2.课时跟踪检测练 56 专题突破课五 截面问题(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

专题突破练五 (时间:45分钟　分值:50分) 1.(5分)(一题多解)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为C1D1的中点,则平面ACM截正方体所得的截面多边形的形状为 (　　) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 【解析】选B.方法一(平行线法): 在平面A1B1C1D1内过点M作AC的平行线交A1D1于点N,即N为A1D1的中点;由两平行线确定一个平面,即N点也在所求截面内,连接AN,CM,四边形ACMN即为所求截面多边形. 方法二(延长线法): 连接并延长CM交DD1的延长线于点Q,因为D1M∥DC且D1M=DC, 所以D1M为△QDC的中位线,所以QD1=D1D,Q∈ADD1A1,连接QA交A1D1于点N.同理可得N为A1D1的中点,连接MN,AC,四边形ACMN即为所求截面多边形. 2.(5分)(多选)用一个平面去截正方体,截面形状不可能是 (　　) A.五边形 B.直角三角形 C.直角梯形 D.钝角三角形 【解析】选BCD.如图所示,截面△ABC, 设AD=a,BD=b,CD=c, 所以AC2=a2+c2,BC2=b2+c2,AB2=a2+b2, cos∠BAC== =>0,同理,cos∠ABC>0,cos∠ACB>0,即∠BAC,∠BCA,∠ABC为锐角,所以△ABC为锐角三角形,B,D都不可能,如图截面可以是五边形EFGHI,A可能,如图截面MNPQ可以是梯形,但不可以是直角梯形,C不可能. 3.(5分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为BC,CC1的中点,则平面AEF截正方体所得的截面面积为 (　　) A. B. C.9 D.18 【解析】选B.连接BC1,AD1,D1F,如图所示,因为E,F分别是BC,CC1的中点,所以EF∥BC1.在正方体中,AD1∥BC1,所以EF∥AD1,所以A,D1,E,F在同一平面内,所以平面AEF截该正方体所得的截面为平面EFD1A.因为正方体的棱长为2,所以EF=,AD1=2,D1F=AE==,则点E到AD1的距离为等腰梯形EFD1A的高,即=,所以截面面积为S=×(2+)×=. 4.(5分)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点E,F,G分别是AA1,A1B1,B1C1的中点,则过点E,F,G的平面截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面多边形的周长为 (　　) A.2+3 B.2+3 C.2+4 D.2+4 【解析】选D.如图,GF所在直线交D1A1的延长线于点M,交D1C1的延长线于点N,连接ME并延长交AD于点K,交D1D的延长线于点T,连接TN,分别交CD,CC1于点I,H,连接KI,GH,则六边形EFGHIK所在平面即为平面EFG,六边形EFGHIK即为过点E,F,G的平面截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得的截面多边形.由全等三角形可知,K,I,H分别为AD,CD,CC1的中点.因为AA1=2AB=4,所以EF=GH=EK=HI=,FG=KI=,所以六边形EFGHIK的周长为2+4. 5.(5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,M,N分别为A1D,D1C的中点,则过B,M,N三点的截面面积是　3　.  【解析】连接AC,如图所示,过点B作AC的平行线交DA的延长线于点E,交DC的延长线于点F,连接EM并延长,交AA1于点G,交DD1于点T,连接FN并延长,交CC1于点H,根据对称性知T在直线FN上,连接BG,BH.因为M为A1D的中点,N为D1C的中点,所以MN∥AC. 又因为AC∥EF,所以EF∥MN,所以E,G,M,T,N,H,F共面, 此时△FHC∽△FTD,△EAG∽△EDT,==,截面TGBH是边长为的菱形,GH=3,BT=,所以S=×3=3. 6.(5分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,BC=2,AC=,AA1=3,M为线段BB1上的一动点,则过A,M,C1三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为　3+　. 【解析】由题意可知过A,M,C1三点的平面截该三棱柱所得截面的周长即△AMC1的周长, 因为直三棱柱ABC-A1B1C1,所以各侧面均为矩形,所以AC1==, 直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面部分展开图如图所示, 则在矩形ACC1A1中,AM+MC1≥AC1==3,所以过A,M,C1三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为3+. 7.(10分)如图正方体中,作出过E,F,G三点的截面,其中E,F,G为所在棱的中点. 【解析】作法:分别在AA1,BC,C1D1上取中点M,N,L,顺次连接GM,MF,FN,NE,EL,LG,六边形GMFNEL所在平面即为过E,F,G三点的截面; 简要说明(GMFNEL六点共面):分别延长FN,LE相交于点K,易得FNKEL五点共面,连接GF,LN,通过证明GFNL为平行四边形,说明点G在平面GFNL内,同理再证明点M在平面GFNL内,GMFNEL六点共面可证得. 8.(10分)如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长均为2,点E,F分别为棱BB1,A1C1的中点. 过A,E,F三点作该正三棱柱的截面,求截面图形的周长. 【解析】延长AF与CC1延长线交于点M,连接EM,交B1C1于点P,连接FP, 因为M在AF的延长线上,AF⊂平面AEF,所以M∈平面AEF, 因为平面AEM∩平面BCC1B1=PE,平面AEM∩平面A1B1C1=FP, 所以过点A,E,F三点的截面为四边形AEPF, 因为FC1∥AC,所以△MFC1∽△MAC,所以==,解得MC1=2, 取CC1的中点N,连接EN,可得EN⊥CC1, 因为PC1∥EN,所以△MPC1∽△MEN,所以==,解得PC1=, 则PB1=,在Rt△AA1F中,AF==, 在Rt△ABE中,AE==, 在Rt△PB1E中,PE===, 在△PFC1中,FC1=1,PC1=,∠FC1P=60°, 所以PF2=F+P-2FC1·PC1cos 60°=,则PF=, 所以四边形AEPF的周长为+++=2+. - 6 - 学科网（北京）股份有限公司 $专题突破练五 (时间:45分钟　分值:50分) 1.(5分)(一题多解)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为C1D1的中点,则平面ACM截正方体所得的截面多边形的形状为 (　　) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 【解析】选B.方法一(平行线法): √ 1 2 3 4 5 6 7 8 选题清单 在平面A1B1C1D1内过点M作AC的平行线交A1D1于点N,即N为A1D1的中点;由两平行线确定一个平面,即N点也在所求截面内,连接AN,CM,四边形ACMN即为所求截面多边形. 方法二(延长线法): 连接并延长CM交DD1的延长线于点Q, 因为D1M∥DC且D1M=DC, 所以D1M为△QDC的中位线,所以QD1=D1D,Q∈ADD1A1,连接QA交A1D1于点N.同理可得N为A1D1的中点,连接MN,AC,四边形ACMN即为所求截面多边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 选题清单 2.(5分)(多选)用一个平面去截正方体,截面形状不可能是 (　　) A.五边形 B.直角三角形 C.直角梯形 D.钝角三角形 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 选题清单 【解析】选BCD.如图所示,截面△ABC,设AD=a,BD=b,CD=c, 所以AC2=a2+c2,BC2=b2+c2,AB2=a2+b2,cos∠BAC== =>0,同理,cos∠ABC>0,cos∠ACB>0,即∠BAC,∠BCA,∠ABC为锐角,所以△ABC为锐角三 角形,B,D都不可能,如图截面可以是五边形EFGHI, A可能,如图截面MNPQ可以是梯形,但不可以是直 角梯形,C不可能. 1 2 3 4 5 6 7 8 选题清单 3.(5分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为BC,CC1的中点,则平面AEF截正方体所得的截面面积为 (　　) A. B. C.9 D.18 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 选题清单 【解析】选B.连接BC1,AD1,D1F,如图所示,因为E,F分别是BC,CC1的中点,所以EF∥BC1.在正方体中,AD1∥BC1,所以EF∥AD1,所以A,D1,E,F在同一平面内,所以平面AEF截该正方体所得的截面为平面EFD1A.因为正方体的棱长为2,所以EF=,AD1=2,D1F=AE==,则点E到AD1的距离为等腰梯形EFD1A的高,即=, 所以截面面积为S=×(2+)×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 选题清单 4.(5分)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点E,F,G分别是AA1,A1B1,B1C1的中点,则过点E,F,G的平面截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面多边形的周长为 (　　) A.2+3 B.2+3 C.2+4 D.2+4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 选题清单 【解析】选D.如图,GF所在直线交D1A1的延长线于点M, 交D1C1的延长线于点N,连接ME并延长交AD于点K,交D1D 的延长线于点T,连接TN,分别交CD,CC1于点I,H,连接KI,GH, 则六边形EFGHIK所在平面即为平面EFG,六边形EFGHIK 即为过点E,F,G的平面截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得的 截面多边形.由全等三角形可知,K,I,H分别为AD,CD,CC1 的中点.因为AA1=2AB=4,所以EF=GH=EK=HI=,FG=KI=,所以六边形EFGHIK的周长为2+4. 1 2 3 4 5 6 7 8 选题清单 5.(5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,M,N分别为A1D,D1C的中点, 则过B,M,N三点的截面面积是__________.  【解析】连接AC,如图所示,过点B作AC的平行线交DA的延长线于点E,交DC的延长线于点F,连接EM并延长,交AA1于点G,交DD1于点T,连接FN并延长,交CC1于点H,根据对称性知T在直线FN上,连接BG,BH.因为M为A1D的中点,N为D1C的中点,所以MN∥AC. 又因为AC∥EF,所以EF∥MN,所以E,G,M,T,N,H,F共面, 　3　 1 2 3 4 5 6 7 8 选题清单 此时△FHC∽△FTD,△EAG∽△EDT,==,截面TGBH是边长为的菱形,GH=3,BT=,所以S=×3=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 选题清单 6.(5分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,BC=2,AC=,AA1=3,M为线 段BB1上的一动点,则过A,M,C1三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周 长为_____________. 　3+　 1 2 3 4 5 6 7 8 选题清单 【解析】由题意可知过A,M,C1三点的平面截该三棱柱所得截面的周长即△AMC1的周长,因为直三棱柱ABC-A1B1C1,所以各侧面均为矩形, 所以AC1==, 直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面部分展开图如图所示, 则在矩形ACC1A1中,AM+MC1≥AC1==3, 所以过A,M,C1三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为3+. 1 2 3 4 5 6 7 8 选题清单 7.(10分)如图正方体中,作出过E,F,G三点的截面,其中E,F,G为所在棱的 中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 选题清单 【解析】作法:分别在AA1,BC,C1D1上取中点M,N,L,顺次连接GM,MF,FN,NE,EL,LG,六边形GMFNEL所在平面即为过E,F,G三点的截面; 简要说明(GMFNEL六点共面):分别延长FN,LE相交于点K,易得FNKEL五点共面,连接GF,LN,通过证明GFNL为平行四边形,说明点G在平面GFNL内,同理再证明点M在平面GFNL内,GMFNEL六点共面可证得. 1 2 3 4 5 6 7 8 选题清单 8.(10分)如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长均为2,点E,F分别为棱BB1,A1C1的中点. 过A,E,F三点作该正三棱柱的截面,求截面图形的周长. 1 2 3 4 5 6 7 8 选题清单 【解析】延长AF与CC1延长线交于点M,连接EM,交B1C1于点P,连接FP, 因为M在AF的延长线上,AF⊂平面AEF,所以M∈平面AEF, 因为平面AEM∩平面BCC1B1=PE,平面AEM∩平面A1B1C1=FP, 所以过点A,E,F三点的截面为四边形AEPF, 因为FC1∥AC,所以△MFC1∽△MAC,所以==,解得MC1=2, 取CC1的中点N,连接EN,可得EN⊥CC1, 因为PC1∥EN,所以△MPC1∽△MEN,所以==,解得PC1=, 则PB1=,在Rt△AA1F中,AF==, 1 2 3 4 5 6 7 8 选题清单 在Rt△ABE中,AE==, 在Rt△PB1E中,PE===, 在△PFC1中,FC1=1,PC1=,∠FC1P=60°, 所以PF2=F+P-2FC1·PC1cos 60°=,则PF=, 所以四边形AEPF的周长为+++=2+. 1 2 3 4 5 6 7 8 选题清单 $