，其中， 所以的最大值为：， ​ 两边平方整理得， 椭圆中，则， 即离心率：. 4．（2026·安徽合肥·二模）设椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，过的直线与交于两点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据面积关系可得，从而得到，利用结合余弦定理化简即可求解. 【详解】因为，所以 则，由于 所以， 根据椭圆的定义可得， 在中，， 在中，， 因为， 所以， 即， 化简得：，即，所以椭圆的离心率为 5．（2026·浙江金华·二模）抛物线的焦点为F，斜率为2的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设直线的方程为，， 由抛物线可得准线方程为， 又，，所以，，所以， 又因为，，所以， 所以，所以， 所以. 6．（2026·湖南郴州·三模）已知点，抛物线的焦点为，点是抛物线上一动点，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】设到准线的距离为，则．然后求出．判断当与抛物线相切时，最小，即取得最大值，再利用切线性质计算即可得. 【详解】抛物线的准线方程为， 设到准线的距离为，则， 则， 则当与抛物线相切时，最小，即取得最大值， 设过点的直线与抛物线相切， 联立，得， ，解得， 即有，解得，把代入得， 或，此时. 7．（2026·河北沧州·二模）在平面直角坐标系中，F，A分别为椭圆 的右焦点和下顶点，B是x轴上一点，且，过点B且与AF平行的直线l与C有唯一公共点，则l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线的方程并与椭圆方程联立，消元，令求解. 【详解】由题意知，，， 直线的斜率，所以直线的方程为， 得， 因为直线与C有唯一公共点，所以， 整理得，又因为，所以， 所以l的斜率为 8．（2026·浙江·二模）已知为坐标原点，点，动点、在抛物线上，满足．若点关于直线的对称点为，则的最大值是（    ）． A． B．9 C． D．8 【答案】B 【详解】设直线的方程为，， 联立抛物线方程得，， 由韦达定理得，， 由得，， 代入，得， 将代入，得，或（舍去）， 所以直线的方程为，恒过点， 因为点关于直线的对称点为， 所以垂直平分，是中点， 所以， 所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆（除去原点）， 则点轨迹方程为， 所以， 所以. 二、多选题 9．（2026·湖南怀化·二模）已知双曲线C：，则下列结论正确的是（   ） A．m的取值范围是 B．C的焦距与m的取值无关 C．若C的离心率不小于2，则m的取值范围为 D．存在实数，使得点在C上 【答案】ABC 【分析】A.由求解判断；B.由C的焦距为2判断；C.由和求解判断；D.结合，由判断. 【详解】由题意得，则，A正确． 由题意知，故C的焦距为2，与m的取值无关，B正确． 由，解得，又，所以m的取值范围为，C正确． 假设存在实数，使得点在C上，则，． 当时，，则， 所以在上无实数解，D错误． 10．（2026·广东佛山·二模）在平面直角坐标系中，斜率为1的直线l交抛物线于，两点，交x轴于点（），则（   ） A． B． C．的等差中项是2 D．m是，的等比中项 【答案】ACD 【分析】联立直线与抛物线，结合韦达定理，由弦长公式可得A；令可得B错误；结合等差中项和等比中项的概念由韦达定理可判断CD. 【详解】直线的方程为， 联立消去可得， 则，， 对于A，由得， ，故A正确； 对于B，， 令可得，此时，故B错误； 对于C，由可得的等差中项是2，故C正确； 对于D，由可得m是，的等比中项，故D正确. 11．（2026·湖南邵阳·二模）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线交于，两点，则下列结论成立的是（   ） A．的周长为8 B． C．的最小值为 D．存在直线，使得 【答案】ABD 【分析】由椭圆的定义即可判断A；由基本不等式即可判断B；根据椭圆弦长公式即可判断C；根据的最大角即可判断D． 【详解】A，根据椭圆的定义，， 所以的周长为，故A正确； B，根据基本不等式，，当且仅当时等号成立，故B正确； C，设直线的方程为，， 与椭圆方程联立得，， ，， ， 当时，最小为1，故C错误； D，当直线过短轴顶点时，最大， 此时，即最大为， 所以存在直线，使得，故D正确． 三、填空题 12．（2025·山东日照·二模）已知与x轴相交于C，D两点，点，以AB为直径的圆与⊙O内切，则△BCD面积的最大值为________． 【答案】8 【分析】由两圆内切可以判定得到B的轨迹方程为椭圆，根据椭圆的性质即可确定最大值. 【详解】 如图，设以为直径的圆的圆心为，， 因为两圆内切，所以， 又为的中位线，所以， 所以， 所以的轨迹为以，为焦点的椭圆， ，， 显然当为椭圆短轴顶点即时，的面积最大， 最大值为. 故答案为：8 13．（2026·山东济南·二模）双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为______． 【答案】 【详解】令可得：， 所以双曲线的一条渐近线可为：，即， 圆的圆心， 所以圆心到直线的距离为：， 所以被圆所截得的弦长为：. 14．（2026·广东佛山·二模）已知为坐标原点，椭圆与抛物线有共同的焦点，且在第一象限相交于点，若，则___________． 【答案】 【分析】联立曲线方程，求得，然后将代入得出，化简整理即可求解. 【详解】设椭圆的右焦点为，依题意可得， 因为， 由，解得，即， 所以，即，即， 所以，解得， 所以. 四、解答题 15．（2026·安徽淮南·二模）已知椭圆：的短轴长为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)记点为椭圆的左顶点，点为椭圆的下顶点，动点是第一象限内椭圆上的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.证明：四边形的面积为定值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率及短轴长得到方程组，求出、，即可得到椭圆方程； （2）设（，），表示出直线、的方程，即可得到、，最后根据计算可得. 【详解】（1）因为离心率为，椭圆的短轴长为， 所以，解得，所以椭圆的方程为． （2）由（1）可知点，，设（，）， 则，即①， 则直线的方程为，令，得，所以， 直线的方程为，令，得，所以， 所以， ， 所以四边形的面积为：又因为，所以 ， 所以四边形ABCD的面积为定值． 16．（2026·河南·二模）设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为2．过点作轴的垂线与交于两点，． (1)求的方程； (2)若直线与的右支交于不同的两点，求的取值范围； (3)过作一条不垂直于轴的射线与的左支在第二象限交于点，过作与平行的一条射线与在第一象限交于点，证明：成等差数列． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由条件结合双曲线定义列关于的方程，解方程，可得到双曲线方程； （2）将直线方程与双曲线方程联立，消去得到关于的一元二次方程，所以需满足二次项系数不为0，且判别式，因为交点在右支，所以利用韦达定理得到两根之和大于0、两根之积大于0，联立不等式求解的取值范围； （3）设，点关于原点的对称点记为，此时，，由，可得，，三点共线，且可设直线的方程为， 将直线方程与双曲线方程联立，由韦达定理可得的关系式，设直线的倾斜角为，从而可得，的表达式，利用等差数列的性质可证明. 【详解】（1）由题可得. 由双曲线定义知，则. 因为，所以， 又，所以， 所以双曲线的方程为. （2）联立，所以， 由题知：， 所以，解得或， 即. （3）设，点关于原点的对称点记为， 此时，， 因为，，所以， 因为，所以，即， 所以，，三点共线，且， 设直线的方程为， 联立，消去并整理得， 此时且，，， 因为，所以， 且， 则，所以， 设直线的倾斜角为，此时，， 所以， 同理可得， 所以， 所以，，成等差数列. 17．（2026·浙江杭州·二模）已知抛物线：的焦点为F，顶点为，点在上. (1)求的方程； (2)已知点在上，过M且斜率为2的直线交于点Q，令. （i）求点P的坐标（用t表示）； （ii）设直线与的另一个交点为N，焦点F到直线的距离是否存在最大值?若存在求其最大值.若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）（ii）存在， 【分析】（1）因为点A在抛物线Γ上，所以将点A的坐标代入抛物线方程，即可求解出p的值，进而得到Γ的方程. （2）（i）先求出直线OA的方程和过M的直线方程，联立这两个直线方程可求出点Q的坐标；利用中点坐标公式，可由M和Q的坐标求出点P的坐标. （ii）先联立直线OP与抛物线Γ的方程，求出点N的坐标；再根据M、N的坐标写出直线MN的方程，发现恒过一定点，F到这一定点的距离即为F到直线的距离最大值. 【详解】（1）将点代入得，所以：. （2） （i）过M点斜率为2的直线， 直线方程，由得， 可得， 设，由得， 即，解得，所以. （ii）因为，所以直线方程为， 解方程组，得， 所以， 直线：， 整理得， 因此直线过定点. 又，所以， 所以点F到直线的最大距离为. 18．（2026·湖南郴州·三模）已知椭圆的离心率为分别是椭圆的左，右焦点，点为椭圆上任意一点，且面积的最大值为所在的直线经过椭圆的中心，现将坐标平面沿轴折成一个直二面角，如图1､2所示. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求翻折后异面直线与所成角的余弦值； (3)当不在轴上时，如图2，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）当在短轴端点时面积最大，再结合离心率为与，可求出椭圆方程； （2）折叠前直线与椭圆方程联立求出坐标；折叠后建立空间直角坐标系，再确定的空间坐标，向量法求异面直线所成角的余弦值； （3）直线与椭圆方程联立，利用韦达定理得到坐标的关系，翻折后，建立空间直角坐标系，写出的空间坐标，利用空间向量可算出到的距离，再根据三角形面积公式结合基本不等式可求出面积最大值. 【详解】（1）由题意知，解得 ∴椭圆C的标准方程为. （2）翻折前，所在直线方程为， 联立，消得，解得， 不妨设，翻折后，建立如图所示的空间直角坐标系. 则 于是. 设异面直线与所成角为， . 故异面直线与所成角的余弦值为. （3）设翻折前所在直线方程为， 联立，消得， 设（令）， 由韦达定理有. 翻折后，， 故， 则， 所以， 于是. 所以， 令，有，于是. 令，由对勾函数的性质， 在上单调递增. 所以当时取得最小值，为，此时取得最大值， 的最大值为.此时，解得. 所以当直线的斜率时，面积取得最大值，最大值为2. 19．（2026·江苏南通·一模）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知上存在三点，且关于直线对称． ①求的取值范围； ②若为等边三角形，求． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用斜率公式，列方程化简即可； （2）①利用直线与抛物线联立，求出对称点的中点坐标，利用中点在对称轴上找到参数的相等关系，再利用判别式恒大于0，来求出参数的范围，最后再排除特殊情况即可； ②利用弦长公式，结合等边三角形可得到相等关系，再通过坐标满足的方程来求解即可. 【详解】（1）设点． 因为直线的斜率与直线的斜率的差是2，所以， ， 化简得：． （2）①因为关于直线对称，所以直线的斜率为-2． 设直线的方程为， 联立消去可得． 所以 所以中点坐标． 因为点在直线上，所以． 因为，所以， 因为曲线方程，即曲线上要挖掉两点， 即直线不能经过点， 若直线过点，则， 若直线过点，则． 综上所述：的取值范围是． ②因为为等边三角形，所以点在直线上． 设，则， ． 所以，即， 化简得，①． 因为点在直线上，所以②． 由①②消得，． 因为，所以， 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $