2026年中考数学模拟猜题卷（湖北武汉专用）

**基本信息** 以楚文化凤鸟纹、原子级制造等真实情境为载体，融合几何直观、模型意识等核心素养，设置选择、填空、解答题梯度，适配中考二轮专题复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称、概率、三视图|第1题以凤鸟纹考轴对称（文化传承）| |填空题|6/18|高斯函数、几何翻折|第16题新定义运算考推理意识| |解答题|8/72|圆的切线、抛物线综合|第22题隧道安全结合抛物线（模型意识），第24题抛物线综合考运算能力|

2026年中考数学模拟猜题卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．楚文化源远流长，楚人尊凤崇凤，在荆州出土的楚国漆器、丝织品等器物上常见凤鸟纹：下列凤鸟纹图案中，属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．关于概率意义的理解，下列说法正确的是（   ） A．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中，所以他击中靶的概率是． B．中国星网星座计划中，某批次卫星发射成功概率为0.95，则发射100颗该批次卫星，一定会有95颗成功入轨． C．小明做了2次抛掷均匀硬币的试验，结果两次正面朝上，他认为再抛一次一定是反面朝上． D．据行业报告，2026年我国智能算力占比有望突破，但对于某一家具体企业而言，其智能算力占比可能远高于或远低于这一数值． 3．“堑堵”是古代数学名词，指一个长方体沿不在同一面上的相对两棱斜截所得的立体图形，即两底面为直角三角形的三棱柱．如图水平放置的“堑堵”的主视图为（    ） A． B． C． D． 4．2026年3月，中国科学院物理研究所团队创造性发展原子级制造的范德华挤压技术，首次将铋、锡、铅等金属推进到原子极限厚度的二维世界，二维金属的厚度相当于头发丝直径的二十万分之一．已知头发丝直径约为0.00007米，则二维金属的厚度约为（单位：米）（    ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点，轴于点，点A的横坐标为25，则在第（   ）秒时1号和2号无人机在同一高度． A．13 B．14 C．15 D．16 7．龙泉青瓷工艺是世界级非物质文化遗产，“浙”赛区冠军奖杯采用龙泉青瓷工艺制作，如图，杯身高占总高的，杯身高与底座高之和是，杯顶高与杯身高之和是，设杯身高为，底座高为，则根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 8．“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”其中四边形、、均为正方形．若，，则（    ） A． B． C． D． 9．在学校“戏曲进校园”活动中，美术小组为粤剧展演设计了一个凤冠造型的圆形拱门装饰，如图，该装饰顶部的截面是圆弧形，测得其跨度（弦）为，拱高（弧的中点到弦的垂直距离）为．若点是该圆弧所在圆的圆心，则该圆弧的半径是（    ） A． B． C． D． 10．如图1，正方形中，点从点出发，沿折线匀速运动，点运动到点时停止运动，过点作交于点，设的长为，的长为，则关于的函数图象如图2所示，该函数可看为两个不同函数组成的分段函数，若点为第二段函数图象的最低点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．在数学的发展历程中，高斯函数（取整函数）有着重要的应用，它能帮助我们在数论、计算机科学等诸多领域处理与整数相关的问题．已知高斯函数表示不超过的最大整数．例如，，，则_________． 12．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和点，则n的值为______． 13．方程的解为______． 14．下表是数学项目组填写的实践活动报告部分内容： 题目 测量孔子像的高度 测量目标及其示意图 相关数据 ，，，，． 则根据以上信息，可求出孔子像的高度约为______m．（结果精确到，参考数据：） 15．如图，、分别是的边、上的点，，，将四边形沿翻折，得到，交于点，则的边的高是________． 16．对于实数，定义一种运算，当，则，当，则．对于函数，下列结论：①点在函数图象上；②当函数值为时，自变量的值为或；③当时，函数有最小值为0；④若直线与函数图象有唯一的公共点，则；⑤若直线与函数图象有三个公共点，则或或．其中正确的结论是___________（填序号）． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 解不等式组，并求出所有整数解． 18．（6分） 已知：在中，分别过点B、D作于点E，于点F，如图．请从以下四个关系式中：①；②；③；④选择一个合适的作为已知条件，使是菱形． (1)你选择的条件是______． (2)添加了条件后，请证明为菱形． 19．（6分） 为普及网络安全知识，增强青少年网络安全防范意识，某校面向全校学生开展了网络安全知识竞赛活动．在竞赛结束后，现从八年级和九年级参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：未达标，良好，优秀，卓越），下面给出了部分信息： 八年级学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86， 86，86，86，88，91，91，94，95，96，99； 九年级学生成绩属于优秀的数据为：89，88，87，86，84，83，81． 八、九年级学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 86 b 九年级 a 91 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_________，_________，_________； (2)根据以上数据，你认为哪个年级对网络安全知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可） (3)该校九年级共有学生1050名，随机抽取了九年级80%的学生参加此次网络安全知识竞赛活动，估计九年级参加活动的学生中成绩为优秀和卓越（80分及以上）的学生有多少人？ 20．（8分） 如图，在中，，以为直径作，与交于点D，与交于点，是的切线． (1)求证：平分； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 21．（8分） 如图，在的网格中，点，在格点上，经过，两点的圆与横网格线交于点，连接，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过六条． (1)在图1中，将绕点顺时针旋转至，连接，再作弧的中点； (2)在图2中，点为圆心，在优弧上找点，使；再作弧弧． 22．（8分） 【综合与实践】 主题：隧道安全警示的数学探究 如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究： 素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． (1)【初步探究】如图2，过点作，已知斜坡的坡角，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米，，，）． (2)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）． 23．（10分） 如图1，在正方形中，点，分别在边，上，于点，于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求的值； (3)如图2，若，求的值． 24．（12分） 如图1，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴负半轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图2，过点作一条直线交抛物线于两点（点在点的左边），连接，分别交轴于两点，当点与顶点重合时，求的面积； (3)在（2）小题条件下，设的横坐标为，当点在抛物线上运动且满足时，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学模拟猜题卷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D A C C C A D B B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13． 14． 15． 16．①③⑤ 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 【详解】解： 由①得：（2分） 解得：． 由②得：不等式两边同乘去分母，得 去括号，得 移项整理，得 解得：．（4分） 所以，原不等式组的解集为．该不等式组的所有整数解为．（6分） 18．（6分） 【详解】（1）解：选择的条件是③：， 故答案为：③；（2分） （2）证明：， （4分） ， ∵四边形为平行四边形； 为菱形．（6分） 19．（6分） 【详解】（1）解：由题意可知，九年级未达标有：（人）， 良好的有：（人）， ∵把被抽取九年级20名学生的数学竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为87，88， ∴中位数； ∵在被抽取的八年级20名学生的数学竞赛成绩中，86分出现的次数最多， ∴众数． ，故．（3分） （2）解：九年级成绩较好，理由：因为九年级学生成绩的中位数比八年级的高，所以九年级成绩较好．（4分） （3）解：（人）． 答：九年级参加活动的学生中成绩为优秀和卓越（80分及以上）的学生有630人．（6分） 20．（8分） 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分；（4分） （2）解：如图，连接交于点M，连接， ∵是直径， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴，，， ∴， ∴．（8分） 21．（8分） 【详解】（1）解：根据旋转的性质作图线段，取格点、，连接交圆于点，点即为所求， ，（4分） 由网格特点可得：，， 由旋转的性质可得， 连接，则由直角三角形的性质可得， ∵， ∴由等腰三角形的性质可得：， ∴由圆周角定理可得：， ∴点为弧的中点； （2）解：如图，取格点，连接，连接并延长交圆于点，连接并延长交圆于点，连接交直径于点，连接并延长交圆于点，即点、即为所求， ，（8分） 由勾股定理可得：，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由圆周角定理可得；，即， 由垂径定理可得：， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 22．（8分） 【详解】（1）解：如图，过点M作， ∵斜坡的坡角α为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴（米）．（2分） （2）解：如图所示：以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的解析式为()， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． ∴， 把代入， 得， ∴， ∴．（5分） （3）解：如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米)， ∵涉及安全问题， ∴（米）．（8分） 23．（10分） 【详解】（1）证明：在正方形中，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴．（3分） （2）连接，如图： 根据题意可得，，， 故与均为等腰直角三角形， ∴， 即． ∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴， 故， 即， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴．（6分） （3）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故． ∵，， ∴． ∵， ∴点、、、在以为直径的圆上， 又∵，， ∴， ∴垂直平分， ∴． 在中，， 故， 即， 故．（10分） 【点睛】根据相似三角形的判定与性质和平行线分线段成比例推得，根据四点共圆和垂直平分线的性质推得是解题的关键． 24．（12分） 【详解】（1）解：，且抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点， ，， 将，，代入抛物线： ，解得：， 抛物线解析式为：，（2分） 将解析式配方为顶点式：， 顶点的坐标为；（4分） （2）解：令，即，解得，， 点在点左侧， ， ，，且点与顶点重合，即， 设直线的解析式为， 代入可得， 解得：，， 直线解析式为； 联立与，可得， 整理得：，解得（即点），， 将代入直线方程，得，即， 设交于点，作轴，轴分别交于点，， 联立与，可得，解得，即， ，，， ；（8分） （3）解：的值为定值，理由如下： 由题意设点，，， 直线过，设直线解析式为， 联立与，可得： ，整理得：， 直线与抛物线交于，， 由根与系数的关系可得：，， 由（2）图可得，， 结合点，，， 可得恒在上方，恒在下方， 可得，， ， 代入，， ．（12分） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学模拟猜题卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．楚文化源远流长，楚人尊凤崇凤，在荆州出土的楚国漆器、丝织品等器物上常见凤鸟纹：下列凤鸟纹图案中，属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，故C符合题意． 2．关于概率意义的理解，下列说法正确的是（   ） A．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中，所以他击中靶的概率是． B．中国星网星座计划中，某批次卫星发射成功概率为0.95，则发射100颗该批次卫星，一定会有95颗成功入轨． C．小明做了2次抛掷均匀硬币的试验，结果两次正面朝上，他认为再抛一次一定是反面朝上． D．据行业报告，2026年我国智能算力占比有望突破，但对于某一家具体企业而言，其智能算力占比可能远高于或远低于这一数值． 【答案】D 【详解】解：A、射击运动员射击中靶与不中靶不是等可能事件，不满足等可能事件概率的计算条件，击中靶的概率不是，故A错误； B、卫星发射成功概率为0.95仅表示发射成功的可能性大小，不代表发射100颗一定有95颗成功，故B错误； C、抛掷均匀硬币是独立随机事件，每次抛掷正面朝上的概率均为，前两次结果不影响下一次结果，再抛一次不一定是反面朝上，故C错误； D、是全国范围智能算力占比的整体统计结果，反映整体的趋势，单个企业的智能算力占比受具体情况影响，可能远高于或远低于该数值，符合概率意义，故D正确． 3．“堑堵”是古代数学名词，指一个长方体沿不在同一面上的相对两棱斜截所得的立体图形，即两底面为直角三角形的三棱柱．如图水平放置的“堑堵”的主视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据几何体的三视图进行判断即可． 【详解】 解：水平放置的“堑堵”的主视图为． 4．2026年3月，中国科学院物理研究所团队创造性发展原子级制造的范德华挤压技术，首次将铋、锡、铅等金属推进到原子极限厚度的二维世界，二维金属的厚度相当于头发丝直径的二十万分之一．已知头发丝直径约为0.00007米，则二维金属的厚度约为（单位：米）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出二维金属的厚度，再用科学记数法表示即可． 【详解】解：∵二维金属的厚度相当于头发丝直径的二十万分之一，头发丝直径约为0.00007米， ∴二维金属的厚度约为． 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法则，幂的乘方法则逐一判断选项． 【详解】A选项：和不是同类项，不能合并，故 A计算错误． B选项：，故B计算错误． C选项： ，故C计算正确． D选项：，故D计算错误． 6．如图，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点，轴于点，点A的横坐标为25，则在第（   ）秒时1号和2号无人机在同一高度． A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】当时，，求出点的坐标，进而求出的解析式，联立与，求出点的坐标即可得到答案． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为， 由题意知点的坐标为， 设， 将代入得， ∴， ∴， ∴线段对应的函数表达式为：， 由题意可知，则， 解得：， ∴， ∴点的坐标为， ∴则在第15秒时1号和2号无人机在同一高度为． 7．龙泉青瓷工艺是世界级非物质文化遗产，“浙”赛区冠军奖杯采用龙泉青瓷工艺制作，如图，杯身高占总高的，杯身高与底座高之和是，杯顶高与杯身高之和是，设杯身高为，底座高为，则根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题干中的相等关系列方程组即可． 【详解】解：设杯身高为，底座高为， 根据杯身高与底座高之和是，可得：， 杯身高占总高的， 总高为， 杯顶高与杯身高之和是， 又杯顶高与杯身高之和是， ， 可列方程组为． 8．“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”其中四边形、、均为正方形．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的面积求出的长，再根据勾股定理求出的长度，根据面积公式即可求解． 【详解】解：, ∴, ∵在正方形中， ,, , ∵在正方形中， ∴, ∴, ∴． 9．在学校“戏曲进校园”活动中，美术小组为粤剧展演设计了一个凤冠造型的圆形拱门装饰，如图，该装饰顶部的截面是圆弧形，测得其跨度（弦）为，拱高（弧的中点到弦的垂直距离）为．若点是该圆弧所在圆的圆心，则该圆弧的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂径定理得，点D在上，设，则，根据勾股定理得，即可得关于r的方程，解方程即可． 【详解】解：如图，连接， 根据题意得， ∵拱高（弧的中点到弦的垂直距离）为， ∴，，，， ∴点D在上， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴该圆弧的半径是． 10．如图1，正方形中，点从点出发，沿折线匀速运动，点运动到点时停止运动，过点作交于点，设的长为，的长为，则关于的函数图象如图2所示，该函数可看为两个不同函数组成的分段函数，若点为第二段函数图象的最低点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析点P在上时，则，当点到达点C时，有最大值，由图（2）得的最大值为4，则，由图1得，当点在上时，证明，整理得，结合图形得，，得，再进行分类讨论，得，然后把代入，得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图 在正方形中，，， 当点P在上时， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 当点到达点C时，有最大值，由图（2）得的最大值为4， 当时，代入得， ∴， ∴ 由图1得，当点在上时， ∵ ∴， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 结合图形得，， 设， ∴， ∴， 当时，即点P在点C处，（即点Q在点D处）， 当时，即点P一定在边上， 关于的方程有实数根， ∴， ， ， 解得， 结合图，得， ∴， ∴第二段函数的图象的最低点的纵坐标为， 把代入， 则， 解得， ∴， 在中，， ∴函数图象的， ∴点的坐标为． 故选：B 【点睛】本题考查了函数图象，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的应用，勾股定理，正方形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．在数学的发展历程中，高斯函数（取整函数）有着重要的应用，它能帮助我们在数论、计算机科学等诸多领域处理与整数相关的问题．已知高斯函数表示不超过的最大整数．例如，，，则_________． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，有理数的减法运算，根据高斯函数的定义，分别计算 和 的值，然后进行有理数减法运算． 【详解】解：根据高斯函数的定义，表示不超过 x 的最大整数． ∴ ． 故答案为：． 12．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和点，则n的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了求解反比例函数解析式． 先将点代入反比例函数解析式求出，得到反比例函数解析式，再将点代入反比例函数解析式求出的值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 13．方程的解为______． 【答案】 【详解】解：方程两边乘以，得 ， 解得， 检验：当时， ， ∴是原方程的解． 14．下表是数学项目组填写的实践活动报告部分内容： 题目 测量孔子像的高度 测量目标及其示意图 相关数据 ，，，，． 则根据以上信息，可求出孔子像的高度约为______m．（结果精确到，参考数据：） 【答案】 【分析】首先在中，利用正切函数的定义求出的长，结合的长求出的长；然后在中，利用得出，最后根据计算即可． 【详解】解：在中，，， ． ， ． 在中，，， 是等腰直角三角形， ． ． 15．如图，、分别是的边、上的点，，，将四边形沿翻折，得到，交于点，则的边的高是________． 【答案】 【分析】过点作于点，根据折叠的性质和平行四边形的性质证明是等边三角形，得到，再利用直角三角形的性质和勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵将四边形沿翻折，得到， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∴， ∴ 即的边的高是． 16．对于实数，定义一种运算，当，则，当，则．对于函数，下列结论：①点在函数图象上；②当函数值为时，自变量的值为或；③当时，函数有最小值为0；④若直线与函数图象有唯一的公共点，则；⑤若直线与函数图象有三个公共点，则或或．其中正确的结论是___________（填序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】分情况求得关于的函数，再画出图象，再根据二次函数与一次函数综合，与函数新定义概念逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：对于函数， 当时，， 整理得，解得； 当时，， 整理得，解得或； 综上，， 函数的图象如下图， ①当时，，点在函数图象上，故①正确； ②由图象知，当函数值为时，自变量的值有三个， 当时，解得， 当时，解得或， ∴当函数值为时，自变量的值有三个，分别为或或，故②错误； ③由图象知，当时，函数有最小值为的最小值， 最小值为，故③正确； ④观察图象，直线与函数图象有唯一的公共点的情况存在很多种，比如当，时，故④错误； ⑤对于直线，当时，， 则直线一定过点，且点在函数的图象上， 若直线与函数图象有三个公共点，则它与有一个公共点，与有两个公共点， 结合函数图象，当直线经过点时，恰好有两个公共点， 此时， 解得， 此后直线绕点逆时针旋转，开始有三个公共点， 当直线与直线平行时，直线与函数图象只有两个公共点， 此时， 则当时有三个公共点， 此后直线绕点继续逆时针旋转，又开始有三个公共点， 当直线与有一个公共点时，直线与函数图象只有两个公共点， 此时联立，整理得， 令，得， 则当时有三个公共点， 此后直线绕点继续逆时针旋转，又开始有三个公共点， 当直线经过点时， 直线与函数图象只有两个公共点， 此时，解得， 则当时有三个公共点， 此后直线绕点继续逆时针旋转直至又过点时，都少于三个公共点， ∴在或或时，直线与函数图象有三个公共点，故⑤正确； 综上，正确的结论有①③⑤． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 解不等式组，并求出所有整数解． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解为 【分析】分别求出两个不等式的解集，取两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集，再找出解集中的整数即可得到结果． 【详解】解： 由①得：（2分） 解得：． 由②得：不等式两边同乘去分母，得 去括号，得 移项整理，得 解得：．（4分） 所以，原不等式组的解集为．该不等式组的所有整数解为．（6分） 18．（6分） 已知：在中，分别过点B、D作于点E，于点F，如图．请从以下四个关系式中：①；②；③；④选择一个合适的作为已知条件，使是菱形． (1)你选择的条件是______． (2)添加了条件后，请证明为菱形． 【答案】(1)③（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法． （1）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，选择条件：③； （2）证，可得一组邻边相等，可证是菱形． 【详解】（1）解：选择的条件是③：， 故答案为：③；（2分） （2）证明：， （4分） ， ∵四边形为平行四边形； 为菱形．（6分） 19．（6分） 为普及网络安全知识，增强青少年网络安全防范意识，某校面向全校学生开展了网络安全知识竞赛活动．在竞赛结束后，现从八年级和九年级参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：未达标，良好，优秀，卓越），下面给出了部分信息： 八年级学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86， 86，86，86，88，91，91，94，95，96，99； 九年级学生成绩属于优秀的数据为：89，88，87，86，84，83，81． 八、九年级学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 86 b 九年级 a 91 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_________，_________，_________； (2)根据以上数据，你认为哪个年级对网络安全知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可） (3)该校九年级共有学生1050名，随机抽取了九年级80%的学生参加此次网络安全知识竞赛活动，估计九年级参加活动的学生中成绩为优秀和卓越（80分及以上）的学生有多少人？ 【答案】(1)，86，40 (2)九年级成绩较好，理由见解析 (3)630人 【分析】（1）根据扇形信息，用20分别乘上未达标、良好的占比可得未达标2人，良好3人，结合中位数、众数的定义以及扇形统计图中求百分比进行解答即可； （2）运用中位数进行作决策，即可作答； （3）用1050乘上可求得抽取的人数，然后再乘以本次调查的（80分及以上）所占的比例即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知，九年级未达标有：（人）， 良好的有：（人）， ∵把被抽取九年级20名学生的数学竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为87，88， ∴中位数； ∵在被抽取的八年级20名学生的数学竞赛成绩中，86分出现的次数最多， ∴众数． ，故．（3分） （2）解：九年级成绩较好，理由：因为九年级学生成绩的中位数比八年级的高，所以九年级成绩较好．（4分） （3）解：（人）． 答：九年级参加活动的学生中成绩为优秀和卓越（80分及以上）的学生有630人．（6分） 20．（8分） 如图，在中，，以为直径作，与交于点D，与交于点，是的切线． (1)求证：平分； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质，可得，再由是直径，可得，再由，可得，可得，即可求证； （2）连接交于点M，连接，证明是等腰直角三角形，可得，再由三角形中位线定理可得，从而得到，然后根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分；（4分） （2）解：如图，连接交于点M，连接， ∵是直径， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴，，， ∴， ∴．（8分） 21．（8分） 如图，在的网格中，点，在格点上，经过，两点的圆与横网格线交于点，连接，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过六条． (1)在图1中，将绕点顺时针旋转至，连接，再作弧的中点； (2)在图2中，点为圆心，在优弧上找点，使；再作弧弧． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质作图线段，取格点、，连接交圆于点，由网格特点可得，，由旋转的性质可得，连接，则由直角三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，再由圆周角定理可得，即可得出结果，点即为所求； （2）取格点，连接，连接并延长交圆于点，连接并延长交圆于点，连接交直径于点，连接并延长交圆于点，即点、即为所求． 【详解】（1）解：根据旋转的性质作图线段，取格点、，连接交圆于点，点即为所求， ，（4分） 由网格特点可得：，， 由旋转的性质可得， 连接，则由直角三角形的性质可得， ∵， ∴由等腰三角形的性质可得：， ∴由圆周角定理可得：， ∴点为弧的中点； （2）解：如图，取格点，连接，连接并延长交圆于点，连接并延长交圆于点，连接交直径于点，连接并延长交圆于点，即点、即为所求， ，（8分） 由勾股定理可得：，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由圆周角定理可得；，即， 由垂径定理可得：， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 22．（8分） 【综合与实践】 主题：隧道安全警示的数学探究 如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究： 素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． (1)【初步探究】如图2，过点作，已知斜坡的坡角，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米，，，）． (2)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）． 【答案】(1)1.55米 (2)以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系： (3)3.5米 【分析】（1）过点M作，代入数值得，进行计算，即可作答． （2）先以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为()，再把代入进行计算，得，即可作答． （3）认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出（米)，即可作答． 【详解】（1）解：如图，过点M作， ∵斜坡的坡角α为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴（米）．（2分） （2）解：如图所示：以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的解析式为()， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． ∴， 把代入， 得， ∴， ∴．（5分） （3）解：如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米)， ∵涉及安全问题， ∴（米）．（8分） 23．（10分） 如图1，在正方形中，点，分别在边，上，于点，于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求的值； (3)如图2，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得出，结合垂直的定义和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质即可证明； （2）连接，根据等腰直角三角形的定义和勾股定理求得，根据全等三角形的判定和性质得出，根据相似三角形的判定和性质得出，根据相似三角形的判定和性质求得，即可求解； （3）根据相似三角形的判定和性质得出，根据平行线分线段成比例得出，进一步推得，，根据四点共圆和平行线的性质得出，根据垂径定理和垂直平分线的性质得出，根据勾股定理求得，，即可求解． 【详解】（1）证明：在正方形中，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴．（3分） （2）连接，如图： 根据题意可得，，， 故与均为等腰直角三角形， ∴， 即． ∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴， 故， 即， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴．（6分） （3）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故． ∵，， ∴． ∵， ∴点、、、在以为直径的圆上， 又∵，， ∴， ∴垂直平分， ∴． 在中，， 故， 即， 故．（10分） 【点睛】根据相似三角形的判定与性质和平行线分线段成比例推得，根据四点共圆和垂直平分线的性质推得是解题的关键． 24．（12分） 如图1，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴负半轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图2，过点作一条直线交抛物线于两点（点在点的左边），连接，分别交轴于两点，当点与顶点重合时，求的面积； (3)在（2）小题条件下，设的横坐标为，当点在抛物线上运动且满足时，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)的值为定值，理由见解析． 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求抛物线解析式、顶点坐标、直线与抛物线交点问题、三角形面积计算以及定值问题，解题关键是利用点的坐标、直线方程与抛物线方程的联立求解，结合韦达定理处理交点问题． （1）根据已知线段长度确定抛物线上关键点坐标，用待定系数法求解析式，再通过配方法求出顶点坐标； （2）先求出抛物线与轴交点坐标，由点与顶点重合得到直线解析式，联立直线与抛物线方程求出点坐标，再用割补法计算的面积； （3）设点横坐标为，利用直线过定点，联立方程并结合韦达定理得到、横坐标的数量关系即，，再结合，，最后代入化简判断是否为定值（化简过程涉及因式分解）． 【详解】（1）解：，且抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点， ，， 将，，代入抛物线： ，解得：， 抛物线解析式为：，（2分） 将解析式配方为顶点式：， 顶点的坐标为；（4分） （2）解：令，即，解得，， 点在点左侧， ， ，，且点与顶点重合，即， 设直线的解析式为， 代入可得， 解得：，， 直线解析式为； 联立与，可得， 整理得：，解得（即点），， 将代入直线方程，得，即， 设交于点，作轴，轴分别交于点，， 联立与，可得，解得，即， ，，， ；（8分） （3）解：的值为定值，理由如下： 由题意设点，，， 直线过，设直线解析式为， 联立与，可得： ，整理得：， 直线与抛物线交于，， 由根与系数的关系可得：，， 由（2）图可得，， 结合点，，， 可得恒在上方，恒在下方， 可得，， ， 代入，， ．（12分） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $